青岛市必修一第二单元《函数》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．已知函数()2,1
25,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()
12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R
2．已知函数2
23,()11,x x x a
f x ax x a
⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，对于任意两个不相等的实数1x ，2x R ∈，都有
不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 取值范围是（ ） A ．[)3,+∞
B ．[]0,3
C ．[]3,4
D ．[]
2,4
3．已知函数()3
1,03,0
x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()2
32f x f x ->的解集为（ ）
A ．()(),31,-∞-⋃+∞
B ．()
3,1-
C ．()
(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-
4．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x
⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．115,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．4,215⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ C ．41,152⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．152,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称
为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x x
f x ⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦
的值域为（ ） A ．{}0,1
B ．{}1,1-
C ．{}1,0-
D ．{}1,0,1-
6．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]
4,-+∞
B ．9,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．9,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,4
7．已知函数()(
)1,1
2,1x
mx x f x n x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
94
D ．
14
8．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21
213
x
f f x ⎡
⎤
+=⎢⎥+⎣⎦成立，则()2020f 的值是（ ） A ．2020
2
1- B ．2020
2
1+
C ．2020202021
21+-
D ．202020202121
-+
9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)
y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]
B ．((1,2)
(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃
D ．[1,2)(2,3]⋃
10．已知函数()()2
20f x x mx m =-+>满足：①[]
()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]
()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3
B ．3或
134
C ．3
D ．
134
11．已知函数()2
f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,
上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关
D ．与a 无关，且与b 无关
12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，
()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）
A ．()1,2
B ．[)1,3
C ．()2,4
D ．(]2,4
二、填空题
13．关于函数()f x =的性质描述，正确的是_________.
①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称. 14．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,
0,i i A A i A
ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结
论：
①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A
B ϕ=且
()1A B ⋃=；
②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{
}*
2,A x x n n N
==∈，{}*
42,B x x n n N ==-=，对任意*
i N
∈，都有
()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=
其中正确结论的序号为______.
15．已知函数()2
25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，且对任意的1x 、
[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是________.
16．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式
()
cos f x x
<0的解集为________．
17．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.
18．已知二次函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a 的取值范围是_____．
19．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则
(2)g -=______．
20．已知函数22, 1
()+1, 1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在定义域上不是单调函数，则实数a 的取
值范围是_______．
三、解答题
21．已知二次函数()2
(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的
x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 22．已知函数()22m
f x x x
=
-． （1）当1m =时，判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义法加以证明． （2）已知二次函数()g x 满足()()2446g x g x x =++，()13g =-．若不等式
()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围．
23．已知函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[]
,a b D ⊆，使得
[]{}[]|(),,,=∈=y y f x x a b a b ，则称区间
,a b 为函数()y f x =的一个和谐区间．
（1）直接写出函数3()f x x =的所有和谐区间；
（2）若区间[]0,m 是函数3
()22
=
-f x x 的一个和谐区间，求实数m 的值； （3）若函数2
()2()=-+∈f x x x m m R 存在和谐区间，求实数m 的取值范围．
24．已知二次函数 (
)f x 的值域为[4,)-+∞，且不等式0( )f x <的解集为(1,3)-. （1）求()f x 的解析式；
（2）若对于任意的[2,2]x ∈-，都有
2() f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()2
1ax b
f x x +=
+是()1,1-上的奇函数，且12.25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；
（3）若实数t 满足()()10f t f t ++>，求t 的取值范围． 26．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．
（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =
，分别在12
a <和12a
≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】
当1x ≤时，()2
f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2
a
x =
的二次函数， ①当
12a
<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a
≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图
所示：
即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.
2．C
解析：C 【分析】
根据题意，可得()f x 在R 上为单调递增函数，若x a ≥时为增函数，则3a ≥，若x a <时为增函数，则0a >，比较x=a 处两函数值的大小，即可求得答案， 【详解】
因为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在R 上为单调递增函数， 当x a ≥时，2
()23f x x x =--的图象如图所示：
因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以3a ≥， 当x a <时，()11f x ax =-为增函数，所以0a >， 且在x=a 处222311a a a --≥-，解得4a ≤， 综上34a ≤≤，
【点睛】
解题的关键是熟悉分段函数单调性的求法，根据单调性，先分析分段点两侧单调性，再比较分段点处函数值的大小即可，考查推理分析，化简计算的能力，属中档题.
