2019年中考数学复习第四章图形认识4.3等腰三角形与直角三角形试卷部分3

“特征值”,记作k.若k= 1 ,则该等腰三角形的顶角为
度.
2
答案 36
解析 设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角的度数为2x度,由x+2×2x=180⇒x=36.故顶角为3 6度.
思路分析 设出顶角度数,根据“特征值”可知底角度数,再由三角形内角和定理即可求得.
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②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON的大小和 AB 的值. PQ
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解析 (1)证明:∵点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, ∴DE������ OC,CE������ OD.∴四边形ODEC为平行四边形. ∴∠OCE=∠ODE. 又∵△OAP,△OBQ都是等腰直角三角形, ∴∠PCO=∠QDO=90°. ∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ.
2
OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
2
思路分析 由∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,可得∠P=90°,取AB的中点O,则OP=12 AB=3
为定值,所以O,P,C三点共线时CP的长最小.
解题关键 想到P在以AB为直径的圆上运动,由此将问题转化为O,P,C三点的共线问题是解题 的关键.
∴∠CME=∠CMD+∠DME=2(∠CBM+∠EBM)=2∠CBA=2×40°=80°,
∴∠EMF=180°-∠CME=100°. (9分)
(3)证明:∵△DAE≌△CEM,
∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.
又CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,
∴△DEM是等边三角形,
∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.
∴∠ACM= 12 ×(180°-30°)=75°.②
由①②可知AC=AM,又N为CM的中点, ∴AN⊥CM,又∵EM⊥CF,∴AN∥EM. (14分)
思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角
互余求出∠CBA,由等腰三角形的性质可得∠MEB=∠MBE,∠MCB=∠MBC,从而可得∠CME=
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3.(2015陕西,6,3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截 取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 D 依题意,可知题图中的△ABC,△AED,△BDC,△BDE,△ADB为等腰三角形,则共有5 个等腰三角形.故选D.
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2.(2018安徽,23,14分)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°.点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E.点M为 BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小; (3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点.求证:AN∥EM.
答案 18 20解19析年5月连2接3日AB.因为OA=OB=18 cm,收遇拢上你后是的我∠的A今OB生=的60缘°,所分以△AOB是正三角形,故AB=18 cm.17
8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离 与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.
4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为
.
答案 80° 解析 ∵等腰三角形的两底角相等,∴180°-50°×2=80°,∴顶角为80°.
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5.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的
中考数学 (安徽专用) 第四章 图形的认识
§4.3 等腰三角形与直角三角形
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五年中考
A组 2014—2018年安徽中考题组
1.(2016安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足 ∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
EF AF 2
又∵∠AFN=∠EFM,
∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,
∴AN∥EM. (14分)
证法二:连接AM,则∠EAM=∠EMA= 1 ∠MEF=15°,
2
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∴∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,① 又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°,且MC=MD,
∠DME+∠CMD=2(∠CBM+∠EBM),最后由补角性质求出∠EMF;(3)由△DAE≌△CEM可推
出△DEM为等边三角形,从而可得∠MEF=30°,下面证AN∥EM有两个思路:一是根据直角三角
形30°角所对直角边等于斜边的一半可得 MF = 1 ,又点N是CM的中点,可推出 NF = 1 ,从而可证
又∵AO∥ED,∴∠CED=∠ACE. ∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=90°, 即△PEQ为等腰直角三角形. 由于△ARB∽△PEQ,所以∠ARB=90°.
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于是在四边形OCRD中,∠OCR=∠ODR=90°,∠CRD= 1 ∠ARB=45°,∴∠MON=135°.
答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=1 80°-(25°+25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.
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2.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 A 如图,①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除 外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB长 为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有 两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.
又∵PC= 1 AO=CO=ED,CE=OD=1 OB=DQ,
2
2
∴△PCE≌△EDQ. (5分)
(2)①证明:如图,连接OR.
∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,
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∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD. 在四边形OCRD中,∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°, ∴∠CRD=30°. ∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠CRO+2∠ORD=2∠CRD=60°. ∴△ABR为等边三角形. (9分) ②如图,由(1)知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE.
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解析 ∵△ABC为等边三角形, ∴∠A=∠B=∠ACB=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDF=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°, ∴△CDE为等边三角形, ∴DE=CD=2. (4分) ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, 在Rt△DEF中,EF=DE·tan 60°=2 3 . (6分)
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B组 2014—2018年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在△ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和 E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为 ( )
A.50° B.70° C.75° D.80°
=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相
等可知四边形DEMN为正方形.
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9.(2016宁夏,21,6分)在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点 E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.求EF的长.
A. 3
2
C. 8 13 13
B.2
D. 12 13 13
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答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.设AB的中
点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴
2
此时P,O,B在一条直线上,△PAB为直角三角形且∠APB为直角,所以AB=2PE=2× 2 PQ= 2 2
PQ,则 AB = 2 . (14分) PQ
思路分析 (1)先证四边形ODEC为平行四边形得∠OCE=∠ODE,再根据△OAP,△OBQ都是 等腰直角三角形证明∠PCE=∠EDQ,结合已知可证△PCE≌△EDQ;(2)①连接OR,由PR与QR 分别为线段OA与OB的中垂线及∠MON=150°,可得AR=BR,∠ARB=2∠CRD=60°,即△ABR为等 边三角形;②利用(1)的结论及已知可得出△PEQ为等腰直角三角形,由△ARB∽△PEQ可得∠ ARB=90°,进一步得出∠CRD=45°,从而得出∠MON=135°,并说明P,O,B在一条直线上,△PAB为 直角三角形且∠APB为直角,由此得出AB= 2 PQ,进而求解.
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7.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设 计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm. 若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.
EF 2
AF 2
△AFN∽△EFM,进一步即可证明AN∥EM;二是连接AM,计算可得∠AMC=∠ACM,而N是CM
的中点,从而AN⊥CM,进一步即可证明AN∥EM.
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3.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜 边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中 点. (1)求证:△PCE≌△EDQ; (2)延长PC,QD交于点R. ①如图2,若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形;
证法一:在Rt△EMF中,∠EMF=90°,∠MEF=30°,
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∴ MF = 1 ,
EF 2
又∵NM= 1 CM= 1 EM= 1 AE,
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∴FN=FM+NM= 1 EF+ 1 AE= 1 (AE+EF)= 1 AF.
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∴ MF = FN = 1 .
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解析 (1)证明:∵AB,AC是等腰△ABC的两腰,
∴AB=AC,
∵BD,CE是中线,
∴AD= 1 AC,AE= 1 AB,
2
2
∴AD=AE,
又∵∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE.
(2)四边形DEMN为正方形.
提示:由MN、DE分别是△OBC、△ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD

图1
图2
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解析 (1)证明:由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,M为斜边BD的中点,
∴CM= 1 BD.
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又DE⊥AB,同理,EM= 1 BD,
2
∴CM=EM. (4分)
(2)由已知得,∠CBA=90°-50°=40°.
又由(1)知CM=BM=EM,
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6.(2016吉林,12,3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于 1 AB的长为半径作弧,两
2
弧相交于C,D两点,作直线CD交AB于点E.在直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5,则FB= .
答案 5 解析 由题意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.
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