d等腰三角形易错题例析

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2022年最新人教版小学数学四年级下册三角形易错习题总结(带答案)

四年级下册三角形易错题一、填空题1．一个三角形一个内角的度数是100°，这个三角形是三角形，一个等腰三角形的底角是65°，顶角是，等边三角形的每个内角都是。

2．等腰三角形的两条边分别是3cm和7cm，那么第三条边是cm。

3．在一个三角形中，∠1＝72°，∠2＝48°，∠3＝；在一个等腰三角形中，一个底角是36°，顶角是。

4．一个直角三角形，其中一个锐角是45°，它又是三角形。

5．如图，∠1=°．6．一根绳子正好围成一个长23米、宽22米的长方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是米。

7．板凳腿之间加一根斜木条固定是利用了三角形的特性，伸缩门是利用了平行四边形的特性。

8．两点之间的所有连线中，最短。

9．一个等腰三角形的一个底角是45度，它的顶角是度，这个三角形按角分是三角形。

10．如果三角形的两边分别是4cm和5cm，那么第三条边可能是cm。

11．在等腰三角形中，其中一个角是100°，则另外两个角分别是°和°，这是一个三角形。

（填“锐角”“钝角”或“直角”）12．三角形有条高，平行四边形有条高，梯形有条高。

13．三角形最多有个锐角，最多有个直角，最多有个钝角。

14．如果一个三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是10cm和4cm，另外一条边最小是cm。

15．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米和4厘米，另一条边是厘米。

16．用3厘米，8厘米和第三根小棒首尾相连组成三角形，这第三根小棒最小是厘米，最大是厘米．（都是整厘米长）17．三角形按角分类分为三角形、三角形和三角形．18．一个三角形的三个内角分别是∠A，∠B，∠C。

∠A的度数是∠B的2倍，∠C的度数是∠B的3倍，这是一个三角形。

19．红领巾按角分类是三角形，按边分类是三角形。

20．在长是3厘米，4厘米，5厘米和6厘米四根小棒中，任选三根围成一个三角形，能围成个不同的三角形。

三角形易错题(答案版)

