2022-2023学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知a b >，R c ∈，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b <
B ．22a b >
C ．ac bc >
D ．a c b c +>+
【答案】D
【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可. 【详解】对于选项A ，令2a =，1b
，但
11
a b
>，则A 错误； 对于选项B ，令2a =，3b =-，但22a b <，则B 错误； 对于选项C ，当0c 时，ac bc =，则C 错误；
对于选项D ，有不等式的可加性得a c b c +>+，则D 正确， 故选：D.
2．已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，则
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c<a<b
D ．b<c<a
【答案】B
【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c
【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 3．已知0x >，则2
x x
+的最小值为（ ）
A B ．2
C ．
D ．4
【答案】C
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为0x >，则2x
x
+≥=2
x x
=，即x “=”，
所以2
x x
+
的最小值为故选：C
4．下列函数在其定义域内是增函数的是（ ） A ．2x y =
B ．2log y x =-
C ．1
y x
=-
D ．2
3y x =
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可. 【详解】选项A ：2x y =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，正确；
选项B ：2log y x =在定义域(0,)+∞上是增函数，所以2log y x =-在定义域(0,)+∞上是减函数，错误； 选项C ：1y x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，1
y x
=-在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，当120x x <<时，
12
11
x x ->-，C 错误； 选项D ：2
3y x =的定义域为(,)-∞+∞，因为2
03
>，由幂函数的性质可得2
3y x =在(0,)+∞上单调递增，又因为23y x =是偶函数，由对称性可得2
3y x =在(,0)-∞单调递减，D 错误； 故选：A
5．已知a →，b →是不共线的向量，AB a b λ→→→=+，()AC a b R μλμ→→→
=+∈，，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为（ ）． A ．2λμ+= B ．1λμ= C ．1λμ=- D ．1λμ-=
【答案】B
【分析】若A 、B 、C 三点共线，则向量AC →与AB →
平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A 、B 、C 三点共线的充要条件． 【详解】解：若A 、B 、C 三点共线，则向量//AC AB →→
即存在实数k ，使得AB k AC →→
=，
AB a b λ→
=+，AC a b μ→
=+
()a b k a b λμ∴+=+，可得1k k λμ=⎧⎨=⎩
，消去k 得1λμ=
即A 、B 、C 三点共线的充要条件为1λμ= 故选：B ．
6．设()f x 为R 上的奇函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()10f x +<的解集是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()(),21,0-∞-⋃-
【答案】D
【分析】根据函数单调性结合零点即可得解.
【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f = 且在()0,∞+上单调递增，()10f =，
()10f x +<得：011x <+<或11x +<- 解得()(),21,0x ∈-∞--.
故选：D
7．甲､乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲得分的极差大于乙得分的极差
B ．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C ．甲得分的平均数小于乙得分的平均数
D ．甲得分的标准差小于乙得分的标准差
【答案】B
【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解.
【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A 选项说法错误；
甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B 选项说法正确； 甲组具体数据不易看出，不能判断C 选项； 乙组数据更集中，标准差更小，所以D 选项错误. 故选：B
8．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[)25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ）
A ．0.38
B ．0.61
C ．0.122
D ．0.75
【答案】B 【分析】利用频率=
频率
组距
⨯组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在[)25,35内的概率
()0.0800.04250.12250.61P =+⨯=⨯=
故选：B
9．若函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a
1
1
x +的图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)可求出a 的值，把a 的值代入函数()g x 的解析式，从而根据函数()g x 的定义域及单调性排除选项. 【详解】由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，所以a 32所以)332
2()log log 11
g x x x ==-++，
因为函数()g x 的定义域为()1,-+∞，且函数()g x 在定义域内单调递减，所以排除选项A ，B ，C. 故选：D.
