天津市宝坻区2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析

天津市宝坻区2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知222,0
()2,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）
A ．31(,)22-
B ．31
(,)(,)22
-∞-+∞U
C ．1
(,)2
-∞
D ．1(,)2
+∞
2．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ） A ．∅
B ．{}1,3
C ．{}2,4,5
D ．{}1,2,3,4,5
3．在椭圆22:1164
x y C +=内，通过点(1,1,)M ，且被这点平分的弦所在的直线方程为（ ）
A ．450x y +-=
B ．450x y --=
C ．450x y +-=
D ．450x y --=
4．()(2)(3)(4)(15),15x x x x x N x +----∈>L 可表示为（ ） A ．13
2x A -
B ．14
2x A -
C ．13
15x A -
D ．14
15x A -
5．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{}
,S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．T
B ．S
C ．S T ⋂
D ．S T ⋃
6．.若直线1y =是曲线ln a
y x x
=+的一条切线，则实数a 的值为（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．设函数
'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使
得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-?? C ．(,1)(1,0)-∞--U
D ．(0,1)(1,)⋃+∞
9．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是( )
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
10．与463-o 终边相同的角可以表示为()k ∈Z A ．360463k ⋅+o o B ．360103k ⋅+o o C ．360257k ⋅+o o
D ．360257k ⋅-o o
11．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l 1和l 2，已知在两人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ，那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和直线l 2有交点(s ，t ) B ．直线l 1和直线l 2相交，但交点未必是点(s ，t ) C ．直线l 1和直线l 2必定重合
D ．直线l 1和直线l 2由于斜率相等，所以必定平行
12．若函数()3
2
3f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51
[
,)8
+∞ B ．(],3-∞
C ．51,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
D ．[
)3,+∞ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若复数22(2)(2)i a a a a -+--(R a ∈)为纯虚数，则a =____. 14．已知复数z 满足()1234i z i +=+，则z 等于______.
15．重庆市新课程改革要求化学、生物、政治、地理这四门学科为高考选考科目.现在甲、乙、丙三位同学分别从这四门学科中任选两科作为选考科目，则四门学科都有人选的概率为_________. 16．若)
11f
x x =+，则()f x 的解析式为________________.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X ,其概率分布如下表，数学期望()2E X =.
（1）求a 和b 的值；
（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X 大于0的次数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望. X
3
6
P
1
2
a b
18．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:
x
98
88 96 91
90 92 96
y
9.9
8.6 9.5
9.0 9.1 9.2
9.8
（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；
（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).
参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1
2
1
(x x)(y y)
ˆˆˆ,(x x)
n
i
i
i n
i
i b
a y bx ==--==--∑∑，其中7
21
93,9.3,()()9.9i i
i x y x x y y ===--=∑. 19．（6分）我国是枇把生产大国，在对枇杷的长期栽培和选育中，形成了众多的品种．成熟的枇杷味道甜美，营养颇丰，而且中医认为枇杷有润肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜爱．某果农调查了枇杷上市时间与卖出数量的关系，统计如表所示：
结合散点图可知，,x y 线性相关．
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程$y ＝ˆbx
+$a （其中b $，$a 用假分数表示）； （Ⅱ）计算相关系数r ，并说明（I ）中线性回归模型的拟合效果． 22115≈；
参考公式：回归直线方程$y ＝ˆbx
+$a 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑；相关系数()()
()
1
2
2
1
1
(;)n
i
i
i n n
i
i i x x y y x x y y ===--=-⋅-∑∑∑
20．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；
（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41
f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
21．（6分）某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为30000元，每生产x
件，需另投入成本为t 元，22002000,0903
200000010200310000,90
x x x t x x x ⎧
+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩
每件产品售价为10000元（该新产
品在市场上供不应求可全部卖完）．
（1）写出每天利润y 关于每天产量x 的函数解析式；
（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．
22．（8分）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】
由题意，函数222,0
()2,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，满足()()f x f x -=，
所以函数()f x 为偶函数，
且当0x ≥时，函数()f x 单调递增，当0x <时，函数()f x 单调递减， 又(21)(2)f x f +>，所以212x +>，解得3
2x <-或12
x >，故选B. 2．C 【解析】 【分析】
根据补集的定义可得结果. 【详解】
因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】
若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 3．A 【解析】
试题分析：设以点(1,1,)M 为中点的弦的端点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，又
22221122
1,1
164164x y x y +=+=，两式相减化简得21122112
4()116()4y y x x x x y y -+=-=--+，即以点(1,1,)M 为中点的弦所在的直线的斜率为1
4k =-
，由直线的点斜式方程可得11(1)4
y x -=--，即450x y +-=，故选A. 考点：直线与椭圆的位置关系. 4．B 【解析】 【分析】
根据排列数的定义可得出答案． 【详解】
()()()()()()()()()()234151621
234151621
x x x x x x x x x x -----⋅----=
-⋅L L
Q L L
()()()()14
22!2!16214!x x x A x x ---===-⎡⎤--⎣⎦
！，故选B. 【点睛】
本题考查排列数的定义，熟悉排列数公式是解本题的关键，考查理解能力，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】
根据定义集合{}
,S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解. 【详解】
因为{}
,S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即
S T ⋂，故选C.
【点睛】
本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题, 6．A 【解析】 【分析】
设切点()0,1x ，根据导数的几何意义，在切点处的导数是切点处切线的斜率，求a .
设切点()0,1x ，21a y x x
'=-
+ 00
20
0ln 1
10a
x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩ ，解得011x a =⎧⎨=⎩ . 故选A. 【点睛】
本题考查了已知切线方程求参数的问题，属于简单题型，这类问题的关键是设切点，利用切点既在切线又在曲线上，以及利用导数的几何意义共同求参数. 7．A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由()11z i i -=+
，得)()(
)111122
i z i i i i +=
==+--+． ∴复数z
在复平面内的对应点的坐标为22⎛ ⎝⎭
，位于第一象限．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 8．A 【解析】 【分析】 【详解】
构造新函数()()
f x
g x x
=,()()()2
'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()
f x
g x x
=
单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()
0f x g x x
=
>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造
()()f x g x x
=
.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x
g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x
f x
g x e
=
，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x
g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()
2x
f x
g x e
=
，等便于给出导数时联想构造函数. 9．C
【解析】 【分析】
由三视图还原可知原图形是圆柱，再由全面积公式求得全面积。

