2018届辽宁省锦州高三质量检测试卷数学(理科)Word版含答案
2018届高三数学理科检测试题答案
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2018届高三数学理科检测试题答案一、选择题:二、填空题 13.23 14. 98-15.n n 222+ 16. 2三、解答题:)cos b a C =∴由正弦定理得, …………………………2分 …………………………4分(0A ∈又,6分)由余弦定理得, 27b =+8分3,6bc =,10分的周长为5+12分18.(本小题满分12分)解:(1)设事件i A 为甲得分为i 分(1,2,3)i =,事件i B 为乙得分为i 分(1,2,3)i =则………………1分1122()5525P A =⨯= 2421311()555525P A =⨯+⨯= 25125354)(3=⨯=A P1111()5525P B =⨯= 214418()555525P B =⨯+⨯= 34416()5525P B =⨯=………………4分又甲、乙两人同时得3分为事件33B A ⋅故62519225162512)(33=⨯=⋅B A P .…………………………6分 (2)甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为6,5,4,3,2 ………………7分6252251252)()2(11=⨯=⋅==B A P P ξ 625272512511258252)()()3(1221=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ625132251251225825112516252)()()()4(132231=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅==B A P B A P B A P P ξ625272258251225162511)()()5(2332=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ62519225162512)()6(33=⨯=⋅==B A P P ξ …………………………10分ξ的分布列为………11分所以ξ的数学期望为481528136011523125:5625625625625625625E ξ=++++==.……………12分19.(本小题满分12分)解:(1)∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC …………2分在菱形ABCD 中,BD ⊥AC ……………4分 又1BD BB B⋂=∴AC ⊥平面1BB D ……………5分 ∵AC ⊂平面1AB C∴平面1AB C ⊥平面1BB D ……………6分(2)连接BD 、AC 交于点O ,以O 为坐标原点,以OA 为x 轴,以OD 为y 轴,如图建立空间直角坐标系.1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --………………7分11111,2)22B A BA A =⇒-,同理11(,2)2C -131(,2)22BA =,(0,2,0)BD =,11(,,2)22BC =-……………9分设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,则(n =- ………………10分 设平面1BDC 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ,13cos 19m n m nθ⋅==……………12分 20.(本小题满分12分)解:(1)设抛物线22:2(0)C y px p =≠,则有22(0)y p x x=≠,………………1分 据此验证四个点知(3,-,(4,4)-在抛物线上,……………… 2分 易得,抛物线2C 的标准方程为22:4C y x = ………………3分椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>,………………4分把点(2,0)-,代入可得:224,1a b ==………………5分所以椭圆1C 的标准方程为2214x y +=.……………6分 (2)可设2C 的焦点为F (1,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为1x =………………7分直线l 交椭圆1C 于点(1,M N0OM ON ≠,不满足题意. ……………8分当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-, 并设1122(,),(,)M x y N x y由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩,消去y 得, 2222(1)84(1)0k x k x k +-+-=,………………10分 于是221221224(1)8,1414k k x x x x k k -+==++2122314k y y k-=+ ①,………………11分 由OM ON ⊥得12120x x y y += ②将①代入②式,得2222224(1)340141414k k k k k k ----==+++,解得2k =±所以存在直线l 满足条件,且l 的方程为220x y --=或220x y +-=……………12分21.(本小题满分12分)解:(1)依题意:()f x 的定义域为(0,)+∞,2112()2axf x ax x x-'=-+=,当0a ≤时,()0f x '>,()f x ∴在(0,)+∞上单调递增,……………2分当0a >时,令()0f x '=,得x = ……………3分令()0f x '>,得x ∈;令()0f x '<,得)x ∈+∞,……………5分 ()f x ∴在上单调递增,在)+∞上单调递减。
最新-辽宁省锦州市2018届高考数学二模试卷(理科)含答案解析 精品
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2018年辽宁省锦州市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x<0},则A∪(∁U B)=()A.[﹣1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)2.已知(a+i)(1﹣bi)=2i(其中a,b均为实数,i为虚数单位),则|a+bi|等于()A.2 B.C.1 D.1或3.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”D.命题“已知x,y为一个三角形的两内角,若x=y,则sinx=siny”的逆命题为真命题4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是()A.B.1 C.D.5.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S为()A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值6.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为()A.﹣3 B.0 C.1 D.37.把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且A、B两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有()A.36种B.30种C.24种D.18种8.已知a=﹣cosxdx,则二项式(x2+)6的展开式中x3的系数为()A.20 B.﹣20 C.160 D.﹣1609.已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点在同一球面上,底面ABCD是正方形且球心O在此平面内,当四棱锥体积取得最大值时,其面积等于16+16,则球O的体积等于()A.B. C. D.10.已知顶点为坐标原点O的抛物线C1与双曲线C2:(a>0,b>0)都过点M(,),且它们有共同的一个焦点F.则双曲线C2的离心率是()A.2 B.3 C.D.11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣log a(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是()A.(,2)B.(,2)C.[,2)D.(,2]12.不等式e x﹣x>ax的解集为P,且[0,2]⊆P,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,e﹣1)B.(e﹣1,+∞)C.(﹣∞,e+1)D.(e+1,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.已知函数f(x)=,则f(log29)=.14.若△ABC的三边a,b,c及面积S满足S=a2﹣(b﹣c)2,则sinA=.15.已知向量与的夹角为120°,且,.若,且,则实数λ=.16.在△ABC中,内角A,B,C的所对边分别是a,b,c,有如下下列命题:①若A>B>C,则sinA>sinB>sinC;②若,则△ABC为等边三角形;③若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;④若(1+tanA)(1+tanB)=2,则△ABC为钝角三角形;⑤存在A,B,C,使得tanAtanBtanC<tanA+tanB+tanC成立.其中正确的命题为(写出所有正确命题的序号)三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足:,求数列{b n}的通项公式;(Ⅲ)令(n∈N*),求数列{c n}的前n项和T n.18.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内,发布成绩使用等级制.各等级划分标准见表.规定:A、B、C三级为合格等级,D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(I)求n和频率分布直方图中的x,y的值;(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生中任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率;(Ⅲ)在选取的样本中,从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望.19.如图,多面体ABCDEF中,DE⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,四边形BDEF是正方形.(Ⅰ)求证:CF∥平面AED;(Ⅱ)求直线AF与平面ECF所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段EC上是否存在点P,使得AP⊥平面CEF,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.20.椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设点P是椭圆C的一个动点,直线l:y=x+与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.21.已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax.(a≤0)(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)证明:为自然对数的底数)请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD 交BC于点F.(Ⅰ)求证:BC∥DE;(Ⅱ)若D,E,C,F四点共圆,且=,求∠BAC.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数)(Ⅰ)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;(Ⅱ)设点Q是曲线C上的一个动点,求点Q到直线l的距离的最小值与最大值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x﹣2|.(1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4;(2)已知a>2,求证:∀x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立.2018年辽宁省锦州市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x<0},则A∪(∁U B)=()A.[﹣1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.【分析】解不等式求出集合B,进而结合集合的补集和并集运算,可得答案.【解答】解:∵集合A={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1,1],B={x|x2﹣2x<0}=(0,2),∴∁U B=(﹣∞,0]∪[2,+∞),∴A∪(∁U B)=(﹣∞,1]∪[2,+∞),故选:D.【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算,并集运算和补集运算,难度不大,属于基础题.2.已知(a+i)(1﹣bi)=2i(其中a,b均为实数,i为虚数单位),则|a+bi|等于()A.2 B.C.1 D.1或【考点】复数求模.【专题】数系的扩充和复数.【分析】首先将已知不等式展开,利用复数相等求出a,b,然后求模.【解答】解:由(a+i)(1﹣bi)=2i得(a+b)+(1﹣ab)i=2i,所以,解得或者,所以|a+bi|==;故选:B.【点评】本题考查了复数相等以及复数的模,属于基础题.3.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”D.命题“已知x,y为一个三角形的两内角,若x=y,则sinx=siny”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】对于A根据否命题的意义即可得出;对于B按照垂直的条件判断;对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断;对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断.【解答】解:对于A,根据否命题的意义可得:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,因此原命题不正确,违背否命题的形式;对于B,“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确,因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1,即m=±1.对于命题C:“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定的写法应该是:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故原结论不正确对于D,根据正弦定理,∵x=y⇔sinx=siny”,所以逆命题为真命题是正确的.故答案选:D.【点评】本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定,属于基础题.4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是()A.B.1 C.D.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是直三棱锥,根据图中的数据,求出该三棱锥的4个面的面积,得出面积最大的三角形的面积.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是如图所示的直三棱锥,且侧棱PA⊥底面ABC,PA=1,AC=2,点B到AC的距离为1;∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1,侧面△PAB的面积为S2=××1=,侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1,在侧面△PBC中,BC=,PB==,PC==,∴△PBC是Rt△,∴△PBC的面积为S4=××=;∴三棱锥P﹣ABC的所有面中,面积最大的是△PBC,为.故选:A.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题,是基础题目.5.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的S为()A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值【考点】程序框图.【专题】图表型;算法和程序框图.【分析】模拟执行程序框图,根据秦九韶算法即可得解.【解答】解:由秦九韶算法,S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0)),故选:C.【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考查学生对算法思想的理解与剖析,本题特殊利用秦九韶算法,使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化,属于基础题.6.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为()A.﹣3 B.0 C.1 D.3【考点】简单线性规划.【专题】计算题;不等式的解法及应用.【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移,可得当x=1,y=0时,z取得最大值1.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(﹣1,1),B(2,1),C(1,0)设z=F(x,y)=x﹣2y,将直线l:z=x﹣2y进行平移,当l经过点C时,目标函数z达到最大值=F(1,0)=1∴z最大值故选:C【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x﹣2y的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.7.把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且A、B两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有()A.36种B.30种C.24种D.18种【考点】排列、组合的实际应用.【专题】计算题;概率与统计.【分析】根据题意,运用排除法分2步进行分析,①、先计算把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目,②再计算A、B两件玩具分给同一个人的分法数目;将全部分法的数目减去A、B两件玩具分给同一个人的分法数目即可得答案.【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、先计算把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有C42=6种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有A33=6种方法,则有6×6=36种情况,②、计算A、B两件玩具分给同一个人的分法数目,若A、B两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有C31×A22=6种情况,综合可得:A、B两件玩具不能分给同一个人的不同分法有36﹣6=30种;故选:B.【点评】本题考查排列组合的实际应用,注意本题可以利用排除法分析,可以避免分类讨论,即可以简化计算.8.已知a=﹣cosxdx,则二项式(x2+)6的展开式中x3的系数为()A.20 B.﹣20 C.160 D.﹣160【考点】二项式系数的性质;定积分.【专题】计算题;二项式定理.【分析】求定积分可得a=2,在二项式(x2+)6的展开式的通项公式中,令x的幂指数等于3,求得r的值,可得展开式中含x3项的系数.【解答】解:a=﹣cosxdx=﹣sinx=2,二项式(x2+)6的展开式的通项为T r+1=,令12﹣3r=3,可得r=3,所以二项式(x2+)6的展开式中x3的系数为160.故选:C.【点评】本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.9.已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点在同一球面上,底面ABCD是正方形且球心O在此平面内,当四棱锥体积取得最大值时,其面积等于16+16,则球O的体积等于()A.B. C. D.【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,根据该四棱锥的表面积等于16+16,确定该四棱锥的底面边长和高,进而可求球的半径为R,从而可求球的体积.【解答】解:由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,∵该四棱锥的表面积等于16+16,设球O的半径为R,则AC=2R,SO=R,如图,∴该四棱锥的底面边长为AB=R,则有(R)2+4××R×=16+16,解得R=2∴球O的体积是πR3=π.故选:D.【点评】本题考查球内接多面体,球的体积,解题的关键是确定球的半径,再利用公式求解.10.已知顶点为坐标原点O的抛物线C1与双曲线C2:(a>0,b>0)都过点M(,),且它们有共同的一个焦点F.则双曲线C2的离心率是()A.2 B.3 C.D.【考点】双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设抛物线方程为y2=2px(p>0),将M(,)代入,可求抛物线方程,再利用双曲线的定义可求双曲线的a,再由离心率公式可得e.【解答】解:设抛物线方程为y2=2px(p>0),将M(,)代入y2=2px,得p=2.∴抛物线方程为y2=4x,焦点为F(1,0),由题意知双曲线的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),∴c=1,对于双曲线,2a=|MF1|﹣|MF2|=﹣=﹣=,∴a=,∴e==3.故选B.【点评】本题主要考查利用待定系数法求抛物线、双曲线方程,注意挖掘题目隐含,将问题等价转化.11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣log a(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是()A.(,2)B.(,2)C.[,2)D.(,2]【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】由已知中f(x)是定义在R上的偶函数,对于任意的x∈R,都有f(x﹣2)=f(2+x),我们可以得到函数f(x)是一个周期函数,且周期为4,则不难画出函数f(x)在区间(﹣2,6]上的图象,结合方程的解与函数的零点之间的关系,我们可将方程f(x)﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解,转化为函数f(x)的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点,数形结合即可得到实数a的取值范围.【解答】解:设x∈[0,2],则﹣x∈[﹣2,0],∴f(﹣x)=()﹣x﹣1=2x﹣1,∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(﹣x)=2x﹣1.∵对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),∴当x∈[2,4]时,(x﹣4)∈[﹣2,0],∴f(x)=f(x﹣4)=x x﹣4﹣1;当x∈[4,6]时,(x﹣4)∈[0,2],∴f(x)=f(x﹣4)=2x﹣4﹣1.∵若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣log a(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,∴函数y=f(x)与函数y=log a(x+2)在区间(﹣2,6]上恰有三个交点,通过画图可知:恰有三个交点的条件是,解得:<a<2,即<a<2,因此所求的a的取值范围为(,2).故选:B【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,指数函数与对数函数的图象与性质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是解答本题的关键,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题.12.不等式e x﹣x>ax的解集为P,且[0,2]⊆P,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,e﹣1)B.(e﹣1,+∞)C.(﹣∞,e+1)D.(e+1,+∞)【考点】一元二次不等式的解法;集合的包含关系判断及应用.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由不等式e x﹣x>ax的解集为P,且[0,2]⊆P⇔,x∈[0,2],利用导数求出即可.【解答】解:①当x=0时,不等式e0﹣0>0对任意实数x恒成立;②当x>0时,不等式e x﹣x>ax可变形为,由不等式e x﹣x>ax的解集为P,且[0,2]⊆P⇔,x∈[0,2].设,x∈(0,2].g′(x)==,令g′(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;当1<x≤2时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.由此可知:当x=1时,函数f(x)取得极小值,也即最小值,且f(1)=e.∴1+a<e,∴a<e﹣1.故选A.【点评】把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.已知函数f(x)=,则f(log29)=﹣.【考点】抽象函数及其应用.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】注意分段函数各段的范围,由对数的性质和运算法则,结合对数恒等式=N,计算即可得到.【解答】解:由于函数f(x)=,则f(log29)=f(log29﹣1)﹣1=f(log2)﹣1=f(log2﹣1)﹣2=f(log2)﹣2=f(log2﹣1)﹣3=f(log2)﹣3=f(log2﹣1)﹣4=f(log2)﹣4=﹣4=﹣4=﹣.故答案为:﹣.【点评】本题考查分段函数的运用:求函数值,注意各段的范围,考查对数的性质和运算法则及对数恒等式,属于中档题.14.若△ABC的三边a,b,c及面积S满足S=a2﹣(b﹣c)2,则sinA=.【考点】余弦定理.【专题】解三角形.【分析】由条件利用余弦定理求得4﹣4cosA=sinA,再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得tan的值,可得sinA=的值.【解答】解:△ABC中,由于面积S=a2﹣(b﹣c)2 =b2+c2﹣2bc•coA﹣(b2+c2﹣2bc)=2bc﹣2bc•cosA,而S=bc•sinA,∴2bc﹣2bc•cosA=bc•sinA,求得4﹣4cosA=sinA,即4﹣4(1﹣2)=2sin cos,∴tan=,∴sinA====,故答案为:.【点评】本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于中档题.15.已知向量与的夹角为120°,且,.若,且,则实数λ=.【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量的模.【专题】平面向量及应用.【分析】利用,,表示向量,通过数量积为0,求出λ的值即可.【解答】解:由题意可知:,因为,所以,所以===﹣12λ+7=0解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直,考查转化数学与计算能力.16.在△ABC中,内角A,B,C的所对边分别是a,b,c,有如下下列命题:①若A>B>C,则sinA>sinB>sinC;②若,则△ABC为等边三角形;③若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;④若(1+tanA)(1+tanB)=2,则△ABC为钝角三角形;⑤存在A,B,C,使得tanAtanBtanC<tanA+tanB+tanC成立.其中正确的命题为①②④(写出所有正确命题的序号)【考点】同角三角函数基本关系的运用.【专题】三角函数的求值.【分析】①已知不等式利用正弦定理化简,整理得到结果,即可做出判断;②已知等式利用正弦定理化简,整理得到结果,即可做出判断;③已知等式利用正弦函数的性质化简,整理得到结果,即可做出判断;④已知等式整理后,利用两角和与差的正切函数公式化简,求出C的度数,即可做出判断;⑤由A,B,C为三角形内角,得到tan(A+B)=tan(π﹣C)=﹣tanC,利用两角和与差的正切函数公式化简,整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故本选项错误.【解答】解:①∵A>B>C,∴a>b>c,又===2R,∴sinA=,sinB=,sinC=,2R为定值,∴sinA>sinB>sinC,此选项正确;②∵==,由正弦定理得:a=2R•sinA,b=2R•sinB,c=2R•sinC代入,得==,∴==,即tanA=tanB=tanC,∴A=B=C,则△ABC是等边三角形,本选项正确;③∵sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,本选项错误;④∵(1+tanA)(1+tanB)=2,即1+tanA+tanB+tanAtanB=2,∴tanA+tanB+tanAtanB=1,即tanA+tanB=1﹣tanAtanB,∴=1,即tan(A+B)=1,∴A+B=,即C=,则△ABC为钝角三角形,本选项正确;⑤若A、B、C有一个为直角时不成立,若A、B、C都不为直角,∵A+B=π﹣C,∴tan(A+B)=tan(π﹣C),即=﹣tanC,则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC,∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即⑤错误,故答案为:①②④【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,正弦定理,两角和与差的正切函数公式,熟练掌握基本关系是解本题的关键.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足:,求数列{b n}的通项公式;(Ⅲ)令(n∈N*),求数列{c n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列的函数特性;等差数列的通项公式.【专题】综合题.=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,由此能求【分析】(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1出数列{a n}的通项公式.(Ⅱ)由(n≥1),知,所以,由此能求出b n.(Ⅲ)=n(3n+1)=n•3n+n,所以T n=c1+c2+c3+…+c n=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n),令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,由错位相减法能求出,由此能求出数列{c n}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2,=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式,∴数列{a n}的通项公式为a n=2n.(Ⅱ)∵(n≥1)①∴②②﹣①得:,b n+1=2(3n+1+1),故b n=2(3n+1)(n∈N*).(Ⅲ)=n(3n+1)=n•3n+n,∴T n=c1+c2+c3+…+c n=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n)令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得:﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴,…∴数列{c n}的前n项和…【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,注意错位相减法的灵活运用.18.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内,发布成绩使用等级制.各等级划分标准见表.规定:A、B、C三级为合格等级,D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(I)求n和频率分布直方图中的x,y的值;(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生中任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率;(Ⅲ)在选取的样本中,从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数,求随机变量ξ的分布列及数学期望.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.【专题】数形结合;综合法;概率与统计.【分析】(I)结合图形求出n的值,即可求出频率分布直方图中的x,y的值;(Ⅱ)找出成绩是合格等级人数,进而求出抽取50人成绩合格等级的频率,即可求出该校高一学生中任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率;(Ⅲ)找出C等级学生人数,A等级学生人数,确定出ξ的取值,进而求出P(ξ)的值,确定出ξ的分布,以及Eξ的值.【解答】解:(I)由题意得:样本容量n==50,x==0.004,y==0.018;(Ⅱ)成绩是合格等级人数为(1﹣0.1)×50=45人,抽取的50人中成绩是合格等级的频率为,设该校高一学生中任选3人,至少有1人成绩是合格等级的事件为A,则P(A)=1﹣×(1﹣)2=;(Ⅲ)由题意得:C等级的学生人数为0.18×50=9人,A等级的人数为3人,故ξ的取值为0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)===,P(ξ=3)===,∴ξ的分布为则Eξ=0×+1×+2×+3×=.【点评】此题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率,以及频率分布直方图,弄清图形的数据是解本题的关键.19.如图,多面体ABCDEF中,DE⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,四边形BDEF是正方形.(Ⅰ)求证:CF∥平面AED;(Ⅱ)求直线AF与平面ECF所成角的正弦值;(Ⅲ)在线段EC上是否存在点P,使得AP⊥平面CEF,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.【专题】空间位置关系与距离;空间角.【分析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理,可得:BC∥平面ADE,BF∥平面ADE,进而由面面平等的判定定理,可得平面BCF∥平面AED,进而根据面面平行的性质得到:CF∥平面AED;(Ⅱ)建立空间直角坐标系O﹣xyz.求出直线AF的方向向量与平面ECF的法向量,代入向量夹角公式,可得直线AF与平面ECF所成角的正弦值;(Ⅲ)设P(x,y,z),,根据AP⊥平面CEF,则平面CEF法向量为满足:,根据无满足条件的λ值,可得不存在这样的P点.【解答】证明:(Ⅰ)因为ABCD是菱形,所以BC∥AD.又BC⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE..…又因为BDEF是正方形,所以BF∥DE.因为BF⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以BF∥平面ADE…因为BC⊂平面BCF,BF⊂平面BCF,BC∩BF=B,所以平面BCF∥平面AED…因为CF⊂平面BCF,所以CF∥平面AED.….…..解:(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠BAD=60°,所以△BCD为等边三角形…取BD的中点O,所以CO⊥BD,取EF的中点G,连结OG,则OG∥DE因为DE⊥平面ABCD,所以OG⊥平面ABCD..…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz.因为AB=2.所以…所以,,.设平面CEF法向量为=(x,y,z),则有得,令y=1.则…设AF与平面ECF所成的角为θ,则,所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为.….…..(Ⅲ)不存在…,设P(x,y,z),,由,得…因为平面CEF的法向量为.若AP⊥平面CEF,则,即,..…得方程组无解,不符合题意.综上,不存在λ使得AP⊥平面CEF.….…..【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角,向量法求线面夹角,难度中档.20.椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设点P是椭圆C的一个动点,直线l:y=x+与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)通过题意及a2﹣b2=c2,可得b2=4、a2=16,从而得到椭圆C的方程;(Ⅱ)设过P点且与AB平行的直线L方程为,L与AB距离就是P点到AB的距离,也就是△PAB的AB边上的高,只要L与椭圆相切,就可得L与A的B最大距离,从而可得最大面积.【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,∴,∴,即4c2=3a2,又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2,∴,∴,即b2=4,又a2﹣b2=c2,所以a2=b2+c2=4+,即a2=16,所以椭圆C的方程为:;(Ⅱ)联立直线直线l:y=x+与椭圆C的方程,得,消去y,整理可得7x2+12x﹣52=0,即(7x+26)(x﹣2)=0,解得x=2或,所以不妨设A(2,),B(,),则AB==,设过P点且与直线l平行的直线L的方程为:,L与l的距离就是P点到AB的距离,即△PAB的边AB边上的高,只要L与椭圆相切,就有L与AB的最大距离,即得最大面积,将代入,消元、整理,可得:,令判别式△==﹣256c2+28×64=0,解得c==±,∴L与AB的最大距离为=,∴△PAB面积的最大值为:×=.【点评】本题考查椭圆方程,直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,解题的关键是求出L与AB最大距离,属于中档题.21.已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax.(a≤0)(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)证明:为自然对数的底数)【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;不等式的证明.【专题】计算题;证明题;分类讨论.【分析】(1)求出f′(x),因为f(x)在x=0时取得极值,所以f'(0)=0,代入求出a即可;(2)分三种情况:a=0;a≤﹣1;﹣1<a<0,令f′(x)>0得到函数的递增区间;令f′(x)<0得到函数的递减区间即可;(3)由(2)知当a=﹣1时函数为减函数,所以得到ln(1+x2)<x,利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可.【解答】解:(1)∵,∵x=0使f(x)的一个极值点,则f'(0)=0,∴a=0,验证知a=0符合条件.(2)∵①若a=0时,∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减;②若得,当a≤﹣1时,f'(x)≤0对x∈R恒成立,∴f(x)在R上单调递减.③若﹣1<a<0时,由f'(x)>0得ax2+2x+a>0∴再令f'(x)<0,可得∴上单调递增,在综上所述,若a≤﹣1时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减;若﹣1<a<0时,上单调递增上单调递减;若a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(﹣∞,0)单调递减.(3)由(2)知,当a=﹣1时,f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减当x∈(0,+∞)时,由f(x)<f(0)=0∴ln(1+x2)<x,∴ln[(1+)(1+)…(1+)]=ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+==(1﹣)<,∴(1+)(1+)…(1+)<=【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,以及会用待定系数法求函数解析式,会利用单调性及对数函数运算证明不等式.会求等比数列的前n项的和.以及利用导数研究函数极值的能力.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD 交BC于点F.(Ⅰ)求证:BC∥DE;(Ⅱ)若D,E,C,F四点共圆,且=,求∠BAC.【考点】与圆有关的比例线段.【专题】推理和证明.【分析】(Ⅰ)通过证明∠EDC=∠DCB,然后推出BC∥DE.。
最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理辽宁
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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理(辽宁卷,含答案)一- 选择题(每小题5分,共60分)(1)已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|-5<x<5},则M ∩N=(A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5}(C) {x|-5<x ≤5} (D) {x|-3<x ≤5}(2)已知复数12z i =-,那么1z= (A)55+ (B)55- (C )1255i + (D )1255i -(3)平面向量a 与b 的夹角为060,(2,0)a =,1b = 则2a b += (A(B) (C) 4 (D)12 (4) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(A )22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=(5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有(A )70种 (B ) 80种 (C ) 100种 (D )140种 (6)设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若63S S =3 ,则 69S S = (A ) 2 (B ) 73(C ) 83 (D )3(7)曲线y=2xx -在点(1,-1)处的切线方程为 (A )y=x-2 (B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示,2()23f π=-,则(0)f = (A )23- (B) - 12 (C) 23 (D) 12(9)已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是(A )(13,23) (B) [13,23) (C)(12,23) (D) [12,23) 10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ,2a ,。
2018年高考理科数学试卷及答案(清晰word版)
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理科数学试题 第1页(共9页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设1i2i 1iz -=++,则||z = A .0B .12C .1D .22.已知集合2{|20}A x x x =-->,则A =RA .{|12}x x -<<B .{|12}x x -≤≤C .{|1}{|2}x x x x <->D .{|1}{|2}x x x x -≤≥3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半理科数学试题 第2页(共9页)4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+,12a ,则5aA .12-B .10-C .10D .125.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = A .3144AB AC -B .1344AB AC - C .3144AB AC +D .1344AB AC + 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3D .28.设抛物线24C y x :的焦点为F ,过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN A .5B .6C .7D .89.已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是 A .[1,0)-B .[0,)+∞C .[1,)-+∞D .[1,)+∞10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则A .12p p =B .13p p =C .23p p =D .123p p p =+理科数学试题 第3页(共9页)11.已知双曲线2213x C y :,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N . 若OMN △为直角三角形,则||MN A .32B .3C .23D .412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A .33B .23C .32D .3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年辽宁理科数学高考题及答案
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3 ,答对每道乙类题的概率都是 5
4 ,且各题答对与否相互独立 5
的个数,求 X 的分布列和数学期望 . y9BQh0fqrH
. 用 X 表示张同学答对题
20. <本小题满分 12 分)
如图,抛物线 C1 : x2 4 y, C2 : x2 2 py p 0 .点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 C2 上,过 M
<I )求证 : 平面 PAC 平面 PBC;
<II )若 AB 2 , C 1, PA 1 , 求二面角 C PB A 的余弦值。
19. <本小题满分 12 分)
现有 10 道题,其中 6 道甲类题, 4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答 .
<I )求张同学至少取到 1 道乙类题的概率;
<II )已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题, 1 道乙类题 . 设张同学答对甲类题的概率都是
p1 : 数列 an 是递增数列;
p2 : 数列 nan 是递增数列;
p3 : 数列 an 是递增数列; n
p4 : 数列 an 3nd 是递增数列;
其中的真命题为 <
)。 <A) p1, p2 <B) p3, p4 <C) p2 , p3 <D) p1, p4
<5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直
2 / 15
大值, min p,q 表示 p, q 中的较小值,记 H1 x 的最小值为 A, H 2 x 的最小值为 B ,
则A B <
)。
<A) a2 2a 16
<B) a2 2a 16
<C) 16
<D) 16
<12)设函数
2018年辽宁高考理科试题全套(精校Word版)含答案语文数学英语文综理综试卷
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁)真题理科试题全套及答案汇总目录2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁语文试题................ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁语文试题答案............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁理科数学................ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁理科数学答案............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁英语试题................ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁英语试题答案............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁理科综合试题............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试辽宁理科综合试题答案........绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国二卷)语文本试卷共22题,共150分,共10页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读(35分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)所谓“被遗忘权”,即数据主体有权要求数据控制者永久删除有关数据主体的个人数据,有权被互联网遗忘,除非数据的保留有合法的理由,在大数据时代,数字化,廉价的存储器,易于提取、全球覆盖作为数字化记忆发展的四大驱动力,改变了记忆的经济学,使得海量的数字化记忆不仅唾手可得,甚至比选择性删除所耗费的成本更低,记忆和遗忘的平衡反转,往事正像刺青一样刻在我们的数字肌肤上;遗忘变得困难,而记忆却成了常态,“被遗忘权”的出现,意在改变数据主体难以“被遗忘”的格局,对于数据主体对信息进行自决控制的权利,并且有着更深的调节、修复大数据时代数字化记忆伦理的意义。
锦州市高三数学(理)质量检测(doc 8页)
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锦州市高三数学(理)质量检测(doc 8页)右图所示,则函数b a x g x+=)(的图象是(8)在ABC ∆中,c b a ,,分别为三个内角C B A ,,所对的边,设向量),(a c c b m --= ,),(a c b n += ,若n m ⊥则角A 的大小为 (A)6π (B)3π (C)2π (D)32π (9)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是(A) 310π (B) 313π (C) 311π (D)38π (1O)设有编号为5,4,3,2,1的五个小球和编号为5,4,3,2,1的五个盒子.现将这五个球投放到五个盒子内,要求每个盒内放1个球,并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则这样的投放方法总数为(A)60 (B)48 (C)30(D)20(11)x y =2与2x y =所围成图形的面积(阴影部分)是(A)31 (B)32 (C)41 (D)21 (12)把一条长为l 的线段任意分成三段,则这三段能构成三角形的概率为(A)21 (B)31 (C)41 (D)61 第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题:本大题共4个小题.每小题5分,满分20分;将答案写在答题纸相应题号的位置上。
12-x e , 2<x(13)函数=)(x f 不等式2)(>x f)1(log 23-x ,(x ≥2)的解集为______________________。
(14)数列}{n a 满足233313221n a a a a nn =⋅+⋅⋅⋅++⋅+-, 则n a =______________________。
(15)若二项式6)sin (x x -θ展开式中的常数项为20,则θ的值为_______________________。
(16)阅读右边的程序框图,输出的变量S 的值是______________。
三、解答题:本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;字迹工整、清楚。
2018-2019辽宁省锦州市北镇第三中学高三数学理联考试题
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2018-2019辽宁省锦州市北镇第三中学高三数学理联考试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为()A、 B、 C、D、参考答案:A2. 平面向量与的夹角为,,则等于()A.2B.2C.4 D.参考答案:A【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.【分析】利用已知条件,通过平方关系,求解即可.【解答】解:平面向量与的夹角为,,则===2.故选:A.3. 下列有关命题的说法正确的是()(A) 命题"若,则X=1”的否命题为:“若,则;x1”(B) "x=-l"是“”的必要不充分条件(C) 命题“^,使得:”的否定是:“,均有”(D) 命题“若x=y,则”的逆否命题为真命题参考答案:D略4. 若曲线与曲线在交点处有公切线,()A.B.C.D.参考答案:C略5. 已知两条不同直线l1和l2及平面α,则直线l1∥l2的一个充分条件是()A.l1∥α且l2∥αB.l1⊥α且l2⊥αC.l1∥α且l2?αD.l1∥α且l2?α参考答案:B略6.参考答案:A略7. 设α∈(0,),β∈(,π),若=,则下列结论一定正确的是()A.sinα=sinβB.sinα=﹣cosβC.sinα=cosβD.sin2α=sin2β参考答案:A略8. 以下四个命题中,其中真命题的个数为()①在回归分析中,可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模拟的拟合效果越好;②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数越接近于1;③若数据x1,x2,x3…,x n的方差为1,则3x1,3x2,3x3…,3x n的方差为3;④对分类变量x与y的随机变量的观测值k2来说,k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大.A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:A【考点】相关系数.【分析】(1)根据相关指数R2的值的性质进行判断,(2)根据线性相关性与r的关系进行判断,(3)根据方差关系进行判断,(4)根据分类变量x与y的随机变量k2的观察值的关系进行判断.【解答】解:(1)用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好,故(1)正确;(2)若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故(2)错误;(3)若统计数据x1,x2,x3,…,x n的方差为1,则3x1,3x2,3x3…,3x n的方差为9,故(3)错误;(4)对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k2来说,k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大.错误;故选:A.9. 将函数的图象先向左平移,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为()A. B. C. D.参考答案:D略10. 下列各式的值为的是-------------------------------------()A. B. C. D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若存在实常数k和b,使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数,,(e为自然对数的底数),有下列命题:①在内单调递增;②f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且b的最小值为-4;③f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是[-4,1];④f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的序号为.(请填写正确命题的序号)参考答案:①②④解析:①,,,,在内单调递增,故①正确;②,③设的隔离直线为,则对任意恒成立,即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有,,即有且,,,同理,可得,所以,,故②正确,③错误;④函数和的图象在处有公共点,因此存在和的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为,则隔离直线方程为,即,由恒成立,若,则不恒成立.若,由恒成立,令,故在单调递增,,不恒成立.所以,可得,当恒成立,则,只有,此时直线方程为,下面证明,令,,当时,;当时,;当时,;当时,取到极小值,极小值是,也是最小值,,则,函数和存在唯一的隔离直线,故④正确,故答案为①②④.12. 将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8。
最新-2018辽宁省高考理科数学试卷及答案 精品
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2018辽宁省高考理科数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭,≤,则集合{}|1x x ≥=( ) A .M N B .M NC .()M M N ðD .()M M N ð2.135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+ ( )A .14B .12C .1D .23.圆221x y +=与直线2y kx =+没有..公共点的充要条件是( ) A .(22)k ∈-, B .(2)(2)k ∈--+ ∞,,∞ C .(33)k ∈-,D .(3)(3)k ∈--+ ∞,,∞4.复数11212i i+-+-的虚部是( ) A .15i B .15 C .15i -D .15-5.已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC =( )A .2OA OB -B .2OA OB -+C .2133OA OB -D .1233OA OB -+6.设P 为曲线C :223y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,则点P 横坐标的取值范围为( ) A .112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,B .[]10-,C .[]01,D .112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,7.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A .13B .12C .23D .348.将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象,则( )A .(11)=--,a B .(11)=-,aC .(11)=,aD .(11)=-,a9.一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有( )A .24种B .36种C .48种D .72种 10.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B .3C .5D .9211.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点,则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线( )A .不存在B .有且只有两条C .有且只有三条D .有无数条 12.设()f x 是连续的偶函数,且当x >0时()f x 是单调函数,则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为( ) A .3- B .3 C .8- D .8二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.函数100x x x y e x +<⎧=⎨⎩,,,≥的反函数是__________.14.在体积为43π的球的表面上有A ,B ,C 三点,AB =1,BC =2,A ,C 两点的球面距离为33π,则球心到平面ABC 的距离为_________. 15.已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有..常数项,n ∈*N ,且2≤n ≤8,则n =______. 16.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,有最小值,无最大值,则ω=__________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 在ABC △中,内角A B C ,,对边的边长分别是a b c ,,,已知2c =,3C π=. (Ⅰ)若ABC △的面积等于3,求a b ,;(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.18.(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:周销售量 2 3 4 频数205030(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中,AP=BQ=b (0<b <1),截面PQEF ∥A D ',截面PQGH ∥AD '.(Ⅰ)证明:平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;(Ⅱ)证明:截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值, 并求出这个值;(Ⅲ)若D E '与平面PQEF 所成的角为45,求D E '与平面PQGH 所成角的正弦值. 20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(03)-,,(03),的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于A ,B 两点. (Ⅰ)写出C 的方程;(Ⅱ)若OA ⊥OB,求k 的值;(Ⅲ)若点A 在第一象限,证明:当k >0时,恒有|OA |>|OB|.21.(本小题满分12分)在数列||n a ,||n b 中,a 1=2,b 1=4,且1n n n a b a +,,成等差数列,11n n n b a b ++,,成等比数列(n ∈*N )(Ⅰ)求a 2,a 3,a 4及b 2,b 3,b 4,由此猜测||n a ,||n b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++…. 22.(本小题满分14分) 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++. (Ⅰ)求f (x )的单调区间和极值;(Ⅱ)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,+∞)?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.2018年(辽宁卷)数学理科试题参考答案和评分参考1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C8.A9.B10.A11.D12.C13.11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩,,, ≥14.3215.516.143三、解答题17.本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,224a b ab +-=, 又因为ABC △的面积等于3,所以1sin 32ab C =,得4ab =. ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩,,解得2a =,2b =. ·············································· 6分(Ⅱ)由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=,即sin cos 2sin cos B A A A =, ········································································· 8分 当cos 0A =时,2A π=,6B π=,433a =,233b =, 当cos 0A ≠时,得sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =,联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩,,解得233a =,433b =.所以ABC △的面积123sin 23S ab C ==. ················· 12分 18.本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解:(Ⅰ)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3. ······················ 3分 (Ⅱ)ξ的可能值为8,10,12,14,16,且 P (ξ=8)=0.22=0.04, P (ξ=10)=2×0.2×0.5=0.2, P (ξ=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37, P (ξ=14)=2×0.5×0.3=0.3, P (ξ=16)=0.32=0.18.ξ的分布列为ξ8 10 12 14 16 P0.040.20.370.30.18··················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.18=12.4(千元) ···························· 12分 19.本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力。
2018年辽宁省高考理科数学试题Word版含答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学第I卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U 二R,A={X|X E0}, B 二{x|x_1},则集合C u(A B)二( )A . {x| x _ 0}B . {x | x 岂1}C . {x 10 岂x /} D. {x |0 :::x ::: 1}2.设复数Z 满足(z-2i)(2 -i) =5,则z 二( )A. 2 3iB. 2 -3iC. 3 2iD. 3-2i丄 1 13•已知 a =2 3, b Tog? —,c =log1 -,贝)3 2 3A. a b cB. a c bC. cab D . c b a4.已知m,n表示两条不同直线,〉表示平面,下列说法正确的是( ) A .若m//〉, n/八,贝^m//n B .若m 一:•,n 二隈,贝卩m_nC .若m _ , m_n ,贝卩n //〉D .若m//〉,m_n ,贝卩n_>5.设a,b,c是非零向量,学科网已知命题P:若a・b = 0 , b・c = 0,则a・c=0 ;命题q:若a/bb c ,则a//c,则下列命题中真命题是( )A . p qB . p qC . (-p) (-q)D . p (-q)6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )A. 144B. 120C. 72 D . 247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(A. 8-2二B. 8-二C. 8D. 8- —2 48.设等差数列{a.}的公差为d,若数列{2^}为递减数列,则( )A. d ::: 0B. d 0C. qd :0D. qd 09.将函数y=3si n(2x )的图象向右平移丄个单位长度,所得图象对应3 2的函数( )A .在区间[-,-]上单调递减12 12B.在区间[二,二]上单调递增12 12C.在区间[--,]上单调递减6 3D.在区间[-二T上单调递增6 310.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,学科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A . 1B . -C . -D .-2 3 4 311.当[-2,1]时,不等式ax3-x2 "X 3 —0恒成立,则实数a的取值范围是( )9A . [-5,-3]B . [£一8】C . [-6,-2]D . [-4,-3]12.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:① f(0) = f(1) = 0 ;1②对所有x, y [0,1],且x = y,有| f (x) - f (y) |:::| x 一y |.2若对所有x, y [0,1] , | f (x) 一 f (y) h: k,则k的最小值为( ) 1111A. -B.丄C.丄D.-2 4 2兀8第H卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.执行右侧的程序框图,若输入x =9,则输出y = ______________ .2 2 14.正方形的四个顶点A(—1,—1),B(1,—1),C(1,1),D( — 1,1)分别在抛物线y=-x和y = x上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在阴影区域的概率是__________ .2 2x y15.已知椭圆C: 1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别9 4为A, B,线段MN的中点在C上,则| AN | | BN |二__________________ .16.对于c 0,当非零实数a, b满足4a? —2ab • 4b2 - c = 0,且使| 2a - b|最大时,3 4 5的最小值为 __________ .a b c三、解答题(本大题共6小题,共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C的对边a, b,C,且a c,已知BA.BC = 2,cos B =1, b = 3,求:3(1)a和c的值;(2)cos(B—C)的值.18.(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(x)及方差D(X).19.(本小题满分12分)如图,:ABC和:BCD所在平面互相垂直,且AB二BC二BD=2 ,.ABC =/DBC -120°,E、F 分别为AC、DC 的中点.(1)求证:EF _ BC ;(2)求二面角E — BF — C的正弦值.2°.(本小题满分12分)圆x2y^4的切线与X轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该2 2三角形面积最小时,切点为P (如图),双曲线C1:笃-笃"过点P且a b离心率为3.(1)求G的方程;(2)椭圆C2过点P且与G有相同的焦点,直线I过C2的右焦点且与C2 交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求I的方程.21.(本小题满分12分)8已知函数心心心"注3(旭1),2xg(x)二3(x -x)cos x「4(1 sin x)ln(3 ).n证明:(1)存在唯一X。
2018年辽宁省高考理科试题与答案汇总(Word版)
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2018年辽宁省高考理科试题与答案汇总(Word版)目录语文------------------- 2~13 理科数学-------------------14~37 理科综合-------------------38~46 英语-------------------47~592018年辽宁省高考语文试题与答案(试卷满分150分,考试时间150分钟)第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读(35分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)所谓“被遗忘权”,即数据主体有权要求数据控制者永久删除有关数据主体的个人数据,有权被互联网遗忘,除非数据的保留有合法的理由,在大数据时代,数字化,廉价的存储器,易于提取、全球覆盖作为数字化记忆发展的四大驱动力,改变了记忆的经济学,使得海量的数字化记忆不仅唾手可得,甚至比选择性删除所耗费的成本更低,记忆和遗忘的平衡反转,往事正像刺青一样刻在我们的数字肌肤上;遗忘变得困难,而记忆却成了常态,“被遗忘权”的出现,意在改变数据主体难以“被遗忘”的格局,对于数据主体对信息进行自决控制的权利,并且有着更深的调节、修复大数据时代数字化记忆伦理的意义。
首先,“被遗忘权”不是消极地防御自己的隐私不受侵犯,而是主体能动地控制个人的信息,并界定个人隐私的边界,进一步说,是主体争取主动建构个人数字化记忆与遗忘的权利,与纯粹的“隐私权”不同,“被遗忘权”更是一项主动性的权利,其权利主体可自主决定是否行使该项权利对网络上已经被公开的有关个人信息进行删除,是数据主题对自己的个人信息所享有的排除他人非法使用的权利。
其次,在数据快速流转且难以被遗忘的大数据时代,“被遗忘权”对调和人类记忆与以往的平衡具有重要的意义,如果在大数据时代不能“被遗忘”,那意味着人们容易被囚禁在数字化记忆的监狱之中,不论是个人的遗忘还是社会的遗忘,在某种程度都是一种个人及社会修复和更新的机制,让我们能够从过去的经验中吸取教训,面对现实,想象未来,而不仅仅背过去的记忆所束缚。
2018年辽宁省高考理科数学试题真题(精校 Word版试卷含答案)
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A .y =B .y =C .y =D .y =6.在ABC △中,cos2C =1BC =,5AC =,则AB =A .BCD .7.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A . 23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
辽宁省锦州市2018届高三下学期第二次质量检测理数试题 含解析
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一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(U R R =是实数集), {}{}2|11,|20A x x B x x x =-≤≤=-<,则()U AC B = ( )A .[]1,0-B .[]1,2C .[]0,1D .(][),12,-∞+∞【答案】D考点:集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 2.已知()()12a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位), 则a bi +等于( )A .2B .1 D .1【答案】B 【解析】 试题分析:()()2212(1)20,12,11a i bi i a b ab i i a b ab a b ab a b +-=⇒++-=⇒+=-=⇒=-=-⇒==a bi +== B.考点:复数相等及模概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如()()()()++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若21x =,则1x =” 的否命题为:“若21x =,则1x ≠”B .“1m =” 是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直” 的充要条件C .命题“0x R ∃∈,使得20010x x ++<” 的否定是﹕“x R ∀∈,均有210x x ++<” D .命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角, 若A B =,则sin sin A B =” 的否命题为真命题 【答案】D 考点:命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假.并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 的充分条件.2.等价法:利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件.4.某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的各个面中, 最大的面积是( )A .1 C D 【答案】A考点:三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图. 2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据. 5.如图是秦九韶算法一个程序框图, 则输出的S 为( )A .()()1030020a x a x a a x +++的值B .()()3020100a x a x a a x +++的值C .()()0010230a x a x a a x +++的值D .()()2000310a x a x a a x +++的值 【答案】C考点:循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.6.已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最大值为 ( )A .3-B .0C .1D .3 【答案】C 【解析】试题分析:可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -,因此直线2z x y =-过C 点时取最大值1,选C.考点:线性规划求最值【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.把A 、B 、C 、D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具, 且A 、B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有( )A .36种B .30种C .24 种D .18种 【答案】B【解析】试题分析:由题意A 、B 两件玩具不能分给同一个人,因此分法为122342(1)35230C C A -=⨯⨯=考点:排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法:(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8.已知22cos a xdx ππ-=⎰,则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A .20B .20-C .160D .160- 【答案】C考点:定积分,二项式定理9.已知四棱锥S ABCD -的所有顶点在同一球面上, 底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内, 当四棱锥体积取得最大值时, 其面积等于16+则球O 的体积等于( )A .3 B .3 C .3D .3 【答案】D 【解析】试题分析:当四棱锥体积取得最大值时, SO ABCD ⊥面,因此224164R +⨯=+=球O 的体积等于3433R π=,选D.考点:球体积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.10.已知顶点为坐标原点O 的抛物线1C 与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>都过点23M ⎛ ⎝⎭,且它 们有共同的一个焦点F ,则双曲线2C 的离心率是( )A .3B .2 C【答案】A考点:双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程或不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式,建立关于a ,b ,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 对任意x R ∈,都有()()4f x f x =+,且当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根, 则a 的取值范围是( ) A.)2 B.)2 C.)D.)2【答案】B 【解析】试题分析:作出()f x 在区间(]2,6-图像,可知()()log 223,log 6232a a a +<+>⇒<<,选B.考点:函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.12.不等式xe x ax ->的解集为P ,且[]0,2P ⊆,则a 的取值范围是( )A .(),1e -∞-B .()1,e -+∞C .(),1e -∞+D .()1,e ++∞ 【答案】A考点:不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,f(x)≥a 恒成立,只需f(x)min≥a 即可;f(x)≤a 恒成立,只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知函数()()02,11,0x f f x x x x ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩,则()2log 9f = .【答案】5516-考点:分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数结合点处函数值.14.若ABC ∆的三边,,a b c 及面积S 满足()22S a b c =--,则sin A = .【答案】817【解析】试题分析:由余弦定理得()22122cos sin 2S a b c bc bc A bc A =--=-=,所以sin 4cos 4A A +=,由22sin cos 1A A +=,解得22sin sin (1)14A A +-=,sin A =817(0舍去) 考点:余弦定理【方法点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.15.已知向量AB 与AC 的夹角为120︒,且3,2AB AC ==,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ= .【答案】712考点:向量数量积16.在ABC ∆中, 内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,有如下列命题: ①若A B C >>,则sin sin sin A B C >>; ②若cos cos cos A B Ca b c==,则ABC ∆为等边三角形; ③若sin 2sin 2A B =,则ABC ∆为等腰三角形;④若()()1tan 1tan 2A B ++=,则ABC ∆为钝角三角形; ⑤存在,,A B C 使得tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立.其中正确的命题为 .(写出所有正确命题的序号). 【答案】①②④ 【解析】试题分析:若A B C >>,则sin sin sin a b c A B C >>⇒>>;若cos cos cos A B Ca b c==,则cos cos sin()0sin sin A BA B A B a b A B=⇒-=⇒=⇒=,同理可得a c =,所以ABC ∆为等边三角形;若sin 2sin 2A B =,则222+2A B A B π==或,因此ABC ∆为等腰或直角三角形;若()()1tan 1tan 2A B ++=,则tan tan 1tan tan A B A B +=-,因此3tan()14A B C π+=⇒=,ABC ∆为钝角三角形;斜在ABC ∆中, tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++恒成立,因此正确的命题为①②④考点:解三角形三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()1n S n n n N *=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足31223 (31313131)n n n b b b ba =++++++++,求数列{}nb 的通项公式; (3) 令()4n nn a b c n N *=∈,数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】(1)2n a n =(2)()()231nn b n N*=+∈ (3) ()()12133142n nn n n T+-⨯++=+(3)()3134n n n nn a b c n n n ==+=+,()()23123...132333...312...n n n T c c c c n n ∴=++++=⨯+⨯+⨯++⨯++++,令23132333...3nn H n =⨯+⨯+⨯++⨯,① 则2134132333...33n n H n +⨯=+⨯+⨯++⨯②①-②得:()()211132333...3313213333,134n n n n nn n n n n H H +++--⨯+-⨯-=++++=-⨯∴=-考点:由和项求通项,错位相减法求和【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ,常用思路是:一是利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 之间的关系,再求a n . 应用关系式a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n-S n -1,n ≥2时,一定要注意分n =1,n ≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.18.(本小题满分12分)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内, 发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表, 规定:A 、B 、C三级为合格等级,D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况, 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计, 按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,8080,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示, 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n 和频率分布直方图中的,x y 的值;(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生任选3人, 求至少有1人成绩是合格等级的概率;(3) 在选取的样本中, 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研, 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数, 求随机变量ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)50n ==0.004,0.018x y =(2)9991000(3)详见解析(3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18509⨯=人,A 等级的学生人数为3人, 故ξ的取值为0,1,2,3,()()()3322139393333121212127108270,1,2,22022022055C C C C C P P P C C C ξξξ==========()393128421322055C P C ξ====,所以ξ的分布列为:012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.考点:频率分布直方图,数学期望,古典概型概率【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ~B(n ,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.19.(本小题满分12分)如图, 多面体ABCDEF 中,DE ⊥ 平面ABCD ,底面ABCD 是菱 形,2,60AB BAD =∠=︒, 四边形BDEF 是正方形. (1)求证:CF 平面AED ;(2)求直线AF 与平面ECF 所成角的正弦值;(3) 在线段EC 上是否存在点P ,使得AP ⊥平面CEF ,若存在, 求出EPPC的值;若不存在, 说明理由.【答案】(1)详见解析(2)7(3) 不存在 【解析】试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要结合平面几何知识,本题寻找线线平行比较困难,因此利用面面平行进行论证线面平行,由于有两组线线平行BCAD 及BF DE ,可转化为线面平行BC 平面,ADE 及BF 平面,ADE 再转化为面面平行:平面BCF 平面AED ,(2)由菱形对角相互垂直及DE ⊥ 平面ABCD ,可建立空间直角坐标系,利用空间向量求线面角,先求出各点坐标,表示出直线方向向量,再利用方程组解出平面法向量,利用向量数量积求出向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求解(3)利用空间向量研究线面垂直,即转为研究直线与法向量是否平行,而存在性问题转化为对应方程是否有解(2)因为四边形ABCD 为菱形,且60BAD ∠=︒,所以BCD ∆为等边三角形,取BD 的中点O ,所以CO BD ⊥,取EF 的中点G ,连结OG ,则OG DE , 因为DE ⊥平面ABCD ,所以OG ⊥平面ABCD .以OB 为x 轴、OC 为y 轴、OG 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.因为2AB =. 所以()()()()()()0,0,0,0,,1,0,0,,1,0,2,1,0,2O A B C E F - 所以()()()1,3,2,2,0,0,1,3,2.AF FE FC ==---设平面CEF 法向量为n x y z =(,,),则有00n FEn FC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,0x x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令1y =.则2n =(0,1,.设AF 与平面ECF 所成的角为θ,考点:面面平行性质定理,线面平行判定定理,利用空间向量求线面角,利用空间向量研究存在性问题【方法点睛】(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.20.(本小题满分12分)椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点P 是椭圆C 的一个动点, 直线:42l y x =+与椭圆C 交于,A B 两点, 求PAB ∆面积的最大值.【答案】(1)221164x y +=(2)(107(2)联立直线直线l x +与椭圆C 的方程,得221164y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y ,整理可得2712520x x +-=,即()()72620x x +-=,解得2x =或267x =-,所以不妨设(26,,77A B ⎛-- ⎝⎭,则AB ==, 设过P 点且与直线l 平行的直线L的方程为:y x C =+,L 与l 的距离就是P 点到AB 的距离,即PAB ∆的边AB 边上的高,只要L 与椭圆相切,就有L 与的AB 最大距离,即得最大面积,将y x C =+代入221164x y +=,消元、整理,可得:22716640x c ++-= 令判别式考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.(本小题满分12分)已知函数()()()2ln 10f x x ax a =++≤.(1)若()f x 在0x =处取得极值, 求a 的值; (2)讨论()f x 的单调性;(3) 证明:211111...1,9813n n N e *⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为自然数的底数). 【答案】(1)0a =(2)详见解析(3)详见解析 【解析】试题分析:(1)先求函数导数()22',1xf x a x =++再根据极值定义有()'00,f =从而可得0a =(2)要讨论函数单调性,先讨论导函数()22222'11x ax x af x a x x ++=+=++,也即函数22ax x a ++零点情况:0a =时,一个零点,两个单调区间;1a ≤-时,无零点,一个单调区间;10a -<< 时,两个零点,三个单调区间(3)证明不等式,先分析结构:积,两边取对数,转化为和;211111...19813n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⇔ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111ln 11...198132n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21111ln 1ln 1......ln 198132n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再利用()2ln 1x x +<放缩得2111ln 1ln 1......ln 19813n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111111133 (133323213)n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭-若10a -<< 时, ()f x在⎝⎭上单调递增,⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.若0a =时, ()f x 在()0,+∞上单调递增, 在(),0-∞上单调递减,(3) 由(2) 知1a =-时, ()f x 在(),-∞+∞上单调递减,当()0,x ∈+∞时, 由()()00f x f <=()2ln 1x x ∴+<,22111111ln 11...1ln 1ln 1......ln 198139813n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211111111133......1133323213n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭-, 12211111...19813n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++<= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点:利用导数研究函数极值,利用导数研究函数单调性,利用导数证明不等式 【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数y =f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则 y =f(x)在该区间为增函数;如果f′(x)<0,则y =f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图, 圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ,过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ,AD 交BC 于点F .(1)求证:BC DE ;(2)若,,,D E C F 四点共圆, 且AC BC =,求BAC ∠.【答案】(1)详见解析(2)27π7CFA ACF CAF CAF π=∠+∠+∠=∠,即277CAF BAC ππ∠=∠=,考点:四点共圆,弦切角定理23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12(12x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数), 曲线C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位, 且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为及轴) 中, 点P 的极坐标为4,6π⎛⎫⎪⎝⎭,判断点P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点, 求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值. 【答案】(1)P 不在直线l 上(2)最小值为12 ,最大值为52. 【解析】试题分析:(1)利用代入消元法得直线l的直角坐标方程为:1y =-,利用cos sin x y ρθρθ==,将点P极坐标化为直角坐标()2P ,易得点P 坐标不满足直线l 的方程(2)根据点到直线距离公式得点Q 到直线l的距离为32cos 62d πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==,再根据三角函数有界性得最值考点:参数方程化为普通方程,点到直线距离公式 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()2f x x =-.(1)解不等式:()()124f x f x +++<;(2)已知2a >,求证:()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立. 【答案】(1)3522⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)详见解析【解析】试题分析:(1)利用绝对值定义,将不等式等价转化为三个不等式组,它们的并集为所求解(2)证明不等式恒成立问题,实质是求对应函数()()|2||2|y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题,利用绝对值三角不等式易得函数最小值:y |22||22|ax a ax a ≥-+-=-,再根据2a >,易得()()2f ax af x +>考点:绝对值定义,绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.。
2018届辽宁省锦州市高三质量检测(一)理科数学试题及答
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辽宁省锦州市2018届高三质量检测(一)数学(理)试题注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
3.答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干后,再涂其他答案标号,写在本试卷是上无效。
答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷是上无效。
参考公式:球的体积公式:V= 43πR3(其中R表示球的半径)锥体体积公式:V=13 sh(其中s表示锥体底面面积,h表示锥体的高)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={cos0°,sin270°},B={x|x2+x=0},则A∩B为(A ){0,-1} (B ){-1,1} (C ){-1} (D ){0}(2)复数z 满足(-1+i )z =(1+i )2,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点位于(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限(3)已知向量OA =(2,2),OB=(4,1),点P 在x 轴上,则.AP BP取最小值时P 点坐标是(A )(-3,0) (B )(1,0) (C )(2,0) (D )(3,0)(4)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4 -2a 27 +3a 8 =0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则 B 2b 8b 11 等于(A )1 (B )2 (C )4 (D )8(5)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率是 (A )310 (B )29(C ) 78(D ) 79(6)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A )64 (B )72(C )80 (D )112(7)执行下边的程序框图,若p =0.8,则输出的n 等于 开始 (A )2 (B )3 (C )4(D )5 (8)已知函数y =f (x )的导函数为f’(x ),且 2()'()sin 3f x x f x π=+,则'()3f π=(A )364π- (B )362π- (C )364π+ (D ) 362π+(9)若点P (x ,y)满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点A ,O为坐标原点,则.OAOP的最大值为(A )0 (B )3 (C )-6 (D )6(10)已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C :2222y x a b-(a>0,b>0,点P 是抛物线y 2 =8x 上的一动点,P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c )的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为 (A )22123y x -= (B )2214x y -= (C )2214y x -=(D )22132y x -= (11)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 2=10,S 4=36,则过点P (n ,a n )和Q (n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是(A )1(,2)2-- (B )(-1,-1) (C )1(,1)2--(D )(2, 12)(12)已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数,g(x)≠0,f’(x)g(x)>f(x)g’(x),且f(x)=a xg(x) (a>0,且a≠1),(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-若数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和大于62,则n 的最小值为(A )6 (B )7 (C )8 (D )9第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. (13)在5(x-的二项展开式中,x 2的系数为____________. (14)在三棱锥A-BCD 中,侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积分别为则三棱锥A-BCD 的外接球体积为____________.(15)已知函数222(3)14x f x g x -=-,则f (x )的定义域为____________.(16)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,,(2,1),(2,cos )a b c q a p b c C ==-,且q p . (Ⅰ)求sinA 的值;(Ⅱ)求三角函数式2cos 211tan C C-++的取值范围.(18)(本小题满分12分)如图所示,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相 垂直,AF=1.(Ⅰ)求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值; (Ⅱ)在线段AC 上找一点P ,使PF 与DA所成的角为60°,试确定点P 的位置.(19)(本小题满分12分)某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(Ⅰ)求直方图中x 的值;(Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(Ⅲ)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率) (20)(本小题满分12分)已知椭圆C :2222y x a b-(a>b>0)的离心率为2,其左、右焦点分别是F 1,F 2,过点F 1的1 直线l 交椭圆C 于E ,G 两点,且△EGF 2的周长为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ,B ,设P 为椭圆上一点,且满足 OA OB tOP +=(O为坐标原点),当3PA PB -<时,求实数t 的取值范围.(21)(本小题满分12分)设函数f (x )=ae x(x+1)(其中,e=2.71828……),g (x )=x 2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线. (Ⅰ)求函数f (x ),g (x )的解析式;(Ⅱ)求函数f (x )在[t ,t+1](t>-3)上的最小值; (Ⅲ)若∀x≥-2,kf (x )≥g(x )恒成立,求实数k 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正△ABC 中,点D ,E 分别在边AC ,AB 上,且AD= A 13C ,AE= 23AB ,BD ,CE 相交于点F.(Ⅰ)求证:A ,E ,F ,D 四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC 的边长为2,求A ,E ,F ,D 所在圆的半径.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角6πα=.(Ⅰ)写出直线l 的参数方程;(Ⅱ)设l 与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,求点P (1,1)到A ,B 两点的距离之积.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集;(Ⅱ)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空的集合,求实数m 的取值范围.参考答案一.选择题:CDDDD BCADC AA二.填空题(13) 40 (14(15){x|x>1} (16)43三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)解(1)∵q=(2a,1),p=(2b-c,cos C)且q∥p,∴2b-c =2a cos C,由正弦定理得2sin A cos C=2sin B-sin C,又sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,∴12sin C=cos A sin C.∵sin C≠0,∴cos A=12,又∵0<A<π,∴A=π3,∴sin A=32. ………………6分(2)原式=-2cos 2C1+tan C+1=1-2 cos2C-sin2C1+sin Ccos C=1-2cos2C+2sin C cos C=sin 2C-cos 2C=2sin(2C-π4),∵0<C<23π,∴-π4<2C-π4<1312π,∴-22<sin(2C-π4)≤1,∴-1<2sin(2C-π4)≤2,即三角函数式-2cos 2C1+tan C+1的取值范围为(-1,2].………………12分18. (本小题满分12分)解(1)以C为坐标原点,分别以CD,CB,CE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(2,0,0),B(0,2,0),A(2,2,0),F(2,2,1),连接BD,则AC⊥BD.因为平面ABCD⊥平面ACEF,且平面ABCD∩平面ACEF=AC,所以DB→是平面ACEF的一个法向量.又DB→=(-2,2,0),DF→=(0,2,1),所以cos〈DF→,DB→〉=DF→·DB→|DF→|×|DB→|=33.故直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为33. ………………6分(2)设P(a,a,0)(0≤a≤2),则PF→=(2-a,2-a,1),DA→=(0,2,0).因为〈PF→,DA→〉=60°,所以cos 60°=2 2-a2×2 2-a 2+1=12 .解得a=22或a=322(舍去),故存在满足条件的点P(22,22,0)为AC的中点.…………12分19. (本小题满分12分)解(Ⅰ)由直方图可得:200.025200.0065200.0032201x⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x=. (3)分(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:0.0032200.12⨯⨯=,因为12000.12144⨯=,所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿.…………6分(Ⅲ)X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14,4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭. 10分所以X 的分布列为:0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(或414EX =⨯=)所以X的数学期望为1. (12)分20. (本小题满分12分)解 (1)由题意知椭圆的离心率e =c a =22,∴e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=12,即a 2=2b 2.又△EGF 2的周长为42,即4a =42, ∴a 2=2,b 2=1. ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. …………6分 (2)由题意知直线AB 的斜率存在,即t ≠0.设直线AB 的方程为y =k (x -2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x ,y ),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -2 ,x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-2=0.由Δ=64k 4-4(2k 2+1)(8k 2-2)>0,得k 2<12.x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k 2,∵OA →+OB →=tOP→, ∴(x 1+x 2,y 1+y 2)=t (x ,y ),x =x 1+x 2t =8k 2t 1+2k 2, y =y 1+y 2t=1t[k (x 1+x 2)-4k ]=-4kt 1+2k 2. …………8分 ∵点P 在椭圆C 上,∴ 8k 22[t 1+2k 2 ]2+2 -4k2[t 1+2k 2 ]2=2,∴16k 2=t 2(1+2k 2).∵|PA →-PB →|<253,∴1+k 2|x 1-x 2|<253,∴(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]<209,∴(1+k2)[64k41+2k2 2-4·8k2-21+2k2]<209,∴(4k2-1)(14k2+13)>0,∴k2>14.∴14<k2<12.∵16k2=t2(1+2k2),∴t2=16k21+2k2=8-81+2k2,又32<1+2k2<2,∴83<t2=8-81+2k2<4,∴-2<t<-263或263<t<2,∴实数t的取值范围为(-2,-263)∪(263,2).…………12分21. (本小题满分12分)解(1)f′(x)=a e x(x+2),g′(x)=2x+b.由题意,得两函数在x=0处有相同的切线.∴f′(0)=2a,g′(0)=b,∴2a=b,f(0)=a,g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2. …………6分(2)f′(x)=2e x(x+2),由f′(x)>0得x>-2,由f′(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)单调递增,在(-∞,-2)单调递减.∵t>-3,∴t +1>-2.①当-3<t <-2时,f (x )在[t ,-2]单调递减,在[-2,t +1]单调递增,∴f (x )min =f (-2)=-2e -2.②当t ≥-2时,f (x )在[t ,t +1]单调递增, ∴f (x )min =f (t )=2e t(t +1); ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2e -2-3<t <-2 2e t t +1 t ≥-2…………9分(3)令F (x )=kf (x )-g (x )=2k e x(x +1)-x 2-4x -2, 由题意当x ≥-2时,F (x )min ≥0. ∵∀x ≥-2,kf (x )≥g (x )恒成立, ∴F (0)=2k -2≥0,∴k ≥1.F ′(x )=2k e x (x +1)+2k e x -2x -4=2(x +2)(k e x-1),∵x ≥-2,由F ′(x )>0得e x>1k ,∴x >ln 1k;由F ′(x )<0得x <ln 1k ,∴F (x )在(-∞,ln 1k )单调递减,在[ln 1k,+∞)单调递增. ①当ln 1k<-2,即k >e 2时,F (x )在[-2,+∞)单调递增, F (x )min =F (-2)=-2k e -2+2=2e2(e 2-k )<0,不满足F (x )min ≥0.当ln 1k =-2,即k =e 2时,由①知,F (x )min =F (-2)=2e2(e2-k )=0,满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >-2,即1≤k <e 2时,F (x )在[-2,ln 1k)单调递减,在[ln 1k,+∞)单调递增.F (x )min =F (ln 1k)=ln k (2-ln k )>0,满足F (x )min ≥0.综上所述,满足题意的k 的取值范围为[1,e 2]. …………12分22.(本小题满分10)选修4—1:几何证明选讲(Ⅰ)证明:∵AE=AB,∴BE=AB,∵在正△ABC 中,AD=AC, ∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC, …………5分即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图,取AE 的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G 是△AED 外接圆的圆心,且圆G 的半径为. 由于A,E,F,D 四点共圆,即A,E,F,D 四点共圆G,其半径为. …………10分23. (本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程解:(1)直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ …………5分(2)把直线1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-= 122t t =-,则点到,A B 两点的距离之积为2。
高三数学-2018年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学 (供理科考生使用) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24S R π= 如果事件A 、B 相互互斥,那么 球的表面积公式 P(A B)=P(A)P(B) 343V R π球= 如果时间A 在一次试验中发生的概率P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 一. 选择题(1)设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是(A )1(B )3(C )4(D )8(2)设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数(B )()()f x f x -是奇函数 (C )()()f x f x --是偶函数(D )()()f x f x +-是偶函数(3)给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假.命题的个数是 (A )1 (B )2(C )3 (D )4(4)双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是(A )0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩(B )0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩(C ) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩(D ) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩(5)设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A )自然数集 (B )整数集 (C )有理数集 (D )无理数集(6)ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A )6π(B )3π (C )2π (D )23π (7)与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为(A)ln(1y =(B )ln(1y = (C )ln(1y =-(D )ln(1y =-(8)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的 (A )焦距相等 (B )离心率相等 (C )焦点相同(D )准线相同(9)在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A )122n +-(B )3n(C ) 2n(D )31n-(10)直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为(A )1(B )2(C )3(D )4(11)已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 (A )[]1,1-(B )2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (C )2⎡-⎢⎣⎦(D )1,2⎡--⎢⎣⎦(12)设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(A )112λ≤≤(B)11λ≤≤ (C)1122λ≤≤+(D)1122λ-≤≤+二. 填空题(13)设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________(14)2222464646()()...()575757lim 545454()()...()656565n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ (15)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)(16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求: (I )函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合; (II )函数()f x 的单调增区间.(18)(本小题满分12分)已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.(I )证明//BF 平面ADE ;(II )若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.(19)(本小题满分12分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I )求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; (II )当12E E ξξ<时,求p 的取值范围. (20)(本小题满分14分)已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足O A O B O A O B +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I )证明线段AB 是圆C 的直径;(II )当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时,求P 的值。
辽宁省锦州市2017-2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析
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辽宁省锦州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={cos0°,sin270°},B={x|x2+x=0},则A∩B为( )A.{0,﹣1} B.{﹣1,1} C.{﹣1} D.{0}2.复数z满足(﹣1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则•取最小值时P点坐标是( ) A.(﹣3,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)4.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( )A.1 B.2 C.4 D.85.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.B.C.D.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.64 B.72 C.80 D.1127.执行右面的程序框图,若p=0.8,则输出的n=( )A.2 B.3 C.4 D.58.已知函数y=f(x)的导函数为f′(x),且,则=( )A.B.C.D.9.若点P(x,y)满足线性约束条件,点,O为坐标原点,则•的最大值为( )A.0 B.3 C.﹣6 D.610.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( )A.B.C.D.11.等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a2=10,S4=36,则过点P(n,a n)和Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( )A.B.(﹣1,﹣1)C.D.(2,)12.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(x)=a x•g(x)(a>0,且a≠1),,若数列的前n项和大于62,则n的最小值为( )A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.的二项展开式中,x2的系数是__________(用数字作答).14.在三棱锥A﹣BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为,,,则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为__________.15.已知函数,则f(x)的定义域为__________.16.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,=(2a,1),=(2b﹣c,cosC)且∥.求:(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)求三角函数式的取值范围.18.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;(2)在线段AC上找一点P,使与所成的角为60°,试确定点P的位置.19.某市一所高中随机抽取部分2014-2015学年高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(Ⅰ)求直方图中x的值;(Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(Ⅲ)从学校的2014-2015学年高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.21.设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.71828…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(Ⅰ)求函数f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值;(Ⅲ)若对∀x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.四、选做题(请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)【选修4-1:几何证明选讲】22.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(Ⅰ)求证:A,E,F,D四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角,(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.【选修4-5:不等式选讲】24.设函数f(x)=2|x﹣1|+|x+2|.(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集;(Ⅱ)若不等式f(x)<|m﹣2|的解集是非空集合,求实数m的取值范围.辽宁省锦州市2015届高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={cos0°,sin270°},B={x|x2+x=0},则A∩B为( )A.{0,﹣1} B.{﹣1,1} C.{﹣1} D.{0}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素,求出B中方程的解得到x的值,确定出B,找出A与B的交集即可.解答:解:∵A={cos0°,sin270°}={1,﹣1},B={x|x2+x=0}={x|x(x+1)=0}={﹣1,0},∴A∩B={﹣1},故选:C.点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.复数z满足(﹣1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件.专题:计算题.分析:根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数z为=1﹣i,故z 对应点的坐标为(1,﹣1),从而得出结论.解答:解:∵复数z满足(﹣1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,∴z=====1﹣i,故复数z对应点的坐标为(1,﹣1),故选D.点评:本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位i的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.3.已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则•取最小值时P点坐标是( ) A.(﹣3,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:设出P的坐标,利用向量的数量积推出关系式,然后求解最小值,得到P点坐标.解答:解:设P(a,0),向量=(2,2),=(4,1),则•=(a﹣2,﹣2)•(a﹣4,﹣1)=a2﹣6a+10=(a﹣3)2+1≤1,当a=3时,取得最小值.所求P(3,0).故选:D.点评:本题考查平面向量数量积的应用,二次函数的最值的求法,考查计算能力.4.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( )A.1 B.2 C.4 D.8考点:等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:由已知方程结合等差数列的性质求解a7,再利用等比数列的性质求解答案.解答:解:∵数列{a n}是各项不为0的等差数列,由a4﹣2+3a8=0,得,,,∴,解得:a7=2.则b7=a7=2.又数列{b n}是等比数列,则b2b8b11=.故选:D.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了学生的计算能力,是中档题.5.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.B.C.D.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:把本题转化为古典概率来解,他第2次抽到时,盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡,根据古典概率计算公式求得他第2次抽到的是卡口灯泡的概率.解答:解:在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这时,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为=,故选D.点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.64 B.72 C.80 D.112考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题.分析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,边长为4,上部为三棱锥(以正方体上底面为底面),高为3.分别求体积,再相加即可解答:解:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,边长为4,体积为43=64 上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为3.体积×故该几何体的体积是64+8=72故选B点评:本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原几何体直观图,考查与锥体积公式,本题是一个基础题.7.执行右面的程序框图,若p=0.8,则输出的n=( )A.2 B.3 C.4 D.5考点:循环结构.专题:计算题.分析:先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后s的值找出规律,从而得出所求.解答:解:如果输入的p=0.8,由循环变量n初值为1,那么:经过第一次循环得到,n=2,满足s<0.8,继续循环,经过第二次循环得到S==0.75<0.8,n=3,第三次循环,S=0.75+0.125=0.875,此时不满足s<0.8,n=4,退出循环,此时输出n=4.故选:C.点评:本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,利用循环即可.8.已知函数y=f(x)的导函数为f′(x),且,则=( )A.B.C.D.考点:导数的运算.专题:导数的概念及应用.分析:先根据导数的运算法则求导,再代入值计算即可.解答:解:∵,∴f′(x)=2f′()x+cosx,∴f′()=2f′()×+cos,解得f′()=,故选:A点评:本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.9.若点P(x,y)满足线性约束条件,点,O为坐标原点,则•的最大值为( )A.0 B.3 C.﹣6 D.6考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:设z=•,根据数量积的公式计算出z,作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论.解答:解:设z=•,则z=3x+y,即y=﹣x+,作出不等式组对应的平面区域如图:平移直线y=﹣x+,由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时,直线y=﹣x+的截距最大,此时z最大,由,解得,即A(1,),此时z=3×1+=3+3=6,故•的最大值为6,故选:D.点评:本题主要考查线性规划的应用,根据数量积的公式将条件化简,以及利用数形结合是解决本题的关键.10.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( )A.B.C.D.考点:双曲线的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b=2a,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,可得FF1=3,从而可求双曲线的几何量,从而可得结论.解答:解:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax﹣by=0,∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,∴∴b=2a∵P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3,∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2,b=2a∴a=1,b=2∴双曲线的方程为故选B.点评:本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.11.等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a2=10,S4=36,则过点P(n,a n)和Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( )A.B.(﹣1,﹣1)C.D.(2,)考点:数列与函数的综合.专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用.分析:由题意求出等差数列的通项公式,得到P,Q的坐标,写出向量的坐标,找到与向量共线的坐标即可.解答:解:等差数列{a n}中,设首项为a1,公差为d,由S2=10,S4=36,得,解得a1=3,d=4.∴a n=a1+(n﹣1)d=3+4(n﹣1)=4n﹣1.则P(n,4n﹣1),Q(n+2,4n+7).∴过点P和Q的直线的一个方向向量的坐标可以是(2,8)=﹣4(﹣,﹣2).即为(﹣,﹣2).故选:A.点评:本题考查了直线的斜率,考查了等差数列的通项公式,训练了向量的坐标表示,是中档题.12.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(x)=a x•g(x)(a>0,且a≠1),,若数列的前n项和大于62,则n的最小值为( )A.6 B.7 C.8 D.9考点:简单复合函数的导数;数列的函数特性.专题:计算题;压轴题.分析:由f′(x)g(x)>f(x)g′(x)可得单调递增,从而可得a>1,结合,可求a.利用等比数列的求和公式可求,从而可求解答:解:∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x),∴f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,∴,从而可得单调递增,从而可得a>1,∵,∴a=2.故=2+22+…+2n=.∴2n+1>64,即n+1>6,n>5,n∈N*.∴n=6.故选:A.点评:本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性,等比数列的求和公式的求解,解题的关键是根据已知构造函数单调递增.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.的二项展开式中,x2的系数是40(用数字作答).考点:二项式定理.专题:计算题.分析:利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为2求出x2的系数.解答:解:,令所以r=2,所以x2的系数为(﹣2)2C52=40.故答案为40点评:本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.14.在三棱锥A﹣BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为,,,则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为π.考点:球内接多面体;球的体积和表面积.专题:空间位置关系与距离.分析:利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的对角线就是球的直径,求出长方体的三度,从而求出对角线长,即可求解外接球的体积.解答:解:三棱锥A﹣BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的对角线就是球的直径,设长方体的三度为a,b,c,则由题意得:ab=,ac=,bc=,解得:a=,b=,c=1,所以球的直径为:=所以球的半径为,所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π故答案为:π点评:本题考查几何体的外接球的体积,三棱锥转化为长方体,两者的外接球是同一个,以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在.15.已知函数,则f(x)的定义域为(1,+∞).考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:利用换元法先求出函数f(x)的表达式,根据函数成立的条件进行求解即可.解答:解:设t=x2﹣3,则x2=t+3,则f(t)=lg=lg,由>0得t>1或t<﹣3,∵t=x2﹣3≥﹣3,∴t>1,即f(t)=lg的定义域为(1,+∞),故函数f(x)的定义域为(1,+∞),故答案为:(1,+∞)点评:本题主要考查函数的定义域的求解,根据条件先求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键.16.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.考点:圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:由于圆C的方程为(x﹣4)2+y2=1,由题意可知,只需(x﹣4)2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可.解答:解:∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,整理得:(x﹣4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C′:(x﹣4)2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx﹣2的距离为d,则d=≤2,即3k2﹣4k≤0,∴0≤k≤.∴k的最大值是.故答案为:.点评:本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4)2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,=(2a,1),=(2b﹣c,cosC)且∥.求:(Ⅰ)求sinA的值;(Ⅱ)求三角函数式的取值范围.考点:三角函数中的恒等变换应用;平面向量共线(平行)的坐标表示.专题:计算题.分析:(I)根据向量平行的充要条件列式:2b﹣c=2acosC,结合正弦定理与两角和的正弦公式,化简可得2cosAsinC=sinC,最后用正弦的诱导公式化简整理,可得cosA=,从而得到sinA的值;(II)将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”,化简整理得sin(2C﹣),再根据A=算出C的范围,得到sin(2C﹣)的取值范围,最终得到原三角函数式的取值范围.解答:解:(I)∵∥,∴2acosC=1×(2b﹣c),根据正弦定理,得2sinAcosC=2sinB﹣sinC,又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴2cosAsinC﹣sinC=0,即sinC(2cosA﹣1)=0∵C是三角形内角,sinC≠0∴2cosA﹣1=0,可得cosA=∵A是三角形内角,∴A=,得sinA=…(II)==2cosC(sinC﹣cosC)+1=sin2C﹣cos2C,∴=sin(2C﹣),∵A=,得C∈(0,),∴2C﹣∈(﹣,),可得﹣<sin(2C﹣)≤1,∴﹣1<sin(2C﹣),即三角函数式的取值范围是(﹣1,].…点评:本题给出向量平行,通过列式化简求A的大小,并求关于B的三角式的取值范围.着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识,属于中档题.18.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;(2)在线段AC上找一点P,使与所成的角为60°,试确定点P的位置.考点:直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角.专题:计算题;综合题;开放型;转化思想.分析:(1)以为正交基底,建立如图空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求面ACEF的一个法向量,直线DF与平面ACEF所成角的正弦值,即求|c0s|;(2)设出点P的坐标,求出与,根据向量的数量积的定义求得点P的坐标,确定点P的位置.解答:解:(1)以为正交基底,建立如图空间直角坐标系,则,,因为AC⊥BD,AF⊥BD,所以是平面ACEF法向量,又因为,所以,故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为.(2)设P(a,a,0),则.因为,所以.解得,故存在满足条件的点P为AC的中点.点评:考查利用空间向量求线面角和异面直线所成的角,注意①线面角与斜线和面的法向量所成角之间的关系,及异面直线所成角的范围,②用空间向量解立体几何问题的步骤;①建系,②立体几何问题向量化,③解向量问题,④回归立体几何问题,属中档题.19.某市一所高中随机抽取部分2014-2015学年高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(Ⅰ)求直方图中x的值;(Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(Ⅲ)从学校的2014-2015学年高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图.专题:概率与统计.分析:(Ⅰ)利用直方图概率的和为1,直接求解x即可.(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率,然后求解1200名新生中有144名学生申请住宿的人数.(Ⅲ)X的可能取值为0,1,2,3,4求出概率,得到分布列,然后求解期望.解答:(本小题满分12分)解(Ⅰ)由直方图可得:20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1.所以x=0.0125.…(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:0.003×2×20=0.12,因为1200×0.12=144,所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿.…(Ⅲ)X的可能取值为0,1,2,3,4由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为,,,,,.所以X的分布列为:X 0 1 2 3 4PEX=.(或)所以X的数学期望为1.…点评:本题考查频率分布直方图,离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查计算能力.20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率找出a与b的关系式,再根据△EGF2的周长求出a与b的值,即可确定出椭圆C方程;(Ⅱ)根据题意得到直线AB斜率存在,设出直线AB方程,以及A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),联立直线AB解析式与椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,根据不等式求出k的范围,进而确定出t的范围.解答:解:(Ⅰ)由题意知椭圆的离心率e==,∴e2===,即a2=2b2,又△EGF2的周长为4,即4a=4,∴a2=2,b2=1.∴椭圆C的方程为+y2=1;(Ⅱ)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.设直线AB的方程为y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由,得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,由△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)>0,得k2<.根据韦达定理得:x1+x2=,x1x2=,∵+=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x==,y==[k(x1+x2)﹣4k]=,∵点P在椭圆C上,∴16k2=t2(1+2k2),∵|﹣|<,∴|x1﹣x2|<,∴(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]<,∴(1+k2)[﹣4•]<,∴(4k2﹣1)(14k2+13)>0,∴k2>,∴<k2<.∵16k2=t2(1+2k2),∴t2==8﹣,又<1+2k2<2,∴<t2=8﹣<4,∴﹣2<t<﹣或<t<2,∴实数t的取值范围为(﹣2,﹣)∪(,2).点评:此题考查了直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质,以及椭圆的标准方程,熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键.21.设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.71828…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(Ⅰ)求函数f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值;(Ⅲ)若对∀x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.专题:综合题.分析:(Ⅰ)求导函数,利用两函数在x=0处有相同的切线,可得2a=b,f(0)=a=g(0)=2,即可求函数f(x),g(x)的解析式;(Ⅱ)求导函数,确定函数的单调性,再分类讨论,即可求出函数f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值;(Ⅲ)令F(x)=kf(x)﹣g(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,对∀x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,可得当x≥﹣2,F(x)min≥0,即可求实数k的取值范围.解答:解:(Ⅰ)f'(x)=ae x(x+2),g'(x)=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b,∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>﹣2,由f'(x)<0得x<﹣2,∴f(x)在(﹣2,+∞)单调递增,在(﹣∞,﹣2)单调递减.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t>﹣3,∴t+1>﹣2①当﹣3<t<﹣2时,f(x)在[t,﹣2]单调递减,[﹣2,t+1]单调递增,∴.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时,f(x)在[t,t+1]单调递增,∴;∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅲ)令F(x)=kf(x)﹣g(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,由题意当x≥﹣2,F(x)min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∀x≥﹣2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k﹣2≥0,∴k≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣F'(x)=2ke x(x+1)+2ke x﹣2x﹣4=2(x+2)(ke x﹣1),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x≥﹣2,由F'(x)>0得,∴;由F'(x)<0得∴F(x)在单调递减,在单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当,即k>e2时,F(x)在[﹣2,+∞)单调递增,,不满足F(x)min≥0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当,即k=e2时,由①知,,满足F(x)min≥0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当,即1≤k<e2时,F(x)在单调递减,在单调递增,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评:本题考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.四、选做题(请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)【选修4-1:几何证明选讲】22.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(Ⅰ)求证:A,E,F,D四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.考点:分析法和综合法.专题:计算题;证明题.分析:(I)依题意,可证得△BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π,即可证得A,E,F,D四点共圆;(Ⅱ)取AE的中点G,连接GD,可证得△AGD为正三角形,GA=GE=GD=,即点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.解答:(Ⅰ)证明:∵AE=AB,∴BE=AB,∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.…(Ⅱ)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°,∴△AGD为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.…点评:本题考查利用综合法进行证明,着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出推理能力与分析运算能力的考查,属于难题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角,(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.考点:直线的参数方程;直线与圆的位置关系;圆的参数方程.专题:计算题;压轴题.分析:(1)利用公式和已知条件直线l经过点P(1,1),倾斜角,写出其极坐标再化为一般参数方程;(2)由题意将直线代入x2+y2=4,从而求解.解答:解:(1)直线的参数方程为,即.(2)把直线代入x2+y2=4,得,t1t2=﹣2,则点P到A,B两点的距离之积为2.点评:此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年2015届高考必的热点问题.【选修4-5:不等式选讲】24.设函数f(x)=2|x﹣1|+|x+2|.(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集;(Ⅱ)若不等式f(x)<|m﹣2|的解集是非空集合,求实数m的取值范围.考点:绝对值不等式的解法.专题:综合题;不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)化简f(x)的解析式,结合单调性求出不等式f(x)≥4的解集.(Ⅱ)利用f(x)的单调性求出f(x)≥3,由于不等式f(x)<|m﹣2|的解集是非空的集合,得|m﹣2|>3,解绝对值不等式求出实数m的取值范围.解答:解:(Ⅰ)f(x))=,令﹣x+4=4 或3x=4,得x=0,x=,所以,不等式f(x)≥4的解集是;(Ⅱ)f(x)在(﹣∞,1]上递减,[1,+∞)上递增,所以,f(x)≥f(1)=3,由于不等式f(x)<|m﹣2|的解集是非空的集合,所以,|m﹣2|>3,解之,m<﹣1或m>5,即实数m的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(5,+∞).点评:本题考查绝对值不等式的解法,绝对值得意义,判断f(x)的单调性是解题的关键.。
辽宁省锦州市2017-2018学年高三上学期期末考试理数试题Word版含解析
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辽宁省锦州市2017-2018学年上学期期末考试高三理数试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|1A x x =<,{|2x B x =>,则A B =( )A .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知,a b R ∈,i 是虚数单位,若2a bi -与14i +互为共轭复数,则a bi +=( )A B C .2 D3.已知双曲线()222210x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =,则其离心率为( )A B . 4.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin 2α=( ) A .2425-B .1625- C.2425 D .12255.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )A .4B .5 C.6 D .76.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )A .2B .32 C. 1 D .127.已知313a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,31log 2b =,131log 2c =,则( )A .c b a <<B .c a b << C.b c a << D .b a c <<8.若函数()()sin 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为( )A .2 BD .129.不等式组1,33x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D ,有下面四个命题:1p :(),x y D ∀∈,282x y -≥; 2p :(),x y D ∃∈,282x y -<; 3p :(),x y D ∀∈,281x y -≥-; 4p :(),x y D ∃∈,281x y -<-. 其中的真命题是( )A .23,p pB .14,p p C.12,p p D .13,p p10.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大时,其高的值为( )A..D. 11.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-,则( )A .121n n S +=-B .21n n a =- C.122n n S +=- D .123n n a +=- 12.已知函数()()()ln x f x e x a a R =-+∈有唯一的零点0x ,则( )A .0112x -<<-B .01124x -<<- C.0104x -<< D .0102x <<第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.()()611x x +-的展开式中,4x 的系数为 .14.已知向量()1,2a =,(),1b λ=-,若a b ⊥a b +=15.在等差数列{}n a 中,11a =,353a a +=,若17,,n a a a 成等比数列,则n = . 16.设抛物线216y x =的焦点为F ,经过点()1,0P 的直线l 与抛物线交于,A B 两点,且2BP PA =三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且()cos 4cos A B c a b B +-=. (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)若ABC ∆2a c =+,求b 的大小. 18. (本小题满分12分)三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,11AA AB AC ===,E F 、分别是1CC BC 、的中点,11AE A B ⊥.(Ⅰ)证明:AB AC ⊥;(Ⅱ)在棱11A B 上是否存在一点D ,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为D 的位置,若不存在,说明理由. 19. (本小题满分12分)高三一班现有9名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试,该选拔赛有A B C 、、三个等级,分别对应5分,4分,3分,恰好各有3名学生进入三个级别,从中随机抽取n 名学生(假设各人被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤),再将抽取的学生的成绩求和. (Ⅰ)当3n =时,记事件A ={抽取的3人中恰有2人级别相同},求()P A ; (Ⅱ)当2n =时,若用ε表示n 个人的成绩和,求ε的分布列和数学期望()E ε. 20. (本小题满分12分)已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -,()21,0F ,过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P Q 、两点,且3PQ =.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M N 、,则1F MN ∆的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分12分)已知函数()()()21x f x m x e x m R =-+∈. (Ⅰ)若1m =-,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若对任意的0x <,不等式()()22x m x f x ++>′恒成立,求实数m 的取值范围; (Ⅲ)当1m ≤-时,求函数()f x 在[],1m 上的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,取相同的长度单位,若曲线1C 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,曲线2C 的参数方程为2cos ,22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩(θ为参数).(Ⅰ)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程,2C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)设P 是曲线1C 上任一点,Q 是曲线2C 上任一点,求PQ 的最小值.23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()f x 的定义域为R .(Ⅰ)求实数m 的取值范围; (Ⅱ)若4m =,解不等式()2f x >辽宁省锦州市2017-2018学年高三上学期期末考试理数试题答案一、选择题 1.C 2.D3.A 因为双曲线()222210x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =,所以12b a =,即2a b =,设双曲线的离心率为e ,则2222222514c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭,e =. 4.C 根据题意,由诱导公式3cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭解得:3sin 5α=-,又因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2sin α2cos 1α+=,解得:4cos 5α==-.所以24sin 22sin cos 25ααα==. 5.D 6.D7.C 1a >,0b <,01c <<.8.C ()sin sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭,2T ππω==,2ω=,0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()f x ⎡∈-⎢⎣.9.A 画出平面区域可求得[)281,x y -∈-+∞,23,p p ∴正确.10.D 11.B12.A 依题意可知方程()ln 0x e x a -+=有唯一的实根0x ,即曲线x y e =与曲线()ln y x a =+有唯一的交点()00,x y ,分别画出了函数的大致图像如图所示,可知()f x 在0x x =处取得极小值,且极小值为0,所以0010x e x a-=+且()00ln 0x e x a -+=,则有000x e x +=,设()x g x e x =+,则()+10xg x e =>′,所以()xg x e x =+在(),a -+∞上单调递增,1211022g e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭,()1110g e --=-<,所以12g ⎛⎫- ⎪⎝⎭()10g -<,由零点存在定理知0112x -<<-.故选A.二、填空题 13.-52a b λ⊥⇒=,()3,1a b +=10a b +=. 15.19 566n n a =+,217n a a a =,5466n +=,19n =∴. 16.15 由题意知直线AB 的斜率存在,设直线AB 为()1y k x =-,代入216y x =中得()22222160k x k x k -++=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2122216k x x k++=,121x x =,由2BP PA =得()()221121,1,x y x y --=-,即1223x x +=,结合121x x =,可得12x =,212x =, 所以122224181522p p AF BF x x ⎛⎫+=+++=+++= ⎪⎝⎭. 三、解答题17.解:(Ⅰ)由正弦定理得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =, 则2sin 42sin cos 2sin cos R C R A CR B B-⨯-=, 故sin cos 4sin cos sin cos B C A B C B =-, 可得sin cos sin cos 4sin cos B C C B A B +=,即()sin 4sin cos B C A B +=,可得sin 4sin cos A A B =, 又sin 0A ≠,因此1cos 4B =. (Ⅱ)由1cos 4B =,得sin B ==.由11sin 22ac B ac =⨯=8ac =. 又2a c =+,解得4a =,2c =.所以22212cos 164242164b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,则4b =. 18.(Ⅰ)证明:11AE A B ⊥,11//A B AB ,AB AE ⊥∴,1AA ⊥平面ABC ,1AB AA ⊥∴.又1AEAA A =,AB ⊥∴面11A ACC ,又AC ⊂面11A ACC ,AB AC ⊥∴.(Ⅱ)解:以A 为原点,AB ,AC ,1AA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,022F ⎛⎫⎪⎝⎭,()10,0,1A ,()11,0,1B ,假设存在,设(),0,1D λ,设面DEF 的法向量为(),,n x y z =,则0n FE n DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩.111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩∴,即()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩.令()21z λ=-,()()3,12,21n λλ=+-∴, 由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m =,平面DEF 与平面ABC14cos ,=14m n m n m n<>=∴. =12λ=∴或74λ=(舍),∴当点D 为11A B 中点时,满足要求. 19.解:(Ⅰ)事件A 为随机事件,()12133629914C C C P A C ==.(Ⅱ)①可能的取值为10,9,8,7,6()232911012C P C ε===,()113329194C C P C ε===,()21133329183C C C P C ε+===,()113329174C C P C ε===,()23291612C P C ε===.ε∴的分布列为:()1111110987681243412E ε=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解:(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>,由焦点坐标可得1c =由3PQ =,可得223b a =,解得2a =,b =,故椭圆方程为22143x y +=. (Ⅱ)设()11,M x y ,()22,N x y ,不防令10y >,20y <,设1F MN ∆的内切圆的半径R ,则1F MN ∆的周长为48a =,()111142F MN S MN F M F N R R ∆=++=, 因此1F MN S ∆最大,R 就最大,112121212F MN S F F y y y y ∆=-=-, 由题知,直线l 的斜率不为零,可设直线l 的方程为1x my =+,由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=,得1y =,2y =则1121212F MNS AB y y y y ∆=-=-=令t =,则1t ≥,则1212121313F MNt S t t t∆===++. 令()13f t t t =+,则()213f t t=-′.当1t ≥时,()0f t ≥′,()f t 在[)1,+∞上单调递增.有()()14f t f ≥=,11234F MN S ∆≤=, 即当1t =,0m =时,1124F MN S ∆≤=,14F MN S R ∆=,max 34R =∴.这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l :1x =,AMN ∆内切圆面积的最大值为916π.21.解:(Ⅰ)()()2x f x x e =-′,由()0f x >′得0ln 2x <<,()0f x <′得ln 2x >或0x <, 所以函数()f x 的递增区间为()0,ln 2,递减区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)当0m =时,()2f x x =,()2f x x =′,不等式()()22x m x f x ++>′对0x <成立,当0m ≠时,()()222x f x mx e x m x m ⎛⎫=+<++ ⎪⎝⎭′, 因为0x <,所以0x me x m -->,令()x h x me x m =--,则()1x h x me =-′,当1m ≤时,()10x h x e ≤-<′,则()h x 在(),0-∞上单调递减,所以()()00h x h >=,符合题意; 当1m >时,则()h x 在(),ln m -∞-上单调递减,在()ln ,0m -上递增, 所以()()ln 00h m h -<=,不符合题意; 综上所述,m 的取值范围是1m ≤.(Ⅲ)()2x f x mx e m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭′,令()0f x =′,得10x =,22ln x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令()2ln g m m m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()110g m m -=-≤′,在1m =-时,取得最小值()11ln 20g -=+>,所以22ln x m m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,当1m ≤-时,22ln x m m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭;此时()min 1f x =, 综上所述,()min 1f x =.22.解:(Ⅰ)由sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos cos sin 333ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1sin cos 32ρθρθ= 又cos x ρθ=,sin y ρθ=∴曲线1C 的直角坐标方程为132y x =60y -+=. 由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩得 ()2224x y ++= 2C ∴的普通方程为()2224x y ++=(Ⅱ)曲线2C 是圆,圆心为()0,2-,半径为2,曲线1C 是直线圆心()0,2-到直线距离02642d ++== PQ ∴的最小值为4-2=2.23.解:(Ⅰ)因为函数定义域为R ,所以250x x m -++-≥恒成立. 又()()25257x x x x -++≥--+=,所以7m ≤.(Ⅱ)若4m =,则不等式()2f x >2>, 可化为2544x x -++->,即258x x -++>.当5x <-时,不等式可化为()()258x x ---+>,解得112x <-; 当52x -≤≤时,不等式可化为()()258x x --++>,即7>8,无解; 当2x >时,不等式可化为()()258x x -++>,解得52x >. 综上,不等式()2f x >的解集是115,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
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2018届辽宁省锦州高三质量检测试卷数学(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|11}M x x =-<<,{|N x y =,则M N =( )A .{|01}x x <<B .{|01}x x ≤<C .{|0}x x ≥D .{|10}x x -<≤ 2.已知复数z 满足:2zi i =+(i 是虚数单位),则z 的虚部为( ) A .2i B .2i - C .2 D .-23.执行如图所示的程序框图,如果输入2a =,那么输出的a 值为( ) A .4 B .16 C .256 D .3log 164.从集合1{1,,2}2A =-中随机选取一个数记为k ,从集合13{,,2}22B =中随机选取一个数记为a ,则1k a >的概率为( )A .13 B .23 C .79 D .595.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .2B .43C .4D .56.已知函数22log 2sin ,0()log ()sin ,0m x x x f x x n x x +>⎧=⎨-+<⎩为偶函数,则m n +=( )A .1B .-1C . 2D .-27.已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C ,则圆C 的方程为( ) A .22(1)(2)9x y +++= B .22(1)(2)9x y ++-= C .22(1)(2)9x y -+-= D .22(1)(2)9x y -++=8.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红灯向下加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?”其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的2倍,已知这座塔共有381盏灯,请问塔顶有几盏灯?”( ) A .3 B .4 C .5 D .69.如图,在平行四边形ABCD 中,90ABD ∠=,2224AB BD +=,若将其沿BD 折成直二面角A BD C --,则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A .4πB .8πC .12πD .16π10.对任意实数,a b 定义运算“⊙”:a ⊙b ,1,1b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩,设2()(1)f x x =-⊙(4)x k ++,若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点,则k 的取值范围是( ) A .(2,1)- B .[0,1] C .[2,0)- D .[2,1)-11.如图,12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点,A B ,若2ABF ∆为等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A .4 B.3D12.已知函数2ln ()()x x b f x x+-=()b R ∈,若存在1[,2]2x ∈,使得'()()0f x xf x +>,则实数b 的取值范围是( )A .3(,)2-∞ B .9(,)4-∞ C .(,3)-∞ D.(-∞第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知(2,)a k =,(1,(1))b k k k =-+,且//a b ,则实数k 的值为 .14.已知,x y 满足14210x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最大值为 .15.在61()4x x-的展开式中,2x 的系数为 .16.公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,,k k k a a a 构成等比数列{}n k a ,且11k =,22k =,36k =,则5k = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分12分)已知,,A B C 分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角,向量(sin ,sin )m A B =,(cos ,cos )n B A =,且sin 2m n C ∙=.(1)求角C 的大小;(2)若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列,且()18CA AB AC ∙-=,求边c 的长.18. (本小题满分12分)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.(1)求出上表中的,,,,x y z s p 的值;(2)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序. 已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.已知三棱锥P ABC -,平面PBC ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为2的等比三角形,O 为它的中心,PB PC ==D 为PC 的中点.(1)在边PA 上是否存在一点E ,使得AC ⊥平面BOE ,若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由.(2)求二面角P BD O --的余弦值.20. (本小题满分12分)如图,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =,椭圆C 的右焦点到直线a x e =的距离为4,椭圆C 的下顶点为D .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过D 点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 相交于点,P M ,求证:直线PM 经过一定点.设函数()ln (1)f x m x m x =+-.(1)若()f x 存在最大值M ,且0M >,求m 的取值范围; (2)当1m =时,试问方程2()x x xf x e e-=-是否有实根,若有,求出所有实数根;若没有,请说明理由.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的圆心为极坐标:)4C π,半径r =(1)求圆C 的参数方程; (2)若过点(0,1)P 且倾斜角6πα=的直线l 交圆C 于,A B 两点,求22||||PA PB +的值.23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数1()|1|3f x x =-. (1)解不等式42()||33f x x <-+;(2)已知0,0)m n m n +>>,若||()2x a f x mn +-+≥(0a >)恒成立,求实数a 的取值范围.2018届辽宁省锦州高三质量检测试卷数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
BDCDC BDAAD BB 二、填空题(13)-3或0 (14)7 (15) (16)86三.解答题(17)解:(Ⅰ)sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+(Ⅱ)由sinA ,sinC ,sinB 成等差数列,得2sinC=sinA+sinB , 由正弦定理得2c=a+b .∵()18,18CA AB AC CA CB ⋅-=∴⋅=即abcosC=18,由(Ⅰ)知,所以ab=36. ……… 9分由余弦弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=(a+b )2﹣3ab , ∴c 2=4c 2﹣3×36, ∴c 2=36,∴c=6. ……… 12分 (18)解:(Ⅰ)由题意知,由[80,90)上的数据, 根据样本容量,频率和频数之间的关系得到n=160.32=50, ∴x=950=0.18, y=19,z=6,s=0.12,p=50 ……… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共6人, ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ,则51145444667()10A A A A P A A +==所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为. ……… 9分②随机变量X 的可能取值为0,1,2,,,随机变量X 的分布列为:因为,所以随机变量X 的数学期望为1.……… 12分 19.(12分)解:(1)作边PA 的三等分点E ,使AE=2EP 等边三角形中三线合一,BO ⊥AC AF 垂直平分BC 边,且AO=2OF 等腰PBC ∆中PF ⊥BC由于面面垂直,线线垂直,PF ⊥ACPAF ∆中,2AE AO EP OF==,因此EO//PF 垂直AC ……… 3分 由于BO 、EO 均垂直于AC ,因此存在边AP 的三等分点E ,使得AC ⊥平面BOE ……… 6分(2)以F 为原点建系,FA 为x 轴,FB 为y 轴,FP 为z 轴,FP 为单位长度,则(0,0,1)P (0,1,0)B (0,1/2,1/2)D -3,0,0)O因此(33,1,0)BO =- (0,3/2,1/2)BD =- 设平面OBD 的法向量为(,,)n x y z03022x y n BO zn BD y =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎪⎩得,3)n = ……… 9分 平面PBD 的法向量不妨设为(1,0,0)mcos ,|n ||m |n m n m ⋅<>===⋅已知所求二面角为钝角,因此二面角的余弦值为 ……… 12分20.(本小题满分12分)解:(1)依题意知 e=,则c 2=a2,又ae﹣c=,且a 2=b 2+c2,∴b=1,则a=3, ∴方程为+y 2=1. ……… 6分(2)由题意知直线PD ,MD 的斜率存在且不为0,设直线PD 的斜率为k , 则PD :y=kx ﹣1,由得P (,),用﹣去代k ,得M (,),作直线l 关于y 轴的对称直线l′,此时得到的点P′、M′关于y 轴对称, 则PM 与P′M′相交于y 轴,可知定点在y 轴上,当k=1时,P (,),M (﹣,),此时直线PM 经过y 轴上的点T (0,), ……… 9分∵k PT =,k MT ==∴k PT =k MT ,∴P ,M ,T 三点共线,即直线PM 经过点T ,故直线PM 经过定点T (0,). ……… 12分 21.(本小题满分12分)解:(1)()ln (1)f x m x m x =+-的定义域为(0,)+∞,'(1)()1m m x mf x m x x-+=+-=. 当0m ≤或1m ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调,此时函数()f x 无最大值. 当01m <<时,()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增,在区间(,)1mm+∞-内单调递减, 所以当01m <<时,函数()f x 有最大值. 最大值()ln 11m mM f m m m m==---. 6分因为0M >,所以有ln01m m m m ->-,解之得1e m e >+. 所以m 的取值范围是(,1)1e e+. (2)当1m =时,方程可化为2ln x x x x e e -=-,即2ln x x x x e e =-. 设()ln h x x x =,则'()1ln h x x =+, ∴1(0,)x e ∈时,'()0h x <,∴()h x 在1(0,)e 上是减函数,当1(,)x e ∈+∞时,'()0h x >. ∴()h x 在1(,)e+∞上是增函数, ∴min 11()()h x h e e==-. 设2()x x g x e e =-,则'1()x x g x e -=, ∴当(0,1)x ∈时,'()0g x >,即()g x 在(0,1)上单调递增;当(1,)x ∈+∞时,'()0g x <,即()g x 在(1,)+∞上单调递减; ∴max 1()(1)g x g e ==-. ∵11e≠,∴数形结合可得()()h x g x >在区间(1,)+∞上恒成立, ∴方程2ln x x x x e e-=-没有实数根. 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。