2020年广西壮族自治区玉林市启德中学高二数学文上学期期末试题含解析

2020年广西壮族自治区玉林市启德中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设直线和平面,下列四个命题中，正确的是（）
A.若，则
B. ，则
C. 若，则
D. ，则
参考答案：
D
略
2. 设向量、满足:,,,则与的夹角是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
3. 已知函数为偶函数，则在（—5，—2）上是（）
A．增函数 B．减函数
C．非单调函数 D．可能是增函数，也可能是减函数
参考答案：
C
略
4. 已知，且，则的值为（）
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2
参考答案：B
【分析】
将函数的解析式变形可得，求出其导数，进而可得
，问题得解．
【详解】解：根据题意，，其导数，
因为，所以，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了导数的计算及方程思想，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．5. 函数的图象如下左图所示，则导函数的图象大致是( )
参考答案：
D
6. △ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理求得sinB的值．
【解答】解：△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，
则由正弦定理可得=，
即=，∴sinB=，
故选：A．
7. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A. B.
C. D.
参考答案：
B
8. 袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则
①至少有1个白球和至少有1个黑球；②至少有2个白球和恰有3个黑球；③至少有1个黑球和全是白球；④恰有1个白球和至多有1个黑球.
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（）
A．① B．② C. ③ D．④
参考答案：
D
①至少有1个白球和至少有1个黑球，能同时发生，故不是互斥事件；
②至少有2个白球和恰有3个黑球，既不能同时发生，也不能同时不发生，故二者是对立事件；
③至少有1个黑球和全是白球，既不能同时发生，也不能同时不发生，故二者是对立事件；
④恰有1个白球和至多有1个黑球，不能同时发生，但能同时不发生，故二者是互斥事件不是对立事件.
故选：D
9. 某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动，若选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
参考答案：
D
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
本题利用排除法，由导函数的图象可以看出f（x）的单调区间，然后观察所给的选项，判断正误，问题得以解决．
【详解】解：由导函数的图象可知，当x ＜0时，函数f （x ）单调递减，排除A ，B ；
由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，x 1）单调递增，因此当x ＝0时，f （x ）有极小值，所以D 正确． 故选：D ．
【点睛】选择题经常用到排除法，本题考查了识图的能力，由导函数的图象来推测原函数图象，需要认真观察．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线y 2
=4x 上一点A 到点B （3，2）与焦点的距离之和最小，则点A 的坐标为 ．
参考答案：
（1，2）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线y 2
=4x 可得焦点F （1，0），直线l 的方程：x=﹣1．如图所示，过点A 作AM⊥l，垂足为M ．由定义可得|AM|=|AF|．因此当三点B ，A ，M 共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值．y A ，代入抛物线方程可得x A ．
【解答】解：由抛物线y 2=4x 可得焦点F （1，0），直线l 的方程：x=﹣1． 如图所示，过点A 作AM⊥l，垂足为M ．则|AM|=|AF|．
因此当三点B ，A ，M 共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值3﹣（﹣1）=4． 此时y A =2，代入抛物线方程可得22=4x A ，解得x A =1． ∴点A （1，2）． 故答案为：（1，2）．
12. （
﹣2）（x+1）5展开式中x 2
项的系数为 ．
参考答案：
﹣10
【考点】DB ：二项式系数的性质．
【分析】求出（x+1
）5展开式的x 3与x 2项的系数，由此求出（﹣2）（x+1）5展开式中x 2项的系
数．
【解答】解：（x+1）5展开式的通项公式为T r+1=?x 5﹣r ，
令5﹣r=3，得r=2，∴x 3的系数为； 令5﹣r=2，得r=3，∴x 2
的系数为；
∴（
﹣2）（x+1）5
展开式中x 2
项的系数为： ﹣2×
=10﹣2×10=﹣10．
故答案为：﹣10．
13. 若直线l 1：x+4y ﹣1=0与l 2：kx+y+2=0互相垂直，则k 的值为 ．
参考答案：
﹣4
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．
【解答】解：∵直线l 1：x+4y ﹣1=0与l 2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直， ∴﹣?（﹣k ）=﹣1， 解得k=﹣4 故答案为：﹣4
14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ， BC 中点，则三棱锥B —B 1EF 的体积为 ．
参考答案：
15. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．
参考答案：
14π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，
即，
由S=4πR2=14π．
故答案为：14π
【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，顺利解题的依据是：长方体的体对角线就是外接球的直径，明确几何体的结构特征，是解好立体几何问题的前提．
16. 若椭圆经过点（2，3），且焦点为，则这个椭圆的标准方程
为
.
参考答案：
17. 已知双曲线的一条渐近线方程是 y=x ，则该双曲线的离心率等
于．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是 y=x，
可得=，可得e==．
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且?p是?q的充分条件，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．
【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由?p是?q的充分条件，知q?p，故设f（x）=2x2﹣
9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵q：，
∴q：2＜x＜3，
∵?p是?q的充分条件，
∴q?p，
∵P：2x2﹣9x+a＜0，
设f（x）=2x2﹣9x+a，
∴，
解得a≤9．
19. （本小题满分12分）
已知函数 （1）求函数f (x )的单调区间和极值； （2）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，证明当
时，
；
（3）如果
，且
，证明：
.
参考答案：
（Ⅰ）解：
令
(x)=0,解得x =1
当x 变化时，(x)，f(x)的变化情况如下表
(
)
()
(x) + -
所以f(x)在(
)内是增函数，在(
)内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= .........4分
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F （x ）在（1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1） 若......8分 （2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，
>
,则
=
，所以
>
,从而
>
.因为
，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）上为增函数，所以>,即
>2. .....12分
20. （本小题满分12分）已知函数
（1）求
在区间
上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以为直角顶点
的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由．
参考答案：
（1）∵
当
时，，………1分
令
得或，当变化时，的变化情况如下表：
………3分
又，，
∴
在区间
上的最大值为2………4分
（2）假设曲线
上存在两点
、
满足题设要求，则点只能在
轴的两侧，不妨设
则
，显然
．………5分
∵是以
为直角顶点的直角三角形， ∴
，即．（1）
是否存在两点、
等价于方程（1）是否有解．………6分
若
，则代入（1）式得，
即，
而此方程无实数解，因此．………8分
∴，代入（1）式得，
即．（*）………9分
考察函数，则，
∴在上单调递增，∵，∴，
当时，，∴的取值范围是．………11分
∴对于，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．
因此对任意给定的正实数，曲线上总存在两点、，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．………12分
21. （本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱
底面分别为的中点。

（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小。

参考答案：
解法一（传统法）：
（1）作交于点，则为的中点。

连结，又，故为平行四边形。

，又平面平面。

所以平面。

（2）如图2，不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则。

又平面，所以，而，
所以面。

取中点，连结，则。

连结，则。

故为二面角的平面角。

所以二面角的大小为。

解法二: （I），
又是平面的一个法向量，
，，平面
同理，设平面的一个法向量为，则由题意可知，即
，取，则，。

，由题意可知，二面角的大小为。

略
22. （本题满分16分）
已知，，，其中是自然常数，
（1）讨论时，的单调性、极值;
（2）求证：在（1）的条件下，
（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

参考答案：
解．（1）
当时，，此时为单调递减
当时，，此时为单调递增
的极小值为
（2）的极小值，即在的最小值为1
令
又当时
在上单调递减
当时，
（3）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，由于，则
函数是上的增函数
解得（舍去）
②当时，则当时，
此时是减函数
当时，，此时是增函数
解得略。