下陆区九中九年级数学下册 第二章 二次函数章末复习教案北师大版

章末复习
【知识与技能】
掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解一些实际问题.
【过程与方法】
通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力.
【情感态度】
经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活
【教学重点】
二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题.
【教学难点】
二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题.
一、知识结构
【教学说明】根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点.
二、释疑解惑，加深理解
1.二次函数解析式的三种表达方法：
（1）顶点式：；
（2）一般式： .
2.填表：
3.二次函数y=ax 2
+bx+c ，当a ＞0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；
4.抛物线y=ax 2
+bx+c ，当a ＞0时图象有最 点，此时函数有最 值；当
a ＜0时图象有最 点，此时函数有最 值；
【教学说明】让学生回忆二次函数有关基础知识.同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神.同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性. 三、运用新知，深化理解
1.（1）2
22
2
21005325y x y x y x y x x x
=-=-=-=-+，，，，其中是二次函数的有 个.
（2）当m= 时，函数2
m+121m
m y x
x -=-+（）
（）是二次函数？
解：3 2
2.已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x + 1上，并且图象经过点（3，-6).求 a 、b 、c.
解;∵二次函数的最大值是2， ∴抛物线的顶点纵坐标为2.
又∵拋物线的顶点在直线y=x+1上， ∴当 y=2 时，x=1， ∴顶点坐标为（1，2)，
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2
+2 又∵图象经过点（3，-6），
∴-6=a(3-1)2
+2 ∴a=-2.
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2
+2,
即：y=-2x 2
+4x
3.（1）抛物线y=2(x-1)2+3是由抛物线y=2x 2
怎样平移得到的？
（2）若抛物线y=-x 2
向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式. 分析：由抛物线平移时，形状和开口方向不变.
（1）抛物线y=2x 2的顶点是（0，0)，抛物线y= 2(x-1)2
+3 的顶点是（1，3)，∴抛物
线y=2(x-1)2+3是由y=2x 2
向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的.
（2）抛物线y=-x 2
的顶点是（0，0)，把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位
后，顶点是（-2，-4)，∴平移后的抛物线解析式为y=-(x+2)2
-4. 4.求拋物线213
22
y x x =-
-+的顶点坐标，写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x 取何值时y 随x 的增大而增大，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
【教学说明】通过精心的选题让学生演练，在教师引导下完成，达到巩固知识的作用.
四、复习训练，巩固提高
1.某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：设提高x个单位价格时，总获利为y 元，则
y=(2700+100x-2500)(400-50x)(0≤x≤8)
整理，得 y=-5000(x-3)2+125000
当x=3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元.
2.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数y=ax+c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是( )
分析：由y=ax2+(a+c)x+c与y=ax+c 常数项均为c，所以两个图象与y轴交点应是一个点（0，c)，∴A、B不对.
3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也
不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元.
（1）求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成
2
2
4
24
b a
c b
y a x
a a
-
=++
（）的形式，写出
顶点坐标；在如图所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元
时日均获利最多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
分析：首先明确获利的含义，即每千克获利=销售单价-购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分.在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答.
解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低了（70-x)元，日均多售出2(70-x)千克，日均销售量为[60+2(70-x)千克，每千克获利（x-30)元.
依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）
（2）由（1）有y=-2x2+260x-6500=-2(x-65)2+1950
∴顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示.
经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元. （3）当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2(70-65)=70kg
那么获总利为1950×7000
70
=195000元，当销售60kg，将这批化工原料全部售完需
7000
60
≈117天，那么获总利为（70-30)×7000 -117×500=221500元，而221500＞195000 时且221500 -195000=26500 元.
∴销售单价最高时获总利最多，且多获利 26500 元.
【教学说明】根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能. 让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦.
五、师生互动，课堂小结
师生共同总结，对于本章的知识，你掌握了多少? 还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题
2.完成练习册中本课时的练习.
让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力.引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学.