一．折叠问题1.如图，将等腰直角三角形ABC（∠B＝90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC＝8，那么线段AE的长度为5．【分析】由折叠的性质可求得AE＝A1E，可设AE＝A1E＝x，则BE＝8﹣x，且A1B＝4，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得AE＝A1E，∵△ABC为等腰直角三角形，BC＝8，∴AB＝8，∵A1为BC的中点，∴A1B＝4，设AE＝A1E＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE＝A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．2.如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，DB＝4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则＝．【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED＝∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝6，由折叠的性质可知，∠EDF＝∠C＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∴∠AED＝∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．3.如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为2．【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD＝B′F＝2，然后根据勾股定理得到B′G ＝2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BE＝BD＝4，∴△BDE是边长为4的等边三角形，∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD＝B′F＝2，∵B′D＝4，∴B′G＝＝＝2，∵AB＝10，∴AG＝10﹣6＝4，∴AB′＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三角形的判定定理判定等边三角形，难度不大．二．用代数式表示1.如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan ∠BHQ的值（用含n的式子表示）．【分析】（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．利用全等三角形的性质证明AK＝CH，再证明CH＝KH，推出AK＝KH即可解决问题．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．证明△ADH∽△CDA，推出AD＝a，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，根据CM2＝DM2+CD2，构建方程求出x（用a表示），求出BD即可，再证明sin∠ACK＝，推出∠ACK＝30°即可解决问题．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．想办法求出AJ，HJ（用n，y表示）即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝45度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．m cosαB．C．m sinαD．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cosα＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：cosα＝，则AB＝．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．4．已知顶角为α（30°＜α＜90°）的等腰三角形纸片的腰长和底边长分别为a，b，过三角形其中一个顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．a2+ab+b2＝0B．a2﹣ab﹣b2＝0C．a2﹣ab+b2＝0D．a2+ab﹣b2＝0【分析】由等腰三角形的性质可得AB＝AC＝a，BD＝BC＝b＝AD，∠ABD＝∠A，∠BDC ＝∠C，∠C＝∠ABC，通过证明，△ABC～△BDC，可得，即可求解．【解答】解：如图，等腰△ABC，等腰△BDA和等腰△BDC，∴AB＝AC＝a，BD＝BC＝b＝AD，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C，∠C＝∠ABC，∴CD＝a﹣b，△ABC～△BDC，∴，∴b2＝a（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用相似三角形的性质．5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（m＜3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+6m+9＝0B．m2﹣6m+9＝0C．m2+6m﹣9＝0D．m2﹣6m﹣9＝0【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（3﹣m）2，整理即可解答．【解答】解：如图，m2+m2＝（3﹣m）2，2m2＝32﹣6m+m2，m2+6m﹣9＝0．故选：C．【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，EH垂直BC于点H．设BD＝x，EH＝y，则（）A．2x﹣y2＝3B．4x﹣y2＝6C．6x﹣y2＝9D．8x﹣y2＝12【分析】如图，作AM⊥BC于M，连接DE．在Rt△DEH中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，连接DE．∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝2，∵EH⊥BC，∴EH∥AM，∵AE＝EC，∴CH＝MH＝1，∵BD＝x，∴DH＝4﹣x﹣1＝3﹣x，∵线段BE的垂直平分线交边BC于点D，∴DE＝BD＝x，在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，∴x2＝y2+（3﹣x）2，∴y2＝6x﹣9，∴6x﹣y2＝9，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．若△ADE和△BCE的面积分别为S1和S2，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由DE∥BC证明△ADE∽ABC，得，，因平行线间的距离相等，即△BDE和△BCE底边DE和BC上的高相等，面积比等于底边比求出，即的值为．【解答】解：设S△ABC的面积为S，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽ABC，∴，又∵，AB＝AD+BD，∴，又∵S△ADE＝S1，∴＝，∴，∵．S△BCE＝S2，∴，又∵S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝，∴，解得：，∴，故选：C．【点评】本题综合考查相似三角形的判定与性质，面积的和差，在等高的两个三角形中，面积比等于底边比等相关知识，本题难度中等，属于中档题．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，DE∥BC，与边AC交于点E，将△ADE 沿着DE所在的直线对折，得到△FDE，连结BF．记△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，若BD＞2AD，则下列说法正确的是（）A．2S2＞3S1B．2S2＞5S1C．3S2＞7S1D．3S2＞8S1【分析】首先证明四边形ADFE是菱形，推出EF∥AB，可得＝，由BD＞2AD，推出S2＞2S1，由此即可判断．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∵△DEF是由△ADE翻折得到，∴AD＝DF＝EF＝AE，∴四边形ADFE是菱形，∴EF∥AB，∴＝，∵BD＞2AD，∴S2＞2S1，∴选项A正确故选：A．【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且＝＝m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．①求证：四边形DHEC是平行四边形；②若m＝，求证：AE＝DF；（2）如图2，若m＝，求的值．【分析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE＝DC，即可得出结论；②先判断出AC＝AB，BH＝HE，再判断出∠HEA＝∠AFD，即可得出结论；（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE＝3：5，再判断出∠AFM＝∠AEG进而判断出△F AD∽△EGA，即可得出结论．【解答】解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC，∴，∵，∴，∴，∴HE＝DC，∵EH∥DC，∴四边形DHEC是平行四边形；②∵，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∵，HE＝DC，∴HE＝DC，∴，∵∠BHE＝90°，∴sin B＝＝，∴∠B＝45°，∴∠BEH＝∠B＝45°∴BH＝HE，∵HE＝DC，∴BH＝CD，∴AH＝AD，∵DM⊥AE，EH⊥AB，∴∠EHA＝∠AMF＝90°，∴∠HAE+∠HEA＝∠HAE+∠AFM＝90°，∴∠HEA＝∠AFD，∵∠EHA＝∠F AD＝90°，∴△HEA≌△AFD，∴AE＝DF；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于G，∵CA⊥AB，∴EG∥CA，∴△EGB∽△CAB，∴，∴，∵，∴EG＝CD，设EG＝CD＝3x，AC＝3y，∴BE＝5x，BC＝5y，∴BG＝4x，AB＝4y，∵∠EGA＝∠AMF＝90°，∴∠GEA+∠EAG＝∠EAG+∠AFM，∴∠AFM＝∠AEG，∵∠F AD＝∠EGA＝90°，∴△F AD∽△EGA，∴＝【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA＝∠AFD是解本题的关键．10．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE＝AD﹣AE可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴（3x）2+16＝（5x）2，∴x＝1，即AC＝3，∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠FBC，∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）∵AG∥BD，∴∠AGF＝∠CBF，∴tan∠AGF＝tan∠CBF，∴，，∴，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S△DAF＝＝；（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴DC＝，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长为或．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．12．在等边△ABC中，AB＝8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝60°，利用等式的性质得到∠BAD＝∠CAE，再由AB＝AC，AD＝AE，利用SAS得到三角形ABD 与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠ABC＝60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF 为平行四边形；（2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD＝CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF＝CE，等量代换得到BF＝BD＝x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域；（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM＝CM＝4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长，而MD＝4﹣x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠ABC+∠ACB+∠ACE＝180°，即∠ABC+∠BCE＝180°，∴AB∥CE，又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴EC＝BD，∵四边形BCEF是平行四边形，∴BF＝EC，∴BF＝BD＝x，又∵AB＝8，∴AF＝8﹣x，∵FG∥BC，∴∠AFG＝∠ABC，∠AGF＝∠ACB，∴△AFG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x（0＜x＜8）；（3）解：过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM＝CM＝4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM＝＝4，MD＝4﹣x，由题意得AD2＝AM2+MD2，即48+（4﹣x）2＝49，解得：x1＝3，x2＝5，当x＝3时，y＝8﹣3＝5；当x＝5时，y＝8﹣5＝3，则FG＝3或5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13．△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；（2）当点P在射线AB上，若设AP＝x，CD＝y，求：①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．【分析】（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP＝DQ；②根据AE＝EG，GD＝DC，即可算出DE ＝AC；（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．【解答】解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴△DHC，△APG为等边三角形，∵AP＝CQ，∴PG＝CQ，∠PGC＝∠DCQ＝120°，∵∠GPD＝∠Q，∵△PDG≌△QDC，∴DP＝DQ，②能确定，∵PE⊥AC，∴AE＝EG，∵GD＝DC，AB＝BC＝AC＝4，∴GD+EG+AE+DC＝4，∵2（GD+EG）＝4，即DE＝2；（2）①∵PD＝DQ，DH∥AB，AP＝x，CD＝y，∴DH＝BP，∵AB＝4，∴BP＝4﹣x或BP＝x﹣4，∴y＝（4﹣x）＝2﹣x（0＜x≤4）或y＝x﹣2（x＞4），②当0＜x≤4时，无解，当x＞4时，∵PE⊥AC，∠A＝60°AP＝x，∴PE＝sin60°×x＝x，∵AB＝BC＝AC＝4，∴S△ABC＝4，∵PD＝DQ，∴结合图形可知S△PCQ＝2S△PDC＝2×，∴2×＝4，∴（x﹣2）×x＝4，化简得：x2﹣4x﹣16＝0，解得：x1＝2﹣2（不符合题意，舍去）x2＝2+2，∴x＝2+2，∴当x＝2+2时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系。

