专题：含参二元一次方程组
第02讲_含参的二元一次方程组(教师版)A4-精品文档资料整理
高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年级：辅导科目：学科教师：五块石1 上课时间授课主题第02讲_含参的二元一次方程组含参的二元一次方程组一．解含参数的二元一次方程组对于关于x、y的二元一次方程组：111222a xb y ca xb y c+=⎧⎨+=⎩（1a、1b、2a、2b为已知数，且1a与1b、2a与2b、1a与2a、1b与2b都不能同时为0）．把含参的二元一次方程组化为含参一元一次方程，再分类讨论，结论如下：1．当1122a ba b≠时，方程组有唯一解，为2112122112211221b c b cxa b a ba c a cya b a b-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩；2．111222a b ca b c==时，原方程组有无数多组解；知识图谱错题回顾知识精讲3． 当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解．一．考点：解含参的二元一次方程组，含参二元一次方程组参数与解的关系，含参二元一次方程组的同解问题．二．重难点：1．方程的个数少于未知数的个数时，方程组有无数多解； 2．含参二元一次方程组的整数解； 3．方程组中的参数的取值范围．三．易错点：参数为给定明确取值范围时，不要忘了分类讨论．题模一：解含参数的二元一次方程组例1.1.1关于x 、y 的方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=⎩，则|m ﹣n|的值是（ ）A ．5B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】∵方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=⎩，∴311mm n -=⎧⎨+=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，所以，|m ﹣n|=|2﹣3|=1．例1.1.2关于x 、y 的方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x 与y 的值相等，则k 等于________【答案】1【解析】解方程组，得56109k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据题意，得51069k k +-=，解得1k = 三点剖析题模精讲例 1.1.3小明在解关于x 、y 的二元一次方程组x y 33x y 1+=⎧⎨-⊕=⎩ⓧ时得到了正确结果x ny 1=⎧⎨=⎩后来发现“ⓧ”、“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出“ⓧ”、“⊕”处的值分别是____A ．ⓧ=1，⊕=1B ．ⓧ=2，⊕=1C ．ⓧ=1，⊕=2D ．ⓧ=2，⊕=2 【答案】B 【解析】将x n y 1=⎧⎨=⎩代入方程组，两方程相加，得x=⊕=1；将x=⊕=1代入方程x+ⓧy=3中，得 1+ⓧ=3，ⓧ=2． 故选B ．例1.1.4求关于x 、y 的方程组2113x y ax y +=⎧⎨-=⎩的解．【答案】当12a =-时，原方程组无解；当12a ≠-时，原方程组的解为172111321x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩．【解析】当121a =-，即当12a =-，由于12111132=≠--，此时方程组无解；当121a ≠-，即当12a ≠-时，原方程组有唯一解，按照消元法求出x 、y 的值即可． 题模二：参数与解的关系例1.2.1由方程组213x m y m ⎧+=⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是（ ）A ．2x+y=4B ．2x-y=4C ．2x+y=-4D ．2x-y=-4【答案】A 【解析】213x m y m ⎧+=⎨-=⎩①②， 把⊕代入⊕得2x+y -3=1，即2x+y=4． 故选：A ．例1.2.2m 取何整数值时，关于x 、y 的方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x 和y 都是整数？【答案】9,7,10,6m =．【解析】把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩．∵x 是整数，∴8m -取8的约数1±，2±，4±，8±． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数±1，±2．取它们的公共部分，81,2m -=±±，解得9,7,10,6m =． 经检验9,7,10,6m =时，方程组的解都是整数． 题模三：同解问题例1.3.1关于x ，y 的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=-6的解，则k 的值是（ ） A ．-34 B ．34C ．43D ．-43【答案】A 【解析】解方程组 59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩得：x=7k ，y=-2k ，把x ，y 代入二元一次方程2x+3y=-6， 得：2×7k+3×（-2k ）=-6， 解得：k=-34， 故选A ．例1.3.2已知关于x 、y 的二元一次方程(2)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【答案】方程的公共解为31x y =⎧⎨=-⎩【解析】方法一：特殊值法，取定a 的两个值，得到关于x 、y 的二元一次方程组，该方程组的解即为所求公共解方法二：原方程可变形为(2)(25)0a x y x y +----= 由于公共解与a 无关，故有20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩随练1.1若关于x ，y 的二元一次方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a =__________．随堂练习【答案】6-【解析】3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩①②， 3⨯①+②消去y 可得()612a x +=，可知当6a =-时，012=原方程无解．随练1.2 已知关于x 、y 的方程组26103ax by ax by +=⎧⎨-=⎩，求762by ax +-的值．【答案】1【解析】解方程组得3ax by =⎧⎨=⎩，所以76270231by ax +-=+-⨯=．随练1.3k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩①②无解？【答案】32k =-【解析】将方程组消元，使之化为ax b =的形式，然后讨论一次项系数a ．当0a ≠时，有唯一解bx a =；当0a =，0b =时，有无数个解；当0a =，0b ≠时，无解．反之也成立．2⨯+①②，得()236k x +=③，由原方程组无解，知方程③也无解．所以230k +=，解得32k =-．当32k =-时方程组无解．随练1.4已知关于x 、y 的方程组23ax y x ay +=⎧⎨-=⎩，（1）求证：该方程组有唯一解；（2）若方程组的解满足x y =，求a 的值． 【答案】（1）见解析（2）15a =-【解析】（1）方程有唯一解为22231231a x a ay a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩；（2）由（1）得22232311a a a a +-=++，解得15a =-． 随练1.5 已知关于x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和3211233x y ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值． 【答案】25a b =-⎧⎨=⎩【解析】可先解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩．因此可得关于a 、b 的二元一次方程组31633a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得25a b =-⎧⎨=⎩．随练1.6关于x 、y 的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解是方程3234x y +=的一组解，那么m 的值是（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】A【解析】解关于x 、y 的方程组239x y m x y m +=⎧⎨-=⎩，得72x my m =⎧⎨=-⎩．因此321734x y m +==，2m =，故答案为A ．