二次函数的面积最值问题
二次函数的最值问题面积
二次函数的最值问题面积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：二次函数是高中数学中非常重要的一个概念，它的图像是一个拱形或者倒置的碗形，最常见的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c。
在二次函数中，最值问题是许多学生觉得比较困难的一个问题，今天我们就来一起讨论一下关于二次函数的最值问题和与之相关的面积计算。
让我们来回顾一下二次函数的最值问题。
当我们在解题的时候，通常会遇到两种情况，一种是求二次函数的最大值，另一种是求二次函数的最小值。
对于f(x) = ax^2 + bx + c这个二次函数来说，最值问题就是求出这个函数的最大值或最小值。
而最值点一般都在抛物线的顶点处，也就是拱形或者碗形的中心点。
接下来，让我们来看一下如何求解二次函数的最值问题。
我们需要知道二次函数的顶点公式：x = -b/2a。
通过这个公式，我们可以求出二次函数的顶点坐标，进而得到最值点。
如果a大于0，则顶点是一个最小值点，如果a小于0，则顶点是一个最大值点。
通过这个简单的方法，我们就可以得到二次函数的最值点。
现在，让我们来讨论一下关于二次函数最值问题和面积的联系。
在解决二次函数的最值问题的过程中，有时候我们会遇到需要求解二次函数所围成的区域的面积的问题。
这个时候，我们需要利用计算积分的方法来求解。
通常情况下，我们可以通过二次函数与x轴所围成的图形的面积就是二次函数的定积分，即∫[a,b]f(x)dx。
通过这个公式，我们可以方便地计算出二次函数与x轴所围成的图形的面积。
二次函数的最值问题和面积计算是高中数学中非常重要的一个知识点，它不仅需要我们掌握二次函数的最值问题的解法，还需要我们了解如何通过计算面积来更深入地理解二次函数。
希望通过今天的讨论，大家对于二次函数的最值问题和面积计算有了更深入的认识。
希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的解题能力，做好数学知识的应用。
【字数不足，还需要再添加一些内容】第二篇示例：二次函数是高中数学中的重要内容之一，许多学生在学习过程中会遇到与二次函数有关的最值问题。
二次函数面积最大值问题
二次函数面积最大值问题二次函数面积最大值问题是一个经典的数学优化问题，旨在寻找一个二次函数的最大面积。
为了理解这个问题，我们首先需要明确什么是二次函数。
二次函数是一种具有形如y=ax^2+bx+c的函数形式的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
在二次函数面积最大值问题中，我们希望找到一个二次函数的最大面积，该函数关于x轴对称。
这意味着，我们需要在二次函数的图像上找到一个顶点，使得顶点对应的面积最大。
要解决这个问题，我们可以利用一些基本的数学知识和技巧。
首先，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状。
当抛物线开口朝上时，函数的最小值对应于顶点；当抛物线开口朝下时，函数的最大值对应于顶点。
为了找到二次函数的顶点，我们可以使用一些数学方法。
一种简单的方法是求出二次函数的导数，并令其等于零。
这将给我们一个方程，从中我们可以解出顶点的x坐标。
将这个x坐标代入原函数，我们可以找到顶点的y坐标。
一旦我们找到了顶点坐标，我们可以计算出顶点对应的面积。
这可以通过将顶点下方的曲线与x轴之间的曲边梯形与顶点上方的曲线与x轴之间的曲边梯形的面积相加来实现。
通过这种方法，我们可以找到二次函数的最大面积。
需要注意的是，由于二次函数的图像可能对称于y轴，因此可能存在多个顶点。
因此，在求解问题时，我们需要将所有的顶点都考虑在内，并计算出对应的面积。
最后，我们选取最大的面积作为答案。
总之，二次函数面积最大值问题是一个寻找二次函数的最大面积的数学优化问题。
通过寻找二次函数的顶点，并计算出对应的面积，我们可以解决这个问题。
这是一个有趣且实用的数学问题，可以帮助我们理解和运用二次函数的概念。
二次函数面积最值问题
如何求解二次函数中的面积最值问题二次函数中求面积最值问题常用方法:1.补形、割形法2.“铅垂高，水平宽”面积法3.切线法4.三角函数法如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－，）三、切线法若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．＝．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，怍PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．用分割面积法求二次函数动点面积最值考纲解读二次函数动点面积最值1. 二次函数在历年中考中都为重点内容，占分为40%。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。
二次函数求面积最大值
二次函数求面积最大值二次函数是高中数学中比较重要的一章内容，它在数学和物理中都有广泛的应用。
其中，求二次函数的最值是一个常见的问题，而二次函数求面积最大值也是其中一个重要的应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。
二、二次函数求面积最大值的问题对于给定的二次函数y=ax+bx+c，我们要求其在区间[a, b]上的面积最大值。
这个问题可以转化为求y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，然后再利用定积分求解。
三、求二次函数的最值我们知道，二次函数的最值只可能出现在其顶点处，因此我们可以先求出二次函数的顶点坐标，然后再判断其是否在区间[a, b]内。
对于y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。
如果顶点坐标不在区间[a, b]内，则最值出现在区间端点处，即y(a)和y(b)中的较大值。
