湖南省长沙市2019-2020学年高考三诊数学试题含解析

湖南省长沙市2019-2020学年高考三诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.
若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．
2 B ．
32
C ．
23
D ．
33
【答案】D 【解析】 【分析】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得1
2
m n =
，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==， 设1PF m =，2PF n =，则12
m n =
，且有2m n a +=，解得23a m =，43a
n =，
设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切
2QF 于点N ，则2223
a
NF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a
t =，43
a PQ m t ∴=+=，
2243a
PF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形，
所以，34223a
c =
，解得33
c a =.
故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
2．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6
C ．5
D ．5-
【答案】A 【解析】 【分析】
由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b . 【详解】
{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，
故选：A 【点睛】
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.
3．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种 B ．44种 C ．48种 D ．54种
【答案】B 【解析】 【分析】
分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A 排在第三位时，E 排在第四位，结合任务B 和C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案． 【详解】
六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，
如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F 之间的3个空位中
插入B 、C ，此时共有排列方法：22
2312A A =；
如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122
322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2
2
22=4A A ；
如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧1122
2222=16C C A A ； 所以不同的执行方案共有121241644+++=种． 【点睛】
本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题． 4．要得到函数1cos 2y x =
的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的（ ）
A ．横坐标缩短到原来的
12
（纵坐标不变），再向左平移3π
个单位长度
B ．横坐标缩短到原来的12
（纵坐标不变），再向右平移6π
个单位长度
C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6
π
个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3
π
个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭， 将1sin 223y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π
个单位长度，
故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛
⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
5．若实数,x y 满足不等式组2,
36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200
x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 6．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74 B ．121 C ．74- D ．121-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据5
6
7
8
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：
()+++-3
33335678()C C C C x ，进而得到其系数，
【详解】
因为在5678
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，
所以含3x 的项为：()+
++-3
33335678()C C C C x ，
所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，
()10203556121=-+++=-，
故选：D 【点睛】
本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
7．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433x f x =+
，则33log 2f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．2-
B ．3
C ．3-
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】 判断32
1log 03
-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵32
1log 03-<<，∴33332224
log log log 223333
f f f ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
8．
2020
1i i
=-（ ）
A ．
2
B ．
C ．1
D ．1
4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
2020
4505
1
1i
i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+，
因此，20201i i ==-故选：A. 【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z
+为实数m ，则m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z
+化简，
a b i +
由复数为实数，0b =，
解方程即可求解 【详解】
设(,)z a bi a b R =+
∈
，则
)2
2
a b i z
a bi i i i z a bi
a b
+
-+=+=+=
+
+.
00b a =⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 10．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6 B ．6
C ．-6
D ．
13
2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅
=，
所以96a ===±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B. 【点睛】
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
11．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦
长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11 C ．7-
D ．9-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离
d ，结合弦长公式得
=9m =-或11m =，故选A ． 12．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
Z 【答案】B 【解析】 【分析】
由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】
因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-， 所以()5cos4g x x =--，令4()2
x k k π
π=+
∈Z ，得()48
k x k ππ
=
+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
Z . 故选：B 【点睛】
本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面,4,,,ABCD PA AB E F H ==分别是棱
,,PB BC PD 的中点，过,,E F H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为__________.
【答案】46 【解析】 【分析】 【详解】
设G 是CD 中点，由于,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，所以
11
//,,//,22
EF PC EF PC HG PC HG PC =
=，所以//,EF HG EF HG =，所以四边形EFGH 是平行四边形.由于PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥，而BD AC ⊥，PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD PC ⊥.由于//FG BD ，所以BG PC ⊥，也即FG EF ⊥，所以四边形AFGH 是矩形. 而11
23,2222
EF PC FG BD =
===. 从而232246EFGH S =⨯=. 故答案为：46.
【点睛】
本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________. 【答案】39
【分析】
设等差数列公差为d,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可. 【详解】
设等差数列公差为d,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨
++++=⎩,解得11
3
a d =-⎧⎨=⎩,所以
61
16653392
S =-⨯+⨯⨯⨯=.
故答案为：39 【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.
15．已知关于空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，有下列四个命题：①若//m α且//n α，则//m n ；②若m β⊥且m n ⊥，则βn//；③若m α⊥且//m β，则αβ⊥；④若n ⊂α，且m α⊥，则m n ⊥.其中正确命题的序号为______. 【答案】③④ 【解析】 【分析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断． 【详解】
①若//m α且//n α，,m n 的位置关系是平行、相交或异面，①错； ②若m β⊥且m n ⊥，则βn//或者n β⊂，②错；
③若//m β，设过m 的平面与β交于直线n ，则//m n ，又m α⊥，则n α⊥，∴αβ⊥，③正确； ④若n ⊂α，且m α⊥，由线面垂直的定义知m n ⊥，④正确． 故答案为：③④． 【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础． 16．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5 【解析】 【分析】
利用复数模的计算公式求解即可.
