最新(同济大学)高等数学课件D104对面积曲面积分
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高等数学课件D104对面积曲面积分
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积
函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为 M (x, y, z) d S 曲面面积为
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
2020/3/2
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
2020/3/2
I (x2 y2 ) d S
1
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I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
2020/3/2
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2, 则有
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积
函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为 M (x, y, z) d S 曲面面积为
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
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(x2 y2)
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2, 则有
高等数学对面积曲面积分
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1
O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
《曲面积分》课件
随着数学与其他学科的交叉融合，曲面积分将与更多的学科领域相结合，如生物学、经济学、社会学等 。这种跨学科的研究将为曲面积分的理论和应用提供新的思路和方法。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。
同济版大一高数第十一章第四节对面积曲面积分
P219 题1；3；4(1) ; 解答提示: 解答提示 P219 题1. P219 题3. 设 则 7 P184 题2
∫∫Σ f (x, y, z) d S = ∫∫D
f (x , y , 0 ) d xdy
xy
26
P219 题4(1). ∑ 在 xoy 面上的投影域为
2
z
d S = 1+ zx2 + z y 2 dxdy
a −r
r dr
z∑
o x
1
Dx y
y
计算结果如何 ?
14
例5：计算 ： 解：
I = ∫∫ xds ∑ : z = a2 − x2 − y2
∑
Q f ( x,y,z) = x 是关于x 的奇函数
又∑ 是关于 yoz 面对称。 ∴ I = 0
例6：计算 ：
I = ∫∫ (x2 + y2 + z2 )ds ∑ : x2 + y2 + z2 = a2
dS = 1+ z′ + z′ dxdy x y
2 2
= 1+ 0 + (−1) dxdy = 2dxdy,
2
故
∫∫ (x + y + z)ds =
Σ
Dxy
2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ⋅ 5∫∫ dxdy =125 2π.
16
1 2 例8：设均匀抛物面壳 z = 2 − x + y2 ： 2 其面密度为 ρ （常数），求 IZ
= −3∫
π
0
5 + 4cos2 t dcos t
23
内容小结
1. 定义:
∫∫Σ f (x, y, z) d S = ∫∫D
f (x , y , 0 ) d xdy
xy
26
P219 题4(1). ∑ 在 xoy 面上的投影域为
2
z
d S = 1+ zx2 + z y 2 dxdy
a −r
r dr
z∑
o x
1
Dx y
y
计算结果如何 ?
14
例5：计算 ： 解：
I = ∫∫ xds ∑ : z = a2 − x2 − y2
∑
Q f ( x,y,z) = x 是关于x 的奇函数
又∑ 是关于 yoz 面对称。 ∴ I = 0
例6：计算 ：
I = ∫∫ (x2 + y2 + z2 )ds ∑ : x2 + y2 + z2 = a2
dS = 1+ z′ + z′ dxdy x y
2 2
= 1+ 0 + (−1) dxdy = 2dxdy,
2
故
∫∫ (x + y + z)ds =
Σ
Dxy
2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ⋅ 5∫∫ dxdy =125 2π.
16
1 2 例8：设均匀抛物面壳 z = 2 − x + y2 ： 2 其面密度为 ρ （常数），求 IZ
= −3∫
π
0
5 + 4cos2 t dcos t
23
内容小结
1. 定义:
《对面积的曲面积分》PPT课件
定义 设Σ为光滑的有向曲面 , 函数在Σ上有 界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy 面上的投影为 ( Si ) xy ,( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
其中 f ( x , y, z )叫被积函数， 叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS . f ( x, y, z )dS
1 2
3、对面积的曲面积分的计算法
z f ( x, y)
y
( s ) xy
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z( x , y )]dxdy
若取下侧, cos 0,
D xy
( Si ) xy ( ) xy ,
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
流向曲面一侧的流量
v
流量
A
0 n
A v cos 0 Av n v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
将dS换 为 1 z . x z y dxdy
2 2
xyz dS 计算 , 其中 为平面 x 0, y 0, x y z 1 所围成
第四节对面积的曲面积分11-421页PPT
• 线性性质.
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
同济大学第五版高等数学下课件D10-4对面积曲面积分PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积
函数, 叫做积分曲面.
则对面积旳曲面积分存在.
• 对积分域旳可加性.
则有
• 线性性质.
在光滑曲面 上连续,
对面积旳曲面积分与对弧长旳曲线积分性质类似.
• 积分旳存在性.
若 是分片光滑旳,
例如提成两
片光滑曲面
定理: 设有光滑曲面
第四节
一、对面积旳曲面积分旳概念与性质
二、对面积旳曲面积分旳计算法
对面积旳曲面积分
第十章
一、对面积旳曲面积分旳概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
类似求平面薄板质量旳思想, 采用
可得
求质
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
旳措施,
量 M.