四、利用定积分求解面积最大值已知y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，我们可以利用定积分求解其面积最大值。
设y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值分别为y1和y2，则其面积最大值为∫[a, b] (y1-y2)dx。
五、例题解析下面通过一个例题来说明如何利用二次函数求面积最大值。
例1：求函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值。
首先，求出该函数的顶点坐标：x0 = -b/2a = -4/(-2) = 2y0 = -x0+4x0+5 = -4+8+5 = 9因为顶点坐标(2, 9)在区间[0, 4]内，所以函数的最值为y(2)=9。
然后，利用定积分求解面积最大值：∫[0, 4] (y(2)-y)dx = ∫[0, 4] (9+x-4x)dx = 20/3因此，函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值为20/3。
初中数学：二次函数面积最值问题的4种解法.doc
初中数学：二次函数面积最值问题的4种解法原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。
设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。
这其实属于高中内容。
但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
解法四：三角函数法。
请大家认真看上面的解题步骤。
总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。
过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。
设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。
对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
二次函数面积最大值问题
二次函数面积最大值问题二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a!=0。
它是数学中的一种基本函数类型，也是一种常见的函数类型。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，它在平面上呈现出对称的形状。
而二次函数的面积最大值问题即是要找到这个二次函数上的某个区间，使得该区间所对应的面积达到最大值。
要解决这个问题，我们首先需要找到二次函数的顶点，因为顶点是抛物线的最高点或最低点，对应着面积最大值或最小值。
二次函数的顶点坐标的x值可以通过求导函数的根来得到，也可以通过使用二次函数的对称轴公式来得到。
一般来说，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的对称轴公式为x = -b/(2a)。
对于开口朝上的抛物线，顶点位于对称轴上方；对于开口朝下的抛物线，顶点位于对称轴下方。
有了二次函数的顶点坐标后，我们可以进一步求得面积最大值对应的区间。
对于开口朝上的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间内；对于开口朝下的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间外。
接下来，我们需要定义面积的计算方法。
对于开口朝上的抛物线，面积为两个顶点x值之间的曲线下方所围成的面积；对于开口朝下的抛物线，面积为整个函数曲线下方所围成的面积。
对于面积的计算，可以使用微积分的方法。
我们可以先求出二次函数的原函数F(x)，然后通过计算F(x)在区间内的两个端点的函数值之差来得到面积。
具体来说，对于开口朝上的抛物线，面积可以表示为S = F(x2) - F(x1)，其中x1和x2是顶点的两个x值；对于开口朝下的抛物线，面积可以表示为S = |-F(x2) + F(x1)|。
要计算S的数值，我们需要根据二次函数的具体形式来计算对应的原函数F(x)。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的原函数F(x) = (a/3)x^3 + (b/2)x^2 + cx。
二次函数求面积最大值
二次函数求面积最大值二次函数求面积最大值是高中数学中的经典问题，也是数学竞赛中常考的知识点之一。
本文将分步骤阐述二次函数求面积最大值的具体过程和数学原理。
一、二次函数的标准形式首先，我们需要了解二次函数的标准形式。
一般情况下，二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）其中，a、b、c分别为常数，x为自变量，y为因变量，a代表着开口向上或向下的程度，若a > 0，则开口向上，若a < 0，则开口向下。
b代表着抛物线在水平方向上的平移，c代表着抛物线的纵坐标值。
二、二次函数求解面积最大值的步骤接下来，我们来具体阐述二次函数求解面积最大值的步骤。
我们以y = -x² + 6x为例，来说明具体的求解过程。
步骤一：求解极值首先，我们需要求解二次函数的极值。
根据二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的导数为：y' = 2ax + b将二次函数y = -x² + 6x带入上式，可得到：y' = -2x + 6令导数y' = 0，则有：-2x + 6 = 0解得x = 3将x = 3代入原方程y = -x² + 6x中，可得到：y = -9因此，二次函数y = -x² + 6x在x = 3处达到极大值，极大值为-9。
步骤二：确定积分区间接下来，我们需要确定二次函数在哪个区间内积分。
由于二次函数的对称轴为x = -b / 2a，因此我们可以通过求解对称轴的坐标得到积分区间。
将二次函数y = -x² + 6x带入对称轴公式中，可得到：x = -6 / (-2) = 3因此，积分区间为[0, 3]。
步骤三：求解面积最大值最后，我们可以使用求定积分的方法来求解面积最大值。