解：由12z i =+，得()2
21234z i i =+=-+，
所以25z =
=.
故答案为：5. 【点睛】
本题考查复数模的求法，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π
sin sin()3
c B b C =-. （1）求角C 的大小；
（2）若3c a b =
+=，求AB 边上的高.
【答案】（1）2π3；（2 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()3C C =-+π
sin()16
C -=，从而可求出角C ；
（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2
()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的高为h ，可得ABC V 的面积为11
sin 22
ab C ch =，从而可求出h . 【详解】
（1）由题意，由正弦定理得π
sin sin sin sin(
)3
C B B C B =-.
因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以πsin sin()3C C =-，展开得1sin cos sin 22
C C C =-+整理得π
sin()16
C -=. 因为0πC <<，所以ππ5π666C -
<-<，故ππ62C -=，即2π
3
C =
. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2
()7a b ab +-=，故
2()7972ab a b =+-=-=，
故ABC V 的面积为
12πsin sin 23ab C ==
设AB 边上的高为h
=
，故h = 所以AB
边上的高为7
. 【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18．已知函数()1621f x x =--． （1）解不等式()2f x x ≤+；
（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围． 【答案】（1）17
{|3
x x ≤-或5}x ³ ；（2）16a ≤． 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；
（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果. 【详解】
（1）有题不等式可化为22116x x ++-≥，
当2x -≤时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173
x ≤-； 当1
22
x -<≤时，原不等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当1
2
x >
时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥， 所以不等式的解集为17|53x x x ⎧⎫≤-
≥⎨⎬⎩
⎭
或． （2）因为()1172,2
1152,2x x f x x x ⎧
-≥⎪⎪=⎨⎪+<
⎪⎩
，
所以若函数()y f x a =-存在零点则可转化为函数()y f x =与y a =的图像存在交点，
函数()f x 在1(,]2-∞上单调增，在1[,)2+∞上单调递减，且1()162
f =. 数形结合可知16a ≤． 【点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目. 19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，12BB =.
（1）求异面直线1A C 与直线1AD 所成的角的大小； （2）求点C 到平面11AB D 的距离. 【答案】（1）30
；（2）43.
【解析】 【分析】
（1）建立空间坐标系，通过求向量1AC u u u r 与向量1
AD u u u u r
的夹角，转化为异面直线1A C 与直线1AD 所成的角的大小；（2）先求出面11AB D 的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可． 【详解】
以1A 为原点，1111,,A B A D A A 所在直线分别为,,x y z 轴建系，
设11(000),(112),(002),(0,10)A C A D ，
，，，，，，
所以1
(112)AC =，，,1(012)AD =-u u u u r
，，
111111
cos ,10A C AD A C AD A C AD ⋅<>===-u u u r u u u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,
所以异面直线1A C 与直线1AD
所成的角的余弦值为
10
，异面直线1A C 与直线1AD
所成的角的大小为10
． （2）因为1(012)AD =-u u u u r ，，，11(1,10)B D =-u u u u r ， ，设(,,)n x y z =r
是面11AB D 的一个法向量，
所以有11100
n AD n B D ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u
v v 即200y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ，令1x = ，11,2y z == ，故1(1,1,)2n =r ， 又1
(102)DC =u u u u r ，，，所以点C 到平面11AB D
的距离为14
3n D C n
⋅==r u u u u r r . 【点睛】
本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力．
20．已知函数()x f x e =.
（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意的m ∈R ，当0x >
时，都有2
12()1m f x x ⎛⎫
+>- ⎪⎝⎭
恒成立，求最大的整数k .
（参考数据：
1.78≈）
【答案】（1）y ex =（2）2 【解析】 【分析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程. （2）对m 分成，0,0m m =≠两种情况进行分类讨论.当0m ≠时
，将不等式
212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭
转化为12()f x x +>，构造函数1()2()h x f x x =+，利用导数求得()h x 的最小值（设为a
）的取值范围，由2
1
a m
->
的得210am -+>在m ∈R 上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得k 的取值范围.
【详解】
（1）已知函数()x
f x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ， 又()x
f x e '=，(1)k f e '==，
可知函数()x
f x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)-=-y e e x ，即y ex =.
