两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式 教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
二、教学重点难点重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
三、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角α、β，的正弦余弦值来表示cos(α-β)，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路本节课利用向量的数量积运算的定义来推导两角差的余弦公式，在学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两种不同的途径探索、推导公式。
六、教学过程（一）新课导入某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为60米，从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度。
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值。
我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。
若,αβ为两个任意角, 则Cos()Cos Cos αβαβ-=-成立吗？ 令60,30αβ=︒=︒，显然Cos(6030)Cos60Cos30︒-︒≠︒-︒154530,Cos15Cos(4530)︒=︒-︒∴︒=︒-︒Q 。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案
目标：学生能够理解和应用两角差的余弦公式解决相关问题。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 使用举例的方式引起学生对两角差的兴趣，并引导他们思考两角差的概念。
2. 提问学生：你们知道两角差的余弦公式是什么吗？有什么用途？
二、理论介绍（15分钟）
1. 介绍两角差的概念和符号表示。
2. 说明两角差的余弦公式的推导过程。
3. 引导学生理解公式的意义，并提供实际应用案例。
三、示范与实践（20分钟）
1. 通过具体的示范问题，展示如何使用两角差的余弦公式。
2. 导引学生解决练习题，巩固所学知识。
3. 现场纠正学生的错误答案，并让他们讲解正确答案的解题方法。
四、归纳总结（10分钟）
2. 与学生讨论公式的实际应用，并回答他们的问题。
五、拓展延伸（10分钟）
1. 提供更具挑战性的问题，让学生思考扩展形式。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置相关练习题作为课后作业。
评估方法：
1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和回答问题的准确性。
2. 作业完成度：检查学生完成的作业，看是否能正确运用两角差的余弦公式。
教学资源：
1. 投影仪或白板，用于展示教学内容。
2. 复印的练习题和答案。
注意事项：
1. 确保教学步骤的顺序和时长合理，以确保学生的学习效果和兴趣。
2. 鼓励学生互动与讨论，以促进他们的思考和理解。
两角差的余弦公式教案
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.二、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.三、教学设计（一）导入新课(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题1：出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.图2问题2：教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =c osθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α-β))此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题3：:教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题4：对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.（四）课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.（五）作业。
两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版
两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版教学设计：两角差的余弦公式一、教学目标1.了解两角差的余弦公式的含义和应用背景。
2.掌握两角差的余弦公式的表达方式和解题方法。
3.能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
二、教学内容1.两角差的余弦公式的概念和导出过程。
2.应用例题分析和解答。
三、教学过程1.导入新知识（10分钟）介绍两角差的余弦公式的应用背景和重要性，引起学生对该内容的兴趣和好奇心。
2.概念讲解（15分钟）解释两角差的余弦公式的概念和含义，包括公式的表达方式和在几何图形中的意义。
通过几个简单的例子帮助学生理解公式的实际应用。
3.导出过程（20分钟）4.应用例题演练（30分钟）解答一些简单的例题，让学生动手计算两角差的余弦值，加深对公式的理解。
适当选择一些实际问题的例题，让学生看到公式在实际问题中的应用价值。
5.拓展应用（15分钟）给学生一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决这些问题。
鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法。
6.归纳总结（10分钟）总结两角差的余弦公式的应用范围和解题方法，并强化公式的记忆和理解。
鼓励学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。
四、教学点评在拓展应用环节，教师给学生一些更复杂的应用题，让学生运用所学知识解决这些问题。
这是一个很重要的环节，能够培养学生的思考能力和解决问题的能力。
同时，教师鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法，培养学生的创造力和创新意识。
在总结归纳环节中，教师引导学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。
这种方式能够增强学生对知识的理解和记忆，并培养学生表达能力和思维能力。
同时，教师还进行了复习巩固，加深学生对公式的记忆和理解。
总之，这个教学设计环环相扣，层层深入，既加强了学生对两角差的余弦公式的理解，又培养了学生解决问题的能力和思考能力。
必修4教案3.1两角差的余弦公式
例 4、化简① sin sin 3 cos cos3 （ cos 2 ） ②
1 sin cos （ tan ） 1 sin cos 2
例 5、已知 tan tan
3 求 (2 cos 2 )(2 cos 2 ) 的值（3） 3
= sin cos cos sin ② sin( ) sin cos cos sin ③ tan( )
