2016-2017学年安徽省合肥市八年级(下)期末数学试卷

2016-2017学年安徽省合肥市八年级(下)
期末数学试卷
2016-2017学年安徽省合肥市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：
1.关于x的一元二次方程x^2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）
A。

q＜16
B。

q＞16
C。

q≤4
D。

删除此选项
2.若代数式
有意义，则实数x的取值范围是（）
A。

x≥1
B。

x≥2
C。

x＞1
D。

x＞2
3.如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是（）A。

2
B。

删除此选项
C。

D。

4.肇庆市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（）
PM2.5指数天数
150 3
155 2
160 1
165 1
A。

150，150
B。

150，155
C。

155，150
D。

150，152.5
5.某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8
万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率
为x，则（）
A。

10.8（1+x）=16.8
B。

16.8（1﹣x）=10.8
C。

10.8（1+x）^2=16.8
D。

10.8[（1+x）+（1+x）^2]=16.8
6.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF
与对角线AC交于点G，过G作XXX⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（）
①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④四边形BFGC=﹣1．
A。

1
B。

2
C。

3
D。

4
7.如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB=，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB=6，则当AN+PM的最小值时，线段AN的长度为（）
A。

4
B。

2
C。

6
D。

3
8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x^2﹣8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A。

B。

C。

6
D。

9
9.如图，正方形ABCD的对角线上一动点P，作PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB=3，BP=，则BN的长为（）
A。

B。

删除此选项
C。

4
D。

5
三、选择题：每小题4分，共24分。

1.解方程x²-4x+3=0的根为：
A。

x=1或x=3
B。

x=1和x=3
C。

x=2或x=1
D。

x=2和x=1
答案：B
解析：将方程因式分解得(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3.
2.已知函数y=f(x)的图象如下，那么f(-1)的值是多少？A。

1
B。

2
C。

3
D。

4
答案：C
解析：从图中可以看出，当x=-1时，对应的y值为3.
3.在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，则AC的长度为：
A。

5
B。

6
C。

7
D。

8
答案：A
解析：根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=9+16=25，所以AC=5.
4.已知正比例函数y=kx的图象过点(3,6)，则k的值为：
A。

2
B。

3
C。

4
D。

5
答案：B
解析：根据题意，有6=k×3，所以k=2.
5.已知函数f(x)=x²-2x，则f(3)的值为：
A。

1
B。

3
C。

5
D。

7
答案：D
解析：将x=3代入函数中，得f(3)=3²-2×3=7.
6.在平面直角坐标系中，点P(3,4)关于原点的对称点为：A。

P'(-3,-4)
B。

P'(3,4)
C。

P'(-4,-3)
D。

P'(4,3)
答案：A
解析：点P关于原点的对称点P'的坐标为(-3,-4)。

四、填空题：每小题4分，共16分。

7.已知函数f(x)=2x+3，则f(4)的值为______。

答案：11
解析：将x=4代入函数中，得f(4)=2×4+3=11.
8.已知等差数列的前三项为3，6，9，则它的公差为
______。

答案：3
解析：由等差数列的通项公式可知，第n项为a+(n-1)d，
其中a为首项，d为公差。

根据题意，可得3+2d=6，6+2d=9，解得d=3.
9.设a，b，c为实数，且a+b+c=0，则a²+b²+c²的值为
______。

答案：2ab+2ac+2bc
解析：根据(a+b+c)²的展开式可得
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0，所以a²+b²+c²=-2(ab+ac+bc)。

10.解方程x²+5x-6=0，得到的两个根分别为______。

答案：1和-6
解析：将方程因式分解得(x+6)(x-1)=0，所以x=1或x=-6.
五、计算题：每小题8分，共24分。

11.已知等差数列的前两项为1和3，公差为2，求它的前
n项和Sn。

答案：Sn=n²
解析：根据等差数列的通项公式可得第n项为a+(n-
1)d=1+2(n-1)=2n-1，所以Sn=n(1+2n-1)/2=n²。

12.已知函数f(x)=x²-3x+2，求f(1)和f(2)的差值。

答案：1
解析：将x=1和x=2代入函数中，得f(1)=1-3+2=0，
f(2)=4-6+2=0，所以f(1)-f(2)=0-0=1.
13.已知函数f(x)=3x²-2x+1，求f(-1)和f(2)的和。

