2020-2021学年河南省许昌市某校高一(上)11月月考数学试卷

2020-2021学年河南省许昌市某校高一（上）11月月考数学试卷一、选择题
1. 已知集合M={x|0≤x≤2}，N={x|x+2>2}，则M∪N=( )
A.{x|x≥0}
B.{x|0≤x≤2}
C.{x|x>0}
D.{x|0<x≤2}
2. 函数f(x)=
√1−x
的定义域为( )
A.[1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(0,1)
D.(0,1]
3. 函数f(x)=lnx+2x−5的零点所在的区间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
4. 若函数f(x+1)=x，且f(a)=8，则a=( )
A.9
B.11
C.10
D.8
5. 下列函数中与函数y=|x|值域相同的是( )
A.y=log3x
B.y=2x
C.y=1
x
D.y=x2−4x+4
6. 已知函数y=f(x)是R上的偶函数，当x>0时，f(x)=x2−ax，且f(−1)=2，则a=( )
A.−1
B.0
C.1
D.2
7. 已知a=e−1
4，b=ln0.9，c=log1
e
1
π
，则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
8. 已知全集为R，集合A={1,2,3,4,5}，B={1,3,5,7}，C={7}，下列维恩图中的阴影部分能表示集合C的是( )
A.
B.C.
D.
9. 已知函数f(x)=a x−m+n(a>0且a≠1，m，n为常数）的图象恒过点(3,2)，则函数g(x)=x m−n的零点为( )
A.(1,0)
B.1
C.(−1,0)
D.−1
10. 若函数f(x+1)的定义域为[−1,1]，则函数f(5x−1)的定义域为( )
A.[0,√3
5] B.[1,√3
5] C.[0,log
5
3] D.[log53,1]
11. 若函数f(x)=x2−4x−3在区间[n,m]上的值域为[−7,2]，则m−n的取值范围是( )
A.[1,5]
B.[2,7]
C.[3,6]
D.[4,7]
12. 已知函数f(x)={
x2−2x−3，x≤λ，
ln(x−1)，x>λ恰有两个零点，则λ的取值范围为( )
A.[−1,2)∪[3,+∞)
B.[1,2)∪[3,+∞)
C.[1,2)∪(2,+∞)
D.[1,+∞)
二、填空题
设集合A={a,2a2}，若B={|a|,a+b}，若A∩B={−1}，则b=________.
已知幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，则方程f(x)=0.5x的解的个数为________.
已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，f(4)=3，则满足f(x+1)<3的x的取值范围是________.
已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)
a−b
>1，则不等式f(2x−
1)<2x+1的解集为________.
三、解答题
(1)计算e ln3+8114+lg200−lg2；
(2)若log2(log3x)=log3(log2y)=2，求y−x的值．
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x−2.
(1)求f(f(−2))的值；
(2)求f(x)在R上的解析式．
已知集合A={x|x−4>0}，集合B={x|3−2x≤x≤10−x}，集合C={x|m<x<2m−3}.
(1)求(∁R A)∩B；
(2)若A∪C=A，求m的取值范围．
已知函数f(x)=log2(ax2−4x+3).
(1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求a的取值范围．
−2x.
已知函数f(x)=m
x2
(1)当m=1时，判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义法加以证明．
(2)已知二次函数g(x)满足g(2x)=4g(x)+4x+6，g(1)=−3．若不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围．
已知f(x)=b−3x
是定义在R上的奇函数．
3x−1+t
(1)求f(x)的解析式；
≤a m+1成立，求a的(2)已知0<a<1，若对于任意x∈[1,+∞)，存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+5
2
取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省许昌市某校高一（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
并集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：由x+2>2，解得x>0，
故N={x|x>0}，
由并集的概念可知M∪N={x|x≥0}.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
对数函数的定义域
函数的定义域及其求法
【解析】
由{x>0，
1−x>0，得0<x<1．【解答】
解：由{x>0，
1−x>0，得0<x<1．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(2)=ln2−1<0,f(3)=ln3+1>0，所以函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)
【解答】
解：因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，
f(2)=ln2−1<0，f(3)=ln3+1>0，
所以函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)
故选C. 4.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
无
【解答】
解：令t=x+1，则x=t−1，
则f(t)=t−1，
又f(a)=a−1=8，
所以a=9.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
函数y=|x|与y=x2−4x+4的值域都是[0,+∞）.