【详解】
由三视图还原可知原图形是圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，所以2S S S 全底侧=+246πππ=+=，选C. 【点睛】
本题考查三视图还原及圆柱的全面积公式，需要熟练运用公式，难度较低。

10．C 【解析】 【分析】
将463-o 变形为360([0,360))()k k Z αα⋅+∈∈o
o
o
的形式即可选出答案. 【详解】
因为4632360257-=-⨯+o o o ，所以与463-o 终边相同的角可以表示为360257k ⋅+o o ，故选C ． 【点睛】
本题考查了与一个角终边相同的角的表示方法，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】
根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。

【详解】
由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线1l 和回归直线2l 都过点(),s t ，做了两次试验，两条回
归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点(),s t ，若斜率相等，则两回归直线重合，所以，A 选项正确，B 、C 、D 选项错误，故选：A. 【点睛】
本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点”这个结论，同时也要抓住回归直线的斜率来理解，考查分析理解能力，属于基础题。

12．A 【解析】 【分析】
由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'
()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，
求实数t 的取值范围. 【详解】
因为函数()3
2
3f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，
所以'
2
()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，
所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩
解得：51
8t ≥
. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0 【解析】
试题分析：由题意得，复数()()2
2
22z a a a a i =-+--为纯虚数，则2220
{20
a a a a -=--≠，解得0a =或2a =，
当2a =时，220a a --=（舍去），所以0a =. 考点：复数的概念.
14【解析】 【分析】
先求出复数z,再求|z|. 【详解】
由题得34(34)(12)112,12(12)(12)5i i i i z z i i i ++--=
==∴==++-.
【点睛】
（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能
力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 15．
1936
【解析】 【分析】
选科门数分三种：第一种只选二门，第二种选3门，第三种是四门都选．可以通过计算前两种的选法或概率得出第三种的选法或概率 【详解】
每人任选两门有222444216C C C =种，只有两门学科有人选共有2
4
6C =种，有三门学科有人选共有()322224333396C C C C C -=种，
（注：减2
3C 是减去只有两门被选中的情形），所以96619
121636
P +=-= 故答案为：19
36
． 【点睛】
本题考查古典概型，考查排列组合的应用，解题关键是求出满足要求的选科数方法数． 16．()()2
22,1f x x x x =-+≥
【解析】 【分析】
利用换元法可求()f x 的解析式. 【详解】
令1t =
，
∴1t ≥，则()2
1x t =-，故()()2
21122f t t t t =-+=-+， 即()()2
22,1f x x x x =-+≥，
故答案为：()()2
22,1f x x x x =-+≥.
【点睛】
本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17． (1) 11,36
a b =
=. (2)分布列见解析，3
()2
E Y =. 【解析】
分析：（1）根据分布列的性可知所有的概率之和为1然后再根据期望的公式得到第二个方程联立求解即可；（2）根据二项分布求解即可. 详解：(1)因为()2E X =，所以1
03622
a b ⨯
+⨯+⨯=， 即362a b +=．①
又
112a b ++=，得1
2
a b +=．② 联立①，②解得13a =，1
6
b =．
(2)1(0)2P X >=
，依题意知13,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 故()3
11028P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
131131228
P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2
23
1132228P Y C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()3
11
328
P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．
故Y 的概率分布为
Y 的数学期望为()012388882
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯
=． 点睛：考查分布列的性质，二项分布，认真审题，仔细计算是解题关键，属于基础题.
18． (1) ˆ0.12 1.93y
x =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。

