反函数教学设计

学生用
预习4 反函数 姓名 日期 年 月 日
目的: 1） 熟悉反函数的概念 2） 会求反函数
看课本67-----68页完成下列作业 （浅层预习, 自我学习能力检验）
1 一般地，函数y=f(x)(x ∈A)中，求它的值域为C ．我们根据这个函 叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数，记作 x=f -1(y)．习惯上改写成y=f -1(x)。

2 由反函数的概念可知，如果函数y=f(x)有反函数y=f -1(x)，那么函数y=f -1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f -1(x) ．
3 函数y=f(x)的定义域，正好是它的反函数y=f -1(x)的值域；函数y=f(x)的值域，正好是它的反函数y=f -1(x)的定义域(如下表)．
4 求下列函数的反函数：
(1) y=4x-1 (x ∈R)； (2) y=x 3+1 (x ∈[-2，3]
(3) x
x f 3)(= （)0≠x (4)、33
(),()232x f x x x -=
≠-
(5)、y=1-x +1 (x>1) （6） y=x 2+1 (x ＜0)
5 自我小结求反函数的步骤：
6 思考下列问题 （深层挖掘, 在老师引导下开发浅能） 1） 反函数是函数吗？
2） 是不是所有的函数都有反函数？
3） 反函数的解析式与原函数的解析式一定不相同吗 7 在下列区间中使y=x 2 不存在反函数的区间是（ ） A （-∞，+∞） B （-∞，0） C (0,+ ∞) D (2,6) 8 求下列函数中存在反函数的是 （填序号） ①
y=x 2+1
(x ∈R) ② )
0()
1(1{≤≥+=x x x x y ③ 2=y (x ∈R)
④ 31-=x y (x ∈R) ⑤ y ＝x 2 - 2x – 3 (x ∈[-1,3])
9 求出上题中有反函数的函数的反函数解析式
10 完善自我小结
11 ①若函数y=f(x)的反函数是y=g(x) ,若f(3)=10那么g(10)= ② f[f -1(x)]= ③ f -1 [f(x)]=
做70页练习1 2 3 4
家庭作业课本70页（习题2.4）1题 2题 做预习 5
教师用
课 题：2.4.1 反函数（一）
教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 教学重点：反函数的定义和求法 教学难点：反函数的定义和求法
授课类型：新授课 授课方式: 先学后教 课时安排：1课时 教材分析：
本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识
由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握
教学过程：
一、自学检验（浅层预习）
1 (反函数概念) 一般地，函数y=f(x)(x ∈A)中，求它的值域为C ．我们根据这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1
（y ） 习惯上改写成y=f -1
(x)。