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan( )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
4
)
4 3 且 求 cos ( 2 10 ) 5 4 4
5 10 ， cos 求 的值( 4 ) 5 10
例2、
、 均为锐角，且 sin
例3、 ①已知 sin sin
2 4 且 cos cos 求 cos( ) ( 1 9 ) 3 3 1 1 ②已知 、 (0, ) ， sin sin ， cos cos 2 2 2
求 cos2 的值（ 7 25 ）
例 2、已知 sin 3sin(2 ) 求证： tan( ) 2 tan 0 例 3、①求值
2sin 500 sin100 （ 3） cos100
两角差的余弦公式优秀教学设计1
两角差的余弦公式一、教学目标知识与技能目标：1、理解两角差余弦公式的推导过程；2、掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题。
过程与方法目标：1、通过对公式的推导，让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论的思想；2、通过对公式的推导提高学生分析问题，解决问题的能力，让学生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律;情感态度与价值观目标：通过对公式的推导与简单应用，使学生经历数学知识的发现、认知的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，从而提高学生的学习兴趣。
二、教学重点两角差的余弦公式及公式的灵活应用三、教学难点余弦公式的探索，推导和证明四、教学策略选择与设计课标要求我们要尽量的把课堂还给学生，让学生小组合作，在得到新知的同时又能培养他们的合作，分析和探索能力。
我们主要采用引导探索的教学方法，引导学生自主探索，合作交流去发现，探求两角差的余弦公式（关键在于如何引导学生通过大胆猜想，类比得出公式）。
五、教学过程：（一）回顾复习在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？问题引入: 我们在前面所学三角函数值时就知道，21cos45,cos302==，而cos15cos(4530)=-，大家猜想一下，cos15等于多少呢？是不是等于cos45-cos30？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的，也就是cos()α β不会等于cos -cos αβ问：那么会是多少呢？（学生大胆猜测两角差余弦的表达式）（二）得出新知所以，cos()α-β=cos cos sin sin αβ+αβ（三）定义解析1 成立条件：是不是对于任意的α，β都适用于差的余弦公式?等价于α-β不属于[0，π]时是否成立？2 结论：归纳为“余余正正符号异”（四）定义巩固例1 利用差角余弦公式求cos15°的值分析：引导学生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°两种方法求解．(2)cos15cos105sin15sin105+= ．(3)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)θ+θ-+θ+θ-= ．例2 已知45sin ,(,),cos ,5213πα=α∈πβ=-β是第三象限角，求cos(α-β)的值． 分析：注意各角所在象限的符号，对于基础好的学生，把条件(,)2πα∈π去掉，结果又如何？ 例3 公式逆用 求13cos15sin152+的值 ［（五）回顾提高刚才我们经历了两角差的余弦公式的完整、曲折探索过程，回顾来看，大家有什么启 发和感悟？（引导学生从思想方法，思路转换等方面去总结提高）公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明根据你所总结的知识，能否证明下面的公式：例4 对于任意的α，β cos()α+β=cos cos sin sin αβ-αβ分析：可以把+β看成是-（-β）；或者根据两角差的余弦公式探索过程，重新证明两角和的余弦公式；（六）课堂练习例5 α，β都是锐角 111cos ,cos(714α=α+β)=-，求cos β的值。
两角差的余弦公式教案(示范课)
《3.1.1两角差的余弦公式》教案玉林高中数学科 授课人：饶蔼教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.教学重、难点1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别. 教法、学法1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.教学过程（一）创设情境，引入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x 米，则3430cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x 等于多少？8 m x︒30答：2445cos 8=︒=x 米提问：当电梯坡度为15度时，此时x 又等于多少？答：︒=15cos 8x 米问题1：︒15cos 等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；（二）探究归纳，提出猜想问题2：对任意的βα,，βαβαcos cos )cos(-=-是否成立？1. 思考：︒15能否用特殊角表示？预案1：)3045cos(15cos ︒-︒=︒问：︒-︒=︒30cos 45cos 15cos 是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
两角差的余弦公式教学设计
《两角差的余弦公式》教学设计一、教材内容解析（1）内容：高中数学人教A版必修4第三章《三角恒等变换》第一节第一课时，两角差的余弦公式，是用两个单角的三角函数值来表示两个差角的余弦值。
揭示单角三角函数与复角三角函数的内在联系，开辟了三角函数研究的新领域。
（2）地位：这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础，起着承上启下的作用。
（3）作用分析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数、平面向量的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。
教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时的公式。
对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。
（4）重点与难点：两角差的余弦公式的探索推导将是本节的重点，探索过程中老师的组织和适当的引导是本节课的难点，因为这不仅是学习积极性的问题，还有探索过程中必用的基础知识是否具备的问题，以及对已经学过的知识和方法应用能力等问题。
二、教学目标的设置：（1）知识与技能目标：掌握公式的两种证明方法，数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；熟记公式的结构特征，学会公式最简单的应用。
（2）过程与方法目标：以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，经历用向量数量积推导两角差余弦公式的过程，进一步体会向量方法的应用。
