内蒙古乌海市2019-2020学年高一下期末达标检测数学试题含解析

内蒙古乌海市2019-2020学年高一下期末达标检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差
【答案】A 【解析】 【分析】
可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】
设9位评委评分按从小到大排列为1234
89x x x x x x ≤≤≤≤≤．
则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，
中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891
()9x x x x x x x =
+++++，后来平均数234
81
7
x x x x x '=+++（）
平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222
2
19119S x x x x x x ⎡⎤=
-+-++-⎣
⎦ ()()()
22222381
7s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣
⎦由②易知，C 不正确．
④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】
本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
2．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若sin sin ()sin a A b B c b C =+-，则角A 的值为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】C 【解析】 【分析】
利用正弦定理，求得222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得1
cos 2
A =，即可求解． 【详解】
在ABC ∆，因为sin sin ()sin a A b B c b C =+-，
由正弦定理可化简得2
2
2
2
()a b c c b b c bc +-=+=-，即222b c a bc +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为(0,)A π∈，所以3
A π
=，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin()13
g x x π
ω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，
则不等式()2g x >的解集是 A ．(,)()62
k k k z π
π
ππ-
+∈
B ．(2,2)()62
k k k z π
π
ππ-
+∈
C ．(2,2)()6
k k k z π
ππ+∈ D ．(,)()6
k k k z π
ππ+
∈
【答案】B 【解析】 【详解】
()sin cos f x a x b x =
+)x ϕ=+ ，所以212π
ωπ
=
= 因此2sin 13x π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭152sin()22()32636x k x k k Z ππππππ>⇒+>⇒+<+<
+∈ 22()6
2
k x k k Z π
π
ππ⇒-
+<<
+∈ ，选B.
4
．已知函数y =M ，最小值为m ，则m
M 的值为（ ） A ．
14
B ．
12
C
．
2
D
．
3
【答案】B 【解析】
由10390x x -≥⎧⎨+≥⎩解得31x -≤≤为函数的定义域.
令[](
)()
0,2u u v v ⎧=∈⎪
⎨⎡=∈⎪⎣⎩
，消去x 得
22
2
2
312,1412
u v u v +=+=
，图像为椭圆的一部分，如下图所示.3y u v =+，即直线3v u y =-+，由图可
知，截距y 在点A 处取得最小值，在与椭圆相切的点B 处取得最大值.而()
0,23A ，故最小值为
302323m =⨯+=.联立22
31412v u y u v =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去u 得22
126120u yu y -+-=，其判别式为零，即()
2236412120y y -⋅-=，解得43y =（负根舍去），即43M =，故
231
2
43m M ==.
【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式3y u v =+.然后利用u 和v 的关系，得到,u v 的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用3v u y =-+，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. 5．已知,αβ均为锐角,()5cos 13αβ+=-,π3sin ,35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭则πcos 6α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭=
A ．
33
65
B ．
6365 C ．3365
-
D ．6365
-
【答案】A 【解析】 因为π02β<<
,所以ππ5π336β<+<,又π33πsin sin 3523β⎛⎫+=<= ⎪⎝
⎭,所以ππ5π236β<+<,则
π4cos 35β⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭;因为π02α<<且π02β<<,所以0αβπ<+<,又()5cos 13αβ+=-,所以
()12
sin 13
αβ+=
;则πππcos cos 632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=πsin 3α⎛⎫-- ⎪⎝⎭=()πsin 3αββ⎡⎤⎛
⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦=
()()ππsin cos cos sin 33βαββαβ⎛⎫⎛
⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=354123351351365⎛⎫⎛⎫⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
;故选A.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等. 6．在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则 A ．23x =，13
y = B ．1
3x =，23
y = C ．14x =
，3
4y =
D ．3
4x =
，14
y = 【答案】A 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 OP ，利用平面向量基本定理求出x ，y 的值 【详解】
由题意，∵2BP PA =，
∴22BO OP PO OA +=+，即 32OP OB OA =+， ∴2133OP OA OB =
+，即 21
33
x y ==， 故选A ． 【点睛】
本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．
7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]
x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．数列{}n b 的前500项和为（ ）
A ．900
B ．902
C ．890
D ．892
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式可得n a ，再利用[]n b lgn =，可得12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==，1001011021350002b b b b b ====⋯==．即可得出．
【详解】
解：n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =．n a n ∴=，
[]n b lgn ∴=，则1[1]0b lg ==，2390b b b ==⋯==，101112991b b b b ===⋯==，
1001011021350002b b b b b ====⋯==．
数列{}n b 的前500项和为：909014012892⨯+⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知向量(),1a k =-，()3,4b =-，如果向量2a b +与3a b -平行，则实数k 的值为（ ） A ．
14
B ．
34
C ．14
-
D ．34
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据坐标运算求出2a b +和3a b -，利用平行关系得到方程，解方程求得结果. 【详解】
由题意得：()223,6a b k +=+-，()39,11a b k -=-
()()2//3a b a b +- ()()112369k k ∴+=--，解得：34k = 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示问题，属于基础题.
