行列式的性质

排列与对换
１ ｎ个不同的元素的所有排列种数为ｎ!
２ 排列具有奇偶性.
３ 一次对换，排列改变奇偶性.
4 ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ阶排列,其 中奇、偶排列各占一半.
一、n阶行列式 1、概念的引入 二阶行列式
D a11 a21 a12 a22
t ( p1 p2 )
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
这一系列格式行列式的值为
D 1
n ( n 1) 2
a1n a2, n 1 an1
例5 用行列式的定义计算
0 0 Dn 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 n
n1 0 0 0 0

解
Dn 1 a1,n 1a2,n 2 an 1,1ann
T t
故
D DT .
性质2 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 2 例 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni
D
r1 r2

3 1
0 1 5 0 9 3 7 1 1
0 3 13 4
1
1 1 x 1 1 1 0 x
1 x1 1
x 1 1 1
例3
1 1 x1
解 D
ri r1
1 1 1 1 x 1 0 x 0 0 x 0 x 0 0 x 0 0 x x x x 0 0 0
1
1
t
a11a22a33a44 x 3
a11a22a34a43 2 x 3
3
t 1234
所以 x 的系数为 1.
二、行列式的性质 a11 a12 a1n 记 a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 T D
a1n a2 n ann
行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 令 D det(aij )
D det aij 的转置行列式为 DT det bij ，且bij a ji， 则


t
按定义 D 1 b j1 1b j2 2 b jnn 1 a1 j1 a2 j2 anjn
( 1)
t p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
简记作 Det (aij ) .or . aij ，数 a ij 称为行列式的元素.
2， 其中 p1 p2 pn 为自然数 1， ，n 的一个排列，t
为这个排列的逆序数。
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的； 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和；
1、排列 把 n 个不同的元素按一定的顺序排成一行
n 2 ，称为这 n 个元素的一个排列.
定义 把 1,2,,n 组成的有序数组称为一个 n 元排 列. 通常用 p1 p2 pn 表示. 2、排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不 同的自然数，规定由小到大的排列为自然排列. 定义 在一个排列 p1 pi p j pn 中，若数 pi p j，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列的 逆序总数称为这个排列的逆序数.记作 t ( p1 p2 pn )
ts
t 仍然为排列 p1 pi p j pn 的逆序数
s 为 1 j i n 的逆序数，易见为奇，
于是 D1 1 a1 p1 a jpi aip j anpn
ts
1
t
1
st
,
故
D1 D.
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0. 性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 ｋ，等于用 乘以此行列式.
2

n
所以 D 12 n i
n
分析 2）易见，只有项 ( 1)t a11a2,2 ann 0
( 1)t a1na2,n1 an1 0 2）易见，只有项
所以 D ( 1)
n ( n 1) 2
12 n ( 1)
n ( n1) 2

t p1 p2 pn
猜
Dn ( 1)
t p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
2、定义 2 由 n 个数组成n阶行列式等于所有取自不同行列的
( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn n个元素的乘积的代数和 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 记作： D an1 an 2 ann
a23 a31a42 a56 a14 a65 a14 a 23 a 31a42 a56 a65 ,
431265的逆序数为 t 1 0 2 2 1 0 6, 所以 a 23 a 31a42 a56 a14 a65 前边应带正号.
例2 计算行列式
1
1）
1 2

2）
i 2, 3,4 0
c4 c i
1 0 x
1 1
i 1,2,3 0
x4
x
a a x a a 0 xa a a xa 0
n 1
例4 Dn
a a
解 D
ri r1 i 2, 3,4
性质3
证明
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
设行列式 D ( 1) a1 p1 aipi a jp j anpn
tБайду номын сангаас
其中 1 i j n 为标准排列
t 为排列 p1 pi p j pn 的逆序数
ri rj
D1 1 a1 p1 a jpi aip j anpn
分析 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2!项．
三阶行列式共有 6 项，即 3!项． （2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个 元素的乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的（二）三个元素的下标排列． 例
a12 a21
列标排列的逆序数为奇 负号
a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为偶 正号
i
例3 计算行列式
a11 0 an 2 0 0 ann
a1n a2,n1 an1 an1,n1 a2 n ann
1）
a21 a n1
a22
2）
分析 1）显然得 D a11a22 ann aii 2）易见，只有项 ( 1) a1na2,n1 an1 0
则行列式等于下列两个行列式之和：
a11 a1i D a 21 a 2 i a n1 a ni a1 n a2n a nn a11 a1i a 21 a i 2 a n1 a1 n a2n
a a nn ni
2）


ann
a12 a1n a22
an1 an1,n1
a11
a11 a1,n1
a1n
3）
a21


4）
a21 a2,n1 a 2n a n1
a nn
a n1
an 2 ann
几种特殊的行列式
这一系列格式行列式的值为
D a11a22 ann
几种特殊的行列式
a11a23 a32 列标排列的逆序数为奇 负号
n 阶 猜行 想列 式
a11 D a21 a n1
a12 a22
a1n a2 n
an 2 ann
n阶行列式是 n!项的代数和; n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 的 n 个元素的乘积;
每项a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1
3 4 5 3 1 2 3 r2 2r1 1 2 D 0 1 2 2 0 1 2 0 r3 3r1 0 2 4 0 1 2
解
3 1
1 2
3 1
例2 D 1 0
2 1 5 5
0 2 7 1
1 0
2 1
1 3 r2 3r1
1 0
2
1
解
2 1 5 5 r3 2r1 0 1 0 2 0 2 7 1 1 0 2 1 0 2 1 0 1 5 3 r3 r2 0 1 5 0 r4 4 r2 0 0 4 r4 2r2 0 0 4 3 0 0 3 1 0 0 0 13 1 1 ( 4) 13 4
(a1i ka1 j ) (ani kanj )
a1 j anj
a1n anj
a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2 j
三、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算 ri kr j 把行列式 化为三角形行列式，从而算得行列式的值． 1 2 3 例1 D 2 3 4
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积；
a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1 t p1 p2 pn ； 4、每项
5、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆.
3、应用 例1 六阶行列式的项 a23 a31a42 a56 a14 a65 的符号为____. 解法一 a23 a31a42 a56 a14 a65 行标234516的逆序数为 t 0 4 0 0 0 0 4, 列标312645的逆序数为 t 1 1 0 1 1 0 4, 所以 a 23 a 31a42 a56 a14 a65 前边应带正号. 解法二
课前复习
D a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 .
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a13 a 22 a 31 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33
1 1 2n 1 n

n1 n 2
2
1
n!.
4、思考题
x 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 1 1 1
已知 f x 3
1
1
求含 x 3的项的系数。
解
含 x 3的项有两项,即
1t a11a22a33a44 1t 1234 a11a22a34a43 对应于
t
n ( n1) 2 n ( n1) 2
所以 D ( 1)
a1na2,n1 an1 ( 1)
a
i , n i 1
例4 计算行列式
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n 1） a n1
a11 a1,n1 a2,n1
a1n a2 n ann
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a22 a12a21
( 1)
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a1 p1 a2 p2
( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k
a n1 a ni a nj a nj
a11 ci kcj an1