第二章 函数的微分

六、微分形式的不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x ),
(1) 若x是自变量时 , dy = f ′( x )dx;
( 2) 若x是中间变量时 , 即另一变量 t 的可 微函数 x = ϕ ( t ), 则 (t
Q ϕ ′( t )dt = dx , ∴ dy = f ′( x )dx .
通常把自变量 x的增量 ∆x称为自变量的微分 , 记作 dx , 即dx = ∆x .
∴ dy = f ′( x )dx .
dy = f ′( x ). dx
即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于 该函数的导数 . 导数也叫" 微商".
四、微分的几何意义
y
几何意义:(如图) 几何意义:(如图) :(如图
x2
2
,
∴ dy =
1 + 2 xe x + ex
x2
2
dx .
例2
设 y = e 1− 3 x cos x , 求dy .
解 dy = cos x ⋅ d (e 1− 3 x ) + e 1− 3 x ⋅ d (cos x )
Q (e 1− 3 x )′ = −3e 1− 3 x , (cos x )′ = − sin x . ∴ dy = cos x ⋅ ( −3e 1− 3 x )dx + e 1− 3 x ⋅ ( − sin x )dx = − e 1− 3 x ( 3 cos x + sin x )dx .
函数的微分
前面我们从变化率问题引出了导数概念， 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中， 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题， 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时， 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说， 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 繁难的， 它的近似值。 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 微分。 念——微分。 微分
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x µ ) = µx µ − 1 dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
(1) ( 2)
x 0 ∆x
x0
(1) : ∆x的线性函数 , 且为 ∆A的主要部分 ; ( 2) : ∆x的高阶无穷小 , 当 ∆x 很小时可忽略 .
再例如, 再例如 设函数 y = x 3在点 x0处的改变量
为∆x时, 求函数的改变量 ∆y .
3 ∆y = ( x 0 + ∆x ) 3 − x 0
T N P
o( ∆ x )
当∆y是曲线的纵 坐标增量时 , dy 就是切线纵坐标 对应的增量 .
o
y = f ( x)
M
dy ∆y
∆x
α ）
x0
x0 + ∆x
x
当 ∆x 很小时 , 在点M的附近 , 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
五、微分的求法
dy = f ′( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 求法: 计算函数的导数 乘以自变量的微分 1.基本初等函数的微分公式 基本初等函数的微分公式
y + xy′ = ln a + y′ ln b
ln a − y ⇒ dy = ⋅ dx x − ln b
由上面的例子还可以看出， 由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别， 在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法
八、小结
★ 微分学所要解决的两类问题 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 导数的概念 微分的概念
x → x0
x → x0
思考题
因为一元函数 y = f ( x ) 在 x 0 的可微性与 可导性是等价的，所以有人说“ 可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 导数就是微分” 这说法对吗？ 数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对. 说法不对 从概念上讲， 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的， 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念. 的极限，它们是完全不同的概念
2 = 3 x 0 ⋅ ∆x + 3 x 0 ⋅ ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 .
(1)
( 2)
当 ∆x 很小时 , ( 2)是∆x的高阶无穷小 o( ∆x ),
2 ∴ ∆y ≈ 3 x 0 ⋅ ∆ x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数 改变量的主要部分 改变量的主要部分)是否 问题:这个线性函数(改变量的主要部分 是否 所有函数的改变量都有?它是什么 如何求? 它是什么?如何求 所有函数的改变量都有 它是什么 如何求
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x 0 变到x 0 + ∆x ,
x0
∆x
( ∆x ) 2
∆x
Q 正方形面积 A = x0 ,
2
2 ∴ ∆A = ( x 0 + ∆x ) 2 − x 0
x 0 ∆x
2 A = x0
= 2 x 0 ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 .
求导数与微分的方法,叫做微分法. 求导数与微分的方法 叫做微分法 叫做微分法 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 研究微分法与导数理论及其应用的科学 叫 微分学. 做微分学 ★ 导数与微分的联系 可导 ⇔ 可微 . 导数与微分的联系:
★ 导数与微分的区别 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x ) 在点x 0处的导数是一个定数 f ′( x 0 ), 而微分 dy = f ′( x0 )( x − x 0 ) 是x的线性函数 , 它的 定义域是 R, 实际上 , 它是无穷小. Q lim dy = lim f ′( x 0 )( x − x 0 ) = 0.
微分 dy叫做函数增量 ∆y的线性主部(微分的实质) . 微分的实质)
由定义知: 由定义知:
(1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数;
( 2) ∆y − dy = o( ∆x )是比 ∆x高阶无穷小; ( 3) 当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小;
∆y o( ∆ x ) Q = 1+ → 1 ( x → 0). dy A ⋅ ∆x
2. 函数和、差、积、商的微分法则 函数和、
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv
d (Cu ) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
例1 设 y = ln( x + e ), 求dy .
x2
解
Q y′ =
1 & − ax sin bx , 求dy .
解 dy = e − ax ⋅ cos bxd (bx ) + sin bx ⋅ e − ax d ( − ax )
= e − ax ⋅ cos bx ⋅ bdx + sin bx ⋅ e − ax ⋅ ( − a )dx = e − ax (b cos bx − a sin bx )dx .
⇒ ydx + xdy = ln adx + ln bdy
ln a − y ⇒ dy = ⋅ dx x − ln b dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
解二 两边取对数得
xy = x ln a + y ln b
dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
求导， 两边对 x 求导，有
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x
d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = − dx 2 1− x 1 d (arc cot x ) = − dx 2 1+ x
二、微分的定义
定义 设函数 y = f ( x )在某区间内有定义 , x0及 x0 + ∆x在这区间内 , 如果 ∆ y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) = A ⋅ ∆ x + o( ∆ x )
成立(其中A是与∆x无关的常数 ), 则称函数 y = f ( x )在点 x0可微, 并且称 A ⋅ ∆x为函数 y = f ( x )在点 x0相应于自变量增量 ∆x的微分 , 记作 dy x = x0 或 df ( x0 ), 即dy x = x0 = A ⋅ ∆x .
2. 从几何意义上来看 , f ′( x 0 ) 是曲线 y = f ( x ) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处切线的斜率 , 而微 dy = f ′( x 0 ) ( x − x0 )是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x0 )) 处的切线 方程在点 x 0 的纵坐标增量 .
结论： 结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数
y = f ( x )的微分形式总是 dy = f ′( x )dx
微分形式的不变性
例3 设 y = sin( 2 x + 1), 求dy . 解 Q y = sin u, u = 2 x + 1.