2017全国卷1理科数学精彩试题和问题详解

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}
131x A x x B x =<=<，
，则（） A ．{}0=<A B x x B ．A B =R C ．{}1=>A B x x
D ．A B =∅
【答案】A
2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白
色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
A ．14
B ．π8
C ．
12
D ．
π4
【答案】B
3. 设有下面四个命题（）
1p ：若复数z 满足1
z
∈R ，则z ∈R ；
2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．
A ．13p p ，
B ．14p p ，
C ．23p p ，
D ．24p p ，
【答案】B 【解析】
4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
【答案】C
5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的
x 的取值范围是（）
A ．[]22-，
B ．[]11-，
C ．[]04，
D ．[]13，
【答案】D
6. ()62111x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中2x 的系数为
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
【答案】C.
7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，
正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】B
8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在
和两
个空白框中，可以分别填入
A ．1000A >和1n n =+
B ．1000A >和2n n =+
C ．1000A ≤
和1n n =+ D ．1000A ≤
和2n n =+
【答案】D
【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出
∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B
又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶 故选D
9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下面结论正确的是（）
A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C 【答案】D
【解析】．
10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、
B 两点，直线2l 与
C 交于
D ，
E 两点，AB DE +的最小值为（）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
【答案】A
A ．235x y z <<
B ．523z x y <<
C ．352y z x <<
D ．3
【答案】D
【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.
ln33ln 22
x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55
ln 22
x z =
< ∴25x z <∴325y x z <<，故选D
11. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A
【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．
设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12
n n +
由题，100N >，令
()11002
n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后
第n 组的和为
12
2112
n
n -=-- n 组总共的和为
(
)2122
212
n n
n n --=---
若要使前N 项和为2的整数幂，则()12
n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反
数
即()
*
21214k n k n -=+∈N ，
≥ ()2log 3k n =+
→295n k ==，
则()
2912954402
N ⨯+=
+=
故选A
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12. 已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=________．
【答案】【解析】()
2
2
2
22(2)22cos602a b a b a a b b
+=+=+⋅⋅⋅︒
+22
1
222222
=+⨯⨯⨯+444=++12=
∴212a b +=13. 设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为_______．
【答案】5-
不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域如图所示
2x +y +1=0
由32z x y =-得322
z y x =
-， 求z 的最小值，即求直线322
z
y x =-的纵截距的最大值
当直线322
z
y x =-过图中点A 时，纵截距最大
由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩
解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-
14. 已知双曲线22
22:x y C a b
-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，
圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．
【解析】如图，
OA a =，AN AM b ==
∵60MAN ∠=︒
，∴AP =
，OP =
∴tan AP OP θ==
又∵tan b a
θ=
b a =，解得223a b =
∴e ==
15. 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，
D 、
E 、
F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边
的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体
积（单位：3cm ）的最大值为_______．
【答案】【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥
OG =
，即OG 的长度与BC 的长度或成正比 设OG x =
，则BC =，5DG x =-
三棱锥的高h
21
32
ABC S x =⋅=△
则2
13
ABC V S h =⋅=
△令()452510f x x x =-，5(0,)2
x ∈，()34
10050f x x x '=-
令()0f x '>，即4320x x -<，2x < 则()()280f x f =≤
则45V
∴
体积最大值为3
三、 解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

16. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2
3sin a A
．
（1）求sin sin B C ；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．
【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.
（1）∵ABC △面积2
3sin a S A
=.且1sin 2S bc A =
∴
21
sin 3sin 2
a bc A A = ∴22
3sin 2
a bc A =
∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =，
由sin 0A ≠得2
sin sin 3B C =.
（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1
cos cos 6
B C =
∵πA B C ++=
∴()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
又∵()0πA ∈，
∴60A =︒，sin A =
1cos 2A =
由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =
⋅，sin sin a c C A
=⋅ ∴2
2sin sin 8sin a bc B C A
=⋅= ②
由①②得b c +=
∴3a b c ++=+ABC △周长为3+
17. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒
∴PA AB ⊥，PD CD ⊥
又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥
又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD
（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵AB CD
∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴OE AB
由（1）知，AB ⊥平面PAD
∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直
∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -
设2PA =，∴()00D ，、)20B ，、(00P 、()
20C ，，
∴(0PD =，、(22PB =，，、()
00BC =-，
设()n x y z =,,为平面PBC 的法向量
由0
0n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20
y +=-=⎪⎩
令1y =，则z ，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(01n =, ∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥
又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A = ∴PD ⊥平面PAB
即PD 是平面PAB 的一个法向量，(0PD =,,
∴cos 23
PD n PD n PD n
⋅=
==⋅,
由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为18. （12分）
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状
态下生产的零件的尺寸服从正态分布()
2N μσ，
． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()33μσμσ-+，之外的零件数，求()1P X ≥及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()33μσμσ-+，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （I ）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
（II ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得16
19.97i i x x ===∑，
0.212s =，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1216i =，，，
． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除()ˆˆˆˆ33μ
σμσ-+，之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布()
2N μσ，
,则()330.9974P Z μσμσ-<<+=． 160.9974
0.9592≈0.09≈．
【解析】（1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，
之内的概率为0.9974，落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．
()()0
16160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈
()()11010.95920.0408P X P X ≥=-=≈-= 由题可知()~160.0026X B ，
()160.00260.0416E X ∴=⨯=
（2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，
之外的概率为0.0026， 由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+，
之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理． （ii ）
39.9730.2129.334μσ-=-⨯= 39.9730.21210.606μσ+=+⨯=
()()339.33410.606μσμσ-+=，
， ()9.229.33410.606∉，
，∴需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22 剔除数据之后：9.97169.22
10.0215
μ⨯-=
=．
()()()()()
()()()()()
()()()()()2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.021
10.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]15
0.0σ=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⨯
≈08
0.09σ∴≈
19. （12分）
已知椭圆C ：22
221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，
，31P ⎛- ⎝⎭
，41P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．
【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P
又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将(
)23011P P ⎛- ⎝⎭
，，代入椭圆方程得 222113
1
41b a
b ⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 22112
1A A P A P B y y k k m m m
----+=
+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，
联立22
440
y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()
222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，2122
44
14b x x k -⋅=+
则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()212121
12
x kx b x x kx b x x x +-++-= 222
22
8888144414kb k kb kb k b k --++=-+ ()()()
811411k b b b -=
=-+-，又1b ≠
21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =--
当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．
20. （12分）
已知函数()()2e 2e x x
f x a a x =+--．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．
【解析】（1）由于()()2e 2e x x
f x a a x =+--
故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x
f x a a a '=+--=-+
①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．
()f x 在R 上单调递减
②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增
（2）由（1）知，
当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件．
当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-
+． 令()11ln g a a a
=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a
=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >
若1a >，则()min 11ln 0f a g a a =-
+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件．
若1a =，则min 11ln 0f a a
=-
+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则m i n 11l n 0f a a =-
+<，注意到ln 0a ->．()22110e e e a a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭
． 且
33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，
上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．
又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．
综上，01a <<．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

21. [选修4-4：坐标系与参考方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，
（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t =+⎧⎨=-⎩，，
（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a ．
【解析】（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．
曲线C 的标准方程是2
219
x y +=， 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭
， （2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．
设曲线C 上点()3cos sin p θθ，．
则P 到l
距离
d ==，其中3tan 4
ϕ=． 依题意得：max d =16a =-或8a =
22. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数()()2411f x x ax g x x x =-++=++-，．
（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]11-，
，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12
x =的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩
，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++=
，解得x =()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减
∴此时()()f x g x ≥
解集为1⎛ ⎝⎦
． 当[]11x ∈-，
时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=．
综上所述，()()f x g x ≥
解集1⎡-⎢⎣⎦
． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，
恒成立． 即220x ax --≤在[]11-，
恒成立． 则只须()()2211201120
a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-，
．。