10．已知函数()12x
f x =，()221f x x =+，()()1lo
g 1a g x x a =>，()()20g x kx k =>，则下列结论正确
的是（ ）
A ．函数()1f x 和()2f x 的图象有且只有一个公共点
B ．0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有()()12g x g x >
C ．当2a =时，()00,x ∃∈+∞，()()1010f x g x <
D ．当1
a k
=时，方程()()12g x g x =有解 【答案】D
【解析】对于A ，易知两个函数都过()0,1，又指数函数()12x
f x =是爆炸式增长，还会出现一个交点，
可知函数()1f x 和()2f x 的图像有两个公共点；对于B ，取特殊点0x =，此时()()12g x g x <；对于C ，当2a =时，作图可知x ∀∈R ，有()()11f x g x >恒成立；对于D ，当1a k
=时，易知两个函数都过点1,1k ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即方程()()12g x g x =有解； 【详解】对于A ，指数函数()12x f x =与一次函数()221f x x =+都过()0,1，但()12x
f x =在x 增大时
时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数()1f x 和()2f x 的图像有两个公共点，故A 错误；
对于B ，取0x =，()()200g x kx k =>=，当0x →时，()()1log 1a g x x a =>→-∞，此时()()12g x g x <，故B 错误；
对于C ，当2a =时，指数函数()12x
f x =与对数函数()21lo
g g x x =互为反函数，两函数图像关于直线
y x =对称，如图所示，
由图可知，x ∀∈R ，有()()11f x g x >恒成立，故C 错误；
对于D ，当1
a k =时，()11log k g x x =，()()20g x kx k =>，由1a >知，11k >，且两个函数都过点1,1k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
即方程()()12g x g x =有解，故D 正确； 故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
二、填空题
11．函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是___________. 【答案】()1,+∞
【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.
【详解】解：要使函数()()0.5log 1f x x =-有意义就要10x ->，即1x >，所以函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞
12．命题“0x ∃>，310x -≤”的否定是______． 【答案】0x ∀>，310x ->
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“0x ∃>，310x -≤”的否定是“0x ∀>，310x ->”. 故答案为：0x ∀>，310x ->. 13．40.252lg83lg5⨯++=________． 【答案】7
【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.
【详解】()4
0.252lg83lg50.25163lg2lg5437⨯++=⨯++=+=
故答案为：7
14．已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨>⎪-⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是
___________. 【答案】(0,1)
【解析】转化条件为直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】方程()f x a =有三个不同的实数根， 所以直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点， 在直角坐标系中作出()f x 的图象,如图，
若要使直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，数形结合可得，(0,1)a ∈. 故答案为：(0,1).
15．已知函数()()1
2,1,
,1x a x x f x a x -⎧-≤=⎨>⎩
（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：
①存在实数a ，使得()f x 有最小值；
②对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 都不是R 上的减函数； ③存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；
④若3a >，则存在()00,x ∞∈+，使得()()00f x f x =-. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④
【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，利用()2y a x =-与y 1x a -=的图像在()1,∞+上有交点判断④.
【详解】当2a =时，()10,1,
2,1
x x f x x -≤⎧=⎨>⎩当1x >时，121x ->，所以()f x 有最小值0，①正确；
若()f x 是R 上的减函数，则112020101211a a a a a a a --<>⎧⎧⎪⎪
<<⇒<<⎨⎨⎪⎪-≥=≤⎩⎩
，无解，所以②正确；
当01a <<时，1x y a -=单减，且当1x >时，值域为()0,1，而此时()2y a x =-单增，最大值为2a -，所以函数()f x 值域不为R ；
当12a <<时，()2y a x =-单增，1x y a -=单增，若()f x 的值域为R ，则1121a a --≥=，所以1a ≤，与12a <<矛盾；所以不存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；
由①可知，当2a =时，函数()f x 值域不为R ；当2a >时，()2y a x =-单减，最小值为2a -，1x y a -=单增，且11x a ->，所以函数()f x 值域不为R ，综上③错误；
又()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，若3a >，则11211a a -->==，但指数函数1
x y a -=的增长速度快于函数()2y a x =-的增长速度，所以必存在()01,x ∞∈+，使得()01
02x a x a --=，即
()()00f x f x =-成立，所以④正确.
故答案为：①②④
三、解答题
16．如图，在平行四边形OADB 中，设11
,,,33
OA a OB b BM BC CN CD ====．试用求,a b 表示,OM ON
及MN ．
【答案】15
,66OM a b =+22,33ON a b =+1126MN a b =-
【分析】结合图形关系，根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】在平行四边形OADB 中,,a b OD a b BA +=-=,
所以()
11115
,36666
OM OB BM OB BC OB BA b a b a b =+=+=+=+-=+
()
142222
,333333
ON OC CN OC CD OC OD a b a b =+=+===+=+
进而得2
215113
36626MN ON OM a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
17．已知函数()2f x x =-，2()4g x x mx =-+（m R ∈）． (1)当4m =时，求不等式()()g x f x >的解集；
(2)若对任意x R ∈，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；
(3)若对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，求m 的取值范围． 【答案】(1){2|x x <或3}x > (2)(261,261)- (3)5
,222⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）将4m =代入不等式，解该一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用Δ0<即可解得参数m 的范围；
（3）对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域.同时对()1g x 值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.
【详解】（1）当4m =时，由2442x x x -+>-得2560x x -+>， 即(3)(2)0x x -->，解得2x <或3x >．
所以不等式()()g x f x >的解集为{2|x x <或3}x >． （2）由()()g x f x >得242x mx x -+>-， 即不等式2(1)60x m x -++>的解集是R ．
所以2(1)240m +-<，解得261261m --<<-． 所以m 的取值范围是(261,261)---． （3）当[]24,5x ∈时，()[]2222,3f x x =-∈． 又2
2
2()4()424
m m g x x mx x =-+=-+-．
①当12
m
≤，即2m ≤时，
对任意1[1,2]x ∈，1()[5,82][2,3]g x m m ∈--⊆．
所以252823m m m ≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩，此时不等式组无解，
②当3
122
m <
≤，即23m <≤时， 对任意1[1,2]x ∈，2
1()[4,82][2,3]4
m g x m ∈--⊆． 所以
解得5
222
m ≤≤
③当
3222
m
<<，即34m <<时， 对任意1[1,2]x ∈，2
1()[4,5][2,3]4
m g x m ∈--⊆． 所以2
34,42,453,m m m <<⎧⎪
⎪-≥⎨⎪⎪-≤⎩此时不等式组无解，
④当22
m
≥，即4m ≥时，
对任意1[1,2]x ∈，1()[82,5][2,3]g x m m ∈--⊆． 所以482253m m m ≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
此时不等式组无解．
综上，实数m
的取值范围是52⎡⎢⎣．
【点睛】关键点点睛，本题中“对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论. 18．已知函数()2
1
log 1
x f x x -=+． (1)若()1f a =，求a 的值；
(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，求实数m 的范围． 【答案】(1)3- (2)奇函数，证明见解析 (3)(],1-∞-
【分析】（1）代入x a =，得到2
1
log 11
a a -=+，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，求出()f x 在[)3,+∞的最小值，即可得解. 【详解】（1）
()1f a =，2
1
log 11a a -∴=+，即121
a a -=+，解得3a =-， 所以a 的值为3-
（2）()f x 为奇函数，证明如下：
由1
0110
x x x -⎧>⎪
+⎨⎪+≠⎩，解得：1x >或1x <-，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞关于原点对称， 又()()1
22221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪
-+-++⎝⎭， 所以()f x 为奇函数； （3）因为()2
221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛
⎫===- ⎪+++⎝⎭
， 又外部函数2log y u =为增函数，内部函数2
11
y x =-
+在[)3,+∞上为增函数， 由复合函数的单调性知函数()f x 在[)3,+∞上为增函数，
所以()()2
2min 311
3log log 1312
f x f -====-+， 又()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，所以()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，所以1m ≤-， 所以实数m 的范围是(],1-∞-
19．为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为755
,,867；老年员工乙在每针接种合格的概
率分别为833
,,944
.