2．1～2.3 阶段测试
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列函数属于二次函数的是(C )
A ．y ＝－4x
B ．y ＝13x
C ．y ＝－x 2－x
D ．y ＝－x －1
2．(岳阳中考)抛物线y ＝3(x －2)2
＋5的顶点坐标是(C ) A ．(－2，5) B ．(－2，－5) C ．(2，5) D ．(2，－5)
3．对于二次函数y ＝－x 2
所具有的性质，下列描述正确的是(B ) A ．图象与x 轴无交点 B ．对称轴是直线x ＝0
C ．图象经过点(14，116
)
D ．在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大
4．(哈尔滨中考)将抛物线y ＝－5x 2
＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(A )
A ．y ＝－5(x ＋1)2－1
B ．y ＝－5(x －1)2－1
C ．y ＝－5(x ＋1)2＋3
D ．y ＝－5(x －1)2＋3
5．二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是直线(A )
A ．x ＝－1
B ．x ＝1
C ．x ＝2
D ．x ＝3
6．顶点在点M(－2，1)，且图象经过原点的二次函数表达式是(B )
A ．y ＝(x －2)2＋1
B ．y ＝－14
(x ＋2)2＋1 C ．y ＝(x ＋2)2＋1 D ．y ＝14
(x －2)2＋1
7．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数y ＝ax 2
＋bx 的图象只可能是(D )
8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EG ⊥AF ，FH ⊥CE ，垂足分别为G ，H ，设AG ＝x ，图中阴影部分面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是(C )
A ．y ＝33x 2
B ．y ＝43x 2
C ．y ＝8x 2
D ．y ＝9x 2
,第8题图)
,第10题图)
9．(黄冈中考)当a ≤x ≤a ＋1时，函数y ＝x 2
－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为(D ) A ．－1 B ．2 C ．0或2 D ．－1或2
10．如图，抛物线经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连接DC ，DB ，则△BCD 的面积的最大值是(C )
A ．7
B ．7.5
C ．8
D ．9
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．若关于x 的函数y ＝(2－a)x 2
－x 是二次函数，则a 的取值范围是a ≠2.
12. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2
的图象如图所示，则k 的取值范围为k ＞－1.
,第12题图)
,第13题图)
13．如图，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(3，0)和(0，2)，当x ＝2时，y 的值为2.
14．如果抛物线y ＝2x 2与抛物线y ＝ax 2
关于x 轴对称，那么a 的值是－2.
15．二次函数y ＝mx 2
－2x ＋1，当x ＜13时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范
围是0＜m ≤3.
16．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③a －b ＋c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中判断正确的是①③④.(填序号)
三、解答题(共72分)
17．(6分)求出抛物线y ＝12
x 2
－x ＋3的开口方向、对称轴、顶点坐标．
解：∵y ＝12x 2－x ＋3＝12(x －1)2
＋2.5，∴抛物线开口向上，对称轴x ＝1，顶点坐标
(1，2.5)
18．(6分)将抛物线y ＝x 2
＋2x ＋5沿y 轴向下平移m(m ＞0)个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x 轴上，求m 的值及平移后抛物线的表达式．
解：y ＝x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4，∴将抛物线y ＝x 2
＋2x ＋5沿y 轴向下平移4个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x 轴上，∴m ＝4，∴平移后抛物线表达式为：y ＝(x
＋1)2＝x 2
＋2x ＋1
19．(6分)(湖州中考)已知抛物线y ＝ax 2
＋bx －3(a ≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a ，b 的值．
解：∵抛物线y ＝ax 2
＋bx －3(a ≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，
9a ＋3b －3＝0，解
得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－2，即a 的值是1，b 的值是－2
20．(6分)下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3
…
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象说明：当x 取何值时，y 的值大于0?
解：(1)画图略 (2)由函数图象可知：当x ＜1或x ＞3时，y ＞0
21．(8分)已知二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 n …
(1)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
(2)若A(m 1，y 1)，B(m ＋1，y 2)两点都在该函数的图象上，且m ＞2，试比较y 1与y 2的大小．
解：(1)根据表可知：顶点坐标为(2，1)，即当x ＝2时，y 有最小值，最小值是1 (2)∵函数的图象开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x ＝2，∴当m ＞2时，点A(m 1，y 1)，B(m ＋1，y 2)都在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∵m ＜m ＋1，∴y 1＜y 2
22．(8分)有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面BC 的宽为10米，拱桥的最高点D 到水面BC 的距离DO 为4米，点O 是BC 的中点，如图，以点O 为原点，直线BC 为x ，建立直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果水面BC 上升3米(即OA ＝3)至水面EF ，点E 在点F 的左侧，求水面宽度EF 的长．
解：(1)设抛物线表达式为y ＝ax 2
＋c ，由题意可得图象经过(5，0)，(0，4)，则
⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，25a ＋4＝0，
解得a ＝－425，故抛物线表达式为y ＝－425x 2＋4 (2)由题意可得：令y ＝3，
则有3＝－425x 2＋4，解得x ＝±5
2
，故EF ＝5，答：水面宽度EF 的长为5 m
23．(10分)如图，在直角坐标系中，已知直线y ＝－1
2x ＋4与y 轴交于A 点，与x 轴
交于B 点，C 点坐标为(－2，0)．
(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
(2)如果M 为抛物线的顶点，连接AM ，BM ，求四边形AOBM 的面积．
解：(1)当x ＝0时，y ＝－12x ＋4＝4，则A(0，4)，当y ＝0时，－1
2x ＋4＝0，解得x ＝
8，则B(8，0)，设抛物线表达式为y ＝a(x ＋2)(x －8)，把A(0，4)代入得a ·2·(－8)＝4，解得a ＝－14，∴抛物线表达式为y ＝－14(x ＋2)(x －8)，即y ＝－14x 2＋3
2
x ＋4 (2)∵y ＝
－14(x －3)2
＋254，∴M(3，254)，作MD ⊥x 轴于D ，四边形AOBM 的面积＝S 梯形AODM
＋S △BDM ＝1
2
×
(4＋254)×3＋12×5×25
4
＝31
24．(10分)(杭州中考)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)，其中a ≠0.
