悬索桥计算

*第八节悬索

悬索有许多工程应用，常见的有高压输电线、架空索道、悬索桥等。悬索结构两端固定，它和梁的主要区别在于悬索不能抵抗弯曲，只能承受拉力。在初步的力学计算中，假设悬索具有充分的柔软性，故称为柔索。本节讨论的悬索均为柔索。对于已经处于平衡状态的悬索，根据刚化原理可知，作用在悬索上的力应该满足刚体的平衡条件。同时需要注意的是，绳索不是刚体，平衡方程表示绳索平衡的必要条件但非充分条件。

工程实际中经常碰到的问题是：在给定载荷作用下，求悬索的形状、索内拉力和绳索长度，以及它们与跨度、垂度、载荷之间的关系，以作为设计、校核悬索的根据。

悬索在工作中受到的载荷可以分为两类：（1）集中载荷；（2）分布载荷。其中分布载荷中最常见的是水平均布载荷、沿索均布载荷。当不计钢索自重时，旅游胜地高空缆车的索道受到车厢集中力（即重力）的作用（图8-39a）；装有吊篮的架空索道，同样受吊篮的集中力（即重力）的作用。这些都是悬索受集中载荷作用的例子。悬索直拉桥主索上承受的载荷可看成是水平均布载荷（图8-39b)。高空输电线（图8-39c)和舰船的锚链上承受的载荷可看成是沿索均布载荷。

(a) (b)

(c)

图8-39

当悬索两支座A和B高度相同时，两个支承点之间的水平距离称为跨度；在载荷作用下，悬索上每一点下垂的距离称为垂度，由悬挂点到最低点的垂直距离称为悬索的垂度。在悬索计算中，跨度和索上最低点的垂度通常是已知的。

一、集中载荷

设绳索（柔索）连接在两个固定点A和B并有n个垂直集中载荷P1、P2、…、P n，如图8—39(a)所示，绳索的重力与绳索承受的载荷相比可以忽略。因此当绳索系统处于平衡状态时，相邻载荷之间的绳索段AC1、C1C2、C2C3和C3B均被拉紧成直线段，即在集中载荷作用下，绳索成折线状。故绳索段AC1、C1C2、C2C3和C3B均可以当作二力杆，绳索中任

意点的内力可简化为沿绳索方向的张力。

图8—39(a)中，已知悬挂点A 到每个载荷的水平距离x 1、x 2、…、x n ，画出绳索系统的受力图，如图8—40a 所示，悬挂点A 的约束反力为A x 、A y ，悬挂点B 的约束反力为B x 、

(a) (b) (c)

图8—40

B y ，共有4个未知量，而平面一般力系独立的平衡方程只有3个，所以不能由整体的受力分析求出A 、B 点的约束反力，必须考虑绳索某一部分的平衡，得到一个附加方程。 由于悬挂点的垂度y 1、y 2、…、y n 未知，所以绳索的平衡位置是不确定的，图8—40a 表示了3种可能的平衡位置。下面计算绳索的形状及绳索各部分的张力T 。 设绳索中任取一点D ，横坐标为x ，如果垂度y 已知，则图8—40b 所示部分可以列写平衡方程

)

(=∑F D M

。由于索上最低点C 3的垂度y 3通常是已知的，所以当D 点取在索上

最低点C 3时，用截面法取出左半部分（或右半部分），得到补充方程

0)(3

=∑F C M

，与绳

索整体系统的3个平衡方程联立求解，得到约束反力为A x 、A y 、B x 、B y 。

求出A 、B 处的约束反力后，可以利用截出部分（图8—40b 、c ）的力平衡方程

∑∑==00Y X 及求出绳索上任意一点的张力。由于x

A T -=θcos ，故绳索上任意一点

的张力的水平分量均相同。张力θcos x A T -=，故θ越大，θcos 越小，T 也越大。 例8-12 如图8—41a 所示，绳索AE 在B 、C 、D 三个点承受垂直载荷。已知C 点位于左端支承A 之下5m ，计算

（1）支承处A 、E 的约束反力； （2）点B 、D 的高度； （3）各段绳索的张力； （4）各段绳索的斜率。

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

图8—41

解 （1）取整个绳索为隔离体，画出图8—41b 所示受力图，列写整个绳索系统的平衡方程：

0=+x x E A (a) 0

kN 22=-+y y E A (b)

0m kN )1543012406(6020=⋅⨯+⨯+⨯+-=∑y x E

A A M

(c)

由于C 点高度已知，故取隔离体ABC ，画出图8—41c 所示受力图，列写隔离体ABC 对C 点的力矩平衡方程：

0m kN 106305=⋅⨯+--=∑y x C

A A M

(d)

联立（a ）、（b ）、（c ）、（d ）四式，求得

kN

18-=x A kN

5=y A kN

18=x E

kN

17=y E

（2）为求点B 的高度，取隔离体AB ，画出图8—41d 所示受力图，列写隔离体AB 对B 点的力矩平衡方程：

0m kN 20518=⋅⨯-=∑B B

y M

解得

m 56.5=B y ，B 点在A 点之下

为求点D 的高度，取隔离体ABCD ，画出图8—41e 所示受力图，列写隔离体ABCD 对D 点的力矩平衡方程：

0m kN )1512256455(18=⋅⨯+⨯+⨯-+-=∑D D

y M

解得

m 83.5=D y ，D 点在A 点之上

（3）求各段绳索的张力 列写A 点的力平衡方程：

01=+x x T A 01=-y y T A

解得AB 段绳索拉力

kN 181=x T kN 51=y T kN 7.182

1211=+=y x T T T

由于绳索上任意一点张力的水平分量均相同，故kN 184321====x x x x T T T T 。 列写隔离体AB 垂直方向的力平衡方程（图8-41d ）：

kN 6kN 52=+-y T

解得BC 段绳索拉力

kN

12=y T

kN

0.1822222=+=y x T T T

列写隔离体ABC 垂直方向的力平衡方程（图8-41c ）：

12kN -kN 6kN 53=+-y T

解得CD 段绳索拉力

kN

133=y T

kN 2.2223233=+=y x T T T

列写E 点垂直方向的力平衡方程：

y

y T E 4-=0

解得DE 段绳索拉力

kN

174=y T

kN

8.2424244=+=y x T T T

所以绳索张力的最大值出现在DE 段，kN 8.244max ==T T 。 （4）求各段绳索的斜率

在图8-41d 中，AB 段绳索的斜率

278.02056.520tan 1-=-=-

=B y θ 0

15.15-=θ

在图8-41e 中，BC 段绳索的斜率

056.0105

tan 2=-=

B y θ

22.3=θ 在图8-41f 中，CD 段绳索的斜率

722.0155

83.5155tan 3=+=+=

D y θ 0

3

8.35=θ 在图8-41f 中，DE 段绳索的斜率

945.01583

.5201520tan 4=-=-=

D y θ

44.43=θ

二、水平均布载荷 如图8—42（a ）所示，直拉式悬索桥的绳索重量远小于桥面道路的重量，这时绳索受到沿水平方向均匀分布的载荷，w 表示载荷集度，其量纲为N/m 。选择绳索最低点C 为坐标原点，建立Cxy 坐标系，C 到绳上任意一点D(x,y)的绳索部分承受的载荷总共为W=w x ，