2013年全国高考新课标卷Ⅱ(文科)答案及考点分析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2）文科数学试题参考答案
一、选择题
{2,
N=-
B.
5．D【解析】如图所示：∵
212
PF F F
⊥，0
12
30
PF F
∠=，∴
12
2
PF PF
=，又因
D.
，所以
7．B【解析】由框图可知第1
34
4
54
k N
=>=，终止循环，
B.
8．D，所以c a b
>>，故选D.
9．A【解析】根据题意可画出如图所示的四面体O ABC
-，以zOx平面为投影面，则A 与'A重合，B
与'B重合，故其正视图可以为如图所示，故选A.
10．C【解析】如图所示：设
11
A(,)
x y，
22
(,)
B x y，则
2
11
2
22
4
4
y x
y x
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，作差得：
，∴直线l
则=3，∴直线3(1)
x
=-
，
'()0
f x<，所以()
f x
在(,3)
-∞-和(1,)
+∞内为增，(3,1)
-内为减，则
1
x=时为极小值点，但在区间(,1)
-∞不单调递减，显然错误，故选C.
12．D【解析】因为“存在正数x，使2()1
x x a
-<成立”，的否定为“任意非正数x，使2()1
x x a
-≥成立”令()2()
x
f x x a
=-，显然()
f x在(,0]
-∞是单调递增函数，所以max
()(0)
f x f
=，即1
a≤-，所以1
a≤-的补集为(1,)
-+∞，故选D.
二、填空题
131,2,3,4,5中任取2个数使其为5的情况有(1,4)、(2,3)两种，所以概率
14．2
【解析】设AB a
=，AD b
=，则||||2
a b
=
=，0
a b⋅=，
1
2
AE a b
=+，BD b a
=-，所以
1
()()
2
AE BD a b b a
⋅=+-=2.
15．24π【解析】如图所示：连接
BD，AC相交于E
，∴
，
，∴2
4
S R
π
=
球
=
24π
16【解析】因为cos(2)
y xϕ
=+=cos(2)
xϕ
--=
，图像向右平移个单位后为：，与
三、解答题
17．解析：
解：(1)设{a n}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而 S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n
2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .
【点评】近几年高考每年必考一数列大题，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查
的的热点为求数列的通项公式、等差(比)数列的性质及数列的求和问题.
18．解析：
(1)证明：联结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，联结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .
图1－8
(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.
由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝2 2得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，
故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC －A 1DE ＝13×1
2×6×3×2＝1.
19．解：(1)当X ∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X ) ＝800X －39 000.
当X ∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以T ＝⎩⎪⎨⎪
⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当 120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
20．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .
由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2
＝2
2.
又P 点在双曲线y 2
－x 2
＝1上，从而得⎩
⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，
y 20－x 20＝1.
由⎩⎪⎨⎪
⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.
此时，圆P 的半径r ＝ 3.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.
21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝－e －
x x (x －2)．①
当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0.
所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．
故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.
(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )． 所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝t －
f （t ）f ′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2
t －2
＋3. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h (x )＝x ＋2
x (x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为[2 2，＋∞)；当x ∈(－
∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．
22． 解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC
EA ，故
△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .
因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
图1－11
(2)联结CE ，因为∠CBE ＝90°，
所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，
故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.
23．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α ，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M 的轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，
y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离
d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点
24．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤1
3.
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c ，
故a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ＋(a ＋
b ＋
c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ≥a ＋
b ＋
c . 所以a 2
b ＋b 2
c ＋c
2
a ≥1.
2013全国新课标卷数学（文）考点分析表
湖北大学附属中学高二数学备课组。