将二次函数y = -x² + 6x代入定积分公式中，可得到：S = ∫[0, 3](-x² + 6x)dx= [-1 / 3 x³ + 3x²] [0, 3]= 9因此，二次函数y = -x² + 6x在[0, 3]区间内的面积最大值为9。
二次函数面积最值问题
二次函数面积最值问题1. 问题概述二次函数是代数学中的重要概念，它服从形如f(x) = ax^2 + bx + c的数学表达式，其中a、b、c为实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它在平面上呈现出优美的曲线形状。
本文将探讨与二次函数相关的面积最值问题。
2. 背景知识在进一步讨论二次函数面积最值问题之前，我们需要了解一些基本的数学知识。
### 2.1 二次函数的图像特点 * 二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或者向下。
* 如果a大于0，则抛物线开口向上，称为上凸函数；如果a小于0，则抛物线开口向下，称为下凸函数。
2.2 二次函数的面积计算公式对于一个给定的二次函数f(x)，在给定区间[a, b]内的曲线与x轴之间的面积可以通过积分来计算：S = ∫[a, b] |f(x)|dx3. 二次函数面积最值问题二次函数面积最值问题是指在某个给定的区间内，找到一个二次函数的图像与x轴之间的面积最大或最小的情况。
接下来，我们将探讨如何解决这个问题。
3.1 二次函数面积最大值问题对于一个上凸的二次函数，它的图像与x轴之间的面积是连续且单调递增的。
因此，我们可以通过求解二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点坐标来确定面积最大值时的x值。
3.1.1 求解顶点坐标一个二次函数的顶点坐标可以通过如下公式得出： x_v = -b / (2a) y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))3.1.2 面积最大值计算已知二次函数的顶点坐标后，我们可以计算出它与x轴之间的面积，即面积最大值。
由于上凸二次函数对称，我们可以将区间[a, b]划分为两部分，分别计算两个子区间内的面积，并将它们相加，即得到整个区间[a, b]内的面积最大值。
3.2 二次函数面积最小值问题对于一个下凸的二次函数，它的图像与x轴之间的面积是连续且单调递减的。
因此，我们可以通过求解二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点坐标来确定面积最小值时的x值。
二次函数中的最值及面积问题
二次函数中的最值及面积问题一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题
初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题初中数学二次函数面积最值问题一般是指给出一个二次函数，要求求出其在一定范围内的面积最大值或最小值。
这类问题可以通过四种不同的解法来求解，分别是代数解法、几何解法、导数解法和平移法。
下面我来详细介绍这四种解法。
1.代数解法：代数解法是通过代数方法来解决问题。
对于给定的二次函数，首先根据题目要求找出变量的限制条件，然后可以利用一些代数的技巧，如配方法、因式分解等，将问题转化为求最值的问题。
通过求取顶点，得到函数的极值点，进而求得面积的最值。
代数解法的优点是原理简单，容易理解和掌握；缺点是计算量大，需要一些代数技巧和计算能力。
2.几何解法：几何解法是通过几何图形的性质和关系来解决问题。
对于给定的二次函数，可以画出函数的图像，然后根据几何图形的性质，找出切线、直线和坐标轴的交点，进而得到问题的解。
几何解法的优点是直观简单，理论基础较弱；缺点是需要具备较好的几何直观和空间想象能力。
3.导数解法：导数解法是通过求函数的导数，对函数的变化情况进行分析，进而求出极值点。
对于给定的二次函数，可以求出其导数，并令导数为零，求得顶点的横坐标，再代入函数中求得纵坐标，从而得到问题的解。
导数解法的优点是简单快捷，通用性强；缺点是需要一些微分的知识和运算能力。
4.平移法：平移法是通过对函数进行平移变换，将求最值的问题转化为求一些形状固定的函数的最值问题。
对于给定的二次函数，可以通过平移到一些特定位置，使得问题的解变为该函数的最值。
平移法的优点是逻辑清晰，简单明了；缺点是需要一些平移变换的知识和运算能力。
这四种解法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法。
在解决二次函数面积最值问题时，可以结合代数、几何、导数和平移四种解法，综合运用，可以更快更准确地解决问题。
掌握了这些解法，就不再害怕压轴题了。
二次函数面积最值问题
二次函数面积最值问题一、问题概述二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。
这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
二、问题分析为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。
下面是一些常见的数学公式：1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c其中a,b,c都是实数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点坐标：(h,k)其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。
3. 二次函数的对称轴方程：x=h4. 两点之间距离公式：d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]5. 矩形面积公式：S=lw其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。
了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。
