奔驰定理与四心问题【五大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

奔驰定理与四心问题【五大题型】
【题型1 奔驰定理】 (3)
【题型2 重心问题】 (4)
【题型3 垂心问题】 (5)
【题型4 内心问题】 (5)
【题型5 外心问题】 (6)
1、奔驰定理与四心问题
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三
角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.
【知识点1 奔驰定理】
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.【知识点2 四心问题】
1．四心的概念及向量表示
(1)重心的概念及向量表示
①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.
②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心.
③重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为
(2)垂心的概念及向量表示
①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.
②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心.
(3)内心的概念及向量表示
①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.
②内心的向量表示：如图，在△ABC P为△
ABC内心.
(4)外心的概念及向量表示
①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等.
②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O 是△ABC .
(2)O 是△ABC .
(3)O 是△ABC .(4)O 是△ABC 的外心：
.
【题型1 奔驰定理】
【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ =1
3PA ，QR =1
3QB ，RP =1
3RC ，则S △ABC :S △PBC 等于（ ）
A ．14∶3
B ．19∶4
C ．24∶5
D ．29∶6
【变式1-1】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知O 为△ABC 内一点，且满足3OA +4OB +5OC =2AB +3BC +CA ，则S △AOB
S
△ABC
=（ ）
A ．25
B ．1
4
C ．3
4
D ．3
5
【变式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，则S △AOB
S △ABC =（ ）
A ．2
5
B ．1
2
C ．1
6
D ．1
3
【变式1-3】（23-24高三上·河南南阳·期中）奔驰定理：已知O 是ΔABC 内的一点，ΔBOC ，ΔAOC ，ΔAOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ΔABC 内的一点，A ，B ，C 是ΔABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则必有（ ）
A ．sin A ⋅OA +sin
B ⋅OB +sin
C ⋅OC =0B ．cos A ⋅OA +cos B ⋅OB +cos C ⋅OC =0C ．tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0
D ．sin 2A ⋅OA +sin 2B ⋅OB +sin 2C ⋅OC =0【题型2 重心问题】
【例2】（2024·贵州六盘水·三模）已知点O 为△ABC 的重心，AC =λOA +μOB ，则λ+μ=（ ）
A ．―3
B ．―2
C ．1
D ．6
【变式2-1】（2024·陕西西安·一模）已知点P 是△ABC 的重心，则（ ）
A ．AP =1
6AB +1
6AC B ．AP =14AB +1
4AC C ．AP =2
3AC +1
3BC
D ．AP =2
3AB +1
3BC
【变式2-2】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知点G 为△ABC 的重心，D,E 分别是AB,AC 边上一点，D,G,E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF =λAD +μAE ，则4
λ+1
μ的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．92
D ．27
2
【变式2-3】（2024高一下·上海·专题练习）设点O是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）A．若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心；
B．若(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0，则O为△ABC的垂心；
C．若(AB
|AB|
AC
|AC|
)⋅BC=0,BA
|BA|
BC
|BC|
=1
2
，则△ABC为等边三角形；
D．若OA+2OB+3OC=0，则△BOC与△ABC的面积之比为S△BOC:S△ABC=1:6．
【题型3 垂心问题】
【例3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满
足OP=OA+λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式3-1】（23-24高一下·广东东莞·期末）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，点P满足：3OP=1
2
OA+
1
2
OB+2OC，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是
A．2
3B．3
4
C．3
5
D．1
2
【变式3-2】（23-24高一下·山东·期中）设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB的值为（）
A．―B．C．D．―
【变式3-3】（2024高三下·全国·O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB等于（）
A．1:2:3B．1:2:4
C．2:3:4D．2:3:6
【题型4 内心问题】
【例4】（2024·四川南充·三模）已知点P在△ABC所在平面内，若PA⋅(AC
|AC|
AB
|AB|
)=PB⋅(BC
|BC|
BA
|BA|
)=0，则点P是△ABC的（）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【变式4-1】（23-24高一下·四川成都·期末）已知点O是△ABC的内心，AB=4,AC=3，CB=λCA+μCO，则λ+μ=（）
A．4
3B．5
3
C．2D．7
3
【变式4-2】（2023高三·全国·专题练习）在△ABC中，若sin∠BAC⋅PA+sin∠ABC⋅PB+sin∠ACB⋅PC= 0，则点P是△ABC的（）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，|AB|=2，|AC|=3，|BC|=4，O是△ABC的内心，且AO=λAB+μBC，则λ+μ=（）
A．9
10B．7
10
C．8
9
D．7
9
【题型5 外心问题】
【例5】（23-24高一下·天津北辰·期中）O为△ABC所在平面内一点，且满足(OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC，则O是△ABC的（）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【变式5-1】（23-24高三下·新疆·阶段练习）在△ABC中，AC=O是△ABC的外心，M为BC的中点，AB⋅AO=8，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则AN⋅BC=（）
A．3B．6C．7D．9
【变式5-2】（2024高三·江苏·专题练习）已知O为△ABC的外心，若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120∘,且AO=λAB+μAC，则λ+μ=（）
A．2
3B．2C．1D．13
6