随练1.7小明和小亮解同一道方程组()()5151422ax y x by +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，急性子小明把方程（1）中的a 看错了，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩，爱马虎的小亮把方程（2）中的b 看错了，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，一旁的学习委员小丽说，我可以知道这个方程组的解，你能说说小丽是怎么样求出这个方程组的解吗？方程组的解是多少？【答案】14295x y =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】根据题意，将31x y =-⎧⎨=-⎩代入方程（2），将54x y =⎧⎨=⎩代入方程（1），得到关于a 、b 的方程组12252015b a -+=-⎧⎨+=⎩，解得110a b =-⎧⎨=⎩，因此原方程为5154102x y x y -+=⎧⎨-=-⎩，求出x 、y 的值即可． 随练1.8要使关于x 、y 的方程组21x ky k x y +=⎧⎨-=⎩的解都是整数，k 应取哪些整数值？【答案】5,31,1k =---【解析】解关于x 、y 的方程组21x ky k x y +=⎧⎨-=⎩，得3212k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩．由于()326363222k k k k k +-==-+++，13122k k k -=-++． ∵x 是整数，∴21,2,3,6k +=±±±±．∵y 是整数，∴21,3k +=±±．∴5,31,1 k=---作业1在二元一次方程组2310630x yx my++=⎧⎨++=⎩中，当m=_________时，这个方程组有无数组解．【答案】9【解析】原方程组可整理为69363x yx my+=-⎧⎨+=-⎩，故当9m=时，原方程组有无数组解．作业2如果关于x，y的二元一次方程组316215x ayx by-=⎧⎨+=⎩的解是71xy=⎧⎨=⎩，那么关于x，y的二元一次方程组()()()()316215x y a x yx y b x y+--=⎧⎪⎨++-=⎪⎩的解是__________．【答案】43 xy=⎧⎨=⎩【解析】由于两个二元二次方程组都是316215m anm bn-=⎧⎨+=⎩的形式，所以解相同．自我总结课后作业∴71x y x y +=⎧⎨-=⎩，∴43x y =⎧⎨=⎩．作业3解关于x 、y 的方程组4258mx y x y +=⎧⎨+=⎩．【答案】当25m =时，原方程组无解；当25m ≠时，原方程组的解为12528852x m m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】需要对未知数的系数m 进行分类讨论．当125m =，即25m =时，原方程组无解；当25m ≠时，解方程组得12528852x m m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．作业4解关于x 、y 的方程组：3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】6a =-时无解，当6a ≠-时，方程组的解为126186x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩【解析】分类讨论，当321a =-，即6a =-时，原方程组无解；当6a ≠-时，解方程组得126186x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩． 作业5a 取哪些正整数值，关于x 、y 的方程组25342x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩的解x 和y 都是正整数？【答案】1a =【解析】关于x 、y 的方程组25342x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩的解为232x a y =⎧⎪⎨-=⎪⎩．因此只需使32a -（a 是正整数）是正整数即可，故1a =．作业6已知方程组3247x y mx ny -=⎧⎨+=⎩与231953mx ny y x -=⎧⎨-=⎩有相同的解，求m 、n 的值．【答案】41m n =⎧⎨=-⎩【解析】由题意得32453x yy x-=⎧⎨-=⎩，解得21xy=⎧⎨=⎩将21xy=⎧⎨=⎩代入72319mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩，得274319m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得41mn=⎧⎨=-⎩作业7小明与小强同解x、y的方程组3315ax yx by-=⎧⎨+=⎩①②，小明除了看错①中a之外，无其他错误，求得解为16xy=⎧⎨=⎩；小强除了看错②式中的b之外，无其他错误，求得解为21xy=⎧⎨=⎩，试求出a、b之值与方程组的解．【答案】2a=，2b=，方程组的解为33 xy=⎧⎨=⎩【解析】小明看错①式，求得16xy=⎧⎨=⎩，故16xy=⎧⎨=⎩是方程②的解代入求出2b=小强看错②式，求得21xy=⎧⎨=⎩，故21xy=⎧⎨=⎩是方程①的解代入求出2a=因此原方程为233215x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得33xy=⎧⎨=⎩。
含参数的二元一次方程组
专题：含参的二元一次方程组分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。
4x y 5 mx ny 3的解和 的解相同，求3x 2y 1 mx ny 1、解的性质例 3 ：已知关于 x,y 二元一次方程组一、同解问题 例 1：已知关于 x,y 二元一次方程组 x y 1 4x ay的解是二元一次方程3 x y 3的解，求 a 的值。
变式 1：已知方程组2x 3y 3x 5y的解适合 x28 ，求 m 的值 .变式 2：已知二元一次方程组4x y 5的解和mx ny 33x 2y mx ny11 的解相同，m,n 的值。
例 2 ：已知二元一次方程组m,n 的值。
4x 3y 7 的解 x,y 的值互为相反数，求 k 的值。
kx (k 1)y 3变式4：若方程组3x y k 1的解x,y满足0 x y 1，求k 的取值范围。
x 3y 3分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理三、错解问题例4：甲乙两人同时解关于x, y的方程组ax y 3，甲看错了b ，求得的解为2x by 1 的解为x 1，你能求出原题中的a,b 的值吗？y3分析：将解代入没看错的方程看错了方程②中的b，得到方程组的解为x y 54.试计算a2017 ( 110b)2018的值.变式3：已知方程组y 2k3y 1 5k的解x 与y 的和是负数，求k 的取值范围。
变式5：甲、乙两人共同解方程组ax4x5yby152①②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为31；乙1，乙看错了a，求得例5 ：已知3x 7y z 3，求x y4 x 10y z 4z的值。
变式6：已知3x 4y z2x y 8z0，其中xyz2 2 20 ，求x y z的值。
xy yz 2 zx专题：解三元一次方程x yzx yz例 2 ：解 2 34变式 3： 3 4 2x y z 182x 3y z 162x y z 183x y 2z 3 例 4：2x y 3z 11x y z 12例 1 ：解xy2 y 2z 4xz1x 2y 9变式 1：y z 32z x 47变式 2：若 x y 2y z342z x 51，求 x, y,z例 3:y z 26 y1变式 4 ：x y 2z 2x y z 3x z 03x y 2z 3变式 5：2x y 3z 11 x y z 12。
掌握带有参数的二元一次方程组的解法
掌握带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组是指方程组中含有参数的二元一次方程。
解决这类方程组的关键在于求出参数的取值范围，并找到满足方程组的解。
下面将详细介绍带有参数的二元一次方程组的解法。
一、带有参数的二元一次方程组的表示形式带有参数的二元一次方程组一般可以表示为：方程组1：$a_1x + b_1y = c_1$$a_2x + b_2y = c_2$其中，$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$为已知系数，$x, y$为未知数。
二、参数的取值范围为了求解方程组，首先需要确定参数的取值范围。
通常可以通过观察方程来判断参数取值的范围。
例如，如果方程组中含有分母，并要求分母不等于零，那么就需要确定参数不能为使分母为零的值。
三、带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组的解法可以分为以下几种情况：情况一：参数取某个特定值当参数取某个特定值时，方程组就变成了具有确定解的普通二元一次方程组。
根据二元一次方程的解法，解出该方程组，得到解的具体数值。
情况二：参数存在范围当参数存在范围时，需要根据参数的取值范围进行分类讨论。