【解答】
解：函数y=|x|的值域是[0,+∞)，
y=log3x的值域是R；
y=2x的值域是(0,+∞)；
y=1
x
的值域是(−∞,0)∪(0,+∞)；
y=x2−4x+4的值域是[0,+∞).
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
因为函数y=f(x)是R上的偶函数，所以f(−1)=f(1)=1−a=2，解得a=−1【解答】
解：因为函数y=f(x)是R上的偶函数，
所以f(−1)=f(1)=1−a=2，
解得a=−1.
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较【解析】
无
【解答】
解：∵0<a=e−1
4<e0=1，
b=ln0.9<ln1=0，
c=log1
e 1
π
>log1
e
1
e
=1，
∴b<a<c.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
无
【解答】
解：因为C=(∁R A)∩B.
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数f(x)=a x−m+n（a>0且a≠1，m，n为常数）的图象恒过定点(3,2)，所以m=3，n=1．
故函数g(x)=x m−n=x3−1的零点为1.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】无
【解答】
解：由题意得f(x)的定义域为[0,2]，
所以0≤5x−1≤2，得0≤x≤log53.
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
【解答】
解：因为f(x)=x2−4x−3，
所以f(2)=−7，f(−1)=f(5)=2.
因为f(x)在区间[n,m]上的值域为[−7,2]，
所以当n=−1，m=2或n=2，m=5时，m−n取得最小值3；当n=−1，m=5时，m−n取得最大值6，
故m−n的取值范围是[3,6].
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令x2−2x−3=0，得x=−1或x=3，
令ln(x−1)=0，得x=2，
y=ln(x−1)的定义域为(1,+∞)，
则λ≥1．
结合图象可得1≤λ<2或λ≥3．
故选B．
二、填空题
【答案】
【考点】
集合的包含关系判断及应用
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a2≥0,|a|≥0，
所以a=−1，a+b=−1，
所以b=0.
故答案为：0.
【答案】
1
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
函数的求值
指数函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设幂函数f(x)=xα，
因为f(x)的图象经过点(2,8)，
所以2α=8，
解得α=3，
所以f(x)=x3．
方程f(x)=0.5x的解的个数转化为y=f(x)与y=0.5x图象交点的个数，易得y=f(x)与y=0.5x的图象只有1个交点．
故答案为：1. 【答案】
(−5,3)
【考点】
函数单调性的性质
函数奇偶性的性质
函数的单调性及单调区间
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：因为f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递减．
结合偶函数的对称性可知，若f(x+1)<3，
则−4<x+1<4，解得−5<x<3，
所以满足f(x+1)<3的x的取值范围是(−5,3)．
故答案为：(−5,3)．
【答案】
x<1
【考点】
函数单调性的判断与证明
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨令a>b，
则f(a)−f(b)
a−b
>1等价于f(a)−a>f(b)−b．
构造函数ℎ(x)=f(x)−x，
则ℎ(x)是R上的增函数．
因为f(1)=3，
所以f(2x−1)<2x+1等价于f(2x−1)−(2x−1)<f(1)−1，即2x−1<1，
解得x<1．
故答案为：x<1．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=3+3+lg100=6+2=8．
(2)由题可知log3x=4，log2y=9，
所以x=34=81，y=29=512，
所以y−x=431．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
