2020届山东省济南市历城第二中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届山东省济南市历城第二中学高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{}()()|{2,|}520A x x B x x x =>-=+-≤,则A B =（ ）
A ．()2,-+∞
B ．[]22-,
C ．(2,2]-
D ．[5,)-+∞
【答案】C
【解析】先由二次不等式的解法求B 52,|} {x x =-≤≤再利用集合交集的运算可得
{ 2 }2|A B x x =-<≤，得解.
【详解】
解:因为{}2,|A x x =>-
()()52{|}0B x x x =+-≤()()520{|}x x x -≤=+52,|} {x x =-≤≤
所以{ 2 }2|A B x x =-<≤,
故选:C. 【点睛】
本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题. 2．设
z i
i z
+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】先由已知条件求得11
122
i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】
解：由题意知()1,z i i -=-, 即11
122
i z i i -=
=--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选D. 【点睛】
本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 3．命题“2
000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为（ ）
A ．2,201920200x R x x ∀∈++<
B ．2,201920200x R x x ∀∈++≤
C ．2,201920200x R x x ∀∈++≥
D ．2,201920200x R x x ∃∈++≥
【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解. 【详解】
解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零， 即命题“2
000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为“2
,201920200x R x x ∀∈++≥”， 故选C. 【点睛】
本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题. 4．设a 为非零实数,复数121
,2z a i z i a
=+=-,则12z z ⋅的最小值为（ ）
A B ．3
C ．
D ．9
【答案】B
【解析】由复数的乘法运算得1213 2z z a i a ⋅=+-⎛⎫
⎪⎝⎭
，再结合复数模的运算得
12||z z =⋅.
【详解】
解：因为1211)(2)3 2z z a i i a i a a ⋅⎛⎫
⎪⎝=
+-=+⎭
-（,所以
12||3z z ⋅=≥，
当且仅当
12a a =，即a =, 故12z z ⋅的最小值为3. 故选B. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算及复数模的运算，属基础题.
5．函数f (x )=x 2+
2
ln||
2x x 的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+
2ln||2()x x --=x 2
+2
ln||2x x
=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 6．若)2(3
3tan π
α=+
则（ ）
A ．3tan 13α=
B ．33
tan 7
α=
C ．233tan 27α=
D ．73
tan 223
α=
【答案】D
【解析】先由()3
3
π
π
αα=+
-
，再由两角差的正切公式求出tan α，再
利用正切的二倍角公式求出2tan α即可得解. 【详解】 解：
)33(tan tan π
παα=+
-7==，
7tan 2323149
α∴==
-， 即选项ABC 错误，选项D 正确， 故选D. 【点睛】
本题考查了两角差的正切公式，重点考查了正切的二倍角公式，属基础题.
7．在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点()
,?1,?2O BO DC DB BD ⋅-==则
DA 在DB 方向上的投影为（
）
A ．2
B
C ．2-
D ．2-
【答案】B
【解析】由平面向量的线性运算得2BD BC cos DBC ⋅∠=，又
,
BC DA ADB DBC =∠=∠，2BD =DA 在DB 方向上的投影为BC cos DBC ⋅∠=.
【详解】
解：因为()
1BO DC DB BO B BO BC c C os DBC ⋅-=⋅=⋅∠=,
所以2BD BC
cos DBC ⋅∠=.又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠
，2BD =
所以DA cos ADB BC cos DBC ⋅∠=⋅∠=
= 故DA 在DB . 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题.
8．已知函数()3
2
2f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“11
4
a ≤”的充分必要性即可. 【详解】
解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()2
3210f x x ax '=--≥,即
23131
222x a x x x
-≤=-
在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =
-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以11
4
a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】
本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题. 9．()2
2
21
,,0,,42x y z x y z z m xy
∀∈+∞++
≥-++,则m 的取值范围为（ ）
A ．(,1]-∞
B ．(,3]-∞
C ．(,2]-∞
D ．(,1]-∞
【答案】B
【解析】先由重要不等式求得2
2
1
4x y xy
++
的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得22z z m -++的最大值为1m +，再求解即可. 【详解】
因为,(0,)x y ∈+∞,
所以2
2
111444x y xy xy xy xy ++
≥=+≥==，
当且仅当22414x y xy xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩
即1
21x y ⎧=⎪
⎨
⎪=⎩时等号成立. 又2
2
2(1)11z z m z m m -++=--++≤+，
则()22
21
,,0,,42x y z x y z z m xy
∀∈+∞++
≥-++等价于14m +≤,解得：3m ≤， 则m 的取值范围为(,3]-∞， 故选为：B. 【点睛】
本题考查了重要不等式及不等式恒成立问题，重点考查了恒成立问题最值法，属中档题. 10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ） A ．(
)()()0.3
1.1
3
0. 20.54f f log f <<
B ．(
)()()0.3
1.1
3
0. 2
40.5f f f log <<
C ．()()()1.1
0.3
3
40.20.5f f f log <<
D ．()(
)()0.3
1.1
3
0.50.24f log f f <<
【答案】A
【解析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为
0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.
