11.3.1 公式法课件2 冀教版七年级数学下册
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B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ²符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
典例精析
【例2】把下列各式分解因式.
(1)a3－16a;
解:(1) a3－16a
=a(a－4)(a＋4) .
探究新知
多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
已知
(a＋b)(a－b)= a2－b2
整式乘法
可得
a2－b2= (a＋b)(a－b)
例如：
x2 - 25 = x2 - 52 = ( x+5 )( x-5 ).
因式分解
a2 - b2
( a+b )( a-b )
探究新知
【问题】：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
= 2x·2y
= 4xy.
6.把x3y2 - x5因式分解.
解：x3y2 - x5
=x3( y2 - x2 )
=x3( y + x )( y - x ).
课堂练习
7.把x4-y4因式分解.
解：x4-y4
8.把25x2-4y2因式分解.
解：25x2-4y2
= ( x2 )2 -( y2 )2
=( 5x )2 - ( 2y )2
(3)(3m＋2n)(3m－2n)= 9m2－4n2.
²-b ²，
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x2－25=
(x＋5)(x－5)
(2)9x2－y2=
(3x＋y)(3x－y)
;
;
(3)9m2－4n2= (3m＋2n)(3m－2n) .
反过来，就得到因
式分解的(平方差公
式)：a ²-b
²=(a+b)(a－b)
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
课堂练习
1. 将下列多项式分解因式：
a+5)(a–5)
① a2- 25 = (___________________
(3a+b)(3a-b)
② 9a2-b2= ___________________
a+b)(b-2a)
③ (a+b)2-9a2 =(4________________
2
2
判断能否用平方差公式应过几关？
（1）项数关： 2项
三关：
（2）符号关： 相反
（3）平方关： 每一项的绝对值都可化为某个整式
的平方.
即学即练
问题： 下列各式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
A．m ²+n ²
B．-m ²-n² C．-m ²+n ² D． m ²-tn ²
解：A．m ²+n ²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
= (x2+y2)(x+y)(x-y).
方法归纳：分解因式,必须进行到每一个多项式都、还是多项式，只要
被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差
公式因式分解.
合作探究
因式分解—平方差公式的逆用
观察公式有何特征？
a b (a b)( a b)
= ( x2+ y2 )( x2- y2 )
=( 5x+2y )( 5x-2y ).
= ( x2+ y2 ) ( x + y ) ( x - y ).
=a(a2－16)
(2)2ab3－2ab.
(2)2ab3－2ab
当多项式的各项含有公
因式时，通常先提出这
=2ab(b2－1)
个公因式，然后再进一
=2ab(b＋1)(b－1).
步因式分解.
即学即练
把x3－9x分解因式，结果正确的是( D )
A.x(x2－9)
B.x(x－3)2
C.x(x＋3)2
D.x(x＋3)(x－3)
答案：（1）( 3y+2x )( 3y-2x )；（2）4xy；（3）( x2+4 )( x+2 )( x-2 )；
（4）a( a+b )( a-b ).
课堂练习
6.把( x+y )2 - ( x-y )2因式分解.
解：( x+y )2 - ( x-y )2
= [( x+y )+( x-y )][( x+y ) - ( x-y )]
(1)4x2－9y2;
解：(3m－1) －9
解:4x2－9y2
=(2x) －(3y)
(2)(3m－1)2－9.
2
=(2x＋3y) (2x－3y) .
=(3m－1) －32
=(3m－1＋3)(3m－1－3)
=(3m＋2)(3m－4) .
即学即练
分解因式：x4-y4
解：x4-y4
= (x2+y2)(x2-y2)
11.3.1公式法
学习目标
1
能说出平方差公式的结构特征.
2
能较熟练地应用平方差公式分解因式.
3
经历用乘法公式探索分解因式方法的过程，体会从正反两方
面认识和研究事物的方法.
学习重难点
重点:
掌握用平方差公式分解因式的方法.
难点:
能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
情景导入
观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积.
A.(x＋4y)(x－4y)
B.(x＋2y)(x－2y)
C.(x－4y)2
D.(x－2y)2
2
课堂练习
4.（1）9y2=(
3y )2；
36
（2） x 2
25
6
=(
5
)2；
5.把下列多项式因式分解：
（1）9y2-4x2；
（2）( x+y )2-( y-x )2；
（3）x4-16；
（4）a3-ab2.
方法一：
a2＋b(a－b)=a2－b2＋ab
方法二：
ab＋(a＋b)(a－b)
a2－b2＋ab =ab＋(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)=a2－b2
探究新知
填空:
事实上，把乘法公
2－25
x
(1)(x＋5)(x－5)=
;
2
2
(2)(3x＋y)(3x－y)= 9x －y ;
式(平方差公式)
=(a+b)(a－b)= a
是a,b两数的平方差的形式.
平方差公式：
整式乘法
( a + b )( a - b ) =
a2 -
a 2 - b2
b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
归纳
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就
可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和
与差的积.
典例精析
【例1】把下列各式分解因式.
④ -a4+16 = ___________________
(4+a2)(2+a)(2-a)
课堂练习
2. 因式分解的结果是（x+y﹣z）（x﹣y+z）的多项式是（ A ）
A．x2﹣（y+z）2
B．（x﹣y）2﹣z
C．﹣（x﹣y）2+z2
D．x2﹣（y﹣z）2
3.因式分解x2－4y2的结果是( B )
C．-m ²+n ²符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
典例精析
【例2】把下列各式分解因式.