具体步骤如下：1. 将方程组化简为标准形式，即求出每个方程的标准形式表达式；2. 根据参数的取值范围，将方程组分为不同的情况；3. 分别针对每种情况，解决方程组，并得到解的范围或具体解。
情况三：参数无限制当参数没有明确的取值范围时，需要利用一些性质和技巧，通过代数运算推导出解的性质。
常用的技巧包括代入法、消元法、矩阵法等。
根据具体问题和方程组的特点，选择合适的方法求解。
总之，掌握带有参数的二元一次方程组的解法，首先要明确参数的取值范围，然后根据具体情况选择合适的解法进行求解。
通过逐步分析和计算，可以得出解的范围或具体解。
在实际问题中，带有参数的二元一次方程组的解法能够帮助我们解决更为复杂的数学和实际应用问题。
含参的二元一次方程组训练题
含参的二元一次方程组训练题1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。
2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。
3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3-a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2.4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，-a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为x+y=2-k/3，所以k=6-2m。
5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。
6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b-a)y=0，即x-y=0，所以a=b。
代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。
由于ad-bc≠0，所以解唯一，所以k和m都是正整数。
若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。
8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10-a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10.9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
已知一个含参的二元一次方程组如下：
已知一个含参的二元一次方程组如下：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为参数。
求解这个方程组可以采用以下步骤：1. 使用消元法或代入法将其中一个方程转化为只含有一个未知数的方程。
2. 根据转化后的方程，解出该未知数的值。
3. 将该未知数的值代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
4. 将求得的两个未知数的值代入方程组中，判断是否满足原方程组。
具体步骤如下：步骤一：消元法通过消元法，将方程组转化为只含有一个未知数的方程。
例如，可以通过将方程一乘以e，方程二乘以b，然后将方程二减去方程一，消去y的项，得到新的方程：(ae - bd) x = (ce - bf)。
步骤二：解出未知数x根据转化后的方程，解出未知数x的值。
例如，将新的方程中的系数代入，得到 x = (ce - bf) / (ae - bd)。
步骤三：代入求解y将求得的x的值代入方程一或方程二中，求解未知数y的值。
例如，将x的值代入方程一中，得到 ax + by = c，代入x的值得到a((ce - bf) / (ae - bd)) + by = c，整理得到 y = (cd - af) / (ae - bd)。
步骤四：判断解的合法性将求得的x和y的值代入原方程组，判断是否满足原方程组。
例如，将x和y的值代入方程一和方程二，判断 ax + by 是否等于 c，dx + ey 是否等于 f。
这样就完成了对含参的二元一次方程组的求解。
希望以上内容能对您有所帮助！如有其他问题，请随时告知。
二元一次方程(组)含参问题
二元一次方程（组）含参问题 二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。
一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。
在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种：1.根据定义求参数什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。
即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。
例题1、若方程21221=++-m n m y x是二元一次方程，则mn=______.例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0.2. 同解类问题什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。
例：已知x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。
3.用参数表示方程组的解类问题已知方程组⎩⎨⎧=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________.4.错解类问题遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。
例：小明和小红同解一个二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为⎩⎨⎧=-=31y x ，小红把方程（2）抄错，求得解为⎩⎨⎧==23y x ，求a 、b 的值。
5. 整体思想类 在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。
七年级数学解含参的二元一次方程组(人教版)(专题)(含答案)
由题可知两个单项式为同类项，所以 ，
变形得
②-①，得
把 代入①，得
因此a，b的值分别为2，-1．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：解二元一次方程组
二、填空题(共1道，每道10分)
10.若方程组 的解是 ，某学生看错c，求出解为 ，则正确的c的值为____，b=____．
答案：1, -2
解题思路：
解含参的二元一次方程组（人教版）(专题）
一、单选题(共9道，每道10分)
1.若关于 的方程组 的解是 ，则m+n的平方根为( )
A.4 B.-2
C.2 D.±2
答案：D
解题思路：
把方程组的解 代入 ，得
解得
因此m+n=4，4的平方根为±2．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：二元一次方程组的解
2.已知方程组 的解是 ，则 的关系式( )
7.若方程组 与 有相同的解，则a，b的值分别是( )
A.2，3 B.3，2
C.2，-1 D.-1，2
答案：B
解题思路：
∵方程组 与 有相同的解，
∴方程组 与 也有相同的解．
，
②×4+①，得11x=22，解得x=2，
把x=2代入②，解得y=-1，
∴该方程组的解为 ．
将其代入方程组 ，
得：
解得 ．
故选B．
∴该方程Hale Waihona Puke 的解为 ．将其代入方程组 ，
得：
解得， ．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：解二元一次方程组
6.已知方程组 和 有相同的解，则a和b的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
含参二元一次方程组的解
含参二元一次方程组的解上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。
二元一次方程组的解的三种情况:(1)a1x+b1y=c1(2)a2x+b2y=c2①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。
②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。
③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。
如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线，①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解②两个直线重合时,方程组有无数组解③两个直线平行但不重合时,方程组无解讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。
题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。