经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程，加强新旧知识的联系，锻炼应用已学过的知识与方法解决问题的能力，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识，从而体会数形结合的数学思想方法。
（3）情感、态度与价值观目标：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣和勇气，通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案§3.1.1 《两角差的余弦公式》教学设计主讲教师：卫金娟教学目标1、知识目标：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
学情分析：1、知识分析：必修4前两章刚学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；但”两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.3、学习习惯与态度：所带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习. 教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式。
教学难点：两次探究过程的组织和引导。
教学方法：讲授法与讨论法相结合，探究学习与合作学习相结合知识准备：平面向量的数量积、三角函数线、诱导公式教学准备：多媒体、圆规，三角板教学流程：引入问题，提出探究明确途径，组织和引导学生自主探究例题、练习讲解，深化公式的理解与运用小结问题5：夹角θαβ与、有什么关系？（2分钟）（1）（2）-=,-=-,αβθαβθ由图（1）知，由图（2）知根据终边相同的角的性质有：2+k ,k Z αβθπ-=±∈所以，cos()cos(+2)cos()cos .k αβθπθθ-=±=±=结论：对任意角α、β有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+探究2：借助三角函数线来推导cos()αβ-公式（10-11分钟）首先，我们从最简单的情况进行讨论：.αβαβ>设、都为锐角，且作单位圆O ，（在这里我们取单位圆的四分之一）设角α的终边与单位圆O 交于点1P , 即1xOP α∠=,作1POP β∠=,则xOP αβ∠=-.PM x ⊥作轴，垂足为M . 问题1：那么cos()αβ-表示哪条线段长？问题2：如何用线段分别表示sin β和cos β？问题3：cos cos =cos OA βαα，它表示哪条线段长？sin sin =sin AP βαα，它表示哪条线段长？问题4：利用OM OB BM OB CP =+=+，你能得到什么结论？探究过程：①PM x ⊥作轴，垂足为M ，则OM =cos()αβ-。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式简介1.1 教学目标了解两角差的余弦公式的概念和意义。
掌握两角差的余弦公式的表达式。
1.2 教学内容两角差的余弦公式的定义。
两角差的余弦公式的推导过程。
1.3 教学方法通过实例和图形来引导学生理解两角差的余弦公式的概念。
使用公式推导的方法来解释两角差的余弦公式的来源。
1.4 教学评估通过课堂练习和问题讨论来检查学生对两角差的余弦公式的理解和掌握程度。
第二章：两角差的余弦公式的应用2.1 教学目标学会使用两角差的余弦公式进行角度计算。
能够解决实际问题中涉及两角差的余弦公式的题目。
2.2 教学内容两角差的余弦公式的应用实例。
两角差的余弦公式在实际问题中的应用。
2.3 教学方法通过例题和练习题来引导学生运用两角差的余弦公式进行计算。
使用实际问题来培养学生的应用能力。
2.4 教学评估通过课堂练习和问题讨论来检查学生对两角差的余弦公式的应用能力和解决实际问题的能力。
第三章：两角差的余弦公式的证明3.1 教学目标理解两角差的余弦公式的证明过程。
学会使用证明方法来验证两角差的余弦公式的正确性。
3.2 教学内容两角差的余弦公式的证明方法。
两角差的余弦公式的证明过程。
3.3 教学方法通过证明方法和证明过程来引导学生理解两角差的余弦公式的正确性。
使用逻辑推理和数学证明的方法来解释两角差的余弦公式的证明过程。
3.4 教学评估通过课堂练习和问题讨论来检查学生对两角差的余弦公式的证明过程的理解和掌握程度。
第四章：两角差的余弦公式的拓展4.1 教学目标了解两角差的余弦公式的拓展内容。
掌握两角差的余弦公式的推广和应用。
4.2 教学内容两角差的余弦公式的拓展实例。
两角差的余弦公式的推广和应用。
4.3 教学方法通过拓展实例和练习题来引导学生探索两角差的余弦公式的拓展内容。
使用推理和归纳的方法来引导学生掌握两角差的余弦公式的推广和应用。
4.4 教学评估通过课堂练习和问题讨论来检查学生对两角差的余弦公式的拓展内容和推广应用的能力。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式
教学目标
（一）知识目标
1、理解两角差的余弦公式的推导过程，并会利用两角差的余弦公式解决简单问题。
（二）能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，学生体会利用已有知识解决问题的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）情感目标
使学生经历数学知识的发现、探索和证明的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
教学重点与难点
重点：两角差的余弦公式的探索和简单应用
难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导
教学方法与手段
教学方法：探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
教学过程
在_____=∆OB OAB Rt 中，
在____=∠∆PAC OAP Rt 中，______=CP _____=BM 在=∆OM OPM Rt 中，__________=+=BM OB OM __________)cos(=-∴βα
板书设计。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式一、教材分析1、教材的地位和作用本节课教学内容是人教版《高中数学》必修４第三章３.１.１《两角和与差的余弦》（要三个课时），这是第一课时。
本节内容是三角函数公式的推广，它还涉及到平面向量的内容。
同时，它又是本节及其后面各节公式的“源头”。
因此，两角和与差的余弦公式起着承上启下的核心作用。
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
2、教学目标知识与技能：能够推导两角差的余弦公式，了解单角与复角三角函数间的联系，理解两角差的余弦公式，并且能够运用两角差的余弦公式求非特殊角的余弦。
过程与方法：通过猜想、探索等数学活动，发现并推导“两角差的余弦公式”，体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过创设问题情景，学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和激发学生的学习兴趣。
3、教学的重点和难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；教学难点：探索过程的组织和恰当引导。
