广西陆川县中学2021-2022学年高二上学期开学基础知识竞赛(文科)数学试题 Word版含答案

广西陆川县中学2021年秋季期高二开学基础学问竞赛试卷
文科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A.1
2
B.3
3
C.
2
2
D.32
2．平面对量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则m 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－4
D ．4
3．给出下面三个命题：① 0=+BA AB ；②AC C =+B AB ；③BC AC =－AB .其中正确的个数为
（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )
A.7
B.10
C.13 D ．4
5.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3
2
，则C B A c
b a sin sin sin ++++等于( )
A ．12
B ．13
C ．2
D.6
6．已知βα,为锐角，且cos α=101
,cos β=
51
，则βα+的值是（ ）
A ．π32
B ．π
43 C ．4π D ．3π
7．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的外形是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 8．tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°=（ ）
A ．－ 3
B ． 3
C ．
33-
D ．33 9.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）
A.35(,)(,)
244ππ
π
π B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)
244ππππ
10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于( )
A.
251-
B. 251
C. 257-
D. 257
11．函数y=
的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足→
→
→
→
=++0OC OB OA ，-1OA OC OC OB OB OA =⋅=⋅=⋅→
→
→
→
→
→
，则△ABC 的周长是( )
A ．3
B ．6
C ．3 6
D ．9 6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13.若1||=a ，0)(=⋅-a b a ，则=⋅b a ． 14. 已知数列
}
{n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，则数列}{n a 的通项公式为 .
15.若不等式02<++b ax x 的解集为}21|{<<-x x ，则不等式012
<++ax bx 的解集为 ．
16.已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的肯定点，并且A 点到21,l l 的距离分别为1，2，B 是直线2l 上一动点，
090=∠BAC ，AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）
若、是两个不共线的非零向量，
（1）若与起点相同，则实数t 为何值时，、t 、
三个向量的终点A ，B ，C 在始终线上？
（2）若||=||，且与夹角为60°，则实数t 为何值时，||的值最小？
18．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a
（1）求
321,,a a a ；
（2）求证：数列{1}n
a +为等比数列. 19.在中，内角的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若，
，求
的面积.
20．（本小题满分12分） 已知以点
()
1,2A -为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点
()
2,0B -的动直线与圆A 相交于
M N 、两点.
（1）求圆A 的方程； （2）当
219
MN =时，求直线l 的方程.
21.如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,,且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积.
22．（本小题满分12分）
已知不等式x 2
-5ax +b ＞0的解集为{x |x >4或x <1} （1）求实数a ，b 的值； （2）若0＜x ＜1，f （x ）=，求f （x ）的最小值．
文科数学答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.A
9.B 10.D 11.C 12.C
13．1； 14．⎩⎨⎧≥-==)2(32)1(2n n n a n ； 15．)
,21()1,(+∞--∞ ； 16．2．
17.已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．
（1）求
+
与
﹣
的夹角；
（2）若
满足
⊥（
+
），（
+
）∥
，求
的坐标．
解：（I ）∵，∴，∴，
∴
，∴
，
设
与
的夹角为θ，则
．
又∵θ∈[0，π]，∴．
（II ）设，则，∵⊥（+），（+）∥，∴，
解得：
，即
．
18.解：（1）由
151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a
解得,73
=a 同理得.1,312==a a （2）由
121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 是以211=+a 为首项以2为公比的等比数列
19. 解：（1）解法1：由
及正弦定理可得
. ………………2分
在
中，
，所以
………………4分
由以上两式得，即
， ……………5分
又
，所以． …………6分
（2）的面积， ………………7分
由
，及余弦定理得
， ……………………8分
由于，所以， 即 ， …………………10分 故的面积． …………………12分
20．解：（1）由题意知
()
1,2A -到直线270x y ++=的距离为圆A 半径R
|147|
255
R -++∴=
=
2分
∴圆A 的方程为()
()2
2
1220
x y ++-=
4分
（2）设线段MN 的中点为Q ，连结QA ，则由垂径定理可知90MQA ∠=︒，且19MQ =，在Rt AMQ ∆中
由勾股定理易知
22
1AQ AM MQ =-=
6分
当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-时，明显满足题意； 7分 当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：
()
2y k x =+
8分 由
()
1,2A -到动直线l 的距离为1得
2
|22|
11k k k -+-=⇒+3
4
k =
10分 3460x y ∴-+=或2x =-为所求方程. 12分
21.（1）证明：∵
，
∵
∴
∵
∴
（2）由①知
∵
，
取AD 中点O ，所以
，
∴∴AO=2
∴∴
=
22．解：（1）依据题意，不等式x2-5ax+b＞0的解集为{x|x>4或x<1}，则方程x2-5ax+b=0的两个根是1和4，
则有5a=1+4，b=1×4，
即a=1，b=4；
（2）由（1）知，
由于0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，所以
所以==9 当且仅当，即时，等号成立．所以f（x）的最小值为9．。