(1)y+kx=b(2)y+3(k-1)x=2根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。
得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。
或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。
题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。
(1)y+kx=2(2)2y+3(k-1)x=5根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。
掌握上面的方法后可以试一试下面的题题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。
("希望杯"邀请赛试题)(1)x+ay+1=0(2)bx-2y+1=0答案:a=-2,b=1。
二元一次方程含参问题
二元一次方程含参问题
摘要：
1.二元一次方程简介
2.含参问题的概念
3.解含参问题的方法
4.实际应用与案例分析
5.总结与建议
正文：
一、二元一次方程简介
二元一次方程是含有两个未知数的一次方程，通常形式为：ax + by = c。
在数学、物理、化学等学科中，二元一次方程广泛应用于解析问题、计算问题等方面。
二、含参问题的概念
含参问题是指在二元一次方程中，未知数的系数和常数项含有变量或参数。
这类问题具有一定的灵活性和复杂性，需要运用一定的策略和方法进行求解。
三、解含参问题的方法
1.参数分离法：将含参问题转化为不含参问题，通过消元、换元等方法求解。
2.代入法：将含参问题中的一个方程表示为另一个方程的函数，然后代入另一个方程，转化为不含参问题求解。
3.齐次方程法：将含参问题转化为齐次方程，利用齐次方程的性质求解。
4.图像法：对于具有实际背景的含参问题，可以通过绘制图像来直观分析问题，找出参数的取值范围。
四、实际应用与案例分析
1.线性规划问题：在生产、销售等实际问题中，通过建立二元一次方程组，运用线性规划方法求解最优解。
2.物理问题：在力学、电磁学等领域，利用二元一次方程描述物理量之间的关系，通过求解方程组得到未知量的值。
3.化学问题：在化学反应方程中，通过解二元一次方程组计算反应物和生成物的物质的量。
五、总结与建议
含参二元一次方程问题在实际应用中具有重要意义，掌握解题方法能帮助我们更好地解决这类问题。
在学习过程中，要多加练习，熟练掌握各种解题技巧，提高自己的数学素养。
含参数的二元一次方程组的解法
含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。
现选取几道题略作讲解，供同学们参考。
一、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。
例：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。
略解：由（1）和（3）组成的方程组⎩⎨⎧=-=+5235y x y x 的解是 ⎩⎨⎧-=+=21y x 把它代入(2)得 a=14；把它代入（4）得b=2。
方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程，从而求出参数的解。
二、根据方程组解的性质，求参数的值。
例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？略解：由②得x=3y2×3y-my=6 y=m-66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。
方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。
三、由方程组的错解问题，示参数的值。
例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。
8273=-⨯-⨯）（c 2-=c把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=22y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。
（1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩所以7254=-+=++c b a四、根据所给的不定方程组,求比值。
例4：求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。
二元一次方程组的含参问题
谈收获：今天学到了什么内容？
当堂练习
当堂练习
当堂练习
思路二：将方程x+y=12变形为x=12-y，代入方程组中化为关于x、y的二元一次方程组,求出这个方程组的解,就得到k的值．
练一练
3.已知方程组 <m></m> 的解的和是12，求k的值.
思路三：将原方程组消去k,得到一个关于x、y的方程，和方程x+y=12组成方程组,求出方程组的解,再代入方程，求出k的值。
练一练
3.已知方程组 <m></m> 的解的和是12，求k的值.
思路四：将x+y看成整体，把方程组变形，使x+y用k的代数式表示，再把x+y整体代入到方程x+y=12中，从而得到k的一元一次方程，再求出k的值。
总结：虽然这类题型运用上面四种解题思路都能解出，但在具体解题时，我们应当根据题目特点，选择合适的方法进行运算．比如这道题选择思路三或思路四来解就显得较简便．
类型二：根据两个方程组同解求参数值
解：解方程组解得得：
例3 若方程组 与方程组 有相同的解，求a、b的值．
练一练
1、若方程组 与 有相同的解，求 的值.
解：由题意得，解方程组 解得
说明方程组的解x、y能同时满足①④两个方程
类型三：根据方程组的错解求参数值
例4 甲乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的a，得到的方程组的解为乙看错了方程中的b，得到方程组的解为 试计算的值．
二元一次方程组
【专题】——含参问题
类型一：含参问题构建二元一次方程组解方程
例1 若，求的值。
解：由题意得， 解得, ∴
利用非负性构建
练一练
含参数的二元一次方程组
含参数的二元一次方程组二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。
二元一次方程形式为ax + by = c，其中a、b、c是已知常数，x和y是变量。
二元一次方程组通常有多种解，包括唯一解、无穷解和无解。
下面我们将介绍几个例子，来展示含参数的二元一次方程组。
例1：考虑方程组{3x + 2y = a{4x - y = 2其中a是参数。
要解这个方程组，可以使用消元法或代入法。
下面我们使用代入法来求解。
将第二个方程中的y用x表示，得到y = 4x - 2。
然后，将y的表达式代入第一个方程，得到3x + 2(4x - 2) = a。
简化得到11x - 4 = a。
将a的值代入原方程组，就可以得到x和y的值。
解得x = (a + 4) / 11，y = (4a + 8) / 11。
这样，我们得到了含参数的二元一次方程组的解。
例2：考虑方程组{3x + 4y = a + b{2x - y = a - b其中a和b是参数。
同样使用代入法，将第二个方程中的y用x表示，得到y = 2x - a + b。
然后将y的表达式代入第一个方程，得到3x + 4(2x - a + b) = a + b。
简化得到11x - 3a - 3b = 0。
从中我们可以发现，参数a和b满足这个关系式才能使方程组成立。
这个例子展示了含参数的二元一次方程组可能会有无数个解。
例3：考虑方程组{ax + by = a{bx - ay = b其中a和b是参数。
我们可以通过将第二个方程乘以a和第一个方程乘以b来消去x 和y的系数。
得到abx + aby = ab和abx - aby = b。
简化得到2abx = ab + b。
再进一步简化得到x = (a + 1) / (2a)。
将x的表达式代入第一个方程，可以得到y = (a - 1) / (2b)。
这样，我们得到了含参数的二元一次方程组的解。
以上三个例子展示了含参数的二元一次方程组的求解过程。
二元一次方程组含参问题解析版
二元一次方程组含参问题解析版基本要求：了解二元一次方程组的解法知道代入消元法和加减消元法的意义较高要求：掌握代入消元法和加减消元法例题精讲：例如，解下列方程组：① 3x - y + z = 4，x - y + z = 2② 2x + 3y - z = 12，2x + 4y - z = 10答案：⑴①+②得，5x+2y=16④；②+③得，3x+4y=18⑤；④×2-⑤得，7x=14，x=2，代入④式得y=3，代入③得z=1.原方程组的解为{x=2，y=3，z=1}。
含参数方程组：例如，求解方程组：4x - 3y = k如果要求解x与y的值相等，可以使用以下两种方法：1.将方程组求解得到x与y的值，再判断它们是否相等，最后解出k的值。
巩固：已知有理数x、y、z满足(x-z-2)²+3x-6y-7+3y+3z-4=0，求x、y、z的值。