二、教法与学法分析教法：启发引导学生自主学习，调动学生的积极性学法：积极主动探究问题三、教学流程1、提出问题，引入课题如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F 作用在物体上的功W ．解：co s(60)W F S F S β=⋅=⋅⋅︒-=30cos(60)β⋅︒-6m Sβ β 8m F提问：1）解决问题需要求什么？2）你能找到哪些与β有关的条件?3）能否利用这些条件求出)60cos(β-︒？2、分析问题，猜想结论要求()β-60cos ︒我们可以转化到求()βα-cos从特殊情况去猜测公式的结构形式令ββπβαπαcos )cos()cos(,-=-=-=则： 令ββπβαπαsin )2cos()cos(,2-=--=--=则：请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．令︒=︒=30,120βα则：︒=︒-︒=-90cos )30120cos()cos(βα＝0 学生思考、交流、猜想：我们的公式的形式应该与αcos ，βcos ，αsin ，βsin 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“⨯”、“÷”？3、引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O 中，作α=∠OXP 1， 交单位圆于点1P ，作1P O P β∠=， y O P 1 βα-B αβc o s xM βs i n C α 1 P β1 A则βα-=∠XOP ．过点P 作PM 垂直x 轴于M ，A OP PA 于点1⊥，过B OM AB A 于点作点⊥ ，过点C AB PC P 于点，作⊥，则：βcos =OA ，βsin =AP ， 且α=∠=∠OX P PAC 1co s sin co s co s sin sin O M O B B M O B C PO A A P ααβαβα=+=+=+=+∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（βα、为锐角，且βα>）提问：当αβ、取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下． 方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角βα、，它们终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则：OA =)sin ,(cos αα，OB =)sin ,(cos ββco s()||||(co s ,sin )(co s ,sin )O A O B O A O B αβααββ⋅-===αβαβsin sin cos cos +y-1 -1 1 1B )sin ,(cos ββ )sin ,(cos αα αβx 0∴)cos(βα-=αβαβsin sin cos cos + （0≤βα-≤π）公式称两脚差的余弦公式，简记作()βα-C4、运用结论，多方练习1）解决引例中的问题2）例：利用差角余弦公式求cos15°的值。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念和意义。
掌握两角差的余弦公式的推导过程。
1.2 教学内容引入两角差的余弦公式的概念，即对于任意实数α和β，两角差的余弦公式可以表示为cos(αβ) = cosαcosβ+ sinαsinβ。
解释两角差的余弦公式的意义，即求两个角的差的余弦值可以通过求两个角的余弦值和正弦值的乘积来计算。
1.3 教学方法通过举例和实际问题引入两角差的余弦公式，让学生感受到公式的实际应用。
通过图形和几何解释两角差的余弦公式的推导过程，让学生直观地理解公式。
1.4 教学活动举例说明两角差的余弦公式的应用，如计算一个角度与参考角度的差的余弦值。
引导学生通过图形和几何推理来推导两角差的余弦公式。
第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程。
理解两角差的余弦公式的几何意义。
2.2 教学内容推导两角差的余弦公式，通过构造一个直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理。
解释两角差的余弦公式的几何意义，即两个角的差的余弦值等于这两个角的余弦值的乘积加上这两个角的正弦值的乘积。
2.3 教学方法通过图形和几何推理推导两角差的余弦公式，让学生直观地理解公式的推导过程。
通过实际例子和计算，让学生巩固两角差的余弦公式的应用。
2.4 教学活动引导学生通过构造直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理推导两角差的余弦公式。
让学生通过实际例子和计算，运用两角差的余弦公式计算角度的差的余弦值。
第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的应用。
能够灵活运用两角差的余弦公式解决实际问题。
3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数的和差问题、计算向量的夹角余弦值等。
通过实际例子和计算，展示两角差的余弦公式的应用方法和步骤。
3.3 教学方法通过实际例子和计算，让学生掌握两角差的余弦公式的应用方法。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案教案：余弦公式的两角差1.教学目标：-学生能够理解两角差的概念和性质；-学生能够运用余弦公式求解两角差的值；-学生能够应用余弦公式解决实际问题。
2.教学重点：-余弦公式的概念和性质；-余弦公式的推导和运用；-实际问题的解答方法。
3.教学准备：-教学用书或其他参考资料；-教学投影仪或黑板；-纸板和彩色粉笔。
4.教学流程：步骤一：引入本课-通过举例，引导学生思考什么是两个角的差。
步骤二：讲解两角差的概念-在黑板上绘制一个平面直角坐标系，标出角A和角B。
-通过示意图，解释角A和角B的差是指从角A逆时针旋转到角B所需的旋转角度。
-引导学生观察并总结出两角差的概念。
步骤三：引入余弦公式-提问：“如何计算两个角的差？”-引导学生回顾正弦定理和余弦定理的内容。
-提醒学生可以通过推导余弦公式，来计算两个角的差。
步骤四：推导余弦公式-在黑板上绘制一个平面直角坐标系，标出角A和角B。
-让学生观察并总结出余弦公式的推导过程。
-引导学生将角A和角B的余弦用三角函数表示，并使用三角函数的定义进行推导。
步骤五：运用余弦公式-在黑板上绘制几个示意图，引导学生计算两个角的差。
-指导学生使用余弦公式计算两个角的差，并解释计算步骤。
步骤六：解决实际问题-提供一些实际问题，要求学生运用余弦公式进行求解。
-指导学生分析问题，建立数学模型，并通过计算求解问题。
步骤七：总结与归纳-从概念、推导、运用和实际问题的角度总结两角差的余弦公式。
-引导学生发现两角差的余弦公式的应用领域和重要性。
5.巩固练习：-在课后布置练习题，要求学生独立完成，并在下一堂课上进行讲解和答疑。
6.拓展延伸：-引导学生思考如何应用余弦公式计算多个角的差；-提出一些复杂的实际问题，让学生独立运用余弦公式解决。
7.课堂小结：-回顾本堂课的重点内容和难点；-强调同学们在课后复习并完成练习题。
8.参考资料：-教材或参考书中关于两角差的内容；-有关余弦公式和应用的相关资料和习题。
教学设计2：5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式
