2019年浙江省中考数学第六单元直线与圆的位置关系

课时训练(二十七) 直线与圆的位置关系
|夯实基础|
1.[2018·常州] 如图K27-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()
图K27-1
A.76°
B.56°
C.54°
D.52°
2.[2017·滨州] 若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为()
A.B.2C.D.1
3.[2017·日照] 如图K27-2,AB是☉O的直径,P A切☉O于点A,连结PO并延长交☉O于点C,连结AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()
图K27-2
A.5
B.5
C.5
D.
4.[2018·河北] 如图K27-3,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()
图K27-3
A.4.5
B.4
C.3
D.2
5.[2017·杭州] 如图K27-4,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径,若∠ABT=40°,则∠ATB=.
图K27-4
6.[2017·枣庄] 如图K27-5,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则弧FE的长为.
图K27-5
7.[2018·包头] 如图K27-6,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连结BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC=度.
图K27-6
8.[2018·岳阳] 如图K27-7,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连结AC,OC,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)
①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.
图K27-7
9.[2018·葫芦岛] 如图K27-8,AB是☉O的直径,=,E是OB的中点,连结CE并延长到点F,使EF=CE,连结AF 交☉O于点D,连结BD,BF.
(1)求证:直线BF是☉O的切线;
(2)若OB=2,求BD的长.
图K27-8
10.[2018·沈阳] 如图K27-9,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.
图K27-9
|拓展提升|
11.[2018·宁波] 如图K27-10,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为.
图K27-10
12.[2018·南京] 结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答.
题目:如图K27-11,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.
图K27-11
解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.
根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
整理,得x2+7x=12.
所以S△ABC=AC·BC
=(x+3)(x+4)
=(x2+7x+12)
=×(12+12)
=12.
小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮她完成下面的探索.
已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.
可以一般化吗?
(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?
(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.
改变一下条件……
(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
参考答案
1.A[解析] ∵N为切点,∴MN⊥ON,则∠MNO=90°,
已知∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,
∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°,选项A正确.
2.A[解析] 如图,由“正方形的外接圆半径为2”可得OB=2,∠OBC=45°,由切线性质可得∠OCB=90°,所以△OBC为等腰直角三角形,所以OC=OB=.
3.A[解析] 过点O作OD⊥AC于点D,
∵AB是☉O的直径,P A切☉O于点A,
∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°.
∵∠P=30°,
∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°.
∵OA=OC,∴∠OAD=30°.
∵AB=10,∴OA=5,
∴OD=AO=,∴AD=-=,
∴AC=2AD=5,故选A.
4.B[解析] 设△ABC的AB边上的高为h,△MNI的周长为a,MN边上的高为r,则△ABC的内切圆半径为r,∴△ABC的
=,∴△MNI的周长=×(4+3+2)=4,面积=AB·h·=(AB+BC+AC)·r·,∴4h=9r,∴=.∵△MNI∽△ABC,∴的周长
的周长
故选B.
5.50°[解析] ∵AT是☉O的切线,∴∠TAB=90°,又∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°.
6.π[解析] 如图,连结OE,OF,
∵CD是☉O的切线,
∴OE⊥CD,∴∠OED=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,
∴∠A=∠C=60°,∠D=120°.
∵OA=OF,∴∠A=∠OF A=60°,
∴∠DFO=120°,
∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,
∴的长=×6=π.
7.115[解析] 连结OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°,可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.
8.①③④[解析] ∵AB是☉O的直径,且CD⊥AB,
∴=,故①正确;
∵∠A=30°,∴∠COB=60°,
∴扇形OBC的面积=·π·2=π,故②错误;
∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,
∴∠OCD=∠OEC,∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确;
设AP=x,则OP=9-x,
∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+,
∴当x=时,AP·OP的最大值为=20.25,故④正确.故答案为①③④.
9.解:(1)证明:连结OC,
∵AB是☉O的直径,=,
∴∠AOC=∠BOC=90°.
∵E是OB的中点,EF=CE,∴△COE≌△FBE.
∴∠FBE=∠COE=90°.∴直线BF是☉O的切线.
(2)∵△COE≌△FBE,OB=2,∴BF=OC=2.
在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=2.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴△ADB∽△ABF,∴=,
即=,解得BD=.
10.解:(1)如图,连结OA,由切线的性质可得∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOC=50°,∴∠C=40°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,
即3∠C=90°,∴∠C=30°.
∵∠OAC=90°,∴OA=OC.
设☉O的半径为r,∵CE=2,
∴r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.
11.3或4[解析] (1)当☉P与DC相切时,如图①所示,设BP=x,则PC=8-x.
∵DC与圆相切,∴PC=PM.
又∵M是AB中点,∴BM=4.
在Rt△BMP中,根据勾股定理可得BM2+BP2=MP2,
∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BP=3.
(2)如图②所示,当☉P与DA相切时,
过点P作PE⊥AD,交AD于点E.
∵☉P与DA相切于点E,∴EP=MP=8.
在Rt△BMP中,根据勾股定理可得BM2+BP2=MP2,
∴BP=-=4.
综上所述,BP的值为3或4.
12.[解析] (1)根据题目中所给的方法由切线长定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;
(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;
(3)作AG⊥BC,由三角函数得AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m),BG=BC-CG=(x+n)-(x+m),在Rt△ABG 中,根据勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.
解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.
根据切线长定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.
(1)证明:如图,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.
整理,得x2+(m+n)x=mn.
所以S△ABC=AC·BC
=(x+m)(x+n)
=[x2+(m+n)x+mn]
=(mn+mn)
=mn.
(2)证明:由AC·BC=2mn,
得(x+m)(x+n)=2mn,
整理,得x2+(m+n)x=mn,
所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.
根据勾股定理的逆定理,得∠C=90°.
(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为G.
在Rt△ACG中,AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m).
所以BG=BC-CG=(x+n)-(x+m).
在Rt△ABG中,根据勾股定理,得
+-=(m+n)2,
整理,得x2+(m+n)x=3mn,
所以S△ABC=BC·AG
=(x+n)·(x+m)
=[x2+(m+n)x+mn]
=(3mn+mn)
=mn.。