【变式5-3】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）在锐角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H为△ABC的垂心，
AH⋅AC=20，O为△ABC的外心，且AH⋅AO=71
98
|AH|⋅|AO|，则BC=（）
A．9B．8C．7D．6
一、单选题
1．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线OP经
过△ABC的（）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
2．（23-24高一下·河南安阳·期末）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3，则S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=（）
A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4D．2:3:6
3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角△ABC内一点，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)，则下列条件中，不能判断出△ABC为等腰三角形的是（）
A．点P是△ABC的垂心B．点P是△ABC的重心
C．点P是△ABC的外心D．点P是△ABC的内心
4．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA 的面积分别记作S c，S a，S b，则有关系式S a⋅OA+S b⋅OB+S c⋅OC=0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）
A．6B．8
3C．12
7
D．5
6．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S A，S B，S C，
且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0.若M 为△ABC 的垂心，3MA +4MB +5MC =0，则cos ∠AMB =（ ）
A ．―
B ．
C
D 7．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知△ABC ，I 是其内心，内角A,B,C 所对的边分别a,b,c ，则（ ）A ．AI =1
3(AB +AC )B ．AI =
cAB a +bAC
a
C ．AI =bAB
a+b+c +cAC
a+b+c
D ．AI =cAB
a+b +bAC
a+c
8．（23-24高一上·安徽黄山·期末）O 为三角形内部一点，a ､b ､c 均为大于1的正实数，且满足aOA +bOB +c OC =CB ，若S ΔOAB ､S ΔOAC ､S ΔOBC 分别表示ΔOAB ､ΔOAC ､ΔOBC 的面积，则S ΔOAB :S ΔOAC :S ΔOBC 为（ ）A ．(c +1):(b ―1):a B ．c:b:a
C ．1
a :1
b―1:1
c+1
D ．c 2:b 2:a 2
二、多选题
9．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．OH =OA +OB +OC B ．S △ABG =S △BCG =S △ACG C ．AH =3OM
D ．AB +AC =4OM +2HM 10．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC ，△AMC ，△AMB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅MA +S B ⋅MB +S C ⋅MC =0．以下命题正确的有（ ）
A．若S A:S B:S C=1:1:1，则M为△AMC的重心
B．若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C．若M为△ABC的外心，则MA+MB⋅AB=MB+MC⋅BC=MA+MC⋅AC=0
D．若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos∠AMB=
11．（23-24高一下·山东枣庄·期中）点O在△ABC所在的平面内，（）
A．若动点P满足OP=OA+λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心
B．若动点P满足OP=OA++λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心C．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC=1:6 D．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则点O为△ABC 的内心（内切圆圆心）
三、填空题
12．（23-24高一·全国·课后作业）已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P
满足条件OP=OA+λ(AB
|AB|
AC
|AC|)(λ∈(0,+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的心.
13．（2024·四川成都·一模）已知G为ΔABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q，若AP=3
5 AB,则ΔABC与ΔAPQ的面积之比为.
14．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(M ercedes-Benz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O是△ABC内一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为S A,S B,S C，则S A⋅OA+S B⋅OB+S C⋅OC=0.若O 是△ABC锐角内的一点，A,B,C是△ABC的三个内角，且O点满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则下列说法正确的是.（填序号）
①O 是△ABC 的外心；②∠BOC +A =π；
③|OA |:|OB |:|OC |=cos A:cos B:cos C ；④tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）根据“奔驰定理”，解决以下问题：
(1)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB :S △BOC :S △AOC =4:3:2，设AO =λAB +μAC ，求实数λ和μ的值；(2)若O 为△ABC 的外心，证明：sin 2AOA +sin 2BOB +sin 2COC =0.
16．（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,H 是△ABC 内的一点，且AH =1
4AB +1
3AC ．
(1)若H 是△ABC 的垂心，证明：7c 2―7b 2=a 2；(2)若H 是△ABC 的外心，求∠BAC ．
17．（23-24高二上·上海闵行·期中）在ΔABC 中，AC =2，BC =6，∠ACB =60°，点O 为ΔABC 所在平面上一点，满足OC =mOA +nOB （m,n ∈R 且m +n ≠1）．
（1）证明：CO =m m+n―1CA +n
m+n―1CB ；
（2）若点O 为ΔABC 的重心，求m 、n 的值；
（3）若点O 为ΔABC 的外心，求m 、n 的值．
18．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂心．
(1)求证：GA+GB+GC=0；
(2)求证：OG=+OB+OC；
(3)求证：OH=OA+OB+OC．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
19．（23-24高一下·山西·阶段练习）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo 相似，因此得名.如图，P是△ABC内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：PA⋅S△PBC+PB⋅S△PAC+PC⋅S△PAB=0.
(1)若P是△ABC的内心，2b=3a=4c，延长AP交BC于点D，求AP
；
PD
(2)若P是锐角△ABC的外心，A=2B，PB=xPA+yPC，求x+y的取值范围.。