14.5等腰三角形的性质易错题1

2012年默认标题-2012年3月15日深圳市菁优网络科技有限公司一、填空题（共30小题）1、（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为_________．2、等腰三角形的对称轴最多有_________条．3、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________．4、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3，则a可以取的值为_________．5、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________．6、等腰三角形的两边长为5cm，10cm，则它的周长等于_________cm．7、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________度．8、已知等腰三角形的一个角等于100°，则它的顶角是_________．9、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________cm，_________cm．10、如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_________度．11、已知AD是等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB=50°，这个三角形的顶角的度数是_________．12、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角为60°，则其顶角为_________．13、在等腰三角形ABC中，若∠A=70°，则∠B=_________．14、如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=_________度．15、在△ABC中，AB=AC，BC=10cm，△ABC的周长不＞44cm，则AB的范围为_________．16、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形一边的一半，则其顶角为_________．17、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为_________．18、如果一个等腰三角形的一个外角为140，那么顶角的度数是_________．19、等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_________．20、如果一个等腰三角形的一个角等于80°，则该等腰三角形的底角的度数是_________．21、等腰三角形_________，_________，_________互相重合，等腰三角形对称轴最多有_________条．22、等腰三角形的两边长分别是4厘米和9厘米，则周长为_________厘米．23、顶角为60°的等腰三角形，两个底角的平分线相交所成的角是_________°．24、两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________cm．25、如图，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD=_________度．26、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD∥BC，BD=BC，∠DBC=_________．27、若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=_________．28、如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=_________度．29、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′处，如果BC′=5，则BC=_________．30、等腰三角形一边上的高等于这边的一半，则它的顶角度数为_________．答案与评分标准一、填空题（共30小题）1、（2007•双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为9．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系。

