厦门大学《线性代数在线练习》在线练习答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数课后练习参考答案（初稿）
线性代数课后练习参考答案（初稿）线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-?-?=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-= （3）13120010020020030(1)3002(1)243000040040004++=-=?-=-（4）111213100002300234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=?-+?-=2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）2 1412141312150620123212325625062-==（2）2851285110513102531906196512511310805120512121117609712--------==---=----=----------（3）111111111ab ac ae b c e bdcd de adf b c e adfbce bfcfefbce----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()010a b b ba b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b ab a b a-==--=--------（5）x a a aa x a aa a x a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a a ax n a xa a x n a a x a x n a a a x+-+-+-+- =[(1)]x n a +-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]xn a+-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）2222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)012111110001012111 11200213111112201231230 123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a bb c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111*********22222222222223333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）0()()()()00x y z x z y x y z y z x z x y x y z y z x zy x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111xx x xxy y y y yy+---=++++---21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y yy y y y-?-?- ?=++=++++ ?---??22222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y + ?=+-=-+= ?- ?-?（4）设012110001000100n n n a a x D a x a x----=-，则按最后一行展开，可得011132 10001101(1)00110n n n n n a a x x D a xa x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++.332123223321123210n n n n n n n n n n na xa a x a x x D a xa a x a x a x a x -----------= =+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=? 有非零解时，必须满足什么条件？解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-.又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -+=-=---2. 解：由A X B +=，得020133.221X B A -??=-=-- ? ?--?? 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -???? ? ?-=--=- ? ? ? ?- 4. 解：（1）()31,2,32132231101?? ?=?+?+?= ? （2）()22411,212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-????，（3）12110162134021311491231042217--?????? ??? ?= -（4） 1312140012678113413120510402??--???? ?= ? ? ?---????5. 解：（1）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B == ? ?则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B == ? ?则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误，设00,10A ??=则有20A =，但0.A ≠（5）错误，设10,00A ??=则有2A A =，但.A I ≠6．解：2221010(),0101AB A B -== ? ?-7．证明：因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明：因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解：由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -?? ?=--=- ? ???. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-??=cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2s in 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-??--??==-??, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-??=. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--=cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---??=+-??cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+??=++??因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-??=. 11. （1）解：由初等行变换可得，111031113111031107221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------???????? ?----=→→→ ? ? ? ?------ ?-（2）解：由初等行变换可得，111111107125016016234000000 ? ? ?-→-→- ? ? ? ? ? ?-12. 解法见第38页例2.14.13. (1) 解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ→→--- ? ? ? ? ? ?---?2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ?? ?→--- ? ?-+-+?，当2λ=-时，方程组无解，当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当1λ≠，且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---??--→-- ? ? ? ?---?112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--???? ? ?→-+--→--- ? ? ? ?-------当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000??因此方程组的解为12111010001k k --++ ? ? ? ? ? ???????， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解：通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015?- ? ? ? ? ? ? ? ? ?-?15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-→→ ? ? ?--，故 112522521--= ? ?-相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解：原线性方程组可写成123123122103430x x x= ??? ? ??? ???????，因此，11231123132210234301x x x -??==- ? ? ? ? ? ? ? ?17.（1）由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --??-??-?? ? ?== ? ? ?-- ??? ?-，（2）由原矩阵方程可得1111143120112011104X --???????? ?== ? ??? ?---??????（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----???????? ? ??? ?=-=- ? ??? ? ? ??? ?--????????18证明：因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=，所以12()()k I A I A A A --=++++19．解：由220A A I --=，得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-，因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=-20. 证明：由220A AB B ++=，且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=- 21. 令11123,01121001B C ??== ? ??? ?，则111311044,0111100122B C --??-??- ? ?==--，因此1111130004411000002200001100001100001B B A A A ----??- ? ?-=== ?- ? ?- ?. 22. 证明：若,B C 可逆，则有11000B C I CB --= ? ?，所以A 可逆，且1110.0C A B---??= 反之，若A 可逆, 设其逆为X Y Z V ??，则， 000B X Y I o CZ V I= ??? ???????，因此，,BZ I CY I ==，因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =，得211A A AA --=，即A E =，这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?=+++ ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?-- 解得, 12345111 ,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x++= ? ? ? ? ? ???????，上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?-, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立. 7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()?设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=??+=??+=? 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()? 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关，所以123123123(000k k k k k k k k k +-=??-++=??-+=? 解得上面方程组只有零解，因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（?）设1mi i i k αα==∑，和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（?）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑，则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi ii k α==∑若有某个0i k =，不妨设10k =，则有20,mi ii k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====，这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零，命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ? ? ?=-→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-+所以，当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关，且312111.77ααα=+ 13. 解：（1）因为2344112311231123112323440501005010326132610501000001021102101020000A --------=→→→ ? ? ? ?------因此，向量组1234,,,αααα的秩为2，12,αα是一个极大线性无关组，且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2），（3），答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα?? ?-= ? ???，有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2，即12,αα线性无关.（2）容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++? 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明：因为01101111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关，即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++，即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=??-++=??+=?，解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明：因为A 是正交阵，所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==，故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000?????? ? ?--- ? ? ?→→-- ? ?-, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=??-=?选取3x 作为自由未知量，解得基础解系为1971-?? ? ? ???，因此，方程组的解为1971k -?? ? ? ???（2）313411311131159815980467113131340000--------→--→-- ? ? ? ? ? ?----，选取选取34,x x 作为自由未知量，解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -+ ? ? ? ?????（3）见教材答案（4）见教材答案2. （1）对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --???? ? ?=--→ ? ? ? ?----解得特解为5/6101/6??-??，对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-?? ?- ? ? ???，因此方程组的同解为5/6101/6?? ? ? ? ?-??+3510k -?? ?- ? ? ???（2）答案见教材 3. （略）4. 证明：令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。
大学-线性代数习题答案01
1 2 5 1
2 0 2 1
4 2 0 7
cc427cc3311040
1 2 3 0
2 0 2 1
10 2
14 0
4 1
10
1 2 3
10 2 (1)43
14
4 1 10 c2 c3 9 9 10
1 2 2 0 0 2 0
10
3
14
c1
1 2
c3
17
17
14
2 1 41
(2)
3 1
1 2
bf cf ef
ab ac ae
b c e
解 bd cd de adf b c e
bf cf ef
b c e
1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef
1 1 1
a 1 00
(4)
1 0
b 1
1 c
0 1
0 0 1 d
解
a1 1 b 0 1
0 1 c
0 0 1
r1 ar2
0 1 0
5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解 逆序数为 n(n1)
3 2(1 个)
5 2 5 4 (2 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(b
a)(c
a)(d
a)(c
b)(d
b) c(c
1 b
a)
1 d(d b a)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
2011-2012厦门大学网络教育线性代数复习题C（含答案）
厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题C 一、选择题（每小题3分，共18分）1． 设111213212223313233a a a a a a d a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）。
A ．6d ； B ．3d -； C ．3d ； D ．2d 。
2．设A ，B 为n 阶方阵，A B O =，则（，则（ ）成立。
）成立。
A ．A B O ==； B ．A B O +=； C ．||0A =或||0B =； D ．||0A B +=。
3. 3. 设设11223021A t -æöç÷=ç÷ç÷èø，若3阶非零方阵B 满足A B O =，则t =（ ））。
A ．5- B B．．4- C C．． 6- D D．．44．设A 为45´矩阵，且A 的行向量组线性无关，则（的行向量组线性无关，则（ ）。
A ．A 的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；B ．方程组A X b =的增广矩阵A 的行向量组线性无关；的行向量组线性无关；C ．方程组A X b =的增广矩阵A 的任意4个列向量构成的向量组线性无关；个列向量构成的向量组线性无关；D ．方程组A X b =有唯一解。
有唯一解。
5．下列命题错误的是（．下列命题错误的是（ ）。
A ．若4阶方阵A 的行列式等于0，则必有A 中的至少有一行向量是其余向量的线性组合； B ．若b 为零矩阵，线性方程A X b =一定有解；一定有解；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1TQ Q -=；D ．n 阶实对称矩阵不一定有n 个两两正交的特征向量。
个两两正交的特征向量。
6．下列命题正确的是（．下列命题正确的是（ ）。
A ．若T A A =，TB B =，则A B B A +也是对称阵；也是对称阵； B ．若A X A Y =，且A O ¹，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组A X O =（A 是m n ´矩阵），且()r A r n =<，则其基础解系中所含的向量个数等于r ；D ．设1a ，2a 为矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量，则12a a +也是矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量。
K202109厦门大学网络教育专科起点本科《线性代数》离线作业
K202109厦门大学网络教育专科起点本科《线性代数》离线作业厦门大学网络教育2021-2021学年第一学期《线性代数》离线作业学习中心：年级：专业：学号：姓名：成绩：一、选择题（每小题3分，共30分）?10?0?21. 设矩阵A????10??0020210?0??，矩阵B满足，则AB?B?A?2E?OB?E?（）。
0??1?11A．-6； B．6； C．?12； D．122. 设A???1,?2,?3?是三阶矩阵，则A?（）。
A．?1??2?2??3?3??1； B．?1??2?2??3?3??1； C．?1?2?2?3?1??2；D．?1?2??3?1??2；?a11A???a21??a31a12a22a32a13?a23??a33???a21B???a11??a31?2a11a22a12a32?2a12?a13??a33?2a13??a233. 设，，?100??100??010??10?，P??010?，P??100?，则B=（）P。
1??023?????????201???021???001??A．PP13A； B．P13； 2P3A； C．AP3P2；D．APP??14A?(3A)?（）4. 设A为三阶方阵，A?是A的伴随矩阵，A?1，则。
3A．1；B．3； C．6； D．9； 35. 设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，且n?m，则必有（）。
A．AB?0； B．BA?0； C．AB?BA； D．ABAB?ABAB；?12?2?? ，那么矩阵A的三个特征值是（）4?336. 设矩阵A??。
????2?11??A．1,0，-2； B．1,1，-3； C．3,0，-2； D．2,0，-3； 7. 设A,B均为n阶方阵。
且?A?B??E，则?E?AB?1??（）。
2?1A．?A?B?B； B．E?AB?1； C．A?A?B?； D．?A?B?A； 8. 设A为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是（ D ）。
线性代数课后练习参考答案(初稿)
线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-⨯-⨯=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=（3）1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- （4）11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）214121413121506201232123250625062-== （2）28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------（3）111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- （5）x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-， 则按最后一行展开，可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时，必须满足什么条件？ 解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解：由A X B +=， 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解：（1）()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （3）12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解： （1） 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误， 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =，但0.A ≠（5）错误， 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =，但.A I ≠6． 解：2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7． 证明： 因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明： 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解： 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. （1）解： 由初等行变换可得，11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解： 由初等行变换可得，111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， 当2λ=-时， 方程组无解， 当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数， 当1λ≠， 且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解： 通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解： 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.（1） 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2） 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明： 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=， 所以12()()k I A I A A A --=++++19． 解： 由220A A I --=， 得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-， 因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明： 由220A AB B ++=， 且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明： 若,B C 可逆，则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以A 可逆，且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之，若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭， 则， 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，,BZ I CY I ==， 因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =， 得211A A AA --=， 即A E =， 这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关， 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解， 因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（⇒）设1mi i i k αα==∑， 和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（⇐）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑， 则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关， 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi i i k α==∑若有某个0i k =， 不妨设10k =，则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====， 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零， 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关， 且312111.77ααα=+ 13. 解： （1）因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，向量组1234,,,αααα的秩为2， 12,αα是一个极大线性无关组， 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2）， （3）， 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2， 即12,αα线性无关.（2） 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明： 因为111111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关， 即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++， 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩， 解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明： 因为A 是正交阵， 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==， 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量， 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此， 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选取选取34,x x 作为自由未知量， 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）见教材答案 （4）见教材答案2. （1） 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭， 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2） 答案见教材 3. （略）4. 证明： 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。
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线性代数练习册答案第五章 相似矩阵及二次型51ξ- 内积52ξ- 方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A1A =± . 2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ⋅⋅⋅， 则E A λ-= ()()()12n λλλλλλ--⋅⋅⋅- .3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；A = 2- ；A 的对角元之和为 2 .4.若0是A 的特征值，则A 不可逆 （可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，A d =，则AA *的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） . 二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：()111,1,1Tβα==[]()()()2122121,61,2,31,1,11,0,13TT Tαββαββ=-=-=- [][]313233122212,,αβαββαββββ=--()()()1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TTTT⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭故)1111,1,1T b ββ==，)2221,0,1T b ββ==-，)3331,2,1Tb ββ==-.三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2. B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. 当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1T x x =，求证：2T H E xx =-是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1. ()()222TTTTT TT T H E xx H E xxE xx H =-⇒=-=-=故H 为对称阵.又()()()224444T T T T T T T T H H E xx E xx E xx x x x x E xx xx E =--=-+=-+=故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,T T A A E B B E ==. 又()()TT T T T AB AB B A AB B EB B B E ====，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个） 解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关 2P ：0A ≠3P ：齐次线性方程组0Ax =只有0解 4P ：A 的秩为n53ξ- 相似矩阵54ξ- 实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若ξ是A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量.2.若A 与B 相似，则A.3.20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 1 .4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量， 不对 （对，不对），若A 是实对称的呢？ 对 （对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（ BD ）（A ）E A E B λλ-=-； （B ）A 与B 有相同的特征值； （C ）A 与B 有相同的特征向量； （D ）A 与B 有相同的秩； 3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ）0A >；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求m A .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=--- 故A 的所有特征值为1233,1λλλ===.当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 即为对应于13λ=的特征向量. 当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于231λλ==的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令()123010,,101101P P P P ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则11110031313102211313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎪Λ==⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪⎝⎭四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的 特征向量两两正交.已知对应于10λ=的特征向量为1P ，设对应于232λλ==的特征向量为23,P P ，则12130,0T T P P P P ==.即23,P P 为齐次线性方程组10T P x =的两个线性无关的解.由10T P x =得1230x x x ++=.令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11,1x =--.取23111,001P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于232λλ==的特征向量.令2233k P k P ξ=+（23,k k 不全为零），则ξ为对应于232λλ==的全部特征向量. 五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .解：因为123λλλ≠≠，故A 可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然()()112312323,,,,A P P P P P P λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令()123,,P PP P =， 故1112311021001231220A P P P P λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.55ξ- 二次型及其标准形56ξ- 用配方法化二次型为标准形57ξ- 正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 .2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数．3．21101000A k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 为正定矩阵,则k 满足 大于1 .二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（ 12346 ） 1.对任意的列向量0x ≠，0x Ax '> 2.存在可逆方阵C ，使得A C C '= 3.A 的顺序主子式全部大于零 4.A 的主子式全部大于零 5.A 的行列式大于零 6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)343043x x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212233343x x x x x =+++ 故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.21032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=--- 故A 的特征值为1231,5λλλ===.当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.令1310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得20,1x =-.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为对应于121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,0P P ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:.令31x =，得1201x x =⎧⎨=⎩.取3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得3330P ξξ⎛⎫⎪ ⎪==. 令()123P P P P =，则1115P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T T T x Ax x Bx x A B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵. 故A B +的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E +>.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211n n P AP A P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由1122111n n A E P P PP P E P λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111n P P λλλ-+⎛⎫⎪+⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭，得()()()121121111111n n A E PP λλλλλλ-+++==++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+六.求22:1L x xy y ++=围成的面积.解：设二次型()22112(,),112x f x y x xy y x y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 令112112A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是对称矩阵且正定.设12,λλ为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得11200T P AP P AP λλ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.由0E A λ-=，得1213,22λλ==. 因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得1221122T T T T X AX Z P APZ Z P APZ z z λλ-===+，其中12,z x X Z z y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y z z =+.故L 的面积即为椭圆： 221213122z z +=的面积.面积S =.第五章 复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为()11,1,1Tp =，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与()1,1,1T正交的特征向量。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
厦门大学网络教育线性代数在线试题、解答
线性代数总分: 100 得分: 0单选题(共100题)(1).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(2).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(3).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(5).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(6).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(7).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(9).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(10).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(12).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(13).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(15).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(16).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(18).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(19).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(21).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(22).(1分) 回答:正确答案: C.C得分: 0(23).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(25).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(26).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(27).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(29).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(30).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(31).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(33).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(34).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: C.C得分: 0(36).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(37).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(39).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(40).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (41).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(43).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(44).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(45).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(46).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(47).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(48).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(49).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(51).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(52).(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(53).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (55).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(56).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (57).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0.(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(59).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(60).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(61).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(62).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(63).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(64).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(65).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(66).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(67).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(68).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(69).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(70).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(71).(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(72).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (73).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0 (74).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(76).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(77).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(78).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(80).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(81).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(82).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(83).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(84).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(85).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(86).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(87).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(88).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(89).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(90).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(91).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(92).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(93).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(94).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(95).(1分)正确答案: D.D得分: 0(96).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(97).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(98).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(99).(1分)正确答案: B.B得分: 0 (100).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0。
厦门大学 线性代数-离线作业-答案
厦门大学网络教育2018-2019学年第二学期《线性代数》课程期离线作业答案学习中心： 年级： 专业： 学号： 姓名： 成绩：一．选择题（共10小题，每题3分）1. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 则|A 3-5A 2+7A |的值为（ D ）。
A ． 3； B. 6； C. 9； D. 18。
2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B =（ A ）A ． 033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； B.033123110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 033123-110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D. 033123-110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 已知A 是四阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，若A *的特征值是1，-1,2,4，那么不可逆矩阵是（ C ）。
A ．A-E ； B ．2A-E ； C ．A+2E ； D ．A-4E ；4.若A ，A *和B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O 则必有r(B)=（ A ）。
A ．1； B ．2； C ．n-1； D ．不确定；5. 设A 为3阶矩阵， |(2A )-1-5A *|=-16，则||A =（ B ）。
A ． 1； B. 1/2；C. 0; D.-16. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 则A T B 的值为（ C ）。
A ． 0-58056290⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； B.0-58056290⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C. 058056290⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D. 0-58056-290⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭7. 设三阶矩阵)(321ααα=A ，)2(21βαα=B ，其中βααα,,,321均为三维列向量，且2=A ，1=B ，则B A +=（ D ）。
A ．5； B. 0; C.1; D. 15.8. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解，则（ A ）。
线性代数课后习题答案 (4)
线性代数课后习题答案习题 1问题描述已知线性方程组：2x + y - 3z = 73x - 2y + 6z = -55x + 3y + 4z = 12求解该线性方程组。
解答利用矩阵运算，将线性方程组表示成矩阵形式：[A] [X] = [B]其中， - [A] 是系数矩阵，表示为：2 1 -33 -2 65 3 4•[X] 是未知数矩阵，表示为：xyz•[B] 是常数矩阵，表示为：7-512根据线性方程组的求解公式，我们可以使用矩阵的逆来求解未知数矩阵 [X]：[X] = [A]^{-1} [B]首先，计算系数矩阵 [A] 的逆矩阵 [A]^{-1}。
我们可以使用伴随矩阵的方法来求解逆矩阵。
计算伴随矩阵的步骤如下： 1. 计算矩阵的代数余子式 2. 将代数余子式按矩阵位置组成矩阵 3. 对矩阵进行转置根据以上方法，我们可以计算系数矩阵 [A] 的伴随矩阵 [AdjA]：2 1 -33 -2 65 3 4计算伴随矩阵的逆矩阵 [AdjA]^{-1}，我们可以使用伴随矩阵的行列式的倒数来计算：[AdjA]^{-1} = \\frac{1}{det([A])} [AdjA]其中，det([A]) 表示矩阵 [A] 的行列式。
根据矩阵的行列式公式，我们可以计算 det([A]) 的值：det([A]) = 2(-2*4 - 6*3) - 1(3*4 - 6*5) - 3(3*3 - 5*(-2))= -56 + 3 + 39= -14因此，[AdjA]^{-1} = -\\frac{1}{14} [AdjA]= -\\frac{1}{14} \\begin{bmatrix}-40 & -3 & 15 \\\\-29 & 6 & 2 \\\\14 & 3 & -2 \\\\\\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix}\\frac{20}{7} & \\frac{3}{14} & -\\frac{15}{14} \\\\\\frac{29}{7} & -\\frac{3}{7} & -\\frac{1}{7} \\\\-\\frac{7}{14} & -\\frac{3}{14} & \\frac{1}{7} \\\\\\end{bmatrix}接下来，我们可以根据逆矩阵[AdjA]^{-1} 和常数矩阵[B] 计算未知数矩阵[X]：[X] = [AdjA]^{-1} [B]= \\begin{bmatrix}\\frac{20}{7} & \\frac{3}{14} & -\\frac{15}{14} \\\\\\frac{29}{7} & -\\frac{3}{7} & -\\frac{1}{7} \\\\-\\frac{7}{14} & -\\frac{3}{14} & \\frac{1}{7} \\\\\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}7 \\\\-5 \\\\12 \\\\\\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix}18 \\\\-3 \\\\5 \\\\\\end{bmatrix}因此，线性方程组的解为：x = 18，y = -3，z = 5。
厦门大学网络教育线性代数期末考试复习题及参考答案
题型 :单选题
17、设n阶矩阵 满足
A
，则矩阵 （ ）.
B
C
正确答案
D
题型 :单选题
18、下列矩阵那个是初等矩阵（ ）.
A
正确答案
B
C
D
题型 :单选题
19、设 , ,…, 是一组 维向量，则下列表述正确的是（ ）.
A 若 ， ，…， 不线性相关，就一定线性无关
正确答案
B 如果存在 个全为零的数 , ,…, ,使 + +…+ =0,则 , ,…, 线性无关
24、若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，
是它的三个解向量，
且
则该线性方程组的通解是（ ）.
A
B
C D
题型 :单选题
正确答案
25、
.
A 32 正确答案 B 64 C9 D2
题型 :单选题
26、
（ ）.
A
B
C
正确答案
D
题型 :单选题
27、设
，
，
=（ ）.
A
B
C
D
正确答案
题型 :单选题
28、设 ， ， 均为 阶方阵，下列各式中，（
正确答案
题型 :单选题
13、矩阵
（ ）.
，则
（ ）.
A
正确答案
B C
D
题型 :单选题
14、
（ ）.
A1
B
C
D
正确答案
题型 :单选题
15、常数 满足（ ），线性方程组
无解.