三、求解方法1. 求最大值要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
步骤二：求出二次函数的顶点坐标。
步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。
步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。
具体的，可以按照以下函数来实现：```pythondef max_area(a,b,c,start,end):# 将二次函数化为标准形式f = lambda x: a*x**2+b*x+c# 求出二次函数的顶点坐标h = -b/(2*a)k = f(h)# 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽l = end-startw = abs(f(start)-k)*2# 计算矩形面积，并比较得出最大值S = l*wreturn S if S>0 else 0```其中，a,b,c分别表示二次函数的系数，start,end表示给定区间的端点。
这个函数会返回一个最大面积值。
2. 求最小值要求一个二次函数在给定区间内的最小面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
二次函数面积最值问题的4种解法
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解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。 设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的 计算公式，得出二次函数，必有最大值。
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原 题 ：在（ 1）中 的 抛 物 线 上 的 第 二 象 限 是 否 存 在 一 点 P，使 △PBC 的 面 积 最 大 ？ 若 存 在 ， 求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。 考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计 算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面 积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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从小学数学-------------------------------------------------
解 法 二 ： 铅 锤 定 理 ， 面 积 =铅 锤 高 度 ×水 平 宽 度 ÷2。 这 是 三 角 形 面 积 表 达 方 法 的 一 种 非 常 重要的定理。 铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为， 铅 锤 定 理 ，在 很 多 地 方 都 用 的 到 。这 里 ，也 有 铅 锤 定 理 的 简 单 推 导 ，建 议 大 家 认 真 体 会 。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。 总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找 出各元素之间的关系。 设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点 式，求出三角形面积的最大值。 对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题 中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
二次函数--面积最值问题-顶点不在取值范围内
22.3（2.2）--面积最值问题-顶点不在取值范围内
一．【知识要点】
1.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】
1.结合绵阳市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活
m，绿化区造价50元/2m，设绿化区域较长直角边为xm
动区造价60元/2
（1）用含x的代数式表示出口的宽度；
（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）若x为整数,请求出最省钱的方案。
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
【D】
1。
二次函数的实际应用(面积最值问题含答案)
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -=)5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyO AB M O（图5） （图6） （图7）6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3 7．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ）8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ABCD PQ解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.5易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +== ∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．11。
二次函数面积最值问题
二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、 对称轴和最值.