等腰三角形易错题精粹

等腰三角形一、选择题 1．（2010浙江宁波）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个【答案】A 2．（2010 浙江义乌）如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A =5，则线段PB 的长度为（ ▲ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】B3．（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180° 【答案】B4.（2010 黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定第15题图【答案】B ．ABC DPE D CBA(第10题)5．（2010山东烟台）如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。

线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于 A 、80° B 、 70° C 、60° D 、50°【答案】C6．（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A ．8B ．7C ． 4D ．3【答案】B 7．（2010湖北武汉）如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（）A.100°B.80°C.70°D.50° 【答案】A 8．（2010山东威海）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是A ．BC ＝2BEB ．∠A ＝∠EDAC ．BC ＝2AD D ．BD ⊥ACADBEC【答案】C9．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 10．（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（）A ．55°，55°B ．70°，40°C ．55°，55°或70°，40°D ．以上都不对【答案】C 11．（2010湖北随州）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定第15题图【答案】B12．（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩则此等腰三角形的周长为（）A ．5B ．4C ．3D ．5或4 【答案】A 13．（2010 山东东营）如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小【答案】C 14．（2010 广东汕头）如图，把等腰直角△ABC 沿BD 折叠，使点A 落在边BC 上的点E 处．下面结论错误的是（） A ．AB ＝BE B ．AD ＝DC C ．AD ＝DE D ．AD ＝EC【答案】B15．（2010 重庆江津）已知：△ABC 中，AB=AC=x ，BC=6，则腰长x 的取值范围是（）A ．03x <<B ．3x >C ．36x <<D ．6x >【答案】B16．（2010 重庆江津）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（）①45EAF ∠=︒ ②△ABE ∽△ACD ③EA 平分CEF ∠ ④222BE DC DE +=A ．１个B ．２个C ．３个D ．４个【答案】C17．（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是A、15米B、20米C、25米D、30米【答案】C18．（2010广东深圳）如图1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°。

八年级上册数学全等三角形易错题(Word版含答案)

八年级上册数学全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，B BAE CEN AE EIIC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB ＝6，∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，∴BE ＝23﹣6；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3．故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．3．已知A 、B 两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值，再由勾股定理求出AB 的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积；连接OP ，过点P 作PE ⊥x 轴，由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，可知S △ABP ＝S △POA +S △AOB ﹣S △BOP ＝132，故可得出a 的值．∵A 、B 两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA ＝3，OB ＝2，∴223+213AB ＝＝，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴1113•1313222ABC S AB AC ⨯⨯＝＝＝，作PE ⊥x 轴于E ，连接OP ，此时BE ＝2﹣a ，∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，∴111•••222ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣， 111113332222222a ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a ＝﹣83．故答案为﹣83．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．4．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在x 轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O 为圆心，OA 为半径画弧交x 轴于点P 1、P 3，以A 为圆心，AO 为半径画弧交x 轴于点P 4，作OA 的垂直平分线交x 轴于P 2．【详解】解：如图，使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．6．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接的周长为_______.MN，则AMN【答案】4【解析】【分析】延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】延长AB至F，使BF=CN，连接DF．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠BCD=∠DBC=20°．∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠DBA=∠DCA=90°．在Rt△BDF和Rt△CND中，∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．∵∠MDN=70°，∴∠BDM+∠CDN=70°，∴∠BDM+∠BDF=70°，∴∠FDM=70°=∠MDN．∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．故答案为：4．【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．7．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A 2B 2＝2B 1A 2，B 3A 3＝2B 2A 3，∴A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2＝32，以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n ．故答案为：2n ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键．8．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =，∴33DM =-，∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴13322NM DM -==， ∴3333322BN BM NM -+=-=-=， ∴233BC BN ==+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.9．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC 成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．10．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是AB 的中点，F 是AC 上一个动点，则EF+BF 的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析：∵在菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，∴点B 、D 关于AC 对称，连接ED ，则ED 就是所求的EF+BF 的最小值的线段，∵E 为AB 的中点，∠DAB=60°，∴DE ⊥AB ，∴ED=22AD AE -=2263-=33，∴EF+BF 的最小值为33．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A ．1.5B ．3C ．4.5D ．9【答案】C【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC时，△ACD的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．∵AD⊥BH，∴BD=DH．∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=12S△ADH14=S△ABH．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．12．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．13．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题．【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A 36B33C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=1233OH=3 2 ,∴CD=2CH=3．故选D．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．15．如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G .下列结论：①45APB ∠=︒；②PB 垂直平分AF ；③BD AH AB -=；④2DG PA GH =+；其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义∠ABP ＝12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB ＝∠FPB ，再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF ，AP ＝PF ；③根据直角的关系求出∠AHP ＝∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF ＝AH ；④求出∠ADG ＝∠DAG ＝45°，再根据等角对等边可得DG ＝AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH ＝GF ，然后根据即可得到DG GH =+. 【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP ＝12∠ABC ， ∠CAP ＝12（90°＋∠ABC ）＝45°＋12∠ABC ，在△ABP 中，∠APB ＝180°−∠BAP−∠ABP ，＝180°−（45°＋12∠ABC ＋90°−∠ABC ）−12∠ABC ，＝180°−45°−12∠ABC−90°＋∠ABC−12∠ABC ，＝45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB ＝45°（已证），∴∠APB ＝∠FPB ＝45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB ＝BF ，AP ＝PF ；∴PB 垂直平分AF ，故②正确；③∵∠ACB ＝90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP ＋∠HAP ＝90°，∠AHP ＋∠HAP ＝90°，∴∠AHP ＝∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH ＝∠FPD ＝90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF ＝AH ，∵BD ＝DF ＋BF ，∴BD＝AH＋AB，∴BD−AH＝AB，故③小题正确；④∵AP＝PF，PF⊥AD，∴∠PAF＝45°，∴∠ADG＝∠DAG＝45°，∴DG＝AG，∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG＝AG，GH＝GF，∴DG＝GH＋AF，∴FG=GH,AF=2PA故2=+.DG PA GH综上所述①②③④正确．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．16．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．【详解】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；∵PA =PA ，PR =PS ，∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠APQ =∠PAQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确；由③得：△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，∴PQ =PC ．又∵AB =AC ，AP ⊥BC ，∴BP =PC ，∴BP =PQ ．∵PR =PS ，∴Rt △BRP ≌Rt △QSP ，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．17．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（）A ．52B ．125C ．4D ．53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，又∵CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ，∵3AC =，4BC =，5AB =,∴125 CE=，∴EF12 5 =.所以答案为B选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.18．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．19．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．【详解】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M，∴∠P1OP2=180°-110°=70°，∴∠AOB=35°，故选A．【点睛】考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．20．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，，③错误∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握。