5.5.1 第1课时两角差的余弦公式【教学目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．【要点梳理】两角差的余弦公式温馨提示：右边是两项的和，第一项是cosα与cosβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．【思考诊断】1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？[答案]利用公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)22．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√【课堂探究】题型一给角求值【典例1】计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.[思路导引](1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．[解](1)解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.[名师提醒]利用公式C (α－β)求值的思路方法(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[针对训练]1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝32，故选B. [答案] B2．化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[解析] cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝cos(α＋45°－α)＝22. [答案] 22 题型二 给值求值【典例2】 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值． [思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．[解] ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，∴0<α<π6， 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， ∴－π2<α－β<－π6， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. [名师提醒]给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[针对训练]3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465[解析] 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. [答案] A4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，则cos α的值为________． [解析] 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，所以π3＋α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513. 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526. [答案] 123－526题型三 给值求角【典例3】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [思路导引] 将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3. [答案] π3[变式] 若本例变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． [解] 由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又因为cos(α－β)＝1314， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3 314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， 因为0<β<π2，所以β＝π3. [名师提醒]解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．[针对训练]5．已知0<α<π2，－π2<β<0，且α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α－β. [解] 因为0<α<π2，－π2<β<0， 且sin α＝55，cos β＝31010， 故cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝－1－cos 2β＝－1－910＝－1010， 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 由0<α<π2，－π2<β<0得，0<α－β<π， 又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4. 【课堂小结】1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.【随堂验收】1．cos165°等于( )A.12B.32C ．－6＋24 D ．－6－24[解析] cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°) ＝－⎝⎛⎭⎫22·32＋22·12＝－6＋24.[答案] C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12 C.22 D.32[解析] cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝cos π4＝22.[答案] C3．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] 原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝12.故选A.[答案] A4．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6[解析] ∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255. 由cos2α＝1010，得sin2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. 又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. [答案] C5．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. [解析] 由cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，得 sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝45×22＋⎝⎛⎭⎫－35×22＝210. [答案]210。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案一、教学目标1.理解余弦公式的基本概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法；3.能够灵活运用余弦公式解决实际问题；4.培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点1.余弦公式的概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法。