答案：16
解析：将x=-1和x=2代入函数中，得f(-1)=3-2+1=2，
f(2)=12-4+1=9，所以f(-1)+f(2)=2+9=16.
六、解答题：每小题12分，共36分。

21.（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将XXX绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．1）求证：△AMB≌△ENB；
2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
解析：
1）由旋转对称性可知，∠AMB=∠ENB=60°，又因为
△ABE是等边三角形，所以AB=BE，所以△AMB≌△ENB （ASA）。

2）①当M点在BD中点O处时，AM+CM的值最小。

因为当M点在BD上时，AM+CM的值等于AB+BC=2AB，而AB是定值，所以AM+CM的最小值为2AB，当M点在BD 中点O处时，AM=CM=AB，所以AM+CM=2AB，即
AM+CM的最小值为2AB。

②当M点在AC∩BD的交点E处时，AM+BM+CM的值最小。

因为当M点在BD上时，AM+BM+CM的值等于
AB+BM+BC=AB+BD=2AB√2，当M点在AC上时，
AM+BM+CM的值等于
AM+MB+BC=AB+BD/2+BC=AB+AB√3，所以AM+BM+CM
的最小值为AB+AB√3，当M点在AC∩BD的交点E处时，
AM=BM=CM=AB，所以AM+BM+CM=3AB，即
AM+BM+CM的最小值为3AB。

3）当AM+BM+CM的最小值为3√3时，AB=√3.由②可知，当M点在AC∩BD的交点E处时，AM+BM+CM的值最小，此时AM=BM=CM=AB=√3，所以正方形的边长为√3.
已知菱形ABCD，其中F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作XXX⊥AD于点E，且AB=2，∠1=∠2.求下列结论正确的个数。

首先根据菱形的性质，可以得到∠XXX∠EAG，
∠1=∠GAD，AB=AD。

又因为∠1=∠2，所以∠XXX∠2，从
而得到AG=GD。

因为XXX⊥AD，所以XXX垂直平分AD，即AE=ED。

又因为F为边AB的中点，所以AF=AE。

在
△AFG和△AEG中，根据SAS相似性质可以得到它们全等，
从而得到∠AFG=∠AEG=90°，进而推出DF⊥AB，即①正确。

由于DF⊥AB，F为边AB的中点，所以AF=AB=1，
AD=BD。

由于AB=AD，所以AD=BD=AB，因此△ABD为等边三角形，从而得到∠BAD=∠BCD=60°。

又因为
∠BAC=∠1=∠2=30°，所以
AC=2AB·cos∠BAC=2×2×sin30°=2，从而得到CG=AC-AG=2-AG，又因为AG=GD，所以CG=2GA，即②正确。

根据勾股定理可以得到XXX∠2·ED=tan30°×1=1/√3，又
因为DF=XXX，所以DF+GE=2/√3，又因为CG=2GA=4/√3，
所以XXX，即③正确。

根据图中所示，可以得到FG=AG=1/√2，再根据勾股定理可以得到AN=2/√2，因此AN+PM=EN+PM=2EN。

由于四边
形PENM是平行四边形，所以EN=PM，因此
AN+PM=2EN=4/√2=2√2，即线段AN的长度为2，因此选B。

8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程
$2x^2-8x+7=0$ 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）。

解：设直角三角形的斜边为 $c$，两直角边分别为 $a$ 与$b$。

由题意得 $a+b=4$，$ab=3.5$。

根据勾股定理可得：$c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-7=9$。

故 $c=3$。

答案为：B。

9．如图，正方形 $ABCD$ 的对角线上一动点 $P$，作$PM\perp AD$ 于点 $M$，$PN\perp CD$ 于点 $N$，连接
$BP$，$BN$，若 $AB=3$，$BP=\sqrt{2}$，则 $BN$ 的长为（）。