A
正确答案
B
C
D
题型 :单选题
16、向量组
线性代数练习题答案
线性代数练习题答案线性代数是一门研究向量空间及其线性映射的数学分支。
以下是一套线性代数练习题及其答案，供学习者参考。
练习题1：向量空间的基和维数设 \( V \) 是所有 \( n \) 阶实数方阵的集合。
证明 \( V \) 是一个向量空间，并找出它的基和维数。
答案：\( V \) 是一个向量空间，因为它满足加法封闭性和标量乘法封闭性。
向量空间 \( V \) 的基可以由单位矩阵 \( I \) 的每个元素构成的方阵组成，即 \( E_{ij} \)，其中 \( E_{ij} \) 是一个 \( n \)阶方阵，其第 \( i \) 行第 \( j \) 列的元素为 1，其余元素为 0。
由于 \( n \) 阶方阵有 \( n^2 \) 个元素，所以 \( V \) 的维数是\( n^2 \)。
练习题2：行列式的计算给定一个 \( 3 \times 3 \) 矩阵 \( A \)：\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} \]计算 \( A \) 的行列式。
答案：\[ \det(A) = 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) - 2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 8 - 5 \times 7) \] \[ \det(A) = 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-4) \] \[ \det(A) = -3 + 12 - 12 = 0 \]练习题3：线性方程组的解解下列线性方程组：\[ \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 4 \\ 2x + y+ z = 5 \end{cases} \]答案：使用高斯消元法或矩阵方法，我们可以得到：\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -7 & 8 \\ 0 & -3 & 4 \end{pmatrix} \]进一步简化，得到：\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{7} \\ 0 &0 & 0 \end{pmatrix} \]解得 \( x = 3 \), \( y = -1 \), \( z = 2 \)。
2018厦门大学《线性代数在线练习》在线练习-问题详解
线性代数在线练习交卷时间：2018-05-22 17:04:55 一、单选题1.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案D 解析2.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案B 解析3.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案B 解析4.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案A 解析5.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案D 解析6.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案A 解析7.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案C 解析8.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案B 解析9.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案B 解析10.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案D 解析11.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案C 解析12.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案C 解析13.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案B 解析14.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案B 解析15.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案D 解析16.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 1展开解析答案A 解析17.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案D 解析18.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析19.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析20.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析21.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案D 解析22.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析23.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案D 解析24.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案A 解析25.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析26.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案A 解析27.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析28.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析29.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析30.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析31.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析32.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析33.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案C 解析34.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案D 解析35.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析36.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析37.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析38.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案A 解析39.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案A 解析40.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析41.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析42.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案D 解析43.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案A 解析44.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 2展开解析答案B 解析45.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案A 解析46.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案A 解析47.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析48.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析49.∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析50.∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析51.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析52.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析53.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析54.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析55.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案A 解析56.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析57.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析58.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析59.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析60.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案A 解析61.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析62.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析63.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析64.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案A 解析65.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析66.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析67.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析68.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析69.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析70.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析71.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析72.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析73.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案B 解析74.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案D 解析75.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析76.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案C 解析77.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1展开解析答案B 解析78.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 3展开解析答案A 解析79.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错知识点： 5展开解析答案A 解析80.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案A 解析81.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案C 解析82.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案B 解析83.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案A 解析84.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案A 解析85.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案C 解析86.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案C 解析87.(1分)∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D 纠错得分： 1知识点： 5展开解析答案B 解析88.。
线性代数练习题答案
线性代数练习题答案线性代数是数学的一个分支，它主要研究向量空间及其线性映射。
以下是一些线性代数练习题的答案，这些答案仅供参考，具体题目和答案可能因教材和课程的不同而有所差异。
问题1：给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的行列式。
答案：矩阵 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \) 可以通过以下公式计算：\( \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \)。
问题2：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 4\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来求解这个方程组。
首先将方程组写成增广矩阵的形式：\[ \begin{bmatrix}1 &2 & | & 5 \\3 & -1 & | & 4\end{bmatrix} \]然后进行行操作，得到：\[ \begin{bmatrix}1 &2 & | & 5 \\0 & -7 & | & -17\end{bmatrix} \]接着将第二行除以-7，得到：\[ \begin{bmatrix}1 &2 & | & 5 \\0 & 1 & | & \frac{17}{7}\end{bmatrix} \]最后，将第一行加上第二行的两倍，得到：\[ \begin{bmatrix}1 & 0 & | & \frac{4}{7} \\0 & 1 & | & \frac{17}{7}\end{bmatrix} \]所以，解为 \( x = \frac{4}{7} \) 和 \( y = \frac{17}{7} \)。
厦门大学《线代参考答案》课程试卷
厦门大学《线代参考答案》课程试卷主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）==================================================================一、填空题1．54；2.1(7)31E A -; 3. 124,,ααα;4. (1,2,3,4)(1,1,1,1)T T k +；5．001100010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；6. 2.二、单项选择题：1．C; 2. A; 3. C; 4. A; 5. C; 6. A三、计算题：1．解：12122(2 1 2)4241212A PQ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1(2 1 2)221QP ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭。
2()22A P Q P Q P Q P Q P Q A=⋅===. 1009999100212()()()22424212A PQ PQ PQ P QP QP QP Q A -⎛⎫⎪=⋅===- ⎪ ⎪-⎝⎭个PQ。
2．解：（1）求（I ）的基础解系（I ）的系数矩阵为 1100100101010101A ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故（I ）的基础解系为：12(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T ηη==-. （2）求（I ）与（II ）的非零公共解。
方法1 由（I ），（II ）的通解表达式相等，得1234(0,1,1,0)(1,2,2,1)(0,0,1,0)(1,1,0,1)T T T T k k k k +-=+-。
即 123401010120101210001010k k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因 0101100112010101121000110101000r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故上述方程组的解为(1,1,1,1)T k -，于是（I ），（II ）的所有非零公共解为(1,1,1,1),0k k -≠为任意常数。
《线性代数》离线作业1
厦门大学网络教育2013－2014学年第二学期《线性代数》离线作业1. 行列式计算（10分）：a a D n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0.2. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A .（10分）3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.（10分） 4. 求解矩阵方程（12分）：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .5. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2. （10分）6. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α,β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. （15分） 7. 线性方程组计算（17分）λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?8. 设二次型32312123222132122422),,(x x x x x x ax x x x x x f ++++--=，若正交变换UY X =可将f 化为标准形2322212by y y f ++-=，(1) 求a，b的值；(2) 求正交矩阵U.（16分）1答案：2答案3答案：4答案5答案：6答案：7答案f(x1, x 2, x 3)=-2 x12-2 x 22+a x 32+4 x1 x 2+2 x1 x 3+2 x2 x 3。
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线性代数在线练习交卷时间：2018-05-22 17:04:55一、单选题1.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D纠错得分：1知识点：1展开解析答案D 解析2.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案B 解析3.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1答案B 解析4.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案A 解析5. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1展开解析答案D 解析6. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案A 解析7. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案C 解析8. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案B 解析9.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案B 解析10. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案D 解析11.• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案C 解析12. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D得分：1知识点：1展开解析答案C 解析13. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案B 解析14. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案B 解析15. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案D 解析16.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：1展开解析答案A 解析17. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案D 解析18. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析19.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析20. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析21. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案D 解析22. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析23. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案D 解析24.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案A 解析25. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析26. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案A 解析27. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析28. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析29.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析30. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析31. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析32. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析33. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案C 解析34.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案D 解析35. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析36.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析37. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析38. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案A 解析39. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案A 解析40. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析41. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析42. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案D 解析43.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案A 解析44. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：2展开解析答案B 解析45. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案A 解析46. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案A 解析47. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析48.• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析49. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D得分：1知识点：3展开解析答案D 解析50. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析51. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析52. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析53. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案D 解析54.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析55. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案A 解析56. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案D 解析57. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案D 解析58. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析59.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析60. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案A 解析61. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析62. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析63. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析64.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案A 解析65. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析66. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析67. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析68. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案D 解析69.• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案D 解析70. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D得分：1知识点：3展开解析答案B 解析71. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析72. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析73. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析74.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案D 解析75. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析76. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案C 解析77. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案B 解析78. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：3展开解析答案A 解析79. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：5展开解析答案A 解析80. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：5展开解析答案A 解析81.(1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：5展开解析答案C 解析82. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：5展开解析答案B 解析83. (1分)• A. A• B. B• C. C• D. D 纠错得分：1知识点：5展开解析答案A 解析84.。