(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；
(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；
(3)已知点P(x 0，m)和Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围．
解：(1)y 1＝x 2
－x －2 (2)当y ＝0时(x ＋a)(x －a －1)＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝a ＋1，
y 1的图象与x 轴的交点是(－a ，0)，(a ＋1，0)，当y 2＝ax ＋b 经过(－a ，0)时，－a 2
＋b ＝
0，即b ＝a 2；当y 2＝ax ＋b 经过(a ＋1，0)时，a 2＋a ＋b ＝0，即b ＝－a 2
－a (3)当P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴x ＝1
2对称，由
m ＜n ，得0＜x 0≤12；当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得1
2＜x 0＜
1，综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1
25．(12分)(自贡中考)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．
(1)求直线AD 及抛物线的表达式；
(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R ，使得P ，Q ，D ，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)y ＝x －1；y ＝x 2
＋2x －3
(2)设P 点坐标为(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)，l ＝(m －1)－(m 2
＋2m －3)化简，得l ＝－m 2
－m ＋2配方，得l ＝－(m ＋12)2＋94，当m ＝－12
时，l
最大
＝9
4
(3)由(2)可知，0＜PQ ≤9
4.当PQ 为边时，DR ∥PQ 且DR ＝PQ.∵R 是整点，D(－2，－3)，∴PQ 是正整数，∴PQ ＝1，或PQ ＝2.当PQ ＝1时，DR ＝1，此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或R(－2，－4)；当PQ ＝2时，DR ＝2，此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即R(－2，－1)或R(－2，－5)．当PQ 为对角线时，PD ∥QR 且PD ＝QR.∵P ，D 在直线y ＝x －1上，∴直线RQ 的k 值为1，可设直线RQ
的表达式为y＝x＋k.由(2)知，点Q的坐标为(m，m2＋2m－3)，则m2＋2m－3＝m＋k，解得k＝m2＋m－3，则直线RQ的表达式为y＝x＋m2＋m－3.由题意可知，直线RQ在直线AD下方，∴m2＋m－3＜－1，解得－2＜m＜1.设点R的坐标为(n，n＋m2＋m－3)，则QR2＝2(m－n)2.又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得n＝－2(不合题意，舍去)或n＝2m＋2.∴点R的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)．∵R是整点，－2＜m＜1，∴m＝0或1.∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)；当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)
北京市密云区2020届九年级数学6月模拟（二模）考试试题
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用．．．．．．2B ．．铅．
笔．
. 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题 （本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
选项是符合题意的.
1．港珠澳大桥作为世界首例集桥梁、隧道和人工岛于一体的超级工程，创下了多项“世界之最”．它是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米.其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道.其中，数字6700用科学记数法表示为（ ） A ．67×102 B ．6.7×103
C ．6.7×104
D ．0.67×104
2．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市.下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其中是．轴对称图形，但不是．．中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三、 如图，小林利用圆规在线段CE 上截取线段CD ，使
CD=AB ．若点D 恰好为CE 的中点，则下列结论中错误．．
的是（ ）
A ．CD=DE ；
B ．AB= DE ；
C ．
； D ．CE= 2AB .
四、 如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是
（ ）
A ．（a+b ）2 =a 2+2ab+b 2
B ．（a+b ）2 =a 2+2ab-b 2
C ．（a-b ）2
=a 2
-2ab+b 2
D ．（a-b ）2
=a 2
-2ab-b 2
1
2CE CD D C
B A a b
a b a
b b a
5. 如图，在数轴上，点B 在点A 的右侧. 已知点A 对应的数为-1，点B 对应的数为m .若在AB 之间有一点C ，点C 到原点的距离为2，且AC -BC=2，则m 的值为（ ） A. 4 B ．3 C ．2 D ．1
6.
如果x 2
+2x -2=0，那么代数式 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
7．新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争 分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能.不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”.以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据,统计如下: 抽检数量n /个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 合格数量m /个 19
46
93
185
459
922
1840
4595
9213
口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921
下面四个推断合理的是（ ）
A ．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921；
B ．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时,口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；
C ．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；
D ．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921．
8. 如图，点C 、A 、M 、N 在同一条直线l 上．其中，△ABC 是等腰直角三角形，∠
B=90°，四边形MNPQ 为正方形，且AC =4，MN =2，将等腰Rt △ABC 沿直线l 向右平移．若
起始位置为点A 与点M 重合，终止位置为点C 与点N 重合. 设点A 平移的距离为x ，两个图形重叠部分的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）
m
n
2
44212+-+-⋅-x x x x x x
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．分解因式：2312ax a -= ．
10．若 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．
3. 如图，已知菱形ABCD ，通过测量、计算得菱形ABCD 的面积 约为 cm 2
．（结果保留一位小数）
12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的四个外角，若 ∠A =120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
13. 已知“若a >b ，则ac <bc ”是真命题，请写出一个满足条件的c 的值是 .
14. 如图，小军在A 时测量某树的影长时，日照的光线与地面 的夹角恰好是60°，当他在B 时测量该树的影长时，日照的光 线与地面的夹角是30°，若两次测得的影长之差DE 为4m ，则树的高度为 m ．
（结果精确到0.1，参考数据： ， ）
（3） 已知：点A 、点B 在直线MN 的两侧．
（点A 到直线MN 的距离小于点B 到直线MN 的距离）． 如图，
（1）作点B 关于直线MN 的对称点C ；
（2）以点C 为圆心， 的长为半径作⊙C ，交BC 于点E ；
（3）过点A 作⊙C 的切线，交⊙C 于点F ，交直线MN 于点P ； （4）连接PB 、PC ．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中： ① PE 是⊙C 的切线； ② PC 平分EF ； ③ PB=PC=PF ； ④ ∠APN=2∠BPN ． 所有正确结论的序号是 ．
4x -BC 2
1
3 1.732≈2 1.414≈
16. 某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．
七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 66 95 68 乙 66 80 60 68 70 丙
66
90
80
68
80
据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x 和y ，请用含x 和y 的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和
为 ；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得 分．
三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）
17．计算：1
318536tan 303-︒⎛⎫
-+-- ⎪⎝⎭
．
18. 解不等式组：5323142
x x x -≥⎧⎪
⎨-<⎪⎩ ．
19．在 ABCD 中，DB=DC ，∠C=70°，AE ⊥BD 于点E ，求∠DAE 的度数.
20．已知关于x 的一元二次方程x 2
+2x+m-4=0有两个实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．
项目得分 项目
学生
21. 如图，在△AOC 中，OA=OC ，OD 是AC 边中线. 延长AO 至点B ，作∠COB 的角平分线
OH ，过点C 作CF ⊥OH 于点F.
（1）求证：四边形CDOF 是矩形；
（2）连接DF ，若 ，CF=8，求DF 的长.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=x+b 与反比例函数
在第一象限内的图象交于点A （4，m ）.
（1）求m 、b 的值；
（2）点B 在反比例函数的图象上，且点B 的横坐标为1. 若在直线l 上存在一点P （点P 不与点A 重合），使得AP ≤AB ，结合图象直接写出点P 的横坐标x p 的取值范围.
