单位冲激函数.

同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t ) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )



f (t ) '(t t0 )dt f ' (t0 )
单位冲激偶 的性质之二
性质4 设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可 将δ(n)(at)表示为
根据广义函数相等的定义， 可得到

(n)
1 1 (n) (at) n (t ) a a 1 1 ' (at) ' (t ) a a
当n=0和1时，分别有
1 (at) (t ) a
性质5 奇偶性
在尺度变换式中，若取 a= -1， 则:
(n) n

(n)
1 1 (n) (at) n (t ) a a



f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 )

例 试化简下列各信号的表达式。
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
思考？
试证明 1 (at ) = (t ) |a|
(n) (n)
例 1.4 – 2 计算下列各式：
解：
(t ) δ( t) (的偶阶导数是 1) (t )t 的偶函数， 表明：单位冲激函数 而其奇阶导数是 显然， 当n为偶数时， 有 t 的奇函数。
(n)
(t ) (t )
(n) (n)
n 0,2,4, n 1,3,5,
当n为奇数时，有
(t ) (t )
2.3 单位冲激函数
生活中的例子 与我们专业有关的例子（电路） 单位冲激函数的定义 单位冲激函数性质 例题
示例：RC串联电路
• 电容电压初始状态为零，当t=0时电路接通
R
Us
iC (t )
1 iC (t ) e R

t RC
(t>0)
iC (t ) {
R0
(t=0) 0 (t 0)
性质3 δ函数的微分和积分



(t ) (t )dt (1) (t ) (t )dt (0)


式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
′(t )
(1)
o (－1 )
t
δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
δ函数的广义函数定义 按广义函数理论，δ函数定义为
(t ) (t )dt (0)


上式说明： δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值 φ(0)。 或者说，广义函数δ(t) 的作用效果是从φ(t) 中筛选出数 值φ(0)。
通常称此性质为δ 函数的筛选性质。
单位阶跃函数与单位冲激函数的关系



(t )dt (t )dt Байду номын сангаас1
0
0

t

(t )dt {
t
1 (t>0) 0 (t<0)
1 (t>0) 0 (t<0)
(t ) (t )dt {
d (t ) (t ) dt
例题1
f (t )
2
1
t1
t2
t
' f 用两种方式求 (t )
单位函数的性质
1. (t )是偶函数 2. (t )具有取样性
若函数f(t)连续，由于 (t )只在t 0存在，故有 f(t) (t ) f (0) (t ) 若f (t )在t t0连续，则有： f(t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
根据广义函数相等的定义， 有
f (t ) ' (t ) f (0) ' (t ) f ' (0) (t )
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分



f (t ) '(t )dt f (0) ' (t )dt f ' (0) (t )dt f ' (0)
实例：
f (t )
1
1f
'
(t )
f ' (t )

2
0

2
t

2
0

2
t
(t ) 1
' (t )
0
t
单位冲激函数定义：
(t ) 0 t 0

0

(t )dt 1
A (t )
A



(t )dt 1
参考《信号与线性系统分析》吴大正主编广义函数部分。