(易错题精选)初中数学三角形易错题汇编含答案解析

（易错题精选）初中数学三角形易错题汇编含答案解析一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．2．如图,已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E,连接BE, CE,如图:在射线AD上取点F连接BF, CF,如图,依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n-1 C．(1)2n nD．3(n+1)【答案】C 【解析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对全等三角形；图3中有6对全等三角形，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD.∴图1中有1对三角形全等；同理图2中,△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD.∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+.故选C.【点睛】考查全等三角形的判定，找出数字的变化规律是解题的关键.3．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S V V D ．CD=12BD 【答案】C【解析】【分析】 A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选：C ．【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.5．如图，在ABC ∆中，33B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（）A ．33︒B ．56︒C ．65︒D ．66︒【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B ，∠3=∠2+∠D ，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，∴∠1-∠2=66°．故选：D ．【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．（11·十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。

初三数学等腰三角形知识精讲

初三数学等腰三角形知识精讲一. . 本周教学内容：本周教学内容：等腰三角形等腰三角形例例1. 1. 已知：如图，∠已知：如图，∠已知：如图，∠ABC ABC ABC，∠，∠，∠ACB ACB 的平分线交于F ，过F 作DE DE∥∥BC BC，交，交AB 于D ，交AC 于E 。

求证：求证：求证：BD BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。

分析：因为DE DE＝＝DF DF＋＋FE FE，即结论为，即结论为BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋FE FE，分别证明，分别证明BD BD＝＝DF DF，，CE CE＝＝FE 即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。

证明：∵DE DE∥∥BC BC，， ∴∠∴∠∴∠33＝∠＝∠22（两直线平行，内错角相等）又∵又∵又∵BF BF 平分∠平分∠ABC ABC ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠2 2 ∴∠∴∠∴∠11＝∠＝∠3 3 ∴∴DB DB＝＝DF DF（等角对等边）（等角对等边）同理：同理：同理：EF EF EF＝＝CE CE，， ∴∴BD BD＋＋EC EC＝＝DF DF＋＋EF 即即BD BD＋＋EC EC＝＝DE DE。

例例2. 2. 如图，如图，如图，C C 是线段AