近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课时分层训练(2021年整理)

（浙江专版）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程课时分层训练
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课时分层训练(十) 函数与方程
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f(x）＝ax＋b有一个零点是2,那么函数g（x)＝bx2－ax的零点是
（) 【导学号：51062057】A．0,2 B．0，错误!
C．0，－错误!D．2,－错误!
C[由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.
令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝错误!＝－错误!。

]
2．(2017·台州模拟）已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f（x）＝a x＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1）B．（－1，0)
C．(0，1）D．(1，2)
B[∵a＞1,0＜b＜1，f（x）＝a x＋x－b，
∴f(－1）＝错误!－1－b＜0,f（0)＝1－b＞0，
由零点存在性定理可知f（x）在区间（－1,0）上存在零点．］
3．函数f（x)＝2x＋x3－2在区间(0,2）内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B［由指数函数、幂函数的性质可知,f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内单调递增，且f(0）＝－1＜0，f（2)＝10＞0，所以f(0)·f(2）＜0，即函数f(x）＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一一个零点,故选B。

]
4．若函数f(x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0。

1）为（)
A．1。

25 B．1.375
C．1.406 25 D．1.5
C［根据题意知函数的零点在1。

406 25至1。

437 5之间，
又｜1.437 5－1。

406 25｜＝0。

031 25＜0。

1，
故方程的一个近似根可以是1.406 25.]
5．（2017·浙江五校2月联考)已知f（x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f（2x2＋1)＋f（λ－x）只有一个零点，则实数λ的值是（）
A.错误!B。

错误!
C．－错误!D．－错误!
C[令y＝f（2x2＋1）＋f(λ－x)＝0，则f（2x2＋1)＝－f（λ－x)＝f(x－λ)，因为f （x）是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根,则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－错误!。

故选C。

]
二、填空题
6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．
（－∞，1）［设函数f（x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f（2）＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.］
7．(2016·浙江高考)设函数f（x）＝x3＋3x2＋1,已知a≠0，且f(x)－f(a）＝(x－b）(x －a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
－2 1 ［∵f（x)＝x3＋3x2＋1,则f（a)＝a3＋3a2＋1，
∴f（x)－f（a)＝(x－b）(x－a）2＝（x－b）(x2－2ax＋a2)＝x3－（2a＋b）x2＋（a2＋2ab)x －a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得错误!
∵a≠0，∴由②得a＝－2b,代入①式得b＝1，a＝－2.］
8．若函数f(x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________。

【导学号:51062058】(0,2）［由f(x）＝|2x－2｜－b＝0得|2x－2｜＝b。

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2｜与y＝b的图象,如图所
示,
则当0〈b〈2时,两函数图象有两个交点,从而函数f（x)＝|2x－2|－b有两个零点．]
三、解答题
9．已知函数f（x）＝x3－x2＋错误!＋错误!。

证明：存在x0∈错误!,使f(x0）＝x0。

［证明]令g(x）＝f（x)－x。

4分
∵g（0）＝错误!，g错误!＝f错误!－错误!＝－错误!，
∴g(0）·g错误!＜0。

10分
又函数g(x)在错误!上连续,
∴存在x0∈错误!，使g(x0）＝0,
即f（x0)＝x0。

15分
10．已知二次函数f(x)＝x2＋（2a－1）x＋1－2a，
(1)判断命题:“对于任意的a∈R，方程f（x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
（2）若y＝f(x)在区间（－1,0)及错误!内各有一个零点,求实数a的取值范围．
[解］(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根"是真命题．
依题意，f（x)＝1有实根，即x2＋（2a－1）x－2a＝0有实根。

4分
因为Δ＝（2a－1）2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1）x－2a ＝0必有实根,从而f（x）＝1必有实根.7分
(2）依题意，要使y＝f(x）在区间（－1,0）及错误!内各有一个零点,
只需错误!10分
即错误!解得错误!<a〈错误!。

12分
故实数a的取值范围为错误!.15分
B组能力提升
(建议用时:15分钟）
1．（2017·杭州二中模拟）已知函数f（x)＝错误!(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1）B．（－∞,－1］
C．［－1,0）D．(0,1］
D［因为当x＞0时，f(x）＝2x－1，
由f（x）＝0得x＝错误!。

所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2x－a＝0在（－∞，0]上有唯一实数解．
又当x∈(－∞，0]时,2x∈（0,1］，且y＝2x在(－∞，0]上单调递增，
故所求a的取值范围是(0,1]．］
2．（2017·浙江镇海中学测试卷一)已知函数f(x)＝a x－x＋b的零点x0∈(k，k＋1)(k∈Z)，其中常数a,b满足3a＝2，3b＝错误!,则k＝________。

【导学号：51062059】1［依题意有a＝log32∈（0，1），b＝log3错误!＝2－2log32＝2－2a，因为0〈a<1,所以y＝f（x）是R上的减函数，而f（1）＝a－1＋b＝1－a>0，f(2)＝a2－2＋b＝a2－2a＝a（a－2)〈0，故x0∈（1,2），故k＝1。

]
3．若关于x的方程22x＋2x a＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围.
【导学号:51062060】[解]法一（换元法)：设t＝2x(t＞0），则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0,(＊)
原方程有实根，即方程（＊）有正根．
令f(t）＝t2＋at＋a＋1。

4分
①若方程(*）有两个正实根t1,t2，
则错误!解得－1＜a≤2－2错误!；8分
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根（负实根不合题意,舍去）,则f（0)＝a＋1＜0，解得a＜－1；10分
③若方程（＊)有一个正实根和一个零根，则f(0）＝0且－错误!＞0,解得a＝－1。

综上，a的取值范围是(－∞，2－2错误!]。

15分
法二（分离变量法)：由方程，解得a＝－错误!,4分
设t＝2x(t＞0),
则a＝－错误!＝－错误!
＝2－错误!，其中t＋1＞1,10分
由基本不等式，得（t＋1）＋错误!≥2错误!,当且仅当t＝错误!－1时取等号，故a≤2－2错误!.15分。