23．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点
C 的切线交直径AB 的延长线于点E ，连接A
D 、BC ．
（1）求证：∠BCE ＝∠CAD ；
（2）若AB ＝10，AD ＝6，求CE 的长．
5
3
cos =A 4
y x
=
24．“垃圾分类就是新时尚”．树立正确的垃圾分类观念，促进青少年养成良好的文明习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a ．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如下：
甲校学生样本成绩频数分布表(表1） 乙校学生样本成绩扇形统计图
（图1）
b ．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如下表所示：（表2）
其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：
54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91 请根据所给信息，解答下列问题：
（1）表1中c ＝ ；表2中的众数n ＝ ；
（2）乙校学生样本成绩扇形统计图（图1）中，70≤m ＜80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ； （4）若乙校1000名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请估计乙校成绩优秀的学生约为 人．
25. 有这样一个问题：探究函数
的图象与性质． 文文根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究． 下面是文文的探究过程，请补充完整：
成绩m （分） 频数 频率 50≤m ＜60 a 0.10 60≤m ＜70 b c 70≤m ＜80 4 0.20 80≤m ＜90 7 0.35 90≤m ≤100 2 d 合计
20
1.0
学校 平均分 中位数 众数 方差 甲 76.7 77 89
150.2 乙
78.1
80
n
135.3
31
412y x x =-+31
412y x x =-+3
141y x x =
-+
（1）函数 的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值：
则m 的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的 点，画出该函数的图象；
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程
的正数根约为 .（结果精确到0.1）
26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2
+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；
（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标；
（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线C 2：y=ax 2
-2（0a ≠）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．
x …
3- 2- 32-
1- 12- 0
12
1
32
2
3
…
y …
1
2-
5 85
16 92
4716
1
1516-
m 5316-
3- 52
(3)
1412x x -=-
27. 已知：MN 是经过点A 的一条直线，点C 是直线MN 左侧的一个动点，且满足60°<∠
CAN <120°，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，在直线MN 上取一
点B ，使∠DBN=60°．
（1）若点C 位置如图1所示．
① 依据题意补全图1； ② 求证：∠CDB=∠MAC ；
（2）连接BC ，写出一个BC 的值，使得对于任意一点C ，总有AB+BD=3，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（x 1，y 1），点B 的坐标为（x 2，y 2），且
x 1 x 2，y 1=y 2. 给出如下定义：若平面上存在一点P ，使△APB 是以线段AB 为斜边的直角三
角形，则称点P 为点A 、点B 的“直角点”. （1）已知点A 的坐标为（1，0）.
① 若点B 的坐标为（5，0），在点P 1（4，3）、P 2（3，-2）和P 3（2， ）中，是点
A 、点
B 的“直角点”的是 ；
② 点B 在x 轴的正半轴上，且AB = ，当直线y=-x+b 上存在点A 、点B 的“直角点”时，求b 的取值范围；
（2）⊙O 的半径为r ，点D （1，4）为点E （0，2）、点F （m ，n ）的“直角点”，若使得 △DEF 与⊙O 有交点，直接写出半径r 的取值范围.
3y
x
O
-1-2
-3-4-5-654321
643
2
1
-1-2-3-4-6-55
622y
x
O
-1-2
-3-4-5-654321
643
2
1
-1-2-3-4-6-55
6备用图
图1
备用图
北京市密云区2020届初三二模考试
数学试卷参考答案及评分标准 2020.06
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项
B
C
C
A
B
A
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．3a （x +2）（x -2）； 10． ； 11．1.8（±0.1）； 12．300°；
13．-1（答案不唯一，负数即可）； 14．3.5 ； 15．①②④；
16．80x +60y =70-20（或80x +60y =50）； 90．
三、解答题（本题共68分．第17～22题，每题各5分；第23～26题，每题各6分；第
27、28题，每题各7分）
说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分． 17. 原
式
＝ ………………………………4分 323532--+-=
334-= ……………………………
…5分
18．解：由①得：x ≥
1 ………………………………2分
由
②
得
：
x <3 ………………………………4分
不等式组的解集：1≤
x <3 ………………………………5分
19． 解：∵DB=DC ，∠C=70°
∴∠DBC=∠C=70° ………………………………2分
∵ ABCD 中，AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=70° (3)