9．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26
f π
=，5(
)06
f π
=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）
A ．3
4
ω=,58πϕ=-
B ．3
4
ω=
,38πϕ=
C ．94ω=,8
π
ϕ=-
D ．94ω=,8
π
ϕ=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据周期以及最值点和平衡位置点先分析ω的值，然后带入最值点计算ϕ的值. 【详解】
因为()26
f π
=，5(
)06
f π=，所以
521
()664n T n N ππ+-=∈， 则82()3(21)T n N n ππ=
>∈+，所以0n =，即83T π=，故23
4
T πω=
=； 则3
()2sin()4
f x x ϕ=+，代入(,2)6
π可得：2sin()28
π
ϕ+=且ϕπ＜，
所以38
πϕ=. 故选B. 【点睛】
（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度； （2）计算ϕ的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.
10．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B 【解析】
试题分析：设正方形的边长为.则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到，即，
故选B.
考点：几何概型.
【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
11．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至多有一次中靶 B ．只有一次中靶 C ．两次都中靶 D ．两次都不中靶 【答案】D 【解析】 【分析】
根据互斥事件的定义逐个分析即可. 【详解】
“至少有一次中靶”与 “至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A 错误. “至少有一次中靶”与“只有一次中靶” 均包含中靶一次的情况.故B 错误. “至少有一次中靶”与“两次都中靶” 均包含中靶两次的情况.故C 错误.
根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.
12．已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为()3,4，两圆的半径之积为9，x 轴与直线()0y mx m =>都与两圆相切，则实数m =（ ） A ．
15
8
B ．
74
C 23
D ．
35
【答案】A 【解析】 【分析】
根据圆的切线性质可知连心线过原点,故设连心线y tx =,再代入()3,4,根据方程的表达式分析出12,x x 是方程()()()222
34x tx tx -+-=的两根,再根据韦达定理结合两圆的半径之积为9求解即可. 【详解】
因为两切线均过原点,有对称性可知连心线所在的直线经过原点,设该直线为y tx =,设两圆与x 轴的切点分别为12,x x ,则两圆方程为：
()()()()()()
222
111
222
222x x y tx tx x x y tx tx ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,因为圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为()3,4. 所以()()()22211134x tx tx -+-=①,()()()222
22234x tx tx -+-=②. 又两圆半径之积为9,所以2
12129tx tx x x t ⋅==③
联立①②可知12,x x 是方程()()()2
2
2
34x tx tx -+-=的两根,
化简得()2
68250x t x -++=,即1225x x =.
代入③可得2
925
t =
,由题意可知0t >,故35t =.
因为y tx =的倾斜角是连心线所在的直线的倾斜角的两倍.故221t
m t =-,故
158
=m . 故选：A 【点睛】
本题主要考查了圆的方程的综合运用,需要根据题意列出对应的方程,结合韦达定理以及直线的斜率关系求解.属于难题.
二、填空题：本题共4小题 13．关于函数f （x ）=4sin （2x+
）（x ∈R ），有下列命题：
①y=f （x ）的表达式可改写为y=4cos （2x ﹣
）；
②y=f （x ）是以2π为最小正周期的周期函数； ③y=f （x ）的图象关于点对称； ④y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】 【分析】 【详解】
∵f （x ）=4sin （2x+）=4cos （）=4cos （﹣2x+）=4cos （2x ﹣），故①正确；
∵T=，故②不正确； 令x=﹣
代入f （x ）=4sin （2x+
）得到f （﹣
）=4sin （
+
）=0，
故y=f （x ）的图象关于点对称，③正确④不正确；
故答案为①③．
14．用数学归纳法证明“()2
2
1
11...11n n a a a a a a
++-++++=≠-”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是______.