3．B
解析：B 【分析】
先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =
在R 上单调递增，所以31
3
y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为x
y e =在R 上单调递增，所以x
y e =在[)0,+∞上单调递增，且
031
1003
e =>=⋅，
所以()f x 在R 上单调递增， 又因为(
)()2
32f x f x ->，所以2
32x
x ->，解得()3,1x ∈-，
故选：B. 【点睛】
思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.
4．D
解析：D 【分析】
若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数2
2y x ax =-递减，且
()2,x ∈+∞时1
32y a x
=
-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数1
32y a x
=
-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数2
2y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，11
3324
a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥
-，即15
4a ≤，所以1524
a ≤≤.
【点睛】
解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.
5．C
解析：C 【分析】
先求出函数()21
122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x x
f x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
的值域. 【详解】
()21121111
=122122212x x x x x
f x +-=--=-
+++， ()121,x +∈+∞，
()1
0,112
x
∴
∈+， ()1
1,012
x
∴-
∈-+， 1111,21222x
⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭
， 即函数()21
122
x x
f x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：
函数()21122x x
f x ⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦
的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】
方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
6．B
解析：B 【分析】
结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】
因为函数()()()
2
1f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1
x =对称，
所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以
()()()22223f x x x x x =---，令()2
22111t x x x =-=--≥-，则
()()2
2
39
33124
y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为
9,4∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
. 故选：B 【点睛】
关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：
（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.
7．D
解析：D 【分析】
现根据分段函数单调增，列出不等式组，得出0
11m n m n >⎧⎪
<⎨⎪+≤⎩
，再根据基本不等式即可求解.
【详解】
由题意可知，函数在R 上单调递增，则02112m n m n
>⎧⎪->⎨⎪+≤-⎩
，解得011m n m n >⎧⎪
<⎨⎪+≤⎩，则由基本不等式
可得2
2
11224m n mn +⎛⎫⎛⎫≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当m=n=12时取等号.
故选：D 【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性，和基本不等式，属于中档题，解题是应注意分段函数单调递增：左边增，右边增，分界点处左边小于等于右边.
8．D
解析：D 【分析】
采用换元法可构造方程()21
213
t
f t t =-=+，进而求得()f x 解析式，代入2020x =即可得到结果.
【详解】
由()f x 是R 上的单调函数，可设()221x
f x t +=+，则()1
3
f t =恒成立， 由()221x f x t +
=+得：()221x f x t =-+，()21
213
t f t t ∴=-=+，解得：1t =， ()22112121x x x
f x -∴=-=++，()2020202021
202021
f -∴=+. 故选：D . 【点睛】
本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够采用换元的方式，利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式.
9．C
解析：C 【分析】
由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]
0,4x ∈，
则函数0(2)y x =-满足014
1020
x x x ≤+≤⎧⎪
->⎨⎪-≠⎩
，解得13x <≤且2x ≠，
所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10．D
解析：D 【分析】
依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】
解：因为函数()()2
20f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；
②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()2
20f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，
因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，
2m 时，()f x 在[0，2]递增，
故()()2449max f x f m ==-=，解得：13
4
m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．
11．B
解析：B 【解析】
函数()2
f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2
a
x =-
为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22
a
-
<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （
） 在区间[]
2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当
022
a
≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2
a --，
上递增，在[2]2
a -， 上递减， 且22f f -<（
）（） ， 此时2
322424
a a M m f f a -=---=--（）（），
故M m - 的值与a 有关，与b 无关
③当
202
a
-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2
a -，上递减，在[2]2
a --，上递增， 且22f f <-（）（）
此时2
22424
a a M m f f a -=--=-+（）（），
故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，
是解答的关键．
12．D
解析：D 【分析】
根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，8
3f ，则
()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.
【详解】
根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，
所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，
因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28
020x x x x ⎧-≤⎪
>⎨⎪->⎩
，解得：24x <≤.
故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.
二、填空题
13．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单
解析：①②④ 【分析】
求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】
函数()f x =2
1011
x x ⎧-⎪⎨
+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为
[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．
当[1x ∈-，0)时(][
)(]2
211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒=
==-∞∈⇒， 当(0x ∈，1]时，(][)2
20,,111x x ∈∈⇒
+∞
⇒()[0f x ===，
)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．
③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．
④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()11f x x x
==+-，则()()f x f x -=-，
()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．
故答案为：①②④． 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
14．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；
解析：①③ 【分析】
根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】
∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨
∉⎩
， ∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A
B A B N ∴=∅=，
()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；
对于②， 例如：{}{}{}1232341234A B A
B ===,,,,,,,,,，当2i =时，
()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；
对于③， {
}*
2,A x x n n N ==∈，{}*
42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数
集，A B ∴≠∅，()1i A
B ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；
()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，
()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()
i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确
∴所有正确结论的序号是：①③；
故答案为：①③ 【点睛】
关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.
