DFT的共轭对称性

1.用DFT计算循环卷积
L 1
如果 y (n ) x 1 (n ) x 2 (n ) x 1 (m )x 2 ((n m ))L R L (n ) m 0
X1(k) DFT[x1(n)] X2(k) DFT[x2(n)]
则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
m x(m)[N 1N k01WN (mn)k]
x(n rN)
r
N 1N k 0 1W N (mn)k 1 0
mnrN 其 它 m
r为 任 意 整 数
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由频域抽样序列 X ( k ) 还原得到的周期序列 是原非周期序列 x ( n ) 的周期延拓序列，其 周期为频域抽样点数N。
X (k )
X e p (k ) X o p (k )
x e p (n ) x o p (n )
R e [X (k )] jIm [X (k )]
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共轭对称性总结2: 实数序列的共轭对称性
序列
DFT
R e [ x ( n ) ] jI m [ x ( n ) ] 0
x e p (n ) x o p (n )
k 0
k(ej)k(z)z ej(
2k) N
内插函数：
()
1
sin
N
2
e
j
N21
N
sin
2
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27
内插恢复过程描述：
X(ej)N1X(k)(2k)
k0
N
(2N k)10
2N kk 2N ii ik
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28
3.4 DFT的应用举例
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29
3.4.1 用DFT计算线性卷积
则
w (n ) x 1 (n ) jx 2 (n )
W ( k ) D F T [ w ( n ) ] D F T [ x 1 ( n ) j x 2 ( n ) ]
D F T [ x 1 ( n ) ] j D F T [ x 2 ( n ) ]
X 1 (k)jX 2(k)
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15
由 x 1 ( n ) R e [ w ( n ) ] 得
X 1 ( k ) D F T [ x 1 ( n ] W e p ( k ) 1 2 [W ((k ))N W * ((N k ))N ]R N (k )
由 x 2 ( n ) I m [w ( n ) ] 得 X2(k)D FT[x2(n)]1 jW op(k)
2 1 j[W ((k))N W *((N k))N ]R N (k)
x op ( n )
1 2
[x(n)
x(N
n )]
DFT[
xop (n )]
1 2
[X
(k)
X
( k )]
j Im[
X ( k )]
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5.实、虚序列的对称特性
当x(n)为实序列时，则 X(k)=Xep(k)
又据Xep(k)的对称性：X e(p k)X e *(pN ( k)N )R N (k) X (k ) X * (N ( k)N )R N (k )
x ( n ) x ep ( n ) x op ( n )
则有 : DFT [ x ( n )] X ( k ) X R ( k ) jX I ( k )
证明 :
x ep
(n)
1 [x(n) 2
x(N
n )]
DFT
[ x ep
( n )]
1 [X 2
(k)
X
( k )]
Re[
X
( k )]
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3.3频域抽样理论--抽样Z变换
讨论：
时域抽样:
对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其 进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频 谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复 原信号。
频域抽样:
对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得 x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频 域抽样。
X(z) x(n)zn
n
对 X(z)在 单 位 圆 上 N 点 等 间 隔 抽 样 ， 得 周 期 序 列 ：
X(k)X(z)zW N k x(n)W N nk n
分 析 ： X ( k ) x ( n )? ?
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令 x N (n ) 为 X (k ) 的 I D F S ：
x N (n ) ID F S [X (k)]N 1N k 0 1X (k)W N n k N 1N k 0 1[m x(m)W N m k]W N nk
xop (n)~ xo(n)RN(n)1 2[x(n ())Nx*((Nn))N]RN(n)
由于 x (n ) ~ x(n )R N (n ) [~ x e(n ) ~ x o (n )R ]N (n ) ~ x e(n )R N (n ) ~ x o (n )R N (n )
所以 x(n)xe(pn)xo(pn)
即可由频域采样X ( k )不失真地恢复原信号 x ( n ) ，否则产生时域混叠现象。
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二、 X(k)表 由X示 (Z)和 X(ej)---内插
1.由X(k)恢复X(Z) M 点 有 限 长 序 列 x ( n ) ， 频 域 N 点 等 间 隔 抽 样 ， 且
N M
M 1
N 1
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1
第十讲
3.2.5 DFT的共轭对称性 3.3频域抽样理论--抽样Z变换 3.4.1 用DFT计算线性卷积
3.2.5 DFT的共轭对称性
与DTFT对称性的区别
DTFT以(-∞,+∞)为变换空间，所以在讨论对称 性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围 无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间；
~xo (n) ~xo*(n)
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3
xe(n)1 2[x(n)x*(n)] x((n))N
xe(n)1 2[x(n)x*(n)] x*((Nn))N
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4
2.有限长序列的圆周共轭对称分量
与圆周共轭反对称分量
有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称
分量分别定义为 xep (n)~ xe(n)RN(n)1 2[x(n ())Nx*((Nn))N]RN(n)
x (n)]
D FT[xi (n)]
1[X 2
(k)
X
(N
k )]
X op (k )
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8
*复数序列D 实F部 T该 的序D列 F的 T 圆周共轭对称分量。
*复数序列虚j的 部 DF乘T该 以序D列 F的 T 圆周共轭反对称分量。
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9
4.有限长序列x(n)的实虚分解
及其DFT表示
若有 :
周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对
称分量分别定义为
~ xe(n)1 2[~ x(n)~ x*(n)]1 2[x(n ())Nx*((Nn))N]