其中, 表达 n 小块曲面旳直径旳
最大值 (曲面旳直径为其上任意两点间距离旳最大者).
定义:
设 为光滑曲面,
“乘积和式极限”
都存在,
旳曲面积分
其中 f (x, y, z) 叫做被积
据此定义, 曲面形构件旳质量为
曲面面积为
f (x, y, z) 是定义在 上旳一
个有界函数,
或第一类曲面积分.
若对 做任意分割和局部区域任意取点,
例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出旳顶部.
解:
思索:
若 是球面
被平行平面 z =±h 截
出旳上下两部分,
则
例2. 计算
其中 是由平面
坐标面所围成旳四面体旳表面.
解: 设
上旳部分, 则
与
原式 =
分别表达 在平面
例3.
函数, 叫做积分曲面.
则对面积旳曲面积分存在.
• 对积分域旳可加性.
则有
• 线性性质.
在光滑曲面 上连续,
对面积旳曲面积分与对弧长旳曲线积分性质类似.
• 积分旳存在性.
若 是分片光滑旳,
例如提成两
片光滑曲面
定理: 设有光滑曲面
第四节
一、对面积旳曲面积分旳概念与性质
二、对面积旳曲面积分旳计算法
对面积旳曲面积分
第十章
一、对面积旳曲面积分旳概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
类似求平面薄板质量旳思想, 采用
可得
求质
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
旳措施,
量 M.
其中, 表达 n 小块曲面旳直径旳
最大值 (曲面旳直径为其上任意两点间距离旳最大者).
定义:
设 为光滑曲面,
“乘积和式极限”
都存在,
旳曲面积分
其中 f (x, y, z) 叫做被积
据此定义, 曲面形构件旳质量为
曲面面积为
f (x, y, z) 是定义在 上旳一
个有界函数,
或第一类曲面积分.
若对 做任意分割和局部区域任意取点,
例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出旳顶部.
解:
思索:
若 是球面
被平行平面 z =±h 截
出旳上下两部分,
则
例2. 计算
其中 是由平面
坐标面所围成旳四面体旳表面.
解: 设
上旳部分, 则
与
原式 =
分别表达 在平面
例3.
[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件
![[理学]第四节-对面积的曲面积分PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8a943750b7360b4c2e3f64b4.png)
a 2 d 0
0
a2h2
a2
1
2
d
a212lna(2
2)
a2h2 0
2alnah.
.
11
例2. 计 (x 算 2 y 2 z 2 ),其 S :x 中 2 y 2 z 2 a 2 .
S
解I: SS1S2
.
z
S1: z a2x2y2,
a
S2: za2x2y2.
S1
D xy o
ay
将曲 S1,面 S2向xo面 y 投影，a 得S 2
S
f(x ,y,z)d S g (x ,y,z)d S ;
S
S
(3) 积分曲.面 如 ( : S 可 S1 加 S2)性
f(x ,y ,z )d S f(x ,y ,z )d S g (x ,y ,z )d S .
S
S 1
S 2
(4) 1dSS的面.积
S
.
5
二、对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面 S:zz(x,y),
f ( x ,y ,z ) d S f ( z ,x ,y ) d S f ( y ,z ,x ) d S
S
S
S
轮换不变性
若曲面有轮换对称性, 则曲面上的第一类曲面 积分有轮换不变性.
.
29
例9. 设曲 xy面 z1(x0 ,y0 ,z0 )
求 (xy)d S 与 x d S .
S
S
解: 曲面 xyz1有轮换对 , 称性
其S 中 是界 z0 于 及 zH间的圆 x2柱 y2面 R2.
解：SS1S2,
z
S1: x R2y2,
H
S2: x R2y2.