(1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？
(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率. 【答案】(1)中年员工甲接种成功的概率更大 (2)73
96
【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件A 、B ，且A 、B 相互独立， （1）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算可得()P A 、()P B 比较可得答案；
（2）记“记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为”为事件C ，即C AB AB AB =++，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；或利用间接法，确定对立事件C AB =，计算)(P C ，进而得C 事件的概率．
【详解】（1）解：记中年员工甲接种成功的事件为A ，老年员工乙接种成功的事件为B ，则()75525
86748P A =⨯⨯=，
()8331
9442
P B =⨯⨯=
()()P A P B >，故中年员工甲接种成功的概率更大.
（2）法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C ， 则C AB AB AB =++
()()()()()P C P AB AB AB P AB P AB P AB =++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
251251251731148248248296
⎛⎫⎛⎫=
⨯+-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C ， 则C AB =，
25123
()()()()1148296
P C P AB P A P B ⎛⎫⎛⎫===-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
23173()1()148296
P C P C =-=-
⨯= 两人中至少有一人接种成功的概率为
7396
. 20．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为4:1.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.
(1)写出a ，b 的值；
(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
(3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记1P 表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，2P 表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较1P 和2P 的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)4,18a b ==； (2)14
15
； (3)12P P <.
【分析】（1）根据题意列出方程组()7621007642a b a b +++=⎧⎨+=+⎩
，从而求出a ，b 的值；
（2记C 为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件C 所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案. （3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.
【详解】（1）由题意，知()762100
7642a b a b +++=⎧⎨+=+⎩
，解得4,18a b ==；
（2）记样本中甲生产线的4件二等品为1234A A A A ，，，，乙生产线的2件二等品为12,B B . 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：
()()()()()()()()1213142324341121,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A B A B ,， ()()()()()()()31411222324212,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B B B ，
记C 为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则C 中的结果有1个，它是()12,B B . 所以()()
114111515
P C P C =-=-=. （3）12P P <.
21．设函数()f x 的定义域为R ．若存在常数(0)m m ≠，对于任意x ∈R ，()()f x m mf x +=成立，则称函数()f x 具有性质Γ.记P 为满足性质Γ的所有函数的集合. （I ）判断函数y x =和2y =是否属于集合P ？（结论不要求证明）
（II ）若函数()x g x =，证明：()g x P ∈;
（III ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：P Q =∅.
【答案】（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（II ）证明见解析；（III ）证明见解析. 【解析】（I ）根据性质Γ的定义判断y x =与2y =是否具有性质Γ，由此判断出函数y x =和2y =是否属于集合P ；
（II ）先根据定义证明函数()x
g x =
具有性质Γ，然后即可证明()g x P ∈；
（III ）将问题转化为证明二次函数不具备性质Γ，先假设二次函数具备性质Γ，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明.
【详解】（I ）y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；
（理由如下：设()f x x =，若()()f x m mf x +=，则有x m mx +=，解得0m =，不符题意，所以y x =不具有性质Γ，所以y x =不属于集合P ；
设()2f x =，若()()f x m mf x +=，则有22m =，所以1m =，所以2y =具有性质Γ，所以2y =属于集合P ） （II ）证明如下：
因为(
)x
g x =，不妨令()()g x m mg x +=
，所以
x m
x
m
+=，
所以
m
m =，显然关于m 的方程有解：2m =，所以(
)x
g x =
具有性质Γ，
所以()g x P ∈；
（III ）根据题意可知：P Q =∅⇔二次函数不具备性质Γ，
假设存在二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠具备性质Γ，所以存在常数()0m m ≠对于任意x ∈R 都有
()()f x m mf x +=成立，
所以存在常数()0m m ≠使()()2
2a x m b x m c amx bmx cm ++++=++成立，
所以存在常数()0m m ≠使()222
2ax am b x am bm c amx bmx cm +++++=++成立，
所以22a am am b bm am bm c cm =⎧⎪
+=⎨⎪++=⎩，解得0,0,1a b m ===，这与假设中0a ≠矛盾，
所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质Γ，所以P Q =∅.
【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质
Γ，再通过“反证”的思想完成证明.。