15．【分析】根据二次函数的单调性求得求得函数在区间上的最大值和最小值由题意可得出可得出关于实数的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】二次函数的图象开口向上对称轴为直线由于函数在上是减函数则则所以函数在 解析：[]2,3
【分析】
根据二次函数()y f x =的单调性求得2a ≥，求得函数()y f x =在区间[]1,1a +上的最大值和最小值，由题意可得出()()max min 4f x f x -≤，可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】
二次函数()2
25f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =，
由于函数()2
25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，则2a ≥，则()1,1a a ∈+，
所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],1a a +上单调递增， 所以，()()2
min 5f x f a a ==-，
又()162f a =-，()2
16f a a +=-，则()()()2
11220f f a a a a a -+=-=-≥，
()()max 162f x f a ∴==-，
对任意的1x 、[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则
()()()()22max min 625214f x f x a a a a -=---=-+≤，
即2230a a --≤，解得13a -≤≤， 又
2a ≥，则23a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]2,3.
故答案为：[]2,3. 【点睛】
本题考查利用不等式恒成立求参数值，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
16．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题 解析：(,1)(1,)22
π
π
-
-⋃ 【解析】
在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式
()
0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2
x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2
π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2
π
--，所以
不等式的解集为(,1)(1,)22
π
π
-
-⋃． 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．
17．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于
解析：－8 【解析】
∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.
点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
18．【分析】根据二次函数的性质列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由于为二次函数所以其对称轴为要使在区间上是单调函数则需其对称轴在区间两侧即或解得或或所以的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查二
解析：()[)1,00,
1,3⎛
⎤
-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
根据二次函数的性质列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】
由于()f x 为二次函数，所以0a ≠，其对称轴为1
x a
=
， 要使()f x 在区间[]1,3上是单调函数，则需其对称轴1
x a
=在区间[]1,3两侧， 即
11a
≤或1
3a ≥，
解得0a <，或1a ≥，或1
03
a <≤
， 所以a 的取值范围是()[)1,00,1,3⎛⎤
-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
故答案为：()[)1,00,1,3
⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本小题主要考查二次函数的单调性，属于中档题.
19．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-
【分析】
分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】
令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，
所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-. 【点睛】
结论点睛：已知()(),0n
f x x a n Z n =+∈≠，
（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.
20．【分析】结合二次函数的图象与性质按照分类再由分段函数的单调性即可得解【详解】因为函数的图象开口朝下对称轴为且所以当时函数在上不单调符合题意；当时函数在上均单调递增若要使在定义域上不是单调函数则解得故 解析：(),1(2,)-∞+∞
【分析】
结合二次函数的图象与性质，按照1a <、1a ≥分类，再由分段函数的单调性即可得解. 【详解】
因为函数2
2y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为x a =，且
22,?1()+1,?1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩
，
所以当1a <时，函数()f x 在(],1-∞上不单调，符合题意； 当1a ≥时，函数()f x 在(],1-∞，()1,+∞上均单调递增， 若要使()f x 在定义域上不是单调函数，
则2121a a -+>+，解得2a >，故2a >符合题意； 综上，实数a 的取值范围是(),1(,)2-∞⋃+∞. 故答案为：(),1(,)2-∞⋃+∞. 【点睛】
解决本题的关键是将分段函数不单调转化为两种情况，分类求解.
三、解答题
21．（1）()2
2f x x x =-+；（2）()12-∞，
；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】
（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；
（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围； （3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】
（1）对于()2
f x ax bx c =++，
由(1)1f =得到：0a b c ++=①；
∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②
又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：
()()2
=2440b a c ∆+--=③
①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中25
9
a =-舍去） 所以()2
2f x x x =-+.