三、教学难点1.理解余弦公式的原理和推导过程；2.能够灵活运用余弦公式解决实际问题。
四、教学过程步骤一：导入新知识1.引入：通过一个例子引入余弦公式的概念和应用，例如：已知三角形的两边长度和它们夹角的余弦值，求第三边的长度。
2.提问：学过正弦定理的同学，你们能说说余弦公式和正弦定理有什么区别吗？步骤二：讲解余弦公式的原理和推导过程1.从图形的角度解释余弦公式的原理：已知三角形的三个边长度a、b、c，求它们对应的角A、B、C的余弦值。
2.利用余弦定理，推导出两角差的余弦公式。
步骤三：讲解应用举例1.通过具体的例子和计算过程，讲解如何利用余弦公式解决两角差问题。
例如：已知两角和一条边的长度，求另一条边的长度。
2.提供更多的练习题，让学生通过练习提高运用余弦公式的能力。
步骤四：梳理归纳知识点1.整理余弦公式的公式表达；2.归纳余弦公式的适用条件和注意事项。
步骤五：拓展延伸1.提供更多的实际问题让学生运用余弦公式解决；2.引导学生思考如何利用余弦公式解决更复杂的问题。
步骤六：小结概括1.总结余弦公式的基本原理和应用方法；2.强调学生在实际问题中的应用能力和解决问题的思维方式。
五、教学反思通过引入例子、讲解原理、举例解题等多种教学方法，能够帮助学生更好地理解和应用余弦公式。
同时，在教学中提供大量的练习题和实际问题，可以提高学生运用余弦公式解决问题的能力。
在讲解过程中，要注重对学生的巩固和拓展，引导学生提高解决问题的思维方式和能力。
两角差的余弦公式教案05
3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=+=⨯+= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα ⎝⎛∈，呢？ （四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（ 解: ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= 2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．（六）作业：《世纪金榜》。
两角差的余弦公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、教学目标知识与技能在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．过程与方法通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．二．重点难点重点两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．三、教材与学情分析1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的．在这些公式的推导中，教书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等．另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程1、导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与cos(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝55，α∈(0，π2)，cosβ＝1010，β∈(0，π2)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法转化为公式C(α－β)的形式求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．2、新知探究①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出．②在公式C(α－β)中，角β是任意角，请学生思考角α－β中β换成角－β是否可以？此时观察角α＋β与α－(－β)之间的联系，如何利用公式C(α－β)推导cos(α＋β)＝？③分析观察C(α＋β)的结构有何特征？④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基础上能否推导sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？⑦分析观察公式T(α－β)、T(α＋β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α－β)与cos(α＋β)中角的内在联系，学生有的会发现α－β中的角β可以变为角－β，所以α－(－β)＝α＋β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α－β)上，这样就很自然地得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.所以有如下公式cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α＋β)．对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α＋β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α－β)进行记忆，并填空cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式 实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6) 化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α＋cos 2α＝1 互化，此法让学生课下进行)，因此有sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.在上述公式中，β用－β代之，则sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α＋β)、S (α－β)．Sin （α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sin 2π7cos 5π7＋cos 2π7sin 5π7＝__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α＋β)、S (α－β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样 推导出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出 ．