【详解】
解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.3
1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,
则0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，
又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以(
)()()0.3
1.1
3
0.20.54f f log f <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关
系，属中档题.
二、多选题
11．将曲线()2
3sin sin 2
y x x x ππ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于直线23
x π
=
对称 B ．()g x 在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
D ．()g x 的图象可由1cos 2
y x =+的图象向右平移23π个单位长度得到
【答案】ABD
【解析】利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得1
sin 262
y x π⎛
⎫=-
+ ⎪⎝
⎭，根据三角函数伸缩变换可知()1
sin 62
x g x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭，
采用代入检验的方式可依次判断,,A B C 的正误；根据三角函数平移变换可判断D 的正误. 【详解】
()
231cos 2sin sin cos 22x
y x x x x x ππ-⎛
⎫=-+
=
+ ⎪⎝⎭
1112cos 2sin 22262x x x π⎛
⎫=
-+=-+ ⎪⎝
⎭. ()1sin 62g x x π⎛
⎫∴=-+ ⎪⎝
⎭，
对于A ，当23x π=
时，62x ππ
-=，()g x ∴关于直线23
x π=对称，A 正确；
对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x π
ππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤
∴∈⎢⎥⎣⎦
，B 正确；
对于C ，当6
x π
=
时，06x π
-
=，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点1,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，C 错
误；
对于D ，1cos 2
y x =+
向右平移23π个单位得：
21cos 32y x π⎛
⎫=-
+= ⎪⎝
⎭cos 62x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
()11sin 262x g x π⎛
⎫+=-+= ⎪⎝⎭，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.
12．已知函数()222,0
,0
x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若1234x x x x <<<,且
()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（ ）
A ．121x x +=-
B ．34
1x x =
C ．412x <<
D ．12340 1x x x x <<
【答案】BCD
【解析】先作出()2
22,0
,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩
的图像，再观察图像可得
1223242, x x log x log x +=--=，再结合1234x x x x <<<，求解即可.
【详解】
画出函数()f x 的大致图象如下图， 得出1223242, x x log x log x +=--=,则341x x =,故A 错误,B 正确;
由图可知412x <<,故C 正确;
因为()112112 1,2x x x x x -<<-=--=()()2
2
1112110,1x x x --=-++∈,所以
()1234120,1x x x x x x =∈,故D 正确.
则结论正确的是BCD ， 故选BCD.
【点睛】
本题考查了函数的零点与函数图像的交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ',且
()()()212x f x f x x x '+-<+对(0,)x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）
A ．()()22315f f ->
B ．若()12,1f x =>,则()2
1122
f x x x >+
+ C ．()()
3217f f -< D ．若()12,01f x =<<,则()2
1122
f x x x >+
+ 【答案】CD
【解析】先构造函数()()2
1
f x x
g x x -=+，再利用导数可得()g x 在(0, )+∞上单调递
减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解. 【详解】
解：设函数()()2
1
f x x
g x x -=+，
则()g x '=()()()()()22211f x x x f x x x '-+--⎡⎤⎣⎦
+()()()()()
22
121x f x f x x x x '+--+=+ 因为()()()2
1 2x f x f x x x '+-<+,所以()'0g x <,
故()g x 在(0, )+∞上单调递减,从而()()()123g g g >>,整理得
()()22 315f f -<，
()()3 217f f -<,故A 错误,C 正确.
当01x <<时,若()12f =,因为()g x 在(0, )+∞上单调递减,所以()()1
12
g x g >=
即()21+12
f x x x ->,即()2
1122f x x x >++.故D 正确,从而B 不正确.
即结论正确的是CD ， 故选CD. 【点睛】
本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的单调性，属中档题.
三、填空题
14．若向量a 与b 互相垂直,且1,2a b ==,则2a b +=__________．
【解析】由向量模的运算2
22a b a b +=+，再将已知条件代入运算即可.
【详解】
解：因为向量a 与b 互相垂直,可得0a b ⋅=，又1,2a b ==，
则2
22221442a b a b a b +=
+=+⋅+⨯=
【点睛】
本题考查了向量模的运算，属基础题. 15．若函数()2
1k
f x x x
=+-
的图象在点()()1,1f 处的切线与直线510x y +-=垂直，则k =__________． 【答案】3
【解析】先求原函数的导函数()22,k
f x x x
'=+
再利用导数的几何意义可得()125,f k '=+=得解.