因此关爱忠者的考核分数也会稳定提高；他的关爱患者考核分数约为9.5分. 【解析】
分析：（1）由题意结合线性回归方程计算公式可得ˆ0.12b
≈，ˆ 1.93a ≈- ，则线性回归方程为0.1213ˆ.9y
x =-. （2）由(1)知0.20ˆ1b
=>.则随着医护专业知识的提高，关爱忠者的考核分数也会稳定提高.结合回归方程计算可得当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数约为9.5分， 详解：（1）由题意知93,9.3,x y ==
()()()()()()()()7222222221=989388939693919390939293969382i
i x x =--+-+-+-+-+-+-=∑
()()19.9n
i i
i x x y y =--=∑ 所以()()()12
19.90.128ˆ2n
i i
i n i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 9.99.393 1.938ˆ2
a =-⨯≈- ， 所以线性回归方程为0.1213ˆ.9y
x =-. （2）由(1)知0.20ˆ1b
=>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心.因此关爱忠者的考核分数也会稳定提高.
当95x =时，0.1295 1.93ˆ9.5y
=⨯-≈ 所以当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，
他的关爱患者考核分数约为9.5分，
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
19．（Ⅰ）292351717y x =
+；（Ⅱ）0.967r =，因为0.9670.75>，所以拟合效果较好。

【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用最小二乘法求线性回归方程；（Ⅱ）直接依据公式计算相关系数，比较即可。

【详解】
（1）911141615135x ++++=
=，3032364240365
y ++++== ， 51
()()(4)(6)(2)(4)10362458i
i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑， 52222221()(4)(2)13234i
i x x =-=-+-+++=∑，
所以ˆb ＝58293417
＝， 则2923536131717
a y bx --⨯＝＝＝， 故所求线性回归方程为292351717y x ＝＋； （II ）()
521361603616104i i y y -∑＝＝＋＋＋＋＝，
故()()
5
i i
x x y y r --
∑ 0.9670.75≈＞,
故（I ）中线性回归模型的拟合效果较好.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法以及相关系数的计算与应用。

20．（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞U .
（Ⅱ）135m -≤≤.
【解析】
【分析】 【详解】 详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
当12x <
时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥.
所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞U .
（Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>，
所以(
)41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤，
即()max 229x m x -----≤， 因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--，
所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤.
【点睛】
⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．
⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有： ① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔>
②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．
21．（1）2200800030000,090310000280000200,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）每天产量为100件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为240000.
【解析】
【分析】
（1）根据（利润）=（总售价）-（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.
【详解】
（1）因为每件产品售价为10000元，所以x 件产品售价为10000x 元；当090x <<时，
222002001000020003000080003000033
y x x x x x =---=-+- ；当90x ≥时，200000010000100001020031000030000280000200y x x x x x ⎛⎫=--
+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以：2200800030000,090310000280000200,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
； （2）当090x <<时，()2200602100003
y x =--+，当60x =时y 有最大值210000； 当90x ≥
时，10000280000200280000y x x ⎛⎫=-+
≤- ⎪⎝⎭28000040000240000=-=取等号时10000x x
=，即100x =时，y 有最大值240000； 且240000>210000，所以当每天产量为100件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.
【点睛】
本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后再比较每段最值的大小，取得最后的结果；运用基本不等式的时候，要注意取等号的条件.
22． (1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．
【解析】
【分析】
（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.
【详解】
（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
依题意可得：，
∴，，，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴．
，
∴，，
，，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴．
（2），
，
∵，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.。