对数及其运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原式=3+3+lg100=6+2=8．(2)由题可知log3x=4，log2y=9，
所以x=34=81，y=29=512，
所以y−x=431．
【答案】
解：(1)因为f(−2)=−f(2)=0，
所以f(f(−2))=f(0)，
由奇函数的性质得f(0)=0，
故f(f(−2))=0．
(2)当x=0时，由奇函数的性质知f(0)=0．当x<0时，−x>0，
所以f(x)=−f(−x)=−[(−x)−2]=x+2．
综上所述，f(x)={x−2,x>0, 0,x=0,
x+2,x<0．
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为f(−2)=−f(2)=0，
所以f(f(−2))=f(0)，
由奇函数的性质得f(0)=0，
故f(f(−2))=0．
(2)当x=0时，由奇函数的性质知f(0)=0．当x<0时，−x>0，
所以f(x)=−f(−x)=−[(−x)−2]=x+2．
综上所述，f(x)={x−2,x>0, 0,x=0,
x+2,x<0．
【答案】
解：(1)因为A=(4,+∞)，B=[1,5]，所以∁R A=(−∞,4]，
所以(∁R A)∩B=[1,4]. (2)因为A∪C=A，
所以C⊆A．
①若C=⌀，则m≥2m−3，即m≤3．
②若C≠⌀，则{
m>3，
m≥4，
即m≥4．
综上，m的取值范围为(−∞,3]∪[4,+∞)．
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为A=(4,+∞)，B=[1,5]，
所以∁R A=(−∞,4]，
所以(∁R A)∩B=[1,4].
(2)因为A∪C=A，
所以C⊆A．
①若C=⌀，则m≥2m−3，即m≤3．
②若C≠⌀，则{
m>3，
m≥4，
即m≥4．
综上，m的取值范围为(−∞,3]∪[4,+∞)．
【答案】
解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，
∴t=ax2−4x+3>0在x∈R上恒成立．
当a=0时，t=−4x+3>0不恒成立;
当a≠0时，{
a>0,
Δ=16−12a<0，
得a>4
3
．
综上，a的取值范围为(4
3
,+∞)．
(2)∵函数f(x)的值域为R，
∴t=ax2−4x+3能够取到大于0的所有实数．当a=0时，t=−4x+3，满足题意；
当a≠0时，{
a>0,
Δ=16−12a≥0得0<a≤
4
3
．
综上，a的取值范围为[0,4
3
].
【考点】
函数恒成立问题
函数的定义域及其求法
函数的值域及其求法
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)∵ 函数f (x )的定义域为R ，
∴ t =ax 2−4x +3>0在x ∈R 上恒成立． 当a =0时，t =−4x +3>0不恒成立; 当a ≠0时，{a >0,
Δ=16−12a <0，
得a >4
3．
综上，a 的取值范围为(43
,+∞)．
(2)∵ 函数f (x )的值域为R ，
∴ t =ax 2−4x +3能够取到大于0的所有实数． 当a =0时，t =−4x +3，满足题意；
当a ≠0时，{a >0,
Δ=16−12a ≥0
得0<a ≤43．
综上，a 的取值范围为[0,4
3]. 【答案】
解：(1)当m =1时，f (x )=1
x 2−2x ，函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数． 证明如下：设x 1，x 2是区间(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=1x 1
2−2x 1−1
x 2
2+2x 2
=x 22−x 1
2
x 12x 2
2+2x 2−2x 1
=(x 2−x 1)(
x 2+x 1
x 12x 2
2+2).
∵ 0<x 1<x 2，
∴ x 2−x 1>0，x 2+x 1>0，x 12x 22
>0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数. (2)设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)， 则g (2x )=4ax 2+2bx +c ，
4g (x )+4x +6=4ax 2+(4b +4)x +4c +6. 又∵ g (2x )=4g (x )+4x +6， ∴ {4b +4=2b ，4c +6=c,
∴ b =−2，c =−2.