【答案】21a a ++ 【解析】 【分析】
根据左边的式子是从0a 开始，1n a +结束，且指数依次增加1求解即可. 【详解】
因为左边的式子是从0a 开始，1n a +结束，且指数依次增加1 所以1n =，左边的式子为0111a a a +++=21a a ++， 故答案为21a a ++. 【点睛】
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
15．已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为______．
【答案】(1,0)(1,3)-
【解析】 【分析】
根据函数图象以及不等式的等价关系即可． 【详解】
解：不等式()0xf x <等价为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0
()0
x f x <⎧⎨>⎩，
则13x <<，或10x -<<，
故不等式()0xf x <的解集是(1,0)(1,3)-．
故答案为：(1,0)(1,3)-．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键． 16．若0,
x
，则满足2sin 2
x
的x
的取值范围为______________； 【答案】3044πππ⎡⎫⎛⎫
⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭
⎝⎭
，， 【解析】 【分析】
本题首先可确定在区间0,
上2
sin 2
x
所对应的x 的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式2
sin 2
x
的解集． 【详解】 当0,
x
时，令2
sin 2
x
，解得4x π=或34π，
如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知， 当0,
x
时，2
sin 2
x
的解集为304
4
x ，，
【点睛】
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．
（1）求C ；
（2）若13c =，22b =，求ABC ∆的面积．
【答案】（1）
4π；（2）5. 【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；（2）先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．
【详解】
（1）因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，
又sin 0B ≠，从而tan 1C =，
由于0C π<<，所以4C π
．
（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而13c =，22b =，4C
π， 代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）．
故ABC ∆的面积为
112sin 5225222
ab C =⨯⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18．已知圆()()22
:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++= （1）求证：直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；
（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN 为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．
【答案】（1）直线l 过定点()3,2A （2）1m =-.
（3）在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得
PM PN 为常数2.
【解析】
分析：（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标．
（Ⅱ）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ，r=2，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可． （Ⅲ）由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点N ()
4,N t 满足题意， 则设P （x ，y ），
PM PN λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()()22441x y -=--，求出λ，然后求
解比值．
详解：（Ⅰ）依题意得， ()()2320m x y y -+-=
令230x y -=且20y -=，得3,2x y == ∴直线l 过定点()3,2A
（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =
∴ 21134AC k -==--，得1111l AC k k --===-， ∴由2131
m m =+得1m =- （Ⅲ）法一：由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点()4,N t 满足题意，
则设(),P x y ，
PM PN λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()()22441x y -=-- ∴ ()()()()222222241541y y y y t λλλ--+-=--+-
整理得， ()()
2222283280t y t λλ⎡⎤-+++-=⎣⎦ 上式对任意[]1,3y ∈-恒成立， ∴ ()22280t λ-+=且()223280t λ+-=
解得27100t t -+= ,说以2,5t t ==（舍去，与M 重合），24,2λλ==
综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN 为常数2
点睛：过定点的直线系A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）=0表示通过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0与l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点．
19．如图，在正ABC 中，2AB =，BP tBC =()t ∈R .
（1）试用AB ，AC 表示AP ；
（2）若12
t =，3CA EA =，求AP BE ⋅. 【答案】（1）()1AP t AB t AC =-+；（2）-2
【解析】
【分析】
（1）由BP tBC =，可得()AP AB t AC AB -=⋅-，整理可求出答案；
（2）用AB 、AC 分别表示AP 和BE ，进而求出AP BE ⋅即可.
【详解】
（1）因为BP tBC =，则()AP AB t AC AB -=⋅-，所以()1AP t AB t AC =-+.
（2）当12
t =时，1122AP AB AC =+，因为3CA EA =，所以E 为边AC 的三等分点，则13BE AE AB AC AB =-=-， 故
111223AP BE AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22111263AB AC AB AC =-+-⋅111π4422cos 22633
=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=-. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 20．已知向量3a b +垂直于向量75a b -，向量4a b -垂直于向量72a b -.
（1）求向量a 与b 的夹角；
（2）设1a =，且向量c 满足2430c a c -⋅+=，求b c -的最小值；
（3）在（2）的条件下，随机选取一个向量c 37c ≤≤的概率.
【答案】（1）60︒；（231；（3）13
.
【解析】
【分析】
（1）根据向量的垂直，转化出方程组，求解方程组即可；
（2）将向量赋予坐标，求得向量对应点的轨迹方程，将问题转化为圆外一点，到圆上一点的距离的最值问题，即可求解；
（3）根据余弦定理，解得3c =，以及7c =的临界状态时，对应的圆心角的大小，利用几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】 （1）因为()()()()375,?472a b a b a b a b +⊥--⊥- 故可得()()3750a b a b +⋅-=，()()4720a b a b -⋅-=
解得22716150a a b b
+⋅-= ① 2273080a a b b -⋅+= ②
由①-②可得
24623a b b ⋅=，解得22b a b =⋅，
将其代入①可得22b a =，即b a =
将其代入②可得221530,a a cos a b =
解得1,?2
cos a b =，又向量夹角的范围为[]0,π， 故向量a 与b 的夹角为60︒.