2 由反函数的概念可知，如果函数y=f(x)有反函数y=f -1(x)，那么函数y=f -1(x)的反函
数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f -1
(x) 互为反函数 ． 3 函数y=f(x)的定义域，正好是它的反函数y=f -1(x)的值域；函数y=f(x)的值域，正
-1
4 求下列函数的反函数：
(1) y=4x-1 (x ∈R)； (2) y=x 3+1 (x ∈[-2，3] )
(3) x x f 3)(= （)0≠x (4)、33
(),()232x f x x x -=≠-
(5)、y=1-x +1 (x>1) （6） y=x 2+1 (x ＜0) 解答:(1) ∵y=4x-1 (x ∈R) ∴ y ∈R
由：y=4x-1 解得：4
1
+=y x
∴y=4x-1 (x ∈R) 的反函数是：4
1
+=x y (x ∈R)
(2) ∵y=x 3+1 (x ∈[-2，3] ) ∴y ∈[-7，28] 由：y=x 3+1 解得：31-=y x
∴y=x 3+1 (x ∈[-2，3] ) 的反函数是：31-=x y x ∈[-7，28] (3) ∵ x
x f 3
)(= （)0≠x ∴y ≠0 由：x
x f 3)(= 解得：y x 3=
∴x
x f 3)(=
（)0≠x 的反函数是：x y 3
= (x ≠0)
(4) ∵33(),()232x f x x x -=
≠- ∴y ≠21
由：33
(),()232
x f x x x -=≠- 解得：1233--=y y x
∴33(),()232x f x x x -=
≠-的反函数是：1
233--=x x y (x ≠21
)
(5) 简答 y=1-x +1 (x>1) 的反函数是：1)1(2
+=-x y (x>1) (6）简答 y=x 2+1 (x ＜0) 的反函数是：1--=x y (x>1) 5 总结求反函数的步骤：
(1)求原函数的值域 (2)反解出x ; (3)互换x ，y ；(4)写出反函数 (包括定义域
二、讲练新课：（深层挖掘） 6 思考下列问题 （深层挖掘） 1） 反函数是函数吗？
2） 是不是所有的函数都有反函数？
3） 反函数的解析式与原函数的解析式一定不相同吗
7 在下列区间中使y=x 2 不存在反函数的区间是（ ） A （-∞，+∞） B （-∞，0） C (0,+ ∞) D (2,6)
8 求下列函数中存在反函数的是 ② ④ （填序号） ① y=x 2+1 (x ∈R) ② )
0()1(1{
≤≥+=x x
x x y ③ 2=y (x ∈R)
④ 31-=x y (x ∈R) ⑤ y ＝x 2 － 2x – 3 (x ∈[-1,3]) 9 求出上题中有反函数的函数的反函数解析式 解答② ∵)
0()1(1{
≤≥+=x x
x x y ∴ 1≥x 时y ≥2 ；0≤x 时y ≤0
由：)
0()1(1{
≤≥+=x x
x x y 解得：)
0()
1(1{≤≥-=y y y y x
∴)
0()1(1{
≤≥+=x x x x y 的反函数是：)0()
1(1{≤≥-=y y y y x
④ ∵31-=x y (x ∈R) ∴y ∈R 由：31-=x y 解得：13
+=
y
x
∴31-=x y (x ∈R) 的反函数是：13
+=
x
y x ∈R 10 （备选题）① 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x) ,若f(3)=10那么g(10)= 3 ② f[f -1(x)]= x ③ f -1 [f(x)]= x 11 自我完善小结
1) 求反函数的一般步骤分四步:(1)求原函数的值域 (2)反解出x ; (3)互换x ，y ；(4)
写出反函数 (包括定义域
2) 反函数的定义域由原来函数的值域得到.
3) 求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射
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家庭作业课本70页（习题2.4）1题 2题 做预习 5
小结 本节课学习了以下内容：
反函数的定义及其注意点、 求法步骤
七、板书设计
八、课后记：
课后教学反思
反函数教学的第一课时，是我本学期最近的一节公开课，可后得到了很多老师的宝贵意见和建议，使得我对公开课有了更深刻的认识。

公开课评课能集百家之言，达到百花齐放的效果，所以公开课对年青春教师的成长是有很大帮助的。

本节课我采用的教学方法是：预习与学案教学法，旨在培养学生的学习习惯，让学生学会自主学习。

我自己就要考虑学生自学是么，我给学生教是么。

能让学生有自己的主见同时在教师的引导下有“蓦然回首……’’的感觉。

我在处理教材时，把概念稍做改动，把原来的“设值域”改“成求值域”，希望能突破求反函数时，要求反函数的定义域，一般不能通过反函数式来求，后来评课的时候说，无形中我把教学难度加大了，因为求值域本身就是一个教学难点。

在教学过程中，在调动学生积极性方面欠缺技巧，语言不够煽情。

不过教学还比较大胆，善意创新。

改变或尝试不同的教学方式也许就有意想不到的收获。

学生学习最更本的目标是熟悉教材，熟悉课本，如果一个学生能做到这一点已经很不错了，说明吸收能力很优秀了。

直接目的是应用，如果学生会应用，说明学生已经能够创新了，这是学习知识的最高境界了。

所以在教学中我让学生大胆尝试，大胆思考，同时在有限且充足的时间里完成，体现效率和珍惜时间的观念！！
现代教学，在思想和方法与理念上都不缺少，缺少的是行动和落实，谁坚持走到最后，谁就达到终点，所以行动落实是处理问题的根本所在。

学生高中三年的学习惯一下子要改变，不是几天的事，也许要一学期，或者更长。

良好的学习习惯靠养成，有效的学习方法靠指导或实践。

良好的学习习惯+ 有效的学习方法= 学习能力的快速提高。

我始终认为教学是一种长远培养或一种持续活动，人要提高只有通过学习。

所以我对学习能力和学习技能的培养比较感兴趣，准备在今后的教学中加以应用适合于学生学习能力和自主学习提高的教学方式方法。

这样方能改变国人文化素质，给他学习的能力，他自己就可以改变自己的素质层次！！“教育是为了放弃教育，变被动学习为主动学习，让学习变成一种必需，一种自愿，一种享受”大家都会自学了当然好极了。

韩兴平
地址：新疆克拉玛依第十三中学邮编：834009。