（2）注意到0x >，
不等式2
12()1m f x x ⎛⎫
+
>- ⎪⎝⎭
中， 当0m =时，显然成立；
当0m ≠
时，不等式可化为2
11
2()f x x m
-+> 令11()2()2x h x f x e x x =+
=+，则21
()2x h x e x
'=-， 11
222
11()2221240h e e '=-=⎛⎫
⎪⎭
- <⎝，
2
32 1.78301(223h '=-=-≈⨯-⎭
>⎝
所以存在01
2x ⎛∈
⎝⎭， 使()0
020
1
20x h x e x '=-
=. 由于2x
y e =在()0,∞+上递增，2
1y x
=
在()0,∞+上递减，所以0x 是()'
h x 的唯一零点. 且在区间()00,x 上()0h x '<，()h x 递减，在区间()0,x +∞上()0h x '>，()h x 递增，
即()h x 的最小值为()0
020001112x h x e x x x =+
=+
，令0
1
2)t x =∈，
则
22
00
11
(3t t x x +=+∈，将()h x 的最小值设为a
，则(3a ∈+，
因此原式需满足a >
2
10am -+>在m ∈R 上恒成立， 又0a >，可知判别式840k a ∆=-<即可，即2
a
k <
，且(3a ∈+ k 可以取到的最大整数为2.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
21．设a 为实数,在极坐标系中,已知圆2sin a ρθ=（0a >）与直线cos 14πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
相切,求a 的值．
【答案】2a =+【解析】 【分析】
将圆2sin a ρθ=和直线cos 14πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可. 【详解】
解:将圆2sin a ρθ=化成普通方程为22
2x y ay +=,整理得()2
22x y a a +-=．
将直线cos 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
化成普通方程为0x y -=． 因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
a =
解得2a =． 【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题. 22．选修4—5；不等式选讲． 已知函数()|||1|f x x x =--．
(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；
(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥． 【答案】 (1)[]0,2;(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得()1,0,21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，由此得
11m -≤，解得02m ≤≤；（2）利用分析法，由（1）知，2M =，所以22
2x y +=，因为0,0x y >>，
要证2x y xy +≥，只需证()2
224x y x y +≥，即证()()2110xy xy +-≤，只需证1xy ≤ 即可得结果.
试题解析：（1）去绝对值符号，可得()1,0,21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，
所以11m -≤，解得02m ≤≤， 所以实数m 的取值范围为[]
0,2．
（2）由（1）知，2M =，所以2
2
2x y +=． 因为0,0x y >>，
所以要证2x y xy +≥，只需证()2224x y x y +≥， 即证()2
210xy xy --≤，即证()()2110xy xy +-≤.
因为210xy +>，所以只需证1xy ≤，
因为2
2
22xy x y ≤+=，∴1xy ≤成立，所以2x y xy +≥ 解法二：x 2+y 2=2，x 、y ∈R +，x+y≥2xy 02
π
θ≤≤
设：2022x sin y cos θπθθ
⎧=⎪⎛
⎫≤≤⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩
证明：x+y-2xy=2sin 2cos 22sin cos θθθθ+-⋅⋅ =()2sin cos 4sin cos θθθθ+-⋅ 令sin cos t θθ+=
212sin cos t θθ∴+=，02
π
θ≤≤
Q ∴12t ≤≤
22sin cos 1t θθ=-
∴原式=()
2221t t --
=2222t t -++
=22222t t ⎛⎫
--+ ⎪ ⎪⎝⎭
=
当2t =
时，min 22220y =-⨯++=
∴ 2x y xy +≥
23．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足
129
4
PF PF ⋅=u u u r u u u u r
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设()12(,0),,0F c F c -，则212
99144
PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线1l 的方程为3(1)2
y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为1
2，
设其方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于
1x =对称，可求得1211
,22
l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由
此可得答案． 【详解】
解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则2
12
99144PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ， 21,2,3c a b ∴===，
所以椭圆方程为22
143
x y +=；
（2）设直线1l 的方程为3
(1)2
y k x -
=-， 与22143
x y +=联立得222(34)4(32)(32)120k x k k x k ++-+--=，
∴1
0,2
k ∆==-
，
因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l 斜率为12
， 设直线的方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =
+， 联立整理得2222
121230,0,4,,3x tx t t x x t x x t ++-=∆><+=-=-，
121212121233
(2)()(23)22011(1)(1)PM PN
y y x x t x x t k k x x x x -
-+-+--∴+=
+==----， 所以,PM PN 关于1x =对称， 由正弦定理得
,sin sin sin sin PM MK PN NK
PKM MPK PKN NPK
==∠∠∠∠，
因为,180MPK NPK PKM PKN ︒
∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM ⋅=⋅，
由上得1211,22
l l k k =-=
， 假设存在直线2l 满足题意，
设,PM PN k k k k =-=，11,,,22
k k --按某种排列成等比数列，设公比为q ，则1q =-， 所以1
2
k =
，则此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符， 所以不存在满足题意的直线2l ． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．。