常微分
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
第六章常微分方程
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
6.2一阶微分方程
6.2.1可分离变量的微分方程 6.2.2一阶线性微分方程
6.2.1可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
转化
两边积分
f (x)dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞
的繁殖率与细菌的数目成正比，t若 0 时细菌 的数目x(为0) ，求系统的细菌繁殖规律。
第六章 常微分方程
已知 y f (x), 求 y — 不定积分问题
推广 已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y
— 微分方程问题
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 二阶微分方程 6.4 用Matlab软件解二阶常系数
非齐次微分方程
6.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
2.
型方程
作变换
例8. 求方程 dy (x y)2 的通解 dx
解：令
则
得方程通解为
将
代回得原方程通解
6.2.2一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数（微分） 的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导 数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为 一阶线性微分方程。
例7. 解微分方程 dy x y dx x y
常微分第一章
dt L
论
初值条件为 I t0 I0.
§1 常微分方程模型
(2) RLC电路
第
设R、L、C是常数, 电源电压e(t)是时间t的函
一 数. 当开关合上后有关系式
章
e(t) L d I RI Q ,
dt
C
绪 上式两边求导
论
d2 I dt2
R L
dI dt
I LC
d e(t) . dt
一般的两种群竞争系统模型
第 一 章
d x d t
M
(x,
y)x,
d
y
d t
N (x,
y) y,
绪 这里M(x, y), N(x, y)为相对于x与y的增长率.
论
§1 常微分方程模型
例6 Lorenz方程
第 一 章
d x
d
t
a( y
x),
绪
d y
d
t
xz
论
dy x
dx y
y 1 x2 y 1 x2 x2 y2 1
§2 概念及历史
含有n个独立的任意常数c1, c2 , , cn的解
第
y x, c1, c2, , cn
一
章 称为n阶方程(1.38)的通解.
注 解对常数的独立性是指: 及其直到n 1阶
d
y
d t
y(c
dx).
§1 常微分方程模型
竞争模型
第
假设种群甲和乙的数量分别为x, y, 则种群相
一 章
互竞争同一资源时的生长情况的模型为
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。
- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。
- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：g(y)dy = f(x)dx。
- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。
什么叫做常微分方程
什么叫做常微分方程导论：在数学中，方程是研究数学问题最基本的工具之一。
所谓方程，就是包含未知数的等式或不等式，通过求解方程，我们可以找到满足条件的未知数的值。
常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是一类描述自然和科学现象中变化率的数学方程。
本文将介绍常微分方程的定义、特点以及一些解法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数和它的导数之间关系的方程。
通常，常微分方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
这个方程就是一个一阶常微分方程。
如果方程中含有更高阶的导数，那么它就是高阶常微分方程。
常微分方程的求解目标是找到满足方程的函数。
二、常微分方程的特点1. 未知函数与导数之间的关系：常微分方程是通过已知函数和它的导数来描述未知函数与其自身的变化关系。
换句话说，通过已知的输入和输出值，我们可以推断未知函数的变化规律。
2. 存在多个解：与代数方程不同的是，常微分方程往往具有多个解。
这是因为常微分方程描述的是函数的变化规律，而同一个变化规律可以对应不同的函数形式。
3. 初始条件：为了确定常微分方程的解，需要给出初始条件。
初始条件通常是未知函数在某个点的函数值和导数值。
通过给出初始条件，我们可以唯一确定一个解。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法众多，常见的解法包括分离变量法、常数变易法、齐次方程法等等。
以下是其中两种常用的解法：1. 分离变量法：分离变量法适用于可以将方程中的变量分开的情况。
首先将方程两边的变量分开，变成一个只包含y的方程和一个只包含x的方程，然后对两个方程进行积分，最后解出y的表达式。
2. 常数变易法：常数变易法适用于一些特殊形式的常微分方程。
首先假设待解方程的解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)和v(x)都是关于x 的函数，然后将y及其导数带入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程组，通过求解该方程组，最后解出u(x)和v(x)，再将它们代入y= u(x) * v(x)，得到方程的解。
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
微积分中的微分方程和常微分方程
微积分中的微分方程和常微分方程微积分是数学的一个分支，是数学中最基础的一门课程。
它的主要内容是微积分，微积分中有很多重要的概念和方法，其中最重要的概念之一就是微分方程和常微分方程。
一、微分方程微分方程是微积分中重要的概念之一，它是描述自然现象中变化的规律的数学语言。