解法：由非负数的性质可得3x-6y-7=0，解得y=3，3y+3z-4=0，解得z=1，代入原式得(x-3)²=0，解得x=3.若方程组ax+(a-1)y=3，x与y相等，则a的值等于多少？解法：由x与y相等得到x=y，将其代入方程组得到ax+ay=3，化简得到a(x+y)=3，代入x=y得到2ax=3，解得a=3/2.a=3/2.解析】由题意得begin{cases}3x-2y=4\\2mx-3ny=19\end{cases} \qquad\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$$有相同的解，可以将原问题转化为begin{cases}3x-2y=4\\5y-x=3\end{cases} \qquad\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$$可由方程组①④，先进行求解，再将所得的结果代入②③求解$m$、$n$的值。
begin{cases}3x-2y=4\\5y-x=3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$得begin{cases}4m-3n=19\\5-2m=n\end{cases}$$答案】$m=4$，$n=-1$。
人教版七年级下册第八章含参二元一次方程组解法、同解、错解问题专题
含参二元一次方程组解法、同解、错解问题含参问题类型类型题1：含参问题构建二元一次方程组解方程例题1.若0)532(54=-++-+n m n m ，求()2n m -的值。
2.已知方程3)5()2()24(12=+----b a y b x a 是关于x、y的二元一次方程，求a与b的值。
3.已知与互为相反数，则=______，=________．4.已知2a y＋5b 3x 与b 2－4y a 2x 是同类项，那么x，y的值是()．学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容含参二元一次方程组解法、同解、错解问题教学目标1．掌握含参的二元一次方程组的同解、错解的解题方法2．掌握复杂的二元一次方程组的解法2．了解二元一次方程组的解有无数组解、唯一解与无解，会进行简单的求解二元一次方程组的灵活应用针对练习1.若｜x－2｜＋(3y＋2x)2＝0，则的值是．2.若x a+1y-2b与-x2-b y2的和是单项式，则a、b的值分别的（）A.a=2，b=-1B.a=2，b=1C.a=-2，b=1D.a=-2，b=-13.若单项式与是同类项，则，的值分别是多少4..若｜x－y－1｜＋(2x－3y＋4)2＝0，则x＝，y＝．5.若是关于，的二元一次方程，则（）A．，B．，C．，D．，类型题2：恒成立问题构建二元一次方程组解方程例题1.在方程(x＋2y－8)＋m(4x＋3y－7)＝0中，找出一对x，y值，使得m无论取何值，方程恒成立．2.在方程(a+6)x-6+(2a-3)y=0中，找出一对x，y值，使得a无论取何值，方程恒成立.类型题3：（新题型）含有三个未知数的方程组求比例例题1.已知满足方程组，求【学有所获】1）口述：2个未知数需要几个方程，3个未知数需要几个方程，n个未知数需要几个方程2）整体思想一般运用在哪些方面，试着自己归类总结。
针对练习1.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,且xyz≠0.(1)请用含z的代数式表示x、y，并求出x:y:z的值(2)你能求出的值。
二元一次方程组含参题型-例题解析
含字母系数的一次方程组一、二元一次方程及二元一次方程的解 1．二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．二、二元一次方程组及二元一次方程组的解 1．二元一次方程组的概念注意：（1只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．2．二元一次方程组解的情况（1）在x 、y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ①②中，1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为已知数，（1a 与1b 、2a 与2b 都至少有一个不等于0），则有：由21b b ⨯-⨯①②得：12212112a b a b x b c b c -=-（） 由21a a ⨯-⨯①②得：12211221a b a b y a c a c -=-（）当12210a b a b -≠时，方程组有唯一一组解；当12210a b a b -=，且21120b c b c -≠，12210a c a c -≠时，方程组无解； 当12210a b a b -=，且21120b c b c -=，12210a c a c -=时，方程组有无穷多组解； （2）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的情况有以下三种：①当111222a b c a b c ==时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效） ②当111222a b c a b c =≠时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的） ③当1122a b a b ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：1221122121121221c b c b x a b a b c a c a y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．一、一次方程（组）解的讨论【例1】 下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程只有一个解．B ．二元一次方程组有无数个解．C ．二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解．D ．二元一次方程组一定有解．【解析】略 【答案】C 例题精讲【例2】 不解方程组，判定下列方程组解的情况：①23369x y x y -=⎧⎨-=⎩；②23423x y x y -=⎧⎨-=⎩；③351351x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】如果在此我们仍然使用上面的结论判断，会不太方便，对于上面的结论，我们还可以这样记忆：1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均不为0，那么上结论可这样记忆：当1122a b a b ≠时，方程组有唯一一组解（这个解可用加减消元法求得）； 当111222a b c a b c ==时，方程组有无穷多组解（因为两个方程等效）； 当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解（因为两个方程是矛盾的）． 这个公式很常用！利用此结论会很快判断出结果：①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③35≠-方程组有唯一解． 【答案】①123369-==-，方程组有无穷多组解；②213423-=≠-，方程组无解；③3535≠-方程组有唯一解．二、含字母系数的一次方程组1．根据方程解的具体数值来确定 【例3】 已知12x y =⎧⎨=⎩与3x y m =⎧⎨=⎩都是方程x y n +=的解，求m 与n 的值．【解析】12x y =⎧⎨=⎩是方程x y n +=的解可得3n =，则原方程为3x y +=，3x y m =⎧⎨=⎩是方程3x y +=的解可得33m +=，0m =． 【答案】0m =，3n =．【例4】 方程6ax by +=有两组解是22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩，求2a b +的值．【解析】将22x y =⎧⎨=-⎩与18x y =-⎧⎨=-⎩代入6ax by +=可得22686a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，20a b +=【答案】0【例5】 如果二元一次方程20mx ny ++=有两个解是22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩，那么下列各组中，仍是这个方程的解的是（ ） A ．35x y =⎧⎨=⎩B ．62x y =⎧⎨=⎩C ．53x y =⎧⎨=⎩D ．26x y =⎧⎨=⎩【解析】将22x y =⎧⎨=⎩与11x y =⎧⎨=-⎩代入20mx ny ++=可得3212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，原方程为312022x y -++=，检验选A ．【答案】A【例6】 写出一个以12x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】此题答案不唯一，满足条件即可． 【答案】13x y x y +=⎧⎨-=-⎩【例7】 写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组 ．【解析】本题答案不唯一，满足条件即可．