（2）不妨设()1,0a =，(),c x y =
由2430c a c -⋅+=
可得2222
430(2)1x y x x y +-+=⇒-+=.
不妨设c 的起始点为坐标原点，终点为C.
因此，点C 落在以(2,0E )为圆心，1为半径的圆上（如图）.
因为b c CB -=，即b c CB -=
由圆的特点可知b c -的最小值为1BE -
，
即：sin 60131OE ⋅︒-=-. （3）当3OC =时，因为2OE =，1EC =，满足勾股定理，
故容易得3OEC π∠=
. 当7OC =时，假设此时C 点落在如图所示的F 点处.如图所示.
因为2,1OE EF ==，由余弦定理容易得
222122
OE EF OF cos OEF OE EF +-∠==-⋅，故23OEF π∠=.
所以，本题化为，在半圆上任取一点C ，点C 落在弧CF 上的概率.
由几何概型的概率计算可知：
37c ≤≤的概率即为圆心角CEF ∠的弧度除以π， 即21333
πππ-=.
【点睛】
本题考查向量垂直时数量积的表示，以及利用解析的手段解决向量问题的能力，还有几何概型的概率计算，涉及圆方程的求解，以及余弦定理.本题属于综合题，值得总结.
21．已知()f x a b =⋅，其中()2cos ,32a x x =-，()cos ,1b x =，x ∈R ．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =
且向量()3,sin m B =与()2,sin n C =共线，求边长b 和c 的值．
【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦;（2）3,2b c ==． 【解析】
试题分析：（1）化简()f x 得()12cos 23f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，代入[]()2,2k k k Z πππ-∈，求得增区间为
()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1f A =-求得3A π=，余弦定理得()2
2222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =与()2,sin n C =共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =，解得3,12
b c ==. 试题解析：
（1）由题意知,()22cos 3sin 21cos 23sin 212cos 23f x x x x x x π⎛
⎫=-=+-=++ ⎪⎝⎭
, cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ-∈上单调递增,∴令2223
k x k ππππ-≤+≤,得236k x k ππππ-≤≤-,()f x ∴的单调递增区间()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣
⎦. （2）()12cos 21,cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,又72,23333A A πππππ<+<∴+=, 即3A π
=.7a =,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =与()2,sin n C =共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得323,,12
b c b c =∴==. 考点：三角函数恒等变形、解三角形．
22．如图，已知四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是正三角形，底面ABCD 为边长2的菱形，60BAD ︒∠=，3PB =.
（1）设平面PAD 平面PBC l =，求证：//l BC ；
（2）求多面体PABD 的体积；
（3）求二面角A PB D --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（23（3）17-. 【解析】
【分析】
（1）由//AD BC ，证得//BC 平面PAD ，再由线面平行的性质，即可得到//l BC ；
（2）取AD 中点O ，连结,,OP OB BD ，推得OP AD ⊥，OB AD ⊥，得到AD ⊥平面POB ，
再由多面体PABD 的体积PABD D OPB A OPB V V V --=+，结合体积公式，即可求解；
（3）由APB DBP △≌△，设PB 的中点为E ，连结,AE DE ，推得,AE PB DE PB ⊥⊥，从而得到AED ∠就是二面角A PB D --的平面角，由此可求得二面角A PB D --的余弦值.
【详解】
证明：（1）因为BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面,//PAD AD BC ，
所以//BC 平面PAD ，
又BC ⊂平面PBC ，平面PAD 平面PBC l =，所以//l BC ；
（2）取AD 中点O ，连结,,OP OB BD ，由PA PD =得OP AD ⊥，
同理OB AD ⊥，又因为OP
OB O =，所以AD ⊥平面POB ， 在OPB △中，3,3OP OB PB ===，所以1
3333224
OPB S =⨯⨯=△， 所以多面体PABD 的体积PABD D OPB A OPB V V V --=+
1133OPB OPB S OD S OA =⋅+⋅△△11()33OPB OPB S OD OA S AD =+=⋅△△13332342
=⨯⨯=； （3）由题意知，底面ABCD 为边长2的菱形，60BAD ︒∠=，
所以BD AB =，又,PA PD PB PB ==，所以APB DBP △≌△，
设PB 的中点为E ，连结,AE DE ，
由侧面PAD 是正三角形知，,PA AD PD BD ==，所以,AE PB DE PB ⊥⊥，
因此AED ∠就是二面角A PB D --的平面角，
在AED 中，7AE DE ==，2AD =， 由余弦定理得2227721cos 777222
AED ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==-⨯⨯，
二面角A PB D --的余弦值为17
-.
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定，多面体的体积的计算，以及二面角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及而面积的平面角的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。