高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》单元汇编附解析

【最新】数学《不等式选讲》专题解析
一、14
1．设集合{
}|22,A x x x R =-≤∈，{
}
2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0
D ．∅
【答案】B 【解析】
解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

2．已知点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标
原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A B ．
13
C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，
||OM =a ，b 关系，代入即可．
【详解】
解：点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，可得22911a b +=，
(,)M a b 为平面上一点，||OM =
所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 22
22
13
b e a =-=，
e =
． 故选D ． 【点睛】
考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．
3．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2
B ．1≤m<2
C ．1<m≤2
D ．1<m<2
【解析】 【分析】
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】
若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，1
2
m m <⎧⎨
≥⎩ ，无解，若p 假q
真时，1
2
m m ≥⎧⎨
<⎩，即 12m ≤<，故选B. 【点睛】
本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.
4．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】
∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6． 则二项式（x ﹣
1x ）n =（x ﹣1x
）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣
2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为2
6C =15， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．
5．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )
A ．a ＋＋1)
B ．a ＋＋1
C ．a －1)2
D ．a ＋b ＞＋1)
【解析】 【分析】
2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以1
4
(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】
2a b +.所以ab≤1
4
(a ＋b)2. 所以
1
4
(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.
因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋ 故答案为：A 【点睛】
本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则2221
4a b a b
-+-的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】
a ，
b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21
a b
+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】
∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴
21
a b
+=1． 则22214a b a b
-+- 24
a =+
b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b
=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．
∴（2
4
a +
b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．
∴2
4
a +
b 2≥8， ∴224a a
-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．
故选：B ． 【点睛】
本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3
C ．6
D ．9
【答案】D 【解析】
2221,a b c a b b c c a ++=∴
+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪
+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()
2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，
B ．(]
1∞-， C ．14∞⎛
⎤- ⎥⎝⎦
，
D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
2212,21n n a a S n +==++ ()
*n N ∈，可得2n ≥时，
()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，
212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ
的取值范围． 【详解】
2212,21n n a a S n +==++Q ()
*n N ∈，
2n ∴≥时，()22
112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222
121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．
11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，
1n =时，2
12224a a +==，解得11a =．
∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．
11n a n n ∴=+-=． 12111111
12n n a n a n a n n n n
∴
++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =
++⋯++++，1111
111211
n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()
11111
022*******n n b b n n n n n +-=
+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112
n b b ≥=
,即121111111
122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤
，解得1
4
λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦，．
故选C ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知()2
3f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．()()33f x f a a -≤+
B ．()()5f x f a a -≤+
C ．()()24f x f a a -≤+
D ．()()()
2
31f x f a a -≤+
【答案】C 【解析】 【分析】
先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】
由()2
3f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以
()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得
232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.
10．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001
()112
x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个
C ．20个
D ．21个
【答案】D 【解析】
从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又
001()sin()sin()(1)222
k f x x k ππ
ππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，
12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则
0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。

点睛：解答本题的关键是如何理解“设0x 为函数()sin f x x π=的零点”这一题设信息，通过函数零点的概念建立三角方程，进而得到00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，为求解下面的不等式001112x f x ⎛
⎫
++
< ⎪⎝⎭
提供了附加条件，最后运用分类整合的思想使得问题获解。

11．若关于x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a 2-2a-1在R 上的解集为⌀,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞,-1)∪(3,+∞) B ．(-∞,0)∪(3,+∞)
C ．(-1,3)
D ．[-1,3]
【答案】C 【解析】
表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，再由，解得的取值范围.
【详解】
表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，
由题意的解集为空集， 可得恒成立，
所以有，整理得
，
解得
，
所以的范围是， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关根据不等式的解集为求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意对不等式的转化，对应恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.
12．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9 B ．3 C ．1 D ．27
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知2
2
2
1x y z ++=，可利用柯西不等式
2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．
【详解】
由已知，可知,,x y z ∈R ，2
2
2
1x y z ++=，
利用柯西不等式2
2
2
2
2
2
2
()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2
2
2
2
2
2
2
(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2
(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
13．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【分析】 【详解】
因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；
22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.
14．已知函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B
，则不等式
()2f x ≥的解集为（ ）
A ．[]0,3
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(][),03,-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
首先不等式等价于()2f x ≥或()2f x ≤-，然后再根据函数的单调性解不等式. 【详解】
不等式()()22f x f x ≥⇒≥或()2f x ≤-
Q 函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，
()23f x x ∴≥⇒≥，()20f x x ≤-⇒≤
∴不等式的解集是(][),03,-∞⋃+∞.
故选：D 【点睛】
本题考查根据函数的单调性解不等式，意在考查含绝对值不等的解法，考查基本计算能力，属于基础题型.
15．若,,a b c ∈R ，则下列结论中: (1)2
211a a a a
+
≥+； (2)a b a c b c -≤-+-； (3)若a b >，则
11a b
a b
>++；
(4)若1a b +=，则22
21
a b a b ++
+的最小值为 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】
利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案. 【详解】 对（1），2
22
1111()()20a a a a a a a a +
≥+⇔+-+-≥，∴1
2a a +≥或11a a
+≤-， ∵1
2a a +≥或12a a
+≤-，∴原不等式成立，故（1）正确；
对（2），∵()()a b a c b c a c b c -=---≤-+-，故（2）正确； 对（3），令1
,52a b =-=-，则51,114a b a b =-=++，显然11a b a b
>++不成立，故（3）错误；
对（4），∵1a b +=，∴22222
2(1)23
1111a b b b b a b b b b +-+++=+=
+-+-，当1b >时，2
3
01b b
+<-，
∴2221a b a b ++
+的最小值为4）错误. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.
16．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．2
211x x x x
+
+≥
B C ．1
2x y x y
-+
≥- D ．x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1
f x x x
=+
,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时,
()
()221,x x f x f x >>>即2211x x x x
+>+,当01
x <<,()()22
01,x x f x f x <<即
2211
x x x x
+
+≥正确，即A 正确； 由于312312x x x x x x x x
+-+=
<
=+-+++++,故B 恒成立，
若1x y -=-,不等式1
2x y x y
-+
≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．
17．为使关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1(a ∈R)的解集在R 上为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．(0, 1) B ．(－1, 0)
C ．(1, 2)
D ．(－∞, －1)
【答案】B 【解析】
由绝对值几何意义可知，
最小值为1，则当
，即
时，满足题意
18．曲线3
12ln 3
y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3
2
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于3
12ln 3
y x x =
+，根据导数的几何意义得： ()()222321111
330k f x x x x x x x x x x
'==+
=++≥⋅⋅=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立，
所以3
12ln 3
y x x =
+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
19．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( )
A ．65
B ．6
35 C ．36
35 D ．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可.
【详解】
由柯西不等式,得：
x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221
)
135
++ ≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535
⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为
3635
. 本题选择C 选项.
【点睛】
根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.
20．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ）
A ．平行或垂直
B ．平行
C ．异面
D ．垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
利用反证法证明得解.
【详解】
不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，，
由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面，
设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，
①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；
②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线.
故选C.
【点睛】
本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。