解：延长 $NP$ 交 $AB$ 于 $H$。

由正方形的性质得 $\angle BAC=90^\circ$，$AB\parallel CD$。

因为 $PN\perp CD$，所以 $PN\perp AB$，故 $\angle HAP=\angle HPA=45^\circ$。

设 $AH=PH=x$，则 $BH=3-x$。

在 $\triangle PBH$ 中，由勾股定理得
$PB^2=PH^2+BH^2$，即 $x^2+(3-x)^2=2$。

解得 $x=1$ 或 $x=2$。

当 $x=1$ 时，$BH=CN=2$，在 $\triangle BCN$ 中，由勾股定理得 $BN=\sqrt{2^2+8^2}=2\sqrt{17}$。

当 $x=2$ 时，$BH=CN=1$，在 $\triangle BCN$ 中，由勾股定理得 $BN=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{65}$。

故 $BN$ 的长为 $\sqrt{65}$ 或 $2\sqrt{17}$。

答案为：B。

10．如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。

若 $P$，$Q$ 分别是 $AD$ 和 $AC$ 上的动点，则 $PC+PQ$ 的最小值
是（）。

解：如图，过点 $C$ 作 $CM\perp AB$ 交 $AB$ 于点 $M$，交 $AD$ 于点 $P$，过点 $P$ 作 $PQ\perp AC$ 于点 $Q$。

因为 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，所以 $PQ=PM$。

这时 $PC+PQ$ 有最小值，即 $CM$ 的长度。

由 $AC=6$，$BC=8$，$\angle ACB=90^\circ$ 得
$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。

因为 $\triangle ABC$ 为直角三角形，所以 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\times 6\times 8=24$。

又因为 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，所以
$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=5:3$。

设 $BD=5x$，
$DC=3x$，则 $AD=8x$。

由角平分线定理得 $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BC}{AC}$，
即 $\dfrac{5x}{8x}=\dfrac{8}{6}$，解得 $x=\dfrac{24}{25}$。

因为 $CM\perp AB$，所以 $CM$ 是 $AB$ 的中线，即$CM=\dfrac{1}{2}\times AB=5$。

由勾股定理得 $PM=\sqrt{AP^2-
AM^2}=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\times 5\right)^2-
5^2}=\dfrac{10}{3}$。

所以$PC+PQ=CM+PM=\dfrac{10}{3}+5=\dfrac{25}{3}$。

答案为：C。

11．计算：$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}-\left(-
\dfrac{1}{2}\right)$。

解：原式$=\dfrac{16}{24}-
\dfrac{6}{24}+\dfrac{9}{24}+\dfrac{12}{24}=\dfrac{31}{24}$。

答案为：$\dfrac{31}{24}$。

12．一张三角形纸片 $ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=8$ cm，$BC=6$ cm，现将纸片折叠：使点 $A$ 与点
$B$ 重合，那么折痕长等于
\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}} cm。

解：如图，将纸片折叠后，点 $C$ 与点 $D$ 重合，折痕
为 $EF$。

因为 $\triangle ABC$ 为直角三角形，所以
$AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$。

由折痕的性质得 $\triangle AEF\cong \triangle BEF$，所以$AE=BE=\dfrac{AB}{2}=5$。

由勾股定理得$AF=\sqrt{AE^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。

所以折痕长为 $EF=AF+BE=4+5=9$。

答案为：9.
13.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形
空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m²，则道路宽度为1m。

解法：设道路的宽度为x m，则根据题意得到方程：
32×20 - 32x - 2×20x + 2x² = 570.整理得到方程：x² - 36x + 35 = 0.解得x=1或x=35（不合题意，舍去）。

故道路宽度为1m。

14.如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△XXX的周长是。

解法：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE。

因为DC∥AB，所以PQ⊥AB。

由于四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°，从而△PEC是等腰直角
三角形，因此PE=PC。

设PC=x，则PE=x，PD=4-x，EQ=4-x，因此PD=EQ。

又因为∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
所以△DPE≌△EQF，从而DE=EF。

因为DE⊥EF，所以
△DEF是等腰直角三角形，易证明△DEC≌△BEC，所以
DE=BE，从而EF=BE。

因为EQ⊥FB，所以FQ=BQ=BF。

由AB=4，F是AB的中点，所以BF=2，从而FQ=BQ=PE=1，
CE=2，PD=4-1=3.在直角△DAF中，DF=DE=EF=√2，如图2，因为DC∥AB，所以△DGC∽△FGA，所以
CG/AG=GD/FG=2，从而CG=2AG，DG=2FG，所以FG=√2/2.
因为AC=4√2，所以CG=2√2，EG=-2+2√2.连接GM、GN，交EF于H。

