合情推理

(1) (2) (3)
(4)
(5)
(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅
有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若
用f(n)表示这n条直线交点的个数,f(4)=
,5
当n>4时,f(n)=
1 (n 2)(n 1) 2
f (3) f (2) 2
.(用n表示)
f (4) f (3) 3
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
(1) 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海 龟是用肺呼吸的，蜥蜴是肺呼吸的。蛇、鳄 鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以___
(2)三角形的内角和是180°,凸四边形的内 角和是360°,凸五边形的内角是540°, … 由此我们猜想_______
试举出其他类比的例子
试将平面上的圆与空间的球进行类比
.
.
圆
弦
直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
于弦.
圆心连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面
心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
分别把n=1,2,3,4代入an1
an 1 an
得:
a2
1 2
,
a3
1 3
,
a4
1 4
,
a5
1 5
1 归纳: an n
练习1、由下图可以发现什么结论？
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42，……
归纳: f (n) 2n 1
f
(n)
1, 2 f
(n
1)
1,
n1 n2
1.课本习题2.1A组1，3，5；
2.找一个你感兴趣的数学定义、公 式或定理，探究它的来源，你也可 以通过翻阅书籍、上网查找资料来 寻求依据.
f (5) f (4) 4
LLL
f (n) f (n 1) n 1 累加得: f (n) f (2) 2 3 4 L (n 1)
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
(2004上海)根据图中5个图形及相应点的个数的变
化规律,试猜测第n个图形中有 n2 n 1个层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
近的弦较长.
截面圆面积不等,距球心较近
的截面圆面积较大.
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
n=3时, f (3) 3 13
f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2)
n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) 15 f (3) 1 f (3)
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
(3) 2 2 1 , 2 2 2 , 2 2 3 ,L 由此我猜想_______ 3 31 3 32 3 33
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
你还能举一些 归纳推理的例子吗?
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
练习2同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺 设的若干图案，则按此规律第n个图案中需
用黑色瓷砖__4_n___8_____块．（用含n的代
数式表示）
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
B
P
c2=a2+b2
S1
S2 D
S3
F
C
AE
猜想: S2△PEF =S2△PDF+S2△PDE+S2△DEF
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体（各面均为三角形）
四边形
六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象
数
向量
方程 函数 不等式
交集，并集，补集 或，且，非运算
有限
无限
练习：我们已经学习过“等差数列”与“等
比数
列”,你是否想过“等和数列”、
“等积数列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
引例:
精神不振 体温>37.5℃ 鼻流清涕 有时咳嗽
…… 同学们，你们想到了什么？
甲型H1N1 流感 ！
推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或几个已知的判断来确定一 个新的判断的思维过程。
推理是由前提、结论和推理形式构成。 前提是已知判断，是整个推理的出发点； 结论是推理引出的新判断，是推理的目的； 推理形式提供关于前提和结论之间的逻辑规则。