【答案】51x y y x +=⎧⎨-=⎩【例8】 已知43x y =-⎧⎨=⎩是方程组12ax y x by +=-⎧⎨-=⎩的解，则6()a b += ．【解析】根据题意可得：431432a b -+=-⎧⎨--=⎩，由431a -+=-得：1a =，由432b --=得：2b =-，6()1a b +=．【答案】1【例9】 已知12x y =-⎧⎨=⎩是方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b += ．【解析】将12x y =-⎧⎨=⎩代入12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩可得0a =，4b =-，那么0(4)4a b +=+-=-．【答案】4-【例10】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求()m n +的值．【解析】把2,1x y ==代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得()22112211m n ⎧⨯+-⨯=⎪⎨+=⎪⎩ 由①得1m =- 由②得0n =所以当1m =-，0n =时，1m n +=-．【答案】1-【例11】 已知方程组2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩，求m 、n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入2421mx y n x ny m +=⎧⎨-=-⎩可得2421m nn m -=⎧⎨+=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．【答案】31m n =⎧⎨=⎩【例12】 关于x ，y 的方程组3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，求m ，n 的值．【解析】将11x y =⎧⎨=-⎩代入3205319mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩可得3205319m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩【答案】23m n =⎧⎨=⎩【例13】若方程组26ax yx by+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=-⎩，则a b+=．【解析】略【答案】0a b+=【例14】若方程组2x y bx by a+=⎧⎨-=⎩的解是1xy=⎧⎨=⎩，那么a b-=．【解析】略【答案】1【例15】若关于x y，的方程组2x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则m n-为（）A．1 B．3 C．5 D．2 【解析】略【答案】D【例16】明明和亮亮二人解关于x、y的方程组278mx bycx y+=⎧⎨-=⎩，明明正确地解得32xy=⎧⎨=-⎩，而亮亮因把c看错了，解得22xy=-⎧⎨=⎩．请问：亮亮把c看成了多少？【解析】根据题意，分别把32xy=⎧⎨=-⎩和22xy=-⎧⎨=⎩代入方程2mx by+=，得322222m bm b-=⎧⎨-+=⎩，解得45mb=⎧⎨=⎩把3x=，2y=-代入方程78cx y-=，得2c=-．假设亮亮把c看成了d，把2x=-，2y=代入方程78dx y-=，得11d=-．【答案】11-【例17】已知方程组278ax bymx y+=⎧⎨-=⎩的解应为32xy=⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m看错后，解方程组得22xy=-⎧⎨=⎩，则a b m⋅⋅的值是．【解析】将32xy=⎧⎨=-⎩，22xy=-⎧⎨=⎩代入2ax by+=可得222322a ba b-+=⎧⎨-=⎩，解得45ab=⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=-⎩代入78mx y-=可得2m=-，45(2)40a b m⋅⋅=⨯⨯-=-【例18】 孔明同学在解方程组2y kx by x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，又已知13k b =+，则b 的正确值应该是 ．【解析】把12x y =-⎧⎨=⎩代入6y kx =+可得4k =把4k =代入得11b =-【答案】11-【例19】 已知甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，如果甲看错了方程①中的a ，得方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩，而乙看错方程②中的b ，得到方程组的解是54x y =⎧⎨=⎩，请求120082009()10a b +-的值． 【解析】把31x y =-⎧⎨=⎩代入42x by -=-,可得10b =-把54x y =⎧⎨=⎩代入515ax y +=可得1a =-把1a =-， 10b =-代入20082009()2a += 【答案】2【例20】 甲、乙两人同时解方程组85mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩①②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确m n ，的值． 【解析】由题意得：425258m n m n -=⎧⎨+=-⎩解方程组可得：382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【答案】382112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例21】 小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【解析】由题意得：322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩解得：45a b =⎧⎨=⎩把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程78cx y -=得：2c =-∴7a b c ++=【答案】72．根据方程解的数量关系来确定【例22】 关于x ，y 的二元一次方程组42132x y mx y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x 与y 的值相等，试求m 的值．【解析】根据题意可得x y =，代入方程组可得42132x x mx x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122x m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【答案】2【例23】 若方程组435(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中x 比y 的相反数大1，求k 的值．【解析】根据题意可得1x y =-+，代入方程组可得4(1)35(1)(1)8y y k y k y -++=⎧⎨-+--=⎩，解得13y k =-⎧⎨=⎩．【答案】3【例24】 若关于x y ，的二元一次方程组2351x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解x 与y 的差是7，求m 的值．【解析】解方程组2351x y m x y m +=⎧⎨+=-⎩的解为：3221x m y m =--⎧⎨=+⎩代入7x y -=得：2m =-【例25】 当1x =时，关于x ，y 的二元一次方程组331ax y x by -=⎧⎨-=-⎩解中的两个数互为相反数，求a ，b ．【解析】x ，y 互为相反数，当1x =，则1y =-，代入方程组可得2a =，4b =-． 【答案】2a =，4b =-．【例26】 二元一次方程组31242x y x ay +=⎧⎨+=⎩的解中x 与y 互为相反数，求a 的值．【解析】∵x 与y 互为相反数 ∴0x y +=解0312x y x y +=⎧⎨+=⎩得：66x y =⎧⎨=-⎩把方程组的解代入412x ay +=得2a =【答案】2【例27】 k 为何值时，关于x y ，的方程组35223x y k x y k-=+⎧⎨-=⎩的解的和为20．【解析】这是含有字母的二元一次方程组，求解此类题需将字母看作常数求解方程组的解，然后再根据题目条件求出字母的值．解：解方程组35223x y k x y k -=+⎧⎨-=⎩得：264x k y k =-⎧⎨=-⎩又因为：20x y +=，即：31020k -=所以：10k =．【答案】10【例28】 已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x y ，，其和1x y +=，求k 的值． 