因为∠GFE=45°，所以△GHF是等腰直角三角形，
因此GH=FH=√2/2.因此EH=EF-FH=2-√2/2.由折叠得：
GM⊥EF，MH=GH=√2/2，因此∠XXX∠DEF=90°，所以
DE∥HM，因此△DEN∽△MNH，从而
EN/NH=DE/MH=2/√2=√2，因此EN=3NH。

因为
EN+NH=EH=2-√2/2，所以NH=(2-√2)/8，EN=(6-3√2)/8.因此MN=EM+EN=√2+(6-3√2)/8=2+√2/4，周长为
2MN+ME+NE=2(2+√2/4)+√2+(6-3√2)/8=5+√2/2.
在Rt△GNH中，GN=MN，EM=EG，因此△EMN的周
长为
EN+MN+EM=EN+GN+EG=2GN+EG=2×CG+EG=2×(AC/2)+E
G=AC+EG。

另外，根据题意可知AC平分∠DAB，因此可得
解法二和解法一中的结果相同。

解法三中，通过对角线AC作垂线EP和EQ，可得EP=EQ。

由于△DQE和△FPE全等，因此DE=EF，DQ=FP，且AP=EP。

设EP=x，则DQ=4-x=FP=x-2，解得x=3，因此PF=1.又因为DC∥AB，所以
△DGC∽△FGA，可得CG=AB/2，进而得到EG=AG-AC/2=3.通过作垂线GH、MK和ML，可得GH=FK=AB/2，
HF=MK=AD/2，ML=AK=AF+FK=2AB/3，DL=LM，因此
△GHF≌△FKM，从而GH=FK=AB/2，HF=MK=AD/2，
BM=AB/3，MN=BN-BM=2AB/3-AB/3=AB/3.因此，
EN=EF/2=AB/6，BN=AB/√2，BK=AB-2AB/3=AB/3，故
△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=AB/(2√2)，因此
BN=AB/(2√2)，BM=AB/3，MN=AB/6，从而△EMN的周长为AC+EG=3+AB/6+AB/3=AB/2+3.因此，答案为AB/2+3.
15.先化简，再求值：
原式=(1+1/a)/(1-1/a)+(1-1/a)/(1+1/a)=(1+a^2)/(a-1^2)+(a^2-1)/(a+1)^2=(2a^2+2)/(a^4-2a^2+1)=(2(a^2+1))/(a^4-2a^2+1)
当a=2时，原式=2/(2^4-2×2^2+1)=2/5
16.XXX满足y^2-4y+4=0，求y+1的值。

由y^2-4y+4=0得y=2，因此y+1=3.
17.观察下列的等式①；②；③…
1) 发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
2) 写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程。

解：(1) 观察可得，每个等式的右边都是由左边的分子加1，分母不变得到的。

因此，第5个等式应为(2n)/(n+1)。

验证：当n=4时，左边=8/5，右边=2.
2) 第n-1个等式为[(n-1)+1]/[(n-1)-1]=n/(n-2)。

证明：当n=2时，左边=2/0，右边无意义，等式不成立。

当n≥3时，左边=n/(n-2)，右边=(n-1+1)/(n-1-1)=n/(n-2)。

因此，对于任意自然数n（n≥2），都有(n/(n-2))=[(n-1)+1]/[(n-1)-1]，即第n-1个等式成立。

1）x2﹣9x+20=0，化简得(x-4)(x-5)=0，解得x=4或x=5；
2）由c2﹣cb2﹣2b4=0可得(c+b2)(c﹣2b2)=0，因此c=﹣
b2或c=2b2.代入x2+bx+2c=0中，得x2+bx﹣2b2=0或
x2+bx+2b2=0.两个方程的解分别为x=2b或x=﹣b和x=﹣
b±√3b，化简到最简式为x=2b或x=﹣b±b√3；
3）化简方程得(m-1)x2+2mx+m+3=0.由一元二次方程求根
公式可得x=[﹣2m±√(4m2-4(m-1)(m+3))]/2(m-1)，化简得x=﹣
1或x=﹣(m+3)/(m-1)。

当$c=-b^2$时，$\Delta=b^2+4b(-b^2)=5b^2\geq 0$，则
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2b}=\frac{-
b\pm\sqrt{5}b}{2b}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。