二次函数y 1 (x 3)2 4,当x ____时， 2
函数有最___ 值，且这个值为___. 将抛物线y x2 4x 10配成顶点式， 得 _______,当X ___时，函数的最__ 值是 __ .
问题：
矩形窗框的高为_(_6_-_2_x_-0__.5_π__x_)m.
设窗户的透光面积为Sm2,则
S= 1πx2+2x(6-2x-0.5πx)
2
1
当
x
=-( 2
π+4)x2+12x
12
2(1 π 4)
12 π 8 ≈1.1时,s的值最大.
2
即当矩形窗框宽约2.2m,高约2.1m时，透光面积最大。
（四）师生小结
练习1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔
有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方
米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x）
x
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
B
C
(2)当x＝
b 2a
3 时，S最大值＝
4ac b2 4a
24－4x
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
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中考专题
痛击中考
26.(12分）（2018.玉林）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A， B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第 一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物 线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端 点），其横坐标为m． （1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式； （2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．
（3）在BC上方抛物线上是否存在一点P，使
y
得S△PBC=6，若存在，求出点P的坐标，若不
存在，说明理由。
A
(-1,0)
O
.P
BQ
(5,0)
x
C
(0,-5)
.
D (2,-9)
变式提升
（2012）如图，在平面直角坐标系，直线y＝﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别 相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好 落在直线AD的点C处． （2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD＝S1， S△NOA＝S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的 坐标；
总结提炼
如此深入挖掘一道题的多种方法，可 使我们摆脱题海战术、提高解题能力。
同时，善于总结一题多解能加快解题 速度，也更有利于培养学生的钻研能力和 创新精神。
谢谢指导！
真题挑战
（．2006防城）1．抛物线y＝﹣x2+2bx﹣（2b﹣1）（b为常）与x轴相 交于A（x1，0），B（x2，0）（x2＞x1＞0）两点，设OA•OB＝3 （1）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝1？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由．
1 MH 2
O
2
A (1,0)
C
x
h2
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？
方法三：切线法
y
4
(0,3) B 3
2
1
M（m,－m2+3m+4）
x
O
2
A (1,0)
巩固提高
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、B(5,0)两点，与y
轴交于点C(0,-5). 点D(2,-9)是抛物线的顶点。
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？
方法一：割补法
4
解：设点M的坐标为（m,－m2+3m+4）
y
M（m,－m2+3m+4）
SMAB SOMB SOMA SABO
(0,3) B3
3m 1 1(m2 3m 4) 1 13 1
2
2
2
2
1 m2 3m 1
2
2
1
1 (m 3)2 5 2
1 <0
2
当m=3时，S最大，为5
A
x
O
2
A (1,0)
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？
方法二：铅垂法
SMAB SMHB SMHA
4
y
M（m,－m2+3m+4）
1 2MHFra bibliotek• h1
1 2
MH
• h2(0,3)
B3
h1
1 2 MH • (h1 h2 )
2
H
1
1
MH • OA
2