【解析】解3251x y x y -=⎧⎨+=⎩得：25y =-因为(1)7kx k y +-=，所以7kx ky y +-= 所以()7k x y y +-= 把21,5x y y +==-代入()7k x y y +-=得：335k =【答案】335【例29】 已知方程组3542x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩中未知数和等于1-，则m = ．【解析】方程组可以简化为3241y m y m -+=-⎧⎨-+=⎩；解之得到3m =-．【答案】3-3．根据方程解的个数情况来确定【例30】 m ，n 取何值时，方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩（1）有唯一解？（2）没有解？（3）有无穷多组解？ 【解析】由①可得253x y =-③，代入②可得(6)10m y n -=-④当60m -≠时，④有惟一解，进而原方程组有惟一一组解；当60m -=时，100n -≠时，④无解，进而原方程组无解；当60m -=时，100n -=时，④无穷个解，进而原方程有无穷组解．【答案】（1）当60m -≠时，原方程组有惟一一组解；（2）当60m -=时，100n -≠时，原方程组无解； （3）当60m -=时，100n -=时，原方程有无穷组解．【例31】 已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程组的解为：（1）惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．【解析】由已知方程组可得：(2)(1)(2)(2)2(2)(1)2a a x a a a a y a -+=-+⎧⎨-+=-⎩，（1）当(2)(1)0a a -+≠，即2a ≠且1a ≠-时，方程有惟一解，方程组也有惟一解；（2）当(2)(1)0a a -+=，且(2)(2)a a -+与2a -中至少有一个不为零时，方程无解，因此当1a =-时，原方程无解；（3）当(2)(1)(2)(2)20a a a a a -+=-+=-=，即2a =时，原方程组有无穷多组解．【答案】（1）当2a ≠且1a ≠-时，方程组有惟一解；（2）当1a =-时，原方程无解；（3）当2a =时，原方程组有无穷多组解．【例32】 选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【解析】略【答案】①当10a =，14c =时，方程组有无数多解；②当10a =，14c ≠时，方程组无解； ③当10a ≠时，方程组有唯一的解．【例33】 当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩（1）无解；（2）惟一解；（3）有无穷多解．【解析】②－①，得(1)4m x n -=-（1）当1040m n -=-≠，，即14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当10m -≠，即1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当10m -=，40n -=时，即14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【答案】（1）当14m n =≠，时，原方程组无解； （2）当1m ≠时，原方程组有惟一解； （3）当14m n ==，时，原方程组有无穷多个解．【例34】 当m n ，为何值时，关于x y ，的方程组2235mx y nx y n -=⎧⎨+=+⎩（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解．【解析】（1）由223m ≠-，得：43m ≠-． ∴当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）由2235m n n =-=+，得4,23m n =-=-． ∴当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）由2235m n n =-≠+，得4,23m n =-≠-． ∴当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【答案】（1）当43m ≠-，n 为一切有理数时，方程组有唯一解．（2）当4,23m n =-=-时，方程组有无数解．（3）当4,23m n =-≠-时，方程组无解．【例35】k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨-=⎩无解？【解析】根据12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解，所以32k =- 【答案】32-【例36】 若关于xy 的方程组322(1)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩有无穷多组解，求m 的值．【解析】∵方程组有无穷多组解 ∴2m =31m -=2m 解得：2m =（舍），2m =- ∴m 的值是2-．【答案】2-【例37】 已知方程组354x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 和n 是绝对值小于10的整数，求m 和n 的值．【解析】因为方程组无解，所以3m n =，45m n ≠．因为||3||10m n =<，所以101033n -<<，即3n =-，2-，1-，0，1，2，3；相应的9m =-，6-，3-，0，3，6，9，所以（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【答案】（m ，n ）=（9-，3-），（6-，2-），（3-，1-），（0，0），（3，1），（6，2），（9，3）．【例38】 如果关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，那么a = ．【解析】注意方程组无解的条件，根据111222a b c a b c =≠时，方程组无解可得出a 的值． 【答案】6-【例39】 m ，n 取何值时，方程2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解？没有解？有唯一解？ 【解析】由方程组可得：(6)10m y n -=-，当60m -=，100n -=时，即6m =，10n =方程组有无穷多组解；当60m -=，100n -≠时，即6m =，10n ≠方程组无解； 当60m -≠，100n -≠时，即6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．【答案】6m =，10n =方程组有无穷多组解；6m =，10n ≠方程组无解； 6m ≠，10n ≠方程组有唯一解．4．根据方程同解的情况来确定【例40】 已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【解析】由已知，两个方程组有相同的解，所以方程256x y +=-和3516x y -=有相同的解，故将此两个方程联立，通过解此方程组就可求出两个方程组的解，又因为此解满足方程4ax by -=-和8bx ay +=-，故可得关于,a b 的二元一次方程组，通过解该方程组就可求出,a b 的值，从而可求3(2)a b +的值．解：将256x y +=-和3516x y -=联立，得2563516x y x y +=-⎧⎨-=⎩①+②，得510x =，∴2x =把2x =代入①，得2256y ⨯+=-，∴2y =-． ∴22x y =⎧⎨=-⎩．将22x y =⎧⎨=-⎩．代入方程4ax by -=-和8bx ay +=-，得224228a b b a +=-⎧⎨-=-⎩，即24a b a b +=-⎧⎨-=⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩．当1,3a b ==-时，333(2)(23)(1)1a b +=-=-=-故代数式3(2)a b +的值为－1．解决此题的关键是深刻理解二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解就是方程组中两个二元一次方程的公共解．【答案】1-【例41】 关于x y ，的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则()b a -= ．【解析】本题注意方程组的重新组合，把只含有x y ，的方程放在一起组成方程组可解出x y ，的值．再把x y ，的值代入含有a b ，的方程可得到关于a b ，的方程组．可求得12x y =⎧⎨=-⎩，进而求得23a b =⎧⎨=⎩．所以()8b a -=-．【答案】8-【例42】 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值． 【解析】解方程组5325x y x y +=⎧⎨-=⎩得：12x y =⎧⎨=-⎩把12x y ==-，分别代入方程5451ax y x by +=+=，可得：142a b ==， 【答案】142a b ==，【例43】 已知x ，y 的方程组241ax by x y +=⎧⎨+=⎩与3(1)3x y bx a y -=⎧⎨+-=⎩的解相同，求a ，b 值．