当$c=2b^2$时，$\Delta=b^2-8b^2=-7b^2<0$，则方程无解。

设$a=m-1$，$b=2m$，$c=m+3$，则$\Delta=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=-8m+12$。

当$-8m+121$时，方程无解；当$-8m+12\geq 0$，即
$m\leq 1$且$m\neq 1$时，$x=\frac{-
b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2m\pm\sqrt{-8m+12}}{2(m-1)}$。

当$m=1$时，方程为$2x+4=0$，解得$x=-2$。

1）证明：因为$\triangle ABE$是等边三角形，所以
$BA=BE$且$\angle ABE=60^\circ$。

又因为$\angle
MBN=60^\circ$，所以$\angle MBN-\angle ABN=\angle ABE-
\angle ABN$，即$\angle MBA=\angle NBE$。

又因为
$MB=NB$，所以$\triangle AMB\cong\triangle ENB$（SAS）。

2）（①）当$M$点落在$BD$的中点时，$A$、$M$、
$C$三点共线，$AM+CM$的值最小。

（②）连接$CE$，当
$M$点位于$BD$与$CE$的交点处时，$AM+BM+CM$的值最小。

理由如下：连接$MN$，由（1）知，$\triangle
AMB\cong\triangle ENB$，所以$AM=EN$。

又因为$\angle MBN=60^\circ$，$MB=NB$，所以$\triangle BMN$是等边三角形，即$BM=MN$。

因此，XXX根据“两点之间线段最短”可知，若$E$、$N$、$M$、$C$在同一条直线上时，
$EN+MN+CM$取得最小值，最小值为$EC$。

在$\triangle
ABM$和$\triangle CBM$中，$\angle ABM=\angle CBM$，所
以$\triangle ABM\cong\triangle CBM$。

因此，$\angle
BAM=\angle BCM$，$\angle BCM=\angle BEN$。

又因为
$EB=CB$，所以若连接$EC$，则$\angle BEC=\angle BCE$。

因为$\angle BCM=\angle BCE$，$\angle BEN=\angle BEC$，
所以$M$、$N$可以同时在直线$EC$上。

因此，当$M$点位于
$BD$与$CE$的交点处时，$AM+BM+CM$的值最小，即等于$EC$的长。

3）过$E$点作$EF\perp BC$交$CB$的延长线于$F$，则$\angle EBF=90^\circ-60^\circ=30^\circ$。

设正方形的边长为$x$，则$BF=x\sqrt{2}$。

在$\triangle EFC$中，
$EF^2+FC^2=EC^2$，即
$\left(\frac{x}{2}\right)^2+(x\sqrt{2})^2=x^2$，解得
$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。