(1)a3－16a;
解:(1) a3－16a
=a(a－4)(a＋4) .
探究新知
多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
已知
(a＋b)(a－b)= a2－b2
整式乘法
可得
a2－b2= (a＋b)(a－b)
例如：
x2 - 25 = x2 - 52 = ( x+5 )( x-5 ).
因式分解
a2 - b2
( a+b )( a-b )
探究新知
【问题】：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
= 2x·2y
= 4xy.
6.把x3y2 - x5因式分解.
解：x3y2 - x5
=x3( y2 - x2 )
=x3( y + x )( y - x ).
课堂练习
7.把x4-y4因式分解.
解：x4-y4
8.把25x2-4y2因式分解.
解：25x2-4y2
= ( x2 )2 -( y2 )2
=( 5x )2 - ( 2y )2
(3)(3m＋2n)(3m－2n)= 9m2－4n2.
²-b ²，
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x2－25=
(x＋5)(x－5)
(2)9x2－y2=
(3x＋y)(3x－y)
;
;
(3)9m2－4n2= (3m＋2n)(3m－2n) .
反过来，就得到因
式分解的(平方差公
式)：a ²-b
²=(a+b)(a－b)
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
课堂练习
1. 将下列多项式分解因式：
a+5)(a–5)
① a2- 25 = (___________________
(3a+b)(3a-b)
② 9a2-b2= ___________________
a+b)(b-2a)
③ (a+b)2-9a2 =(4________________
2
2
判断能否用平方差公式应过几关？
（1）项数关： 2项
三关：
（2）符号关： 相反
（3）平方关： 每一项的绝对值都可化为某个整式
的平方.
即学即练
问题： 下列各式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
A．m ²+n ²
B．-m ²-n² C．-m ²+n ² D． m ²-tn ²
解：A．m ²+n ²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
= (x2+y2)(x+y)(x-y).
方法归纳：分解因式,必须进行到每一个多项式都、还是多项式，只要
被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差
公式因式分解.
合作探究
因式分解—平方差公式的逆用
观察公式有何特征？
a b (a b)( a b)
= ( x2+ y2 )( x2- y2 )
=( 5x+2y )( 5x-2y ).
= ( x2+ y2 ) ( x + y ) ( x - y ).
=a(a2－16)
(2)2ab3－2ab.
(2)2ab3－2ab
当多项式的各项含有公
因式时，通常先提出这
=2ab(b2－1)
个公因式，然后再进一
=2ab(b＋1)(b－1).
步因式分解.
即学即练
把x3－9x分解因式，结果正确的是( D )
A.x(x2－9)
B.x(x－3)2
C.x(x＋3)2
D.x(x＋3)(x－3)
答案：（1）( 3y+2x )( 3y-2x )；（2）4xy；（3）( x2+4 )( x+2 )( x-2 )；
（4）a( a+b )( a-b ).
课堂练习
6.把( x+y )2 - ( x-y )2因式分解.
解：( x+y )2 - ( x-y )2
= [( x+y )+( x-y )][( x+y ) - ( x-y )]
(1)4x2－9y2;
解：(3m－1) －9
解:4x2－9y2
=(2x) －(3y)
(2)(3m－1)2－9.
2
=(2x＋3y) (2x－3y) .
=(3m－1) －32
=(3m－1＋3)(3m－1－3)
=(3m＋2)(3m－4) .
即学即练
分解因式：x4-y4
解：x4-y4
= (x2+y2)(x2-y2)
11.3.1公式法
学习目标
1
能说出平方差公式的结构特征.
2
能较熟练地应用平方差公式分解因式.
3
经历用乘法公式探索分解因式方法的过程，体会从正反两方
面认识和研究事物的方法.
学习重难点
重点:
掌握用平方差公式分解因式的方法.
难点:
能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
情景导入
观察下图中图形的构成，试着表示出图形的面积.
A.(x＋4y)(x－4y)
B.(x＋2y)(x－2y)
C.(x－4y)2
D.(x－2y)2
2
课堂练习
4.（1）9y2=(
3y )2；
36
（2） x 2
25
6
=(
5
)2；
5.把下列多项式因式分解：
（1）9y2-4x2；
（2）( x+y )2-( y-x )2；
（3）x4-16；
（4）a3-ab2.
方法一：
a2＋b(a－b)=a2－b2＋ab
方法二：
ab＋(a＋b)(a－b)
a2－b2＋ab =ab＋(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)=a2－b2
探究新知
填空:
事实上，把乘法公
2－25
x
(1)(x＋5)(x－5)=
;
2
2
(2)(3x＋y)(3x－y)= 9x －y ;
式(平方差公式)
=(a+b)(a－b)= a
是a,b两数的平方差的形式.
平方差公式：
整式乘法
( a + b )( a - b ) =
a2 -
a 2 - b2
b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
归纳
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就
可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和
与差的积.
典例精析
【例1】把下列各式分解因式.
④ -a4+16 = ___________________
(4+a2)(2+a)(2-a)
课堂练习
2. 因式分解的结果是（x+y﹣z）（x﹣y+z）的多项式是（ A ）
A．x2﹣（y+z）2
B．（x﹣y）2﹣z
C．﹣（x﹣y）2+z2
D．x2﹣（y﹣z）2
3.因式分解x2－4y2的结果是( B )