【详解】
解：因为()2
1k f x x x
=+-
， 所以()22,k f x x x
'=+
由已知有()125,f k '=+= 即3k =，
故答案为3. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.
四、双空题
16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时, () 21f x x =+,则()f x 的解析式
为__________．不等式()1
12x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭
<的解集为__________．
【答案】()21,00,0
21,0x x f x x x x +<⎧⎪
==⎨⎪->⎩
∞(-,1) 【解析】先由函数为奇函数，结合0x <时, () 21f x x =+,求函数解析式即可；再分
0x ≤时，0x >时求解不等式即可得解.
【详解】
解：设0x >，则0x -<，由函数为奇函数，可得()()f x f x =--， 则()[2()1]21f x x x =--+=-， 又(0)0f =，
则()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪
==⎨⎪->⎩
，
当0x ≤时，()1
11,22x f x -⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭
,所以()1
12x f x -⎛⎫
⎪
⎝⎭
<;
当0x >时,设()1
1()2x h x f x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=1
1212x x -⎛⎫
⎪⎝⎭
=--，则函数()h x 为增函数，又
111(1)211()02h -=⨯--=，即()0h x <的解集为()0,1，即()1
12x f x -⎛⎫
⎪⎝⎭
<的解集为
()0,1.
综上()1
12x f x -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
<的解集为∞(-,1).
故答案为∞(-,1). 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了解分段函数对应的不等式，属中档题.
17．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知()2
2
2
abcos A B a b c -=+-
(1) tan Atan B =__________．
(2)若45 ,2A a ==,则c =__________．
【答案】3
5
【解析】(1)由余弦定理可得()222
2 2 2a b c cos A B cos C ab
+--=⨯=，再由两角和、
差的余弦公式展开运算求解即可；
(2)由（1）可得 3tan B =，再由正弦定理可得sin sin a C c A ==
，得解. 【详解】
解：(1)由()2
2
2
abcos A B a b c -=+-,得()222
2 2 2a b c cos A B cos C ab
+--=⨯=,
而() cos C cos A B =-+,所以() 2cosAcosB sinAsin B cosAcosB sinAsinB +=--， 即3 0cos Acos B sin Asin B -=,故 3 sin Asin B
tan Atan B cos Acos B
=
=.
(2)因为45A =,所以1tanA =,则 3tan B =,所以 sin B B =
=
，
从而() 210105sin C sin A B =+=+=⎝⎭
由正弦定理得
sin sin a c A C =,则sin sin 5
a C c A ==，
故答案为(1). 3 (2). . 【点睛】
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.
五、解答题
18．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知, 6
A sin C
B π
==.
(1)若ABC ∆的面积为求b ;
(2)若2247c b -=,求ABC ∆的周长. 【答案】(1) 2b =. (2)
1+【解析】(1)
由已知 sin C B =
，结合正弦定理可得c =，再结合三角形的面积公式1
2
S bcsinA =
，将已知条件代入运算即可； (2)由2247c b -=
，结合余弦定理得
2222 1482372
a b c bccos A =+-=+-⨯=,得解. 【详解】
解:(1)
由 sinC B =,
得c = . 因为ABC
的面积为211
24
S bcsinA bc ====所以2b =.
(2)
因为2247,c b c -==,
可得1,b c ==
由余弦定理得2222 1482372
a b c bccos A =+-=+-⨯=,
所以a =
故ABC
的周长为1+【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题. 19．已知()()()()4,2, ,1,2,3,1,6A B m C D . (1)若//AB CD ,求,cosBD AC ;
(2)若向量,,AB BC CD 中存在互相垂直的两个向量,求m 的值. 【答案】(1)
765
(2) 1m =或4m =-.
【解析】(1)由//AB CD ，利用平面向量的坐标运算可得13
3
m =，再由向量的夹角公
式可得7,65
BD AC cos BD AC BD AC
⋅=
=
，得解；
(2)分别讨论若AB BC ⊥,AB CD ⊥，BC ED ⊥，再求解即可. 【详解】 解:(1)
()()4,1, 1,3AB m CD =--=-，
∴由//AB CD ,得()13341,3
m m -=∴=
10,53BD ⎛⎫∴ -⎪⎭
=⎝，又()72,1,,65BD AC AC cos BD AC BD AC ⋅=-==∴
(2)()()()4,1,2 ,2,1,3AB m BC m CD =--=-=-， 若AB BC ⊥,则()()4220m m ---=,
即2
6 100,0m m -+=∆<,方程无解.