又∵ g (1)=a +b +c =−3， ∴ a =1，
∴ g (x )=x 2−2x −2 ． 又g (x )>f (x )恒成立，
∴ x 2−2>m
x 2，
∴ m <x 4−2x 2(x ≠0)，
又∵ x 4−2x 2=(x 2−1)2−1， ∴ m <−1．
【考点】
函数单调性的判断与证明 函数恒成立问题
二次函数在闭区间上的最值 【解析】
此题暂无解析 【解答】
解：(1)当m =1时，f (x )=1
x 2−2x ，函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数． 证明如下：设x 1，x 2是区间(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，
则f(x 1)−f(x 2) =1x 12−2x 1−1
x 2
2+2x 2 =x 22−x 1
2x 12x 2
2+2x 2−2x 1
=(x 2−x 1)(
x 2+x 1
x 12x 2
2+2).
∵ 0<x 1<x 2，
∴ x 2−x 1>0，x 2+x 1>0，x 12x 22
>0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数. (2)设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)， 则g (2x )=4ax 2+2bx +c ，
4g (x )+4x +6=4ax 2+(4b +4)x +4c +6. 又∵ g (2x )=4g (x )+4x +6， ∴ {4b +4=2b ，4c +6=c,
∴ b =−2，c =−2.
又∵ g (1)=a +b +c =−3， ∴ a =1，
∴ g (x )=x 2−2x −2 ． 又g (x )>f (x )恒成立， ∴ x 2−2>m
x 2，
∴ m <x 4−2x 2(x ≠0)，
又∵ x 4−2x 2=(x 2−1)2−1， ∴ m <−1． 【答案】
解：(1)因为f(x)=
b−3x 3x−1+t
是定义在R 上的奇函数，
所以{f (0)=0，f (−1)=−f (1)，
即{b −1=0，b−3−13
−2
+t
=−b−3
1+t
， 解得{t =1
3，b =1.
则f (x )=
1−3x 3x−1+
13
=3−3x+13x +1
．
(2)令g (x )=f (x )−x 2+2x +52
， 由(1)可知g (x )=−3(3x +1)+6
3x +1
−x 2+2x +5
2 =6
3x +1−(x −1
)2
+1
2．
又函数y =6
3x +1与y =−(x −1)2+1
2均是[1,+∞)上的减函数， 则g (x )是[1,+∞)上的减函数，且g (x )max =g (1)=2． 令ℎ(m )=a m+1（−2≤m ≤1）， 对于任意x ∈[1,+∞)，
存在m ∈[−2,1]，使得f (x )−x 2+2x +5
2≤a m+1成立等价于g (x )max ≤ℎ(x )max 成立， 即2≤ℎ(m )max 成立．
已知0<a <1，则ℎ(m )在[−2,1]上单调递减， ℎ(m )max =ℎ(−2)=a −1=1
a ， 故1
a ≥2， 解得0<a ≤1
2.
故a 的取值范围为(0,1
2
]．
【考点】
函数奇偶性的性质 函数恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)因为f(x)=b−3x
3x−1+t 是定义在R 上的奇函数， 所以{f (0)=0，f (−1)=−f (1)，
即{b −1=0，
b−3−13−2+t =−b−3
1+t ， 解得{t =1
3，
b =1.
则f (x )=
1−3x 3x−1+
13
=3−3x+13x +1
．
(2)令g (x )=f (x )−x 2+2x +5
2，
由(1)可知g (x )=−3(3x +1)+6
3x +1−x 2+2x +5
2
=
63x +1
−(x −1)2+12
．
又函数y =6
3x +1与y =−(x −1)2+1
2均是[1,+∞)上的减函数， 则g (x )是[1,+∞)上的减函数，且g (x )max =g (1)=2． 令ℎ(m )=a m+1（−2≤m ≤1）， 对于任意x ∈[1,+∞)，
存在m ∈[−2,1]，使得f (x )−x 2+2x +5
2≤a m+1成立等价于g (x )max ≤ℎ(x )max 成立，
即2≤ℎ(m )max 成立．
已知0<a <1，则ℎ(m )在[−2,1]上单调递减， ℎ(m )max =ℎ(−2)=a −1=1
a ， 故1
a ≥2， 解得0<a ≤1
2.
故a 的取值范围为(0,1
2]．。