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子、分母同除以cos αcos β得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有 tan(α－β)＝tan α＋tan －β1－tan αtan －β＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1 tan tan -+， tan （α－β）＝βαβαtan tan 1 tan tan +-. 对问题⑥，学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋ π( ∈ )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆． 对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意 不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β )处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如 化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sinπ2－βcos π2－β＝cos βsin β 处理等．3. 应用示例例1已知sin α＝－35，α是第四象限角，求sin(π4－α)，cos(π4＋α)，tan(π4－α)的值． 活动 教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cos α，tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．解 由sin α＝－35，α是第四象限角，得cos α＝1－sin 2α＝1－－352＝45. ∴tan α＝sin αcos α＝－34. 于是有sin(π4－α)＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝－34－11＋－34＝－7.点评 本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯． 变式训练1. 不查表求cos75°，tan105°的值． 解 cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30° ＝22×32－22×12＝6－24， tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°tan45°＝3＋11－3＝－(2＋3)． 2．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2sin(α＋π4)等于( ) A.75 B.15 C.72D ．4 答案 A例2已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．活动 教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S (α－β)、C (α＋β)、T (α＋β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．解 由sin α＝23，α∈(π2，π)，得cos α＝－1－sin 2α＝－1－232＝－53，∴tan α＝－255. 又由cos β＝－34，β∈(π，3π2)，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－－342＝－74， ∴tan β＝73.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×(－34)－(－53)×(－74)＝－6－3512. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝(－53)×(－34)－23×(－74)＝35＋2712. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－255＋731－－255×73＝－65＋5715＋235＝－325＋27717. 点评 本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2.引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识．解 设电视发射塔高CD ＝x 米，∠CAB ＝α，则sin α＝3067， 在Rt △ABD 中，tan(45°＋α)＝x ＋3030tan α. 于是x ＝30tan 45°＋αtan α－30， 又∵sin α＝3067，α∈(0，π2)，∴cos α≈6067，tan α≈12. tan(45°＋α)＝1＋tan α1－tan α≈1＋121－12＝3，∴x ＝30×312－30＝150(米)． 答 这座电视发射塔的高度约为150米.例3在△ABC 中，sin A ＝35(0°<A <45°)，cos B ＝513(45°<B <90°)，求sin C 与cos C 的值． 活动 本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件．解 ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )．又∵sin A ＝35且0°<A <45°，∴cos A ＝45. 又∵cos B ＝513且45°<B <90°，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝35×513＋45×1213＝6365， cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×1213－45×513＝1665. 点评 本题是利用两角和差公式， 解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件.六、课堂小结。
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两角差的余弦公式教案
海南省三亚市第一中学数学组陈艳
一教材分析和目标：
本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。
1. 知识与技能
(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。
(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
2. 过程与方法目标：
通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3. 情感与态度目标：
通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二教学重点、难点：
重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。
难点：两角差的余弦公式探索与证明。
教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。
学法：自主探究法
三教学流程：
一用熟悉的知识引出课题
二
明确
探索
的目
标和
途径
三
组织
学生
自主
探索
证明
四
通过例
题练习
加强对
公式的
理解
六
布置
作业
五
小
结
四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示)
五教学情景设计:
1.我们先看两个问题：
（1） cos( π—β)＝?