（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()2
2216k x x x -<-+
∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，
∴26()2161=22,21,2
0x x k x x x x -+<-++--∈+∞
记()16
22,2
(10,)g x x x x -+
+=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16
222
g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，
即k 的取值范围为()12-∞，
. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。

由()()2
111f x x =-++≤可得：()f x 的对称轴为1x =，且()max =1f x
故有：661m n <≤，所以16
m n <≤
， ∴()f x 在区间[],m n 上单调递增，则有：
()()
66f m m f n n ⎧=⎪
⎨=⎪⎩，即222626m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩解得=4=0m n -⎧⎨
⎩ 故所求区间为：[]4,0-. 【点睛】
（1）待定系数法是求解析式的最常用的方法之一； （2）恒（能）成立问题用分离参数法转化为求函数的最值；
（3）“是否存在性”问题的解题策略：先假设存在，再经过正确的推导，若得出的结论符合题意即为存在；若得出的结论与题设条件、公理、定理、事实相矛盾，说明假设不成立，即不存在.
22．（1）减函数，证明见解析；（2）1m <-． 【分析】
（1）()2
1
2f x x x
=
-在区间()0+∞，上为减函数，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）设()()2
0g x ax bx c a =++≠，由题意可得关于,,a b c 的方程，解得,,a b c 的值，可得
222m
x x
->
，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围. 【详解】 （1）当1m =时，()2
1
2f x x x =-，函数()f x 是区间()0+∞，
上的减函数， 证明如下：
设1x ，2x 是区间()0+∞，
上的任意两个实数，且12x x <， 则()()12122212
1122f x f x x x x x -=
--+ ()()2
2
212121212222121222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+=+-=-+ ⎪⎝⎭． ∵120x x <<，∴210x x ->，210x x +>，22
120x x >，
∴()()120f x f x ->，()()12f x f x >， ∴函数()f x 是区间()0,∞+上的减函数．
（2）设()()2
0g x ax bx c a =++≠，
则()2
242g x ax bx c =++，
()()244644446g x x ax b x c ++=++++．
又∵()()2446g x g x x =++，
∴442,46,b b c c +=⎧⎨+=⎩
∴2b =-，2c =-，
又∵()13g a b c =++=-，∴1a =，∴()2
22g x x x =--．
∵()()g x f x >，∴2
2
2m x x
->
，∴()42
20m x x x <-≠， 又∵()
2
422211x x x -=--，∴1m <-．
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：
（1）先判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，再用定义证明，在证明的过程中，注意其步骤要求；
（2）先用待定系数法求得函数()g x 的解析式，将恒成立问题转化为最值来处理，求得结果. 23．（1） 1.0，0,1，[]1,1-；（2）4m =或2；（3）904
≤<
m . 【分析】
（1）本题可令3x x =，解得0x =或±1，然后根据函数()3
f x x =的单调性以及“和谐区
间”定义即可得出结果；
（2）本题首先可将函数转化为()3
42,23
34
2,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，然后令322x x -=，解得
4
5
x =
或4，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果； （3）讨论1a b <≤或1a b ≤<或1a b <<，根据二次函数的性质确定函数的单调区间，再由单调性求出函数的值域，根据题干，函数的新定义即可求解. 【详解】
解：（1）函数()3
f x x =是增函数，定义域为R ，
令3x x =，解得0x =或±1，
故函数()3
f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、0,1、[]1,1-.
（2）因为()3
22
f x x =
-，
所以()34
2,
23
34
2,
23
x x
f x
x x
⎧
-≥
⎪⎪
=⎨
⎪-+<
⎪⎩
，
因为[]()
0,0
m m>为函数()32
2
f x x
=-的一个“和谐区间”，
所以可令
3
2
2
x x
-=，解得
4
5
x=或4，
如图所示，绘出函数图像：
结合“和谐区间”的定义易知，当4
x=时满足题意，
因为()02
f=，所以当2
m=时，()min
max
2,()0
f x f x
==，满足题意，
故m的值为4或2.