4
x ≥3
36)35(32⨯
--+-
分
∵AE ⊥BD ∴∠
AED=90° ………………………………4分
∴在△AED 中，∠DAE=20° (5)
分
20.（1）解：a =1，b =2，c =m -4 ∴△
=b 2
-
4ac ……………………………………………………1分 =22
-4（m -4） = 20-4m
∵一元二次方程x 2
+2x+m-4=0有两个实数根，
∴20-4m ≥0 …………………………………………… 2分
m ≤5. …………………………………………… 3分 （
2
）
解
：
当
m=1时，
x 2+2x-3 =
0. …………………………………………… 4分
解
得
x 1=1，x 2=-3. （答案不唯
一） ……………………………………………… 5分
21．(1)证明：∵在△AOC 中，OA=OC ，OD 是AC 边中线
∴OD ⊥AC , OD 平分∠AOC
∴∠ODC =90°，∠COD= ∠AOC (1)
分
∵ OH 平分∠COB ，
∴∠COF= ∠COB ，
∵∠AOC+∠COB=180°，
∴ ∠COD+∠COF=90°，即∠DOF=90° ……………2分
2
1
21
∵CF ⊥OH ∴∠CFO =90°
∴四边形CDOF 是矩形 ……………………………3分
（2）解：∵OA=OC ，
∴∠A=∠ACO ∵CD//OF ∴∠ACO=∠COF ∴
∴
3
5OF OC = ……………………………4分
∴设OF=3x ，OC=5x ，则CF=4x ∵CF=8 ∴x=2 ∴OC=10
∴在矩形CDOF 中，DF=OC=10 (5)
分
22. 解：（1）∵ 经过点A （4，m ） ∴ m=1 ………………………………
1分
∴A （4，1），
∵y=x+b 经过点A （4，1） ∴4+b=1
b=-3 ……………………2分
（2）1≤x p ≤7且x p ≠4 ……………………5分
23．（1）证明：连接
OC ………………………………1分
∵CE 是⊙O 的切线 ∴OC ⊥CE
∴∠OCB +∠BCE=90°
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ACB =90°
3
5
COS COF COSA ∠==4y x
=
∴∠CAB +∠OBC=90°
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CAB=∠BCE (2)
分
∵AC平分∠DAB
∴∠CAD=∠CAB
∴∠CAD=∠BCE (3)
分
（2）解：连接BD …………………………………4分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，AD=6
∴BD=8
∵AC平分∠DAB
∴CD=BC
∴OC⊥BD，DH=BH=4 ………………………………5分
∴OH=3
∵OC⊥CE
∴BD//CE
∴△OHB～△OCE
∴OH BH OC CE
=
∴34 5CE =
∴
20
3
CE=
………………………………
6分
24．解：（1）c=0.25，
n=87；………………………………2分
（2）54°………………………………3分
（3）甲，因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符
合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求；………………………………5分
（4）550人………………………………6分
25．（1）x 取任意实
数 ………………………………1分
（2） ………………………………2分
（3）
……………………………
…4分
（4）0.3或
2.7 ………………………………6分
26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0
k=-1 ………………………………
1分
∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ………………………………2分
（2）解：∵抛物线y=x 2
+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2
+bx+3 ∴ 9+3b +3=0 b=-4
∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2
-4x+3 ………………………
3分
∴y =（x-2）2
-1 ∴顶点D 的坐标为（2，-
1） ………………………………4分
（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点
∴点E 的坐标为（-2，1）
当y=ax 2
-2经过点E （-2，1）时，a =
52
m =-4
3
当y=ax 2
-2经过点A （1，0）时，a =2
∴a 的取值范围是 ≤a <2 (6)
分
27 . (1) ①
………………………………
2分
② 证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°
∴∠C =∠DBN
∵∠DBN +∠ABD=180° ∴∠C+∠ABD=180°
在四边形ACDB 中，∠CDB+∠BAC=180°
∵∠BAC +∠MAC=180°
∴∠CDB=∠MAC (4)
分
(2) BC =3时，对于任意一点C ，总有AB+BD=3 ………………………………5分
证明：连接BC ，在直线MN 上截取AH=BD ，连接CH
∵∠MAC=∠CDB ，AC =CD
∴DCB ACH ∆≅∆ ………………
6分
∴∠ACH=∠DCB ，CH=CB
∵∠DCB +∠ACB=∠ACD=60°
∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60° ∴△HCB 是等边三角形.
∴BC =BH=BA+BD =3. (7)
分
28．(1)① P 2 ，
4
3
P 3 ………………………………2分
② ∵A （1，0）, AB = ∴线段AB 的中点C （21+，0）
∴点A 、B 的“直角点”在以点C 为圆心，2的长为半径的⊙C 上 ∴当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点D ，与两坐标轴相交于点M 、N 时， ∵∠M=45°，CD = ∴CM=2 ………………………………3分
∴OM=OC+CM= +1+2= +3，
∴ON=OM= +3
即b=
+3 ……4分
同理：当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点E 时， CH=2
∴OH=OC- CH= -1
即b= -1
综上所述：
2123b -≤≤+ ……………5分
（2）
229r ≤≤
………………7分
222
2
2
2
222。