它包括基本形式和常见的特殊形式，如：$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$其中 $y$ 为一个函数，$f(x)$ 为一些已知函数。
这个方程的意义是求出函数 $y$，使得 $y$ 对 $x$ 取导数后等于 $f(x)$。
还有另外一种形式的微分方程，称为二阶线性微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数（称为非齐次项）等于另一个已知的函数（称为齐次项）。
二、常微分方程常微分方程又称为ODE（Ordinary Differential Equation），是微积分的一个分支，其主要研究关于未知函数 $y$ 的微分方程。
常微分方程通常分为两大类：一类是一阶线性常微分方程，如：$$y'+p(x)y=q(x)$$其中 $p(x),q(x)$ 为已知函数，$y$ 是未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
还有另外一类常微分方程，称为二阶线性常微分方程，如：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
三、微分方程在实际问题中的应用微分方程在实际问题中的应用非常广泛，大部分自然科学的问题都可以归结为微分方程。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
常微分方程 (Linear Ordinary Differential Equation) 是一类描述物理量随时间变化的线性微分方程，其一般形式为:
$$y"=f(t,y)$$
其中，$y$ 表示物理量，$t$ 是时间变量，$y"=dy/dt$ 表示物理量随时间的变化率，$f(t,y)$ 是与 $y$ 相关的函数。
常微分方程的分类可以根据 $f(t,y)$ 的特征进行。
具体来说，可以根据 $f(t,y)$ 的构成分为以下几类:
1. 常数变易法 (Constant Variation Method):适用于
$f(t,y)$ 是常数。
2. 变量替换法 (Variable Substitution Method):适用于
$f(t,y)$ 是线性函数。
3. 特征值法 (Eigenvalue Method):适用于 $f(t,y)$ 具有特
征值。
4. 谱方法 (Series Expansion Method):适用于 $f(t,y)$ 具有谱性质。
求解常微分方程的方法包括数值求解和解析求解两种方法。
数值求解是通过数值计算的方法求解常微分方程的解，而解析求解则是通过数学方法直接求解常微分方程的解。
解析求解的方法包括分离变量法、特征值法、积分法等。
常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，例如求解物体的运动轨迹、反应扩散方程、财务分析等。
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
常微分方程基础概念
常微分方程基础概念常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究函数和它的导数之间关系的重要分支。
常微分方程具有广泛的应用，可以用于描述动力学系统、物理问题、生物学过程等领域。
本文将介绍常微分方程的基础概念，帮助读者了解其基本定义、分类和解的求解方法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述一个未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
在这个方程中，y的导数dy/dx 是未知函数y的变化率，f(x, y)则给出了此变化率的具体表达。
二、常微分方程的分类常微分方程可以根据方程中未知函数、自变量和导数的阶数进行分类。
常见的分类如下：1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数为一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数大于一阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为：d^n y / dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))其中，d^n y / dx^n 表示y的n阶导数。
三、常微分方程的解的求解方法常微分方程的求解是指找到满足方程的未知函数y的表达式。
常微分方程的求解方法有多种，常见的几种方法如下：1. 分离变量法分离变量法是指将常微分方程的变量分离到等式两侧，并分别积分求解。
常用于求解可以写成dy/dx = g(x)h(y)的一阶常微分方程。
2. 变量代换法变量代换法是指通过引入新的变量或通过代换将原方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
常用于求解一些特殊形式的方程。
3. 齐次方程法齐次方程法是指通过引入新的变量将非齐次方程转化为齐次方程，然后进行求解。
常用于求解一阶线性常微分方程。
物理学中的常微分方程及其应用
物理学中的常微分方程及其应用一、引言数学和自然科学的关系，从出现数学以来就已经有了基础。
特别是在物理学中，数学的重要性已经不言而喻。
常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学中的常见工具，也是自然科学家们经常使用的数学概念。
本文将简要介绍常微分方程及其应用。
二、常微分方程的定义常微分方程指的是一类只含有未知函数的一阶或高阶导数的微分方程。
常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y$是未知函数，$x$是独立变量，$f$是已知函数。
三、常微分方程的分类常微分方程可以分为线性和非线性两大类。
1. 线性常微分方程线性常微分方程是指可用未知函数的线性组合表示的常微分方程。
一般形式为：$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$$其中$a_0(x),a_1(x),\cdots,a_{n-1}(x),f(x)$均已知，$y$是未知函数。
线性常微分方程的求解较为简单，可用变量分离法、待定系数法、常数变易法等方法求解。
2. 非线性常微分方程非线性常微分方程是指未知函数和其导数形成的非线性组合表示的常微分方程。
非线性常微分方程的解法较为困难，有时需要采用数值计算的方法求解。