若AB CD ⊥，则430m --=,解得1m =. 若BC ED ⊥，则 260m -+=,解得4m =-. 综上, 1m =或4m =-. 【点睛】
本题考查了向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;
(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放
的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? ( 3.2=) 【答案】(1) 破坏性地震 (2) 32倍
【解析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8
= 4.81.5
lg M -=，即可得解；
(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为
4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.
【详解】
解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，
代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8
= 4.81.5 1.5
lg M --==.
因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，
即16.818.3
1210 , 10E E ==,
所以 1.52
110E E ==
3.2=,得2
1
32E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】
本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.
21．已知函数()1 11sin x cos x sinx cosx
f x sinx cosx sinx cosx
+-+=
++-1+++
(1)化简()f x ,并求()f x 的最小正周期; (2)若()8f a =,求 2cos a ; (3)求()f x 的单调递增区间. 【答案】(1) ()in =2
s f x x
,最小正周期2π. (2)
78
(3) 2,2()()2
k k k Z π
πππ--
∈和()()2,22
k k k Z π
πππ+
+∈.
【解析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得()2
22sin 2sin cos 2222cos 2sin cos
222
x x x f x x x x +=
+2sin x =，得解；
(2)由（1）得14sin α=
，所以2
7 212 8
cos sin a α==-，得解；
(3) 设u sinx =,因为函数2
y u
=
在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2
x k k Z π
π≠-+∈)的单调递减区间,再求
解即可. 【详解】 解:(1)因为
()2
22sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222x x x f x x x x +=
+222cos 2sin cos sin cos 222222sin 2sin 2sin cos cos sin
22222
x x x x x x x x x x x ++=+=+， 所以最小正周期 2T π=. (2)因为()8f a =,所以1
4
sin α=， 所以2
7 212 8cos sin a α==
-； (3)设u sinx =,因为函数2
y u
=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，
所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2
x k k Z π
π≠-+∈)
的单调递减区间,
所以()f x 的单调递增区间为2,2()()2
k k k Z π
πππ--
∈和
()()2,22
k k k Z π
πππ+
+∈.
【点睛】
本题考查了三角恒等变形及三角函数的单调区间的求法，重点考查了三角函数的定义域，属中档题.
22．已知二次函数()2
441f x kx kx k =-++.
(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211
224
x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.
(2)设1k =-,函数()()28,0
48,0f x x t x g x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩
,存在3个零点.
(i)求t 的取值范围;
(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值. 【答案】(1) 不存在.理由见解析； (2) (i) 41t <<-
(ii)
32
【解析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：
()()()2
1212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+
9111
44
k k +==，解得12k =,又
()216 161 160k k k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；
(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;
(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即
B A n m x x -=-=
25=+510≤+=，代入运算可得解.
【详解】
解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211
224
x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，.
所以()2
16 161 160k k k k ∆=-+=->,解得k 0<.
由韦达定理得12121
1,4k x x x x k
++==
所以()()()2
1212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+9111
44
k k +== 解得1
2
k =
,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,
48,0
x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩,
当0x <时,()2
14112
()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()2
4144h x x =--≥-.
(i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-.
(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .
由244x x t --=,得A m x ==
由248x x t -=,得B n x ==
所以 B A n m x x -=-=
因为223251452)(24()t t t -+
+=+-++25
52104
≤+=，
所以当3
2
t =-
时，1 4t t -++取得最大值10. 故n m -的最大值为
310
+.
【点睛】
本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.
23．已知函数()()2 ,x
f x e ax a
g x lnx =--=.
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有
一个零点,求a 的取值范围.
【答案】(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.
(2) )1, [e ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭
【解析】(1)先求函数的导函数()'2x
f x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()
f x 的单调性即可；
(2)分别讨论函数()()()
{}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当
()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.
【详解】
解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2x
f x e a =-.
当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,
当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.
(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}
() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点， ②当1x =时, ()13f e a =-,
若()()(){}(),11,1103e
a h max f g g ≥
===,所以1x =是()h x 的零点; 若()()(){}() ,11,1103
e
a h max f g f <==>,所以1x =不是()h x 的零点.
③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.
()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21
x
e a x ⇔=+在
()0,1上实根的个数.
令函数()(),0,121
x
e
x x x ϕ=∈+,则()()()22121x
x e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递
减,在1
(,1)2
上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=
，2e ϕ⎛⎫⎪⎭
= ⎝，
当a <
或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;
当a =13e
a ≤<时, ()f x 在
()0,1上有唯一零点，
23
e
a ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，
综上可得：当2a <
时，()h x 在(0, )+∞上有无零点,
当2
a =时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,
1a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，
()h x 在(0, )+∞上有1个零点,
则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a 的取值范围为)1, [e ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩+∞⎭
.
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.。