（2） cos( 2π—β)＝?
大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代，
（3） cos( α－β )＝?
2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想
cos(α－β)＝cosα－cosβ
cos(α－β)＝sinα－sinβ
cos(α－β)＝sinα－cosβ
cos(α－β)＝cosα－sinβ
那么这些结论是否成立？
3.我们一起来用计算器验证。
(几何画板课件)
在这里我们做与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。
首先任意取一组α，β角，模拟计算出 cos(α－β) cosα－cosβsinα- sinβ cosα－sinβ由结果推翻假设（反证法），
那么cos(α－β)到底等于什么呢？现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α－β)的结果模拟可能的答案。
4.计算机模拟结论
cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
变换不同的α，β角度，结论仍保持不变。
同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致.
5．证明过程如下：
假设OA与OB的夹角为θ，OA＝（cosα，sinα），OB＝（cosβ，sinβ）
由向量数量积的概念，有OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ
由向量数量积的坐标表示有OA·OB＝cosαcos β+ sinαsinβ
于是有 cosθ＝cosαcos β+ sinαsinβ
分类讨论如下：
（1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β
（2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β）
此时 cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β）
（3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π]
综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcos β+ sinαsinβ。
得证
经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。
6．例一: 用两角差的余弦公式证明问题
（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β 证明（1） cos(π—β)
＝ cos π·cosβ＋sin π·sin β ＝－1·cosβ +0·sinβ ＝－cos β
左边=右边 所以cos(π—β)＝－cos β得证
证明（2） cos(2π—β)
＝ cos2π·cos β + sin 2π·sinβ ＝1·cosβ + 0·sinβ ＝cos β
左边=右边 所以cos(2π—β)＝cos β得证
前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 7．例二: 用两角差余弦公式求cos15°.
解法一:cos15° ＝cos(45°—30°)
＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
＝
12+ 解法二: cos15°= cos(60°—45°)
= cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°＝
4
（分成17°-2°是否可行?） 8．练习：
证明: cos(α＋β)= cos α·cos β－sin α·sinβ
思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β） 证明:∵ cos (α＋β) = cos [α－(- β）]
=cosα·cos( -β) +sin α·sin(-β)
= cosα·cosβ－sinα·sin β
∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ
9．对比两角和与差的余弦公式:
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ
余余异号正正
10．化简求值：
（1） cos105°cos15°＋sin105°sin15°=cos90°=0
（2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°)=cos60°=1 2
（3）cos35°cos10°－sin35°sin10°=cos45°
11．回顾反思：
（1）提出问题：由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。
（2）探究问题
假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——
灵活应用——公式对照记忆。
12．下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。
13．作业布置：
课本131页第一题和第五题。
14.板书设计
证明过程如下：
假设OA
与
OB
的夹角为θ，
OA
＝（cos α，sin α）
， OB
＝（cos β，sin β）
由向量数量积的概念，有
OA
·OB
＝|
OA
|·|
OB
|cos θ 由向量数量积的坐标OA
·
OB
＝cos αcos β+ sin α左边=右边证明（2）＝ cos2π·cosβ
教学设计附表:。