Ch4二课堂素材1

组 Ax = 0的解，则矩阵A=[
⎡ −2 1 1 ⎤ ( A) ⎢ ⎥; ⎣ 2 − 1 − 1⎦ ⎡ −1 0 2 ⎤ (C ) ⎢ ⎥; ⎣ 0 1 − 1⎦
].
⎡ 2 0 − 1⎤ ( B) ⎢ ⎥; ⎣0 1 1 ⎦ ⎡ 0 1 − 1⎤ ( D ) ⎢ 4 −2 1 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢0 1 1 ⎥ ⎣ ⎦
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§ 4.1
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Ex、
答案：C
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§ 4.2
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∗ n −1
( 2) 当r ( A) = n − 1 时， A有n − 1阶子式非零，
这时 A∗ ≠ O , 即r ( A∗ ) ≥ 1; 而AA∗ = A I = O , 由性质 r ( Am×n ) + r ( Bn× p ) ≤ r ( AB ) + n; 即得 r ( A∗ ) + r ( A) ≤ n, 进而推得 r ( A∗ ) ≤ 1, 综合即得 r ( A∗ ) = 1.
答案：（A）
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§ 4.4
A, A∗ , B 均为非零阵，且 AB = O , Ex.已知 n 阶矩阵
r A∗ 是 A 的伴随矩阵，求证： ( B ) = 1. 其中
T T
η 2 = (2, −1,1) , η 3 = (5,0, k ) , 是方程组 Ax =0的三
个解向量，则常数k =(
).
( A) − 2; ( B ) − 1; (C ) 2; ( D ) 3.
答案： （D）
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Eg. 设 ξ1 = [1,0,2]T , ξ 2 = [0,1, −1]T , 都是齐次线性方程
r (α ) + r ( β T ) ≤ r ( A) + 1, 1 + 1 ≤ r ( A) + 1, 1 ≤ r ( A),
亦即
(∗) (∗∗)
又由性质 r ( AB ) ≤ min{ r ( A), r ( B )} 即得 r ( A) ≤ min{r (α ), r ( β T )} = 1 综合(*)、(**)两式，得 r ( A) = 1.
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(必要性) 证法一、记 A = ⎡α 1 , α 2 , ⎣
, α n ⎤ , 若 r ( A) = 1 ， ⎦
则列向量组 {α 1 , α 2 , , α n } 的秩为1，不妨设 α1 为最大无关组，于是成立 α i = k iα1 ( i = 2,3, , n). 进而，成立
A = ⎡α 1 , α 2 , ⎣ , αn ⎤ ⎦ = α 1 ⎡1, k2 , k3 , , kn ⎤ ⎣ ⎦
令 α = α 1 , β T = ⎡1, k2 , k3 , ⎣ 则 α , β 非零，必要性得证。
, kn ⎤, ⎦
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证法二、由矩阵得标准形分解定理，存在两个可逆 矩阵 Pm , Qn ,使得 ⎡ 1 0T ⎤ A = Pm ⎢ ⎥ Qn , ⎣ 0 O ⎦ m× n ⎡1 ⎤ ⎢0⎥ = Pm ⎢ ⎥ [1, 0, ,0]1×n Qn ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ m×1 记 α βT 则 α , β 非零，必要性得证。
思考题
设 A∗ 为n维矩阵 A的伴随矩阵，如何证明 ：
⎧ n, r ( A) = n ⎪ ∗ r ( A ) = ⎨ 1 r ( A) = n − 1 ⎪ 0 r ( A) ≤ n − 2 ⎩
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思考题解答
(1) 当r ( A) = n时，则 A ≠ 0, 由 A = A 即知 r ( A∗ ) = n.
故
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ex. 求证：对 m × n 矩阵 A ，成立秩 r ( A) = 1 当且仅当存在两个非零列向量 α , β ，使得 A = αβ T .
证明：（充分性） 由 α , β 为非零列向量，所以秩 r (α ) = r ( β ) = 1, 于是，由性质 r ( Am×n ) + r ( Bn× p ) ≤ r ( AB ) + n; 即得
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( 3) 当 r ( A) ≤ n − 2时，所有 n − 1阶子式全为零， 即A∗ = O , 由此可知 r ( A∗ ) = 0. ⎧ n, r ( A) = n ⎪ ∗ r ( A ) = ⎨ 1 r ( A) = n − 1 ⎪ 0 r ( A) ≤ n − 2 ⎩
证毕——
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Ex. 设n-1阶矩阵的秩r(A)=n-1，试证明：存在常数k，
使得 ( A∗ )2 = k A∗ ，其中 A 是矩阵的伴随矩阵。
∗
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§ 4.3
η 1 = ( −1,3,0) T , Ex. 三阶矩阵A的秩r(A)=1，