两角差的余弦公式教案
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两角差的余弦公式教案
海南省三亚市第一中学数学组陈艳
一教材分析和目标:
本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式,通过简单运用,使学生初步理解公式的结构.功能及其运用,同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。
1. 知识与技能
(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。
(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
2. 过程与方法目标:
通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力;体会公式探求中从特殊到一般的数学思想,同时渗透如上所说的多种数学思想。
3. 情感与态度目标:
通过公式的推导与简单应用,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,敢于探索、创新的学习品质。
二教学重点、难点:
重点:通过探索得到两角差的余弦公式,公式的灵活应用。
难点:两角差的余弦公式探索与证明。
教法:问题诱思法,探究法,演练结合法。
学法:自主探究法
三教学流程:
一用熟悉的知识引出课题
二
明确
探索
的目
标和
途径
三
组织
学生
自主
探索
证明
四
通过例
题练习
加强对
公式的
理解
六
布置
作业
五
小
结
四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示)
五教学情景设计:
1.我们先看两个问题:
(1) cos( π—β)=?
(2) cos( 2π—β)=?
大家根据诱导公式很快得出了答案,大家接着思考一个问题,当特殊角π和2π被一般角α取代,
(3) cos( α-β )=?
2.大家猜想了多种可能,其中有同学猜想
cos(α-β)=cosα-cosβ
cos(α-β)=sinα-sinβ
cos(α-β)=sinα-cosβ
cos(α-β)=cosα-sinβ
那么这些结论是否成立?
3.我们一起来用计算器验证。(几何画板课件)
在这里我们做与单位圆相交的两个角α,β,现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。首先任意取一组α,β角,模拟计算出 cos(α-β) cosα-cosβsinα- sinβ cosα-sinβ由结果推翻假设(反证法),
那么cos(α-β)到底等于什么呢?现在我们来借助计算机的强大计算功能,由cos(α-β)的结果模拟可能的答案。
4.计算机模拟结论
cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ(黑板板书)。
变换不同的α,β角度,结论仍保持不变。
同学们观察分析该结论的构成,右边与向量夹角的坐标表示一致.
5.证明过程如下:
假设OA与OB的夹角为θ,OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)
由向量数量积的概念,有OA·OB=|OA|·|OB|cosθ=cosθ
由向量数量积的坐标表示有OA·OB=cosαcos β+ sinαsinβ
于是有 cosθ=cosαcos β+ sinαsinβ
分类讨论如下:
(1)α-β在[0,π]时,θ=α-β
(2)α-β在[π,2π]时两向量夹角θ=2π-(α-β)
此时 cos[2π-(α-β)]=cos(α-β)
(3)α-β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0,2π]
综合三种情况,cos(α-β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得证
经过大家的猜想,计算,证明,我们得出两角差的余弦公式,有些同学开始产生疑问,我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误,都是两角差的余弦,结论似乎不一致,现在我们一起来探讨,揭开谜底。
6.例一: 用两角差的余弦公式证明问题
(1)cos (π—β)=-cos β (2)cos (2π—β)=cos β 证明(1) cos(π—β)
= cos π·cosβ+sin π·sin β =-1·cosβ +0·sinβ =-cos β
左边=右边 所以cos(π—β)=-cos β得证
证明(2) cos(2π—β)
= cos2π·cos β + sin 2π·sinβ =1·cosβ + 0·sinβ =cos β
左边=右边 所以cos(2π—β)=cos β得证
前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 7.例二: 用两角差余弦公式求cos15°.
解法一:cos15° =cos(45°—30°)
=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
=
12+ 解法二: cos15°= cos(60°—45°)
= cos60°·cos45°+sin60°·sin45°=
4
(分成17°-2°是否可行?) 8.练习:
证明: cos(α+β)= cos α·cos β-sin α·sinβ
思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”,从数学的角度,减负就是---“加正”,所以 α+β=α- (- β) 证明:∵ cos (α+β) = cos [α-(- β)]
=cosα·cos( -β) +sin α·sin(-β)
= cosα·cosβ-sinα·sin β
∴cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
9.对比两角和与差的余弦公式:
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
余余异号正正
10.化简求值:
(1) cos105°cos15°+sin105°sin15°=cos90°=0
(2)cos(θ+20°)cos(θ-40°)+sin(θ+20°)sin(θ-40°)=cos60°=1 2
(3)cos35°cos10°-sin35°sin10°=cos45°
11.回顾反思:
(1)提出问题:由两个熟悉的诱导公式入手,从特殊到一般,提出问题。
(2)探究问题
假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——
灵活应用——公式对照记忆。
12.下节课需要解决的内容,通过已经证明的两角和余弦的思路,思考两角和差的正弦。13.作业布置:
课本131页第一题和第五题。
14.板书设计