非线性常微分方程在珂数值计算中有广泛的应用。
四、常微分方程的应用常微分方程在自然科学和工程领域中有广泛的应用，以下分别介绍常微分方程在物理学、生物学、经济学和机械工程中的应用。
1. 物理学中的常微分方程应用物理学中的定律和规律均可用数学语言来描述，因此微积分和常微分方程是物理学的重要基础和工具。
例如，运动学中的速度、加速度等都可以用常微分方程去描述。
牛顿第二定律$$F=ma$$在恒力$F$作用下，物体的加速度$a$与力$F$成正比。
$$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F}{m}$$则可用简单的常微分方程去求解。
常微分函数知识点总结
常微分函数知识点总结常微分函数是微分方程中的一种特殊类型，它是指一个未知函数的微分与它本身的函数关系。
在数学中，微分方程是描述自然现象变化规律的重要工具，因此常微分函数也是微分方程研究的重要对象之一。
在此，我们将对常微分函数的基本概念、性质和解法等进行总结。
常微分函数的基本概念首先，我们来了解一下常微分函数的基本概念。
常微分方程是指一个未知函数的导数与函数本身之间的关系式，这种导数与未知函数本身之间的关系便是常微分函数。
常微分函数的一般形式可以写为：y’ = f(x, y)其中，y为未知函数，x为自变量，f(x, y)为关于x和y的函数。
在常微分函数中，y’称为函数y的导数，它表示y随着x的变化而变化的速率。
而f(x, y)则是一个关于x和y的函数，它描述了y的导数与y本身之间的关系。
常微分函数的一个重要特点是未知函数y的导数与未知函数y本身的关系是隐式的，它不是通过解析式具体表达的。
常微分函数的解法在解常微分函数时，最常用的方法之一是分离变量法。
分离变量法是将未知函数y的导数与未知函数y本身的关系式进行变换和分离，最终得到一个可以通过积分求解的方程。
接下来，我们以一个简单的一阶常微分方程为例来说明分离变量法的解法：dy/dx = x/y我们可以将方程变形为：ydy = xdx然后对两边同时积分，得到：∫ ydy = ∫ xdx解得：1/2 * y^2 = 1/2 * x^2 + C其中，C为积分常数。
最终解得未知函数y与自变量x之间的关系式：y = ±√(x^2 + C)这便是通过分离变量法解出的常微分函数的解。
常微分函数的性质除了解法外，常微分函数还具有一些重要的性质。
其中，一个重要的性质是存在唯一性定理。
唯一性定理是指若常微分方程满足一定的 Lipschitz 条件，则它的解在一定的条件下是唯一的。
这个定理对于常微分方程的解的存在性和唯一性提供了重要的保证，极大地推动了常微分方程的理论研究和应用。
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。
3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。
6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。
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（4.7）
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
关于 c1 , c2 ,, cn 的齐次线性代数方程组, 它的系数行列式
W x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ),
由线性代数理论 方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即
W (t ) 0
其逆定理是否成立？ 不一定
方程（4.1）的解的存在唯一性定理:
at b ( ( 上的连续函数, 则对于任一 t0 [a, b] 及任意的 x0 , x01) , x0n 1) ,
定理1 如果 ai (t ) (i 1,2,, n) 及 f (t ) 都是区间
方程（4.1）存在 唯一解 x (t )，定义于区间 a t b 上，且满足初始条件：
常微分方程——马磊
目 录
一、解的存在唯一性定理 二、齐次线性方程的解的结构与性质 三、非齐线性方程与常数变易法
常微分方程——马磊
本节要求
理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构
常微分方程——马磊
一、解的存在唯一性定理
n 阶微分方程一般形式：
F (t , x, x, , x (n ) ) 0
n 阶线性微分方程一般形式：
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t ) 是区间 a t b 上的连续函数。
(4.2)
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
例
d2y w2 y 0 dx 2 ( w 0为常数)
y1 cos wx
y2 5 cos wx
y C1 cos wx C2 5 cos wx
不包含解
y C2 sin wx
要使 x c1 x1(t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 为方程（4.2）的通解
d (t0 ) d n 1 (t0 ) ( ( (t0 ) x0 , x01) , , x0n 1) dt dt n1
(4.3)
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
例 有解
d2y w2 y 0 dx 2 ( w 0为常数)
y cos wx
y sin wx
c1 x1(t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0
对所有 t a, b 成立， 称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
例如
cos x, sin x 在区间 (, ) 上线性无关
cos 2 x, sin 2 x, 1
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
常微分方程——马磊
一、解的存在唯一性定理
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
at b
a t 0 b ，使得 W (t 0 ) 0
考虑关于 c1 , c2 ,, cn 的齐次线性代数方程组