高等数学同济五版104对面积的曲面积分
曲面积分的几何意义
几何解释
曲面积分的结果可以理解为在曲面上沿着某个方向的面积的累积 ，即对曲面在某个方向上的投影面积进行积分。
应用场景
在物理、工程等领域中，常常需要计算各种曲面形状的表面积、 质量、转动惯量等，曲面积分在这些计算中扮演着重要的角色。
02
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分的定义
总结词
03
曲面积分在几何和物理中的应用
曲面积分在几何中的应用
计算几何形状的面积
曲面积分可以用来计算由曲面 围成的几何形状的面积，例如 球面、锥面、抛物面等。
计算体积
通过曲面积分，可以计算由曲 面围成的三维空间的体积，例 如球体、圆柱体、圆锥体等。
计算表面积
曲面积分还可以用来计算三维 物体的表面积，例如球体、圆 柱体、圆锥体等。
曲面积分的应用实例分析
球面上的温度分布
通过曲面积分，可以分析球面上 的温度分布，这对于气象学和气 候变化研究具有重要的意义。
磁场屏蔽
在电子工程中，通过曲面积分可 以分析磁场屏蔽的效果，这对于 电磁兼容性和噪声控制具有重要 意义。
04
曲面积分的注意事项与常见错误
曲面积分计算的注意事项
确定积分曲面
定义域
曲面的范围，即曲面的边界曲线所围成的区域。
几何意义
曲面积分的结果可以理解为在曲面上沿着某个方向 的面积的累积。
曲面积分的性质
80%
可加性
对于两个不重叠的曲面区域，其 曲面积分是可加的。
100%
可减性
对于两个重叠的曲面区域，其曲 面积分是可减的。
80%
奇偶性
对于曲面关于某一直线或平面对 称，其曲面积分具有奇偶性。
坐标转换错误
高等数学课件--D114对面积曲面积分
2 2 1 z ( , ) z ( ,k ) ( ) x kk y k k x y
( 光滑)
k 1
2 2 1 z ( , ) z ( ,k ) ( ) x kk y k k x y
f ( x , y , 1 z ( x , y ) z ( x , y ) d x d y z(x, y) ) x y D
x y
2019/3/12 同济版高等数学课件
说明: 1) 如果曲面方程为 x x ( y , z ), ( y , z ) D y z
或 y y ( x , z ), ( x , z ) D x z
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的
z
0
d S ( z
第四节 对面积的曲面积分
第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
2019/3/12
同济版高等数学课件
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一、对面积的曲面积分的概念与性质 ( x ,y ,z ), 求质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度
量 M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
二重积分. (见本节后面的例4, 例5)
2019/3/12
同济版高等数学课件
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dS 2 2 2 , 其中 是球面 x 例1. 计算曲面积分 y z z 2 h ( 0 h a ) 截出的顶部. a 被平面 z z 2 2 2 解: : z a x y , ( x , y ) D x y 2 2 2 2 h D : x y a h x y O a y Dxy a 2 2 1zx zy a2 x2 y2 x ad x d y 2π dS a2h2 r dr 2 2 2 a d 0 D z 0 x ya x y a2 r2
D对面积曲面积分PPT课件
dy
1
d
0
z
1 z 0
(1
1 x)2
dx
1
d
0
z
1 z 0
1 (1 y)2
d
y
3 3 ( 3 1) ln 2 2
第25页/共26页
感谢您的欣赏！
第26页/共26页
第2页/共26页
二、对面积的曲面积分的计算
定法理: 设有光滑曲面
z
f(x,y,z)在上连续, 则曲面积分
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y
f (x, y, Dx y
证明: 由定义知
)
n
lim
0 k 1
第3页/共26页
而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
第8页/共26页
例3. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
x o Dx y y
解: 锥面 z x2 y2与上半球面z a2 x2 y2 的
f (x, y, Dx y
) 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
第4页/共26页
说明: 1)如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz
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(同济大学)高等数学课件D104对 面积曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k,k,k)
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
的方法, 可得
n
M
k 1
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
2
dS1zx2zy2dxdy
D xy o
y 2
x
SdS D x y 1 4 (x2y2 )d xdy
这是 的面积 !
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P159 题7. 如图所示, 有
z d S 1 (x 2 y 2 )1 x 2 y 2 d x d y
D x y2
令t 1r2
4 3
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思考与练习
P158 题1；3；4(1) ; 7
P184 题2
解答提示: P158 题1.
P158 题3. 设
则
f (x ,y ,z )d S D x yf(x ,y ,0 )d x d y
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P158 题4(1).
z
在 xoy 面上的投影域为
解: S dS
取dSzds
L z ds L y ds
3
54co2tsdcots
0
z oz y
Ld s x
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例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度
h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.
o
x Dxy
y
解: 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为
设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1
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I (x2y2)dS 1
(x2y2)
5
z 1
Dxy o
x
y
2
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P184 题2. 设 一卦限中的部分, 则有( C ).
1为在第
(B ) ydS4 1 xdS; (C ) zdS4 1 xdS;
( 2000 考研 )
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作业
P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1
x
1y
4 xyzdS
4 :z 1 x y ,(x,y)D xy: 0 0 y x1 1x
1
1x
3 x dx y(1xy)dy
0
0
3 120
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例3. 设 :x2y2z2a2
z 1
计算 I f(x,y,z)dS.
内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f(i,i,i)Si
i1
2. 计算: 设 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y ,则
f (x,y, z(x, y))
Dxy
1z2x z2y dxdy
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
Dxy
a
dxd y
a2 x2 y2
2d
1 2
2a
ar2
rdr
0 0 a2r2
z 1
1a4(85 2)
6
思考: 若例3 中被积函数改为
o
x Dxy
y
计算结果如何 ?