（3）①当1
a b
<≤时，()
f x在,a b上时单调递减函数，由题意有
()
()
f a b
f b a
=
⎧
⎨
=
⎩
，2
2
2
2
a a m b
b b m a
⎧-+=
⎨
-+=
⎩
得1
a b
+=，因为1
a b
<≤，所以
11
0,1
22
≤<<≤
a b，
且221
-+=-
a a m a,即210
-+-=
a a m，解得
1541
2
+-
=≥
m
a舍去，
或
1541
2
--
=<
m
a，
154
1
+-
=-=
m
b a
由2
1
1(0)
2
=-++≤<
m a a a，
得
5
1
4
m
≤<，所以当
5
1
4
m
≤<时，和谐区间为
154154
22
⎡--
⎢
⎣⎦
m m
．
②1a b ≤<时，()f x 在,a b 上时单调递增函数，
由题意有()()f a a
f b b
=⎧⎨=⎩，所以,a b 是方程22-+=x x m x 的两个不等实根．
因为3a b +=，又1a b ≤<，得2b ≤，因而有3
122
≤<<≤a b ，
故方程2
()30=-+=g x x x m 在31,
2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和3,22⎛⎤
⎥⎝⎦
内各有一个实根，
即33022≤
<
且33222
+<≤， 解得924≤<m ，
故当9
24≤<m
时，和谐区间为3322⎡+⎢⎣⎦
． ③当1a b <<时，min ()(1)11==-=<f x f m a ，得2m < 当
12
a b
+≤时，即2a b +≤，则max ()()==f x f a b ，得22-+=a a m b ， 又1a m =-，得2331=-+>b m m ，得 2m >或1m <， 又由2222+=-+≤a b m m 及2m <，
解得01m ≤<，此时和谐区间为2
1,33⎡⎤--+⎣⎦m m m ． 当
12
+≥a b
时，即2a b +≥，则max ()()==f x f b b ，得22-+=b b m b ，
解得32=
b .
若32
-=b ， 则由2m <
知3122
-+=-+<a b m ,舍去；
若=
b
，12+=-≥a b m ，解得904≤≤m ，
又2m <，所以02m ≤<
，此时和谐区间为31,2⎡+-⎢⎣⎦
m ，
综上，所求范围是904
≤<m . 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.
24．（1）2()23f x x x =--；（2）7m <-. 【分析】
（1）运用待定系数法，设2
()f x ax bx c =++，由题意建立方程组，解之可得函数的解析
式；
（2）由（1）将问题转化为243m x x <--对[2,2]x ∈-恒成立，令
()2
2()4327g x x x x --=--=，运用二次函数的性质求得其最值，再由不等式恒成立的思想可求得m 的取值范围.
【详解】
（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意可知： (1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，即2()23f x x x =--； （2）由（1）得243m x x <--对[2,2]x ∈-恒成立，
令()22()4327g x x x x --=--=，当[2,2]x ∈-， ()[7,9]g x ∈-，
故7m <-.
【点睛】
常用的不等式恒成立的思想：()f x a >对一切x I ∈恒成立，等价于()min f x a >；()f x a <对一切x I ∈恒成立，等价于()max f x a >.
25．（1）()2x f x x x
=
+，()1,1x ∈-；（2）()f x 在()1,1-上递增，证明见解析；（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】
（1）由奇偶性知()00f =，进而结合1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭待定系数求解即可得函数解析式； （2）()f x 在()1,1-上递增，利用函数单调性的定义证明即可；
（3）由奇偶性将问题转化为()()1f t f t ->-，再根据单调性解不等式111111t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩
即
可.
【详解】
解：（1）因为函数()21ax b f x x +=+是()1,1-上的奇函数，12.25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以()0,0012122152514
b f a b f =⎧⎪⎧=⎪⎪+⇒⎨⎨⎛⎫== ⎪⎪⎪⎝⎭⎩+⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，
∴ ()2x f x x x
=+，()1,1x ∈-． （2）()f x 在()1,1-上递增，证明如下：
任取()12,1,1x x ∈-，且12x x >，则
()()()()()()
221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()
2212121212122222121211111x x x x x x x x x x x x x x ---+-==++++， ∵()12,1,1x x ∈-，∴1210x x ->，
又12x x >，∴ 120x x ->，
∴()()120f x f x ->，
∴ ()()12f x f x >，即()f x 在()1,1-上递增．
（3）()()10f t f t -+>可化为()()1f t f t ->-， ∴111021*********
t t t t t t t t ⎧
⎪-<-<<<⎧⎪⎪-<<⇒-<<⇒<<⎨⎨⎪⎪->-⎩⎪>⎩． ∴t 的取值范围1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
（1）本题是函数性质的综合运用，在解题中要熟练掌握函数奇偶性、单调性的的判定及性质，对于单调性的证明要掌握规范的解题步骤．
（2）在解含“f ”号得不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为
()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．
26．（1）4k ≤；（2）k 2≤.
【分析】
（1）解不等式22
k ≤即得解； （2）化为1≤+
k x x 在(0,)x ∈+∞恒成立，令1()g x x x =+，求出函数()g x 的最小值即可.
【详解】
（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则22
k ≤，所以4k ≤； （2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，
所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立， 即1≤+k x x
在(0,)x ∈+∞恒成立
令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立 所以k 2≤.
【点睛】 方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.。