BME=150°。

又∠BAC=90°。

AME=60°。

又∠XXX∠ABE-∠AME=15°。

MEA=105°。

在Rt△AME中，∵∠MEA=105°。

MAE=180°-90°-105°=15°。

又∵AB=AC。

XXX∠ABC=45°。

在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°。

BC=AB×√2=2。

答：BC的长为2．
2）解：
①在Rt△ABE中，∵OB=OE。

BE=2OA=2。

又∠ABE=15°。

BME=150°。

又∠BAC=90°。

AME=60°。

又∠XXX∠ABE-∠AME=15°。

MEA=105°。

在Rt△AME中，∵∠MEA=105°。

MAE=180°-90°-105°=15°。

又∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-∠CAE。

CAE=30°-∠BAE/2=15°。

在Rt△AED中，∵∠XXX∠CAE=15°。

EDA=75°。

又∠AED=∠ABE/2=7.5°。

EAD=97.5°。

在Rt△ADH中，∵∠DAH=90°。

DHA=7.5°。

又DH=AD×XXX∠DHA=AE×tan7.5°。

在△AEF中，∠XXX∠CAF=45°。

AE=AC/√2。

又∠XXX∠EAF=45°。

EGF为等腰直角三角形。

EF=EG=AE/√2=AC/2。

又∠ABE=15°。

ABD=75°。

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°。

BAD=15°。

又∠BAG=∠CAD/2。

CAD=2∠BAG=2∠BAD=30°。

又∠CAE=15°。

EAF=30°。

在Rt△AEF中，∵∠EAF=30°。

AFE=60°。

又∠AED=7.5°。

FED=52.5°。

在△EFG中，∠XXX∠EGF-∠EFE=45°-52.5°=﹣7.5°。

又∠XXX∠CAD/2=15°。

XXX∠FAG-∠EFG=15°-﹣7.5°=22.5°。

在Rt△EFG中，∵∠XXX°。

XXX∠EFG=﹣7.5°。

又EF=EG=AC/2。

XXX×XXX∠FEG=AC/√2+AC/2×tan22.5°。

又∠CAE=15°。

AH=AC/2。

在△AHD中，∠DAH=90°。

DHA=∠DAH-∠DAE=90°-15°=75°。

又DH=AE×tan7.5°。

AH=DH/tan75°=AE×tan7.5°/tan75°。

又AE=AC/√2。

AH=AC/2×tan7.5°/tan75°。

在Rt△ABC中，∵AB=AC。

XXX∠ACB=45°。

又∠ABE=15°。

EBD=30°。

在Rt△ABD中，∠ADB=90°。

BAD=15°。

又∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°。

XXX∠BAD+∠BAE=45°。

在Rt△BED中，∠EBD=30°。

BED=45°。

BD=BE/√2=1。

在△ABD中，∠ABD=75°。

AD=BD×tan75°=tan75°。

在△AGF中，∠FAG=15°。

XXX×XXX∠FEG=AC/√2+AC/2×tan22.5°。

又∠CAE=15°。

AH=AC/2。

在△AHD中，∠DAH=90°。

DHA=∠DAH-∠DAE=90°-15°=75°。

又DH=AE×tan7.5°。

AH=DH/tan75°=AE×tan7.5°/tan75°。

又AE=AC/√2。

AH=AC/2×tan7.5°/tan75°。

在Rt△ABC中，∵AB=AC。

XXX∠ACB=45°。

又∠ABE=15°。

EBD=30°。

在Rt△ABD中，∠ADB=90°。

BAD=15°。

又∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°。

XXX∠BAD+∠BAE=45°。

在Rt△BED中，∠EBD=30°。

BED=45°。

BD=BE/√2=1。

在△ABD中，∠ABD=75°。

AD=BD×tan75°=tan75°。

在△AGD中，∠AGD=∠BAD=15°。

DAG=75°-15°=60°。

又∠AGC=∠ABC/2=22.5°。

在Rt△AGC中，∠XXX°-∠AGC=67.5°。

又∠XXX∠CAE=15°。

在Rt△AGE中，∠AEG=90°-∠GAE=75°。

AGE=180°-90°-75°=15°。

又∠XXX∠CAF=45°。

在Rt△AGF中，∠AFG=∠FAG-∠AGE=15°-15°=0°。

AG=GF=AC/2。

又∠GAD=∠GAE+∠FED=15°+52.5°=67.5°。

在Rt△AGD中，∠ADG=22.5°。

又∠AGC=22.5°。

AG=GD=AC/2×tan22.5°。

又∠CAD=30°。

AC=2AH。

在△AHD中，∠DAH=90°。

DHA=∠DAH-∠DAE=90°-15°=75°。

又DH=AE×tan7.5°。

AH=DH/tan75°=AE×tan7.5°/tan75°。

又AE=AC/√2。

AH=AC/2×tan7.5°/tan75°。

AC=2×AH=2DH/tan75°=2×AE×tan7.5°/tan75°。

在Rt△ABC中，∠ABC=∠ACB=45°。

BC=AB×√2=AC×√2/2。

又AC=2×AH=2DH/tan75°=2×AE×tan7.5°/tan75°。

BC=2×AE×tan7.5°=√2×AC×tan7.5°=√2×2×tan7.5°=2.6（保留一位小数）。

答：①AH=AC；
②猜想：AG=EF．
本文讨论了一个三角形内部的几何问题。

首先，根据三角形内角和定理，可以得到∠AME=∠MBE+∠MEB=30°。

设
AE=x，则ME=BM=2x，AM=x+2x=3x。

接着，根据勾股定理，可以得到（2x）2+x2=22，解得x=1.因此，AB=AC=（2+1）
=3，BC=AB=3.接下来，证明了AG=AC，即AG=3.最后，得
出了结论：AG=EF。