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为
利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1. 已知曲面壳
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分 的
质量 M .
解: 在 xoy 面上的投影为 Dxy:x2y22, 故
MdS
314(x2y2)dxdy
D xy
32d
2
r
14r2dr
0
0
6 1 214r2d1 (4r2)13 80
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用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R302d02sincod s
R 2d
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例3 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 计算 解: 取球面坐标系, 则
:x2y2z2R 2.
2
d
R2 sin d Rcos
0
0
2Rd(RRccooss) 0
例7. 计算
其中 是介于平面
之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
z H
z dz
o
y
x
机动 目录 上页 下页Βιβλιοθήκη 返回 结束例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .
(地球半径 R = 6400 km )
z
解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的
Rh
半顶角为 , 利用球坐标系, 则
dSR2sin dd
卫星覆盖面积为
AdS R202sind0 d
2R2(1co)s2R2 h
Rh
o
R
y
x
cos R
Rh
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故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
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思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dzS( 0
)
dzS(
4
a ln
a h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
A 4 R 2
h 2( R h)
36106 2(366.4)106
40.5%
z
Rh
由以上结果可知, 卫星覆盖了地球
1 3
以上的面积, 故使用三颗相隔 2 3
角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球
o
R
y
x
全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) .
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例6. 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解: 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I3 2 (x2y2z2)dS3 4 (xyz)dS
xdS ydS zdS利用重心公式
4xdS 4xdS
x xd S d S
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k,k,k)
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
的方法, 可得
n
M
k 1
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
2
dS1zx2zy2dxdy
D xy o
y 2
x
SdS D x y 1 4 (x2y2 )d xdy
这是 的面积 !
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P159 题7. 如图所示, 有
z d S 1 (x 2 y 2 )1 x 2 y 2 d x d y
D x y2
令t 1r2
4 3
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思考与练习
P158 题1；3；4(1) ; 7
P184 题2
解答提示: P158 题1.
P158 题3. 设
则
f (x ,y ,z )d S D x yf(x ,y ,0 )d x d y
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P158 题4(1).
z
在 xoy 面上的投影域为
解: S dS
取dSzds
L z ds L y ds
3
54co2tsdcots
0
z oz y
Ld s x
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例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度
h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.
o
x Dxy
y
解: 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为
设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1
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I (x2y2)dS 1
(x2y2)
5
z 1
Dxy o
x
y
2
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P184 题2. 设 一卦限中的部分, 则有( C ).
1为在第
(B ) ydS4 1 xdS; (C ) zdS4 1 xdS;
( 2000 考研 )
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作业
P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1
x
1y
4 xyzdS
4 :z 1 x y ,(x,y)D xy: 0 0 y x1 1x
1
1x
3 x dx y(1xy)dy
0
0
3 120
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例3. 设 :x2y2z2a2
z 1
计算 I f(x,y,z)dS.
内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f(i,i,i)Si
i1
2. 计算: 设 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y ,则
f (x,y, z(x, y))
Dxy
1z2x z2y dxdy
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
Dxy
a
dxd y
a2 x2 y2
2d
1 2
2a
ar2
rdr
0 0 a2r2
z 1
1a4(85 2)
6
思考: 若例3 中被积函数改为
o
x Dxy
y
计算结果如何 ?
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为
利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
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备用题 1. 已知曲面壳
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分 的
质量 M .
解: 在 xoy 面上的投影为 Dxy:x2y22, 故
MdS
314(x2y2)dxdy
D xy
32d
2
r
14r2dr
0
0
6 1 214r2d1 (4r2)13 80
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用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R302d02sincod s
R 2d
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例3 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 计算 解: 取球面坐标系, 则
:x2y2z2R 2.
2
d
R2 sin d Rcos
0
0
2Rd(RRccooss) 0
例7. 计算
其中 是介于平面
之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
z H
z dz
o
y
x
机动 目录 上页 下页Βιβλιοθήκη 返回 结束例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .
(地球半径 R = 6400 km )
z
解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的
Rh
半顶角为 , 利用球坐标系, 则
dSR2sin dd
卫星覆盖面积为
AdS R202sind0 d
2R2(1co)s2R2 h
Rh
o
R
y
x
cos R
Rh
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dzS( 0
)
dzS(
4
a ln
a h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
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例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
A 4 R 2
h 2( R h)
36106 2(366.4)106
40.5%
z
Rh
由以上结果可知, 卫星覆盖了地球
1 3
以上的面积, 故使用三颗相隔 2 3
角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球
o
R
y
x
全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) .
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例6. 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解: 显然球心为(1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I3 2 (x2y2z2)dS3 4 (xyz)dS
xdS ydS zdS利用重心公式
4xdS 4xdS
x xd S d S
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