~ xo(n)1 2[~ x(n)~ x*(n)]1 2[x(n ())Nx*((Nn))N]
同样，有
~x(n) ~xe (n) ~xo (n) ~xe (n) ~xe*(n)
假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：
N1
yl(n)h(n)x(n)h(m)x(nm) m0
L1
yc(n)h(n)x(n) h(m)x((nm))LRL(n) m0
则： X(z) x(n)zn x(n)zn
n0
n0
N n01N 1N k01X(k)WN nkzn
N 1N k01X(k)N n01WNnkzn
N 1N k01X(k)11W W N N Nkkzz 1N
1zN N
N1 X(k) k01WNkz1
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内插公式与内插函数
内 插 公 式 ： X (z) 1 N z NN k 0 1 1 X W (N k k )z 1
X e p ( k ) X ( k ) X o p ( k ) 0
R e [X (k )] jIm [X (k )]
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共轭对称性总结3: 纯虚序列的共轭对称性
序列
DFT
R e [ x ( n ) ] 0 jI m [ x ( n ) ]
X e p ( k ) 0 X o p ( k ) X ( k )
这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同
的两个分量。
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5
2.有限长序列的圆周共轭对称与 圆周共轭反对称性质
xep(n)xep(Nn) xop(n)xop(Nn)
0nN1 0nN1
上式已给出有限长序列x(n)的圆周共轭对称分量 与圆周共轭反对称分量的对称中心为N=N/2，其圆周 共轭对称分量与圆周共轭反对称分量可简写为：
x e p (n ) x o p (n )
R e [X (k )] jIm [X (k )]
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6.共轭对称性的应用举例
假设 x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，可用一 次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
D F T [x 1 (n )] X 1 (k ) D F T [x 2 (n )] X 2 (k ) 利 用 两 序 列 构 成 一 个 复 序 列
内 插 函 数 ： k(z)N 11 1W z N kN z 1
则内插公式简化为：
N1
X(z) X(k)k(z)
k0
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24
内插函数的特性
将内插函数写成如下式:
k(Z)N 1 zN1z(zNW 1Nk)
零 点 ： z ej2 N r ， r 0 ,1 ,...,N 1 极 点 ： z ej2 N k ， 0(N -1 )阶
当x(n)为纯虚序列时，则
X(k)=Xop(k)
又据Xop(k)的对称性：X o(p k)X o *(p (k)N )R N (k)
X (k) X * ( (k)N )R N (k)
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共轭对称性总结1： 复数序列的共轭对称性
序列
DFT
x (n )
R e [x (n )] jIm [x (n )]
x(n) xr (n) jxi (n)
则有： D F T [ x ( n )] X ( k ) X ep ( k ) X op ( k )
证明：
xr (n)
1 [x(n) 2
x (n)]
D FT[xr (n)]
1 [X
(k)
X
(N
k )]
X ep (k )
xi (n)
1 [x(n) 2
极点Z
e
j
2 N
k
与一零点相消。这样只有(N-1)个零
点,抽样点
j 2 k
eN
称作本抽样点。因此说，内插
函数仅在本抽样点处不为零,其他(N-1)个抽样点均为零。
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2. 用频域采样 X (k ) 表示X (e j ) 的内插公式
N 1
X (ej)X (z)z ej X (k)k(ej)
所以：时域抽样造成频域周期延拓
同样，频域抽样造成时域周期延拓
讨论：
x(n)为无限长序列—混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M
1 ） N M ， 不 失 真
2 ） N M ， 混 叠 失 真
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频率采样定理
若序列长度为M，则只有当频域采样点数:
NM
时，才有
x N ( n ) R N ( n ) I D F S [ X ( k ) ] R N ( n ) x ( n )
xep
(n)
1 2
[x(n)
x*
(N
n)]
xop
(n)
1[x(n) 2
x*
((N
n)]
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6
共轭对称与共轭反对称序列示意图
xep(N 2n)xep(N 2n), xop(N 2n)xop(N 2n),
0nN1 2
0nN1 2
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3.有限长序列x(n)的对称分量分解 及其DFT表示
若有:
0≤k≤L-1 0≤k≤L-1
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由此可见， 循环卷积既可在时域 直接计算，在频域计算。 由于DFT有快 速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算 的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算 循环卷积。
图 3.4.1 用DFT计算循环卷积
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2.循环卷积与线性卷积
在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者 对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 为了提高运算速度，也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 为 此需导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与 线性卷积相等的条件。
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问题:
能否由频域抽样X(k)恢复序列x(n) 能否由频域抽样X(k)恢复序列x(z)或 X ( e j ) 若能恢复其条件是什么？如何推导内插恢复公式?
回忆时域内插恢复公式!
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一.由频域抽样恢复原序列
任 意 绝 对 可 和 的 非 周 期 序 列 x(n)， 其 z变 换 ：
DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性 质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在
区间(0,N-1)上定义有限长序列的圆周共轭对称 序列和反对称序列；
DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性 质中，将会得出其对称中心为n=N/2。
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2
1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量