【解析】联立1x y +=与3x y -=可得21x y =⎧⎨=-⎩，将其代入其它两个方程24(1)3ax by bx a y +=⎧⎨+-=⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩．【答案】64a b =⎧⎨=⎩【例44】 如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？【解析】解方程组⎧⎨⎩2a =【答案】2【例45】 已知关于x y ，的方程组239x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解也是方程3217x y +=的解，求m ．【解析】解方程组23,9x y m x y m +=⎧⎨-=⎩得：72x my m =⎧⎨=-⎩把72x my m =⎧⎨=-⎩代入3217x y +=得：1m =【答案】1【例46】 若关于x y ，的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为？【解析】由方程①+②可得：7x k =①-②可得：2y k =-把7x k =，2y k =-代入方程236x y +=得：34k =【答案】34【例47】 已知关于x ，y 的二元一次方程(1)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【解析】解法一：由于a 取不同的值，方程都有一个相同的解，所以可以取1a =，1a =-代入原方程，可以得到方程组：330270y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩；解法二：方程有一个公共解，说明方程有一种形式，关于a 的方程有无数解，将方程变形得：(2)(25)0a x y x y +----=，此方程有无数解，故：20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得公共解为：31x y =⎧⎨=-⎩． 【答案】31x y =⎧⎨=-⎩5【例48】 a 【解析】把a 作为已知数，解这个方程组得31325312a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∵00x y >⎧⎨>⎩，∴3130253102aa -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解不等式组得313315a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解集是6111053a <<【答案】111053a <<【例49】 m 取何整数值时，方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩的解x y ，都是整数？ 【解析】把m 作为已知数，解方程组得81828x m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵x 是整数，∴8m -取8的约数1248±±±±，，，． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数12±±，． 取它们的公共部分，812m -=±±，． 解得97106m =，，，． 经检验97106m =，，，时，方程组的解都是整数． 【答案】97106m =，，，【例50】 已知方程组51x my x y +=⎧⎨+=⎩有正整数解，那么正整数m 的值为 ．【解析】消去x 得到方程(1)6m y +=，解得61y m =+． 因此12m +=或13m +=；故1m =或2m =．【答案】1m =或2m =【例51】 要使方程组⎧⎨⎩有正整数解，求整数a 的值．【解析】解方程组2x x ⎧⎨-⎩∵∴4a +的值可以为：124816，，，，∴a 的值为：320412--，，，，． 【答案】320412--，，，，【例52】 已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x y ，均为整数，则2m = ．【解析】消去y 得到(3)10m x +=；因为方程有整数解，故10(3)3x m m =≠-+，代入第二个方程得到153y m =+； 为使103m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或7； 为使153m +为整数，且m 是正整数，只能取2m =或12； 为使103m +和153m +都是整数，且m 是正整数，取2m =，则24m =． 【答案】4【例53】 已知关于x y ，的方程组： 1 1 1 x by y ax bx ay -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，试证明：221a b ab a b ++++=． 【答案】由①＋②×b ，得(1)1ab x b -=+，由①×a ＋②，得(1)1ab y a -=+．当1ab =时，(1)1ab y a -=+无解，即方程组无解；当1ab ≠时，则11bx ab +=-，11a y ab+=-，代入③化简即可得到221a b ab a b ++++=．。
人教版含参数的二元一次方程组的解法
例2：
｛ 关于x、y的方程组
4x+y=5 3x-2y=1
的解和
｛ mx+ny=3 mx-ny=1
的解相同，求m、n.
5
变式：
｛ 3x-5y=16 nx+m4 6
例3：
｛ 甲、乙两人同时解方程组
mx+ny=1 mx-ny=5
由于
｛x=3
甲看错了方程①中的m，得到的解是， y=2
｛x=2
乙看错了方程②的n，得到的解是 y=1 ，
试求正确m、n的值。
7
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
8
小结：通过本节课你有什么收获？
9
作业：
｛ 1 关于x、y的方程组
x+2y=4k 2x+y=2k+1
其中x－y=13，求k的值.
10
｛ 2 关于x、y的方组
2mx－y=4m +3
x+2y=3
其中x+y=2，求m的值.
11
｛ 3 解方程组
ax+by=2 cx-7y=8 时，
｛ 本应解出 x=3 y=-2
，由于看错了系数c，从而
｛ 得到解
x=-2 y=2
，试求a+b+c.
12
专题训练 含参数的二元一次方程组的解
法
参数：在方程中除了未知数以外的其他字母
1
新课导入
｛ 关于x、y的方程组
x=m y=3m+2
其中x+y=10，求m的值.
2
例1：
｛ 关于x、y的方程组
2x+3y=3m x+2y=3
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专题：含参二元一次方程组
1．关于x ，y 的二元一次方程2x +3y =18的正整数解的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
2．若方程ax ﹣5y =3的一个解是，则a 的值是（ ）
A ． ﹣13
B ． 13
C ． 7
D ． ﹣7
3.已知二元一次方程572=-y x ，用含x 的代数式表示y ，正确的是
A ．257x y +=
B ．257
x y -= C ．275y x += D ．572y x -= 4.已知⎩⎨⎧==11y x ，⎩
⎨⎧==32y x 是关于x ,y 的二元一次方程y=kx+b 的解，则k,b 的值是 A ．k =1, b =0 B ．k =-1, b =2 C ．k =2, b =-1 D ．k =-2, b =1 5. 12
x y =⎧⎨=-⎩是关于x 和y 的二元一次方程1ax y +=的解，则a 的值为_________________． 6．写出二元一次方程25x y +=的非负整数解_______________________
7．写一个以21
x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组_____________________．
8.请你写出一个二元一次方程组 ,使它的解是x 2y 3
=⎧⎨=⎩．
9. 已知代数式1515
a x y -与25
b a b x y +-是同类项，那么a 与b 的值分别是
10．若方程mx +ny =6的两个解为，，则m n = ．
11. 若关于x 、y 的方程组 的解x 与y 的值的和等于2，求m 的值.
12．是否存在整数k ，使方程组的解中，x 大于1，y 不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．
13．已知关于x 、y 的二元一次方程组的解x 、y 是一对相反数，试求m 的值．
14.若关于x,y 的方程组35223x y m x y m
+=+⎧⎨+=⎩的解x 与y 的值的和等于2，求2m -的值.
15.已知关于x ，y 的二元一次方程组2322x y k x y k +=-⎧⎨+=⎩
的解满足，求k 的取值范围.
16．王老师让全班同学们解关于x 、y 的方程组217x ay bx y +=⎧⎨-=⎩①
②（其中a 和b 代表确定的数），
甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a ，解得14
x y =⎧⎨=-⎩，乙看错了②中的b ，解得
11x y =-⎧⎨=⎩
，请你求出这个方程组的正确解．。