c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0 c x (t ) c x (t ) c x (t ) 0 1 1 0 2 2 0 n n 0 c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0 0 2 2 0 n n 0 1 1
在区间 (, ) 上线性相关
在区间 (, ) 上线性无关
t (,)
1, t , t 2 ,, t n
因要使得 则
c0 c1t c2t 2 cnt n 0
c0 c1 c2 cn 0
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
常微分方程——马磊
的解，这里 c1 , c2 ,, ck 是任意常数。 也是（4.2）
二、齐次线性方程的解的结构与性质
证明
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
c1 c2 0 故 x1 (t ), x2 (t ) t [1,1] 是线性无关的。
c1t 2 c2 0 0 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c1 0 c2t 2 0
1 t 0 0 t 1
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
定理4 如果方程(4.2)的解 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性无关，则 W x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在这个区间的 任何点上都不等于零，即 W (t ) 0 证明 反证法 设有某个 t0 ,
伏朗斯基行列式 定义在 a t b 区间上的k个可微k-1次的函数 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t )
பைடு நூலகம்
所作成的行列式
W (t ) W x1 (t ), x2 (t ), , xk (t )
x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) xk (t ) xk (t )
( x1( k 1) (t ) x2k 1) (t ) xk( k 1) (t )
称为这些函数的伏朗斯基行列式.
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
定理3
若函数 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性相关， 上它们的伏朗斯基行列式 W (t ) 0。 则在 [a, b] 证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数 c1, c2 ,, cn , （4.6） 使得 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0 a t b
x(t0 ) x(t0 ) x ( n1) (t0 ) 0
由解的唯一性知 x(t ) 0 a t b，即
（4.10）
另 x 0 也是方程(4.2)的解， 也满足初始条件（4.10）
因为
~ ~ ~ at b c1 x1(t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0 ~ ~ ~ c , c ,, c 不全为0，与 x (t ), x (t ), , x (t ) 线性无关
1 2 n
1 2 n
的假设矛盾。
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
t0 , a t 0 b
W x1 (t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 ) 0
重要结论
定理4
定理3
x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 线性相关
方程(4.2)的解 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在区间 a t b 上线性无关 的充分必要条件是 W x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 0
广东石油化工学院
高州师范学院
常微分方程
马 磊
maleiyou@
《常微分方程》
第四章
高阶线性微分方程
Higher-Order Linear ODE
常微分方程——马磊
第四章
高阶线性微分方程
§4.1 高阶线性微分方程的一般理论
General Theory of Higher-Order Linear ODE
（4.9）
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
~ ~ ~ 其系数行列式 W (t 0 ) 0 ，故（4.9）有非零解 c1 , c2 ,, cn
构造函数
~ ~ ~ x(t ) c1 x1(t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
at b
根据叠加原理， x(t ) 是方程（4.2）的解，且满足初始条件
at b
证毕
即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性 无关的。
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
t 2 例如： x1 (t ) 0
0 1 t 0 x2 (t ) 2 0 t 1 t
0 0 0 t2 0 2t 1 t 0 0 t 1
常微分方程——马磊
二、齐次线性方程的解的结构与性质
问题：
当 k n 时，若 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 是齐次线性方程的解，
x c1 x1(t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
能否成为方程（4.2）的通解？ 不一定
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 dt n dt dt
x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )
还需满足一定的条件？
(4.2)
常微分方程——马磊
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt