第八章 常微分方程的数值解

k=0,1,……
因
y
( k 1) n 1
yn 1
h (k ) f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2 hL ( k ) yn 1 yn 1 2
故当hL/2<1时，迭算比显式方 法复杂，需要用迭代法求解非线性方程才能得出 计算结果。 可采用将显式Euler格式与梯形格式结合使用的方 法来避免求解非线性方程。 记
xn 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
y(xn) 0.4494 0.4245 0.4000 0.3767 0.3550 0.3351 0.3167 0.3000
yn 0.4972 0.4605 0.4268 0.3966 0.3698 0.3459 0.3246 0.3057
3
本章作业
P228 习题八：1，2，3.
yn1 yn hf ( xn , yn )
－－预测
再用梯形格式计算：
h yn1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) 2
上面两式统称预测－校正法， 又称改进的Euler方法。 －－校正
三、单步法的局部截断误差和精度 单步法的一般形式为 ： （与f 有关）
y ( x1 ) y ( x0 ) y ( x1 ) y ( x0 ) y( x0 ) x1 x0 h
由 y( x0 ) f ( x0 , y0 ), 得
y( x0 ) y0
y( x1 ) y0 hf ( x0 , y0 ) y1
同理，在x= xn 处，用差商代替导数： y ( xn 1 ) y ( xn ) y ( xn 1 ) y ( xn ) y( xn ) xn 1 xn h 由 得 若记
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , yn ) y( xn ) yn , y( xn1 ) yn1
yn1 yn hf ( xn , yn )
则上式可记为
此即为求解初值问题的Euler方法，又称显式Euler 方法。
得
h yn1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) 2
上式称梯形方法，是一种隐式方法。
用迭代法求解：
( yn0)1 yn hf ( xn , yn ) 初值：
迭代： y
( k 1) n 1
h ( ) yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , ynk 1 ) 2
h y ( x n ) hy ( xn ) y ( n ) y ( x n ) hy ( xn ) 2
h h ( n ) ( xn ) O(h 3 ) n ( xn , xn1 ) y y 2 2
2 2
2
其中 (h 2 / 2) y( xn )
定义：设y(x)是初值问题(1)的精确解，则称
Tn1 y( xn1 ) y( xn ) h ( xn , y( xn ), h)
为显式单步法在节点xn+1处的局部截断误差 。 若存在最大整数p使局部截断误差满足
Tn1 y( xn h) y( xn ) h ( xn , yn , h) O(h
(0) n 1
yn hf ( xn , yn )
( ( ) 迭代： ynk 1) yn hf ( xn1 , ynk 1 ) k=0,1,…… 1
因
y
( k 1) n 1
yn1 h f ( xn1 , y ) f ( xn1 , yn1 )
(k ) n 1
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中L为Lipschitz常数）则初值问题（1）存 在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一 系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似 值y1, y 2,…,yn 。 为了计算方便，可取xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
称局部截断误差主项。
故Tn+1= O(h2)，p=1， 即Euler方法具1阶精度。
梯形方法的局部截断误差： （设yn=y(xn)）
Tn 1 h y ( x n 1 ) y ( x n ) [ y ( x n ) y ( x n 1 )] 2
h2 h3 hy ( x n ) y ( xn ) y ( x n ) 2 3!
设y(xn)= yn，则得
yn1 yn hf ( xn , yn )
此即为Euler公式。 若用右矩形公式：

xn1
xn
f ( x, y ( x))dx h f ( xn 1 , y ( xn 1 ))
得 yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。 可用迭代法求解： 初值： y
p 1
)
则称显式单步法具有p阶精度或称p阶方法。 注：将Tn+1 表达式各项在xn 处作Taylor展开，可 得具体表达式。
Euler方法的局部截断误差：
（设yn=y(xn)）
Tn1 y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y( xn h) y( xn ) hy ( xn )
第八章
常微分方程的数值解
第八章

常微分方程的数值解
引言

简单的数值方法

欧拉方法

梯形方法
8.1 引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y ) (1) y ( a ) y0 a xb
y f ( x, y, y) a x b ( 2) y (a ) y0 , y(a ) y f ( x, y, y) a x b (3) y (a ) y0 , y (b) yn
hL y
(k ) n 1
yn 1
故当hL<1时，迭代法收敛。
二、梯形方法 由
y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1 xn
f ( x, y ( x))dx
利用梯形求积公式： xn1 h xn f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
Euler方法的几何意义： （Euler折线法）
y
P2 P1 P0 Pn Pn+1
y=y(x) O x
x0 x1
x2
xn
xn+1
例: 用Euler方法求解常微分方程初值问题
y y 2y2 x y (0) 0. (0 x3 )
并将数值解和该问题的解析解比较。 x 解析解： y ( x) 2 1 x 解：Euler方法的具体格式：
yn-y(xn) 0.0478 0.0359 0.0268 0.0199 0.0147 0.0108 0.0079 0.0057
由表中数据可以看到，微分方程初值问题的数值解和解 析解的误差一般在小数点后第二位或第三位小数上，这 说明Euler方法的精度是比较差的。
数值解和解析解的图示比较如下：
0.8

常微分方程的数值解法有单步法和多步法之分：


单步法：在计算yn＋1 时只用到前一点yn 的值 ；
多步法：计算yn＋1 时不仅利用yn，还要利用yn-1, yn-2,…….，一般k步法要用到 yn, yn-1, yn-2,……., yn-k+1。
8.2 简单的数值方法
一、欧拉（Euler）方法
在x= x0 处，用差商代替导数：
0.6
0.4
0.2
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
O : 数值解；— : 准确解
若直接对y`=f(x,y)在[xn, xn+1]积分，
y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1 xn
f ( x, y ( x))dx
利用数值积分中的左矩形公式：

xn1
xn
f ( x, y ( x))dx h f ( xn , y ( xn ))
y n 1
yn 2 y n h( 2 y n ) xn
取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2…,15), f(x,y)=y/x – 2y2 计算中取f(0,0)=1. 计算结果如下： xn y(xn) yn yn-y(xn) 0.0 0 0 0 0.2 0.1923 0.2000 0.0077 0.4 0.3448 0.3840 0.0392 0.6 0.4412 0.5170 0.0758 0.8 0.4878 0.5824 0.0946 1.0 0.5000 0.5924 0.0924 1.2 0.4918 0.5705 0.0787 1.4 0.4730 0.5354 0.0624
h h2 [ y ( xn ) y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn )] O(h 4 ) 2 2
h3 ( x n ) O(h 4 ) y 12
故Tn+1= O(h3)，p=2， 梯形方法具2阶精度。
局部截断误差主项为： (h / 12) y( xn )
y n1 y n h ( xn , y n , y n1 , h)
显式单步法形式为：
yn1 yn h ( xn , yn , h)
整体截断误差：从x0开始，考虑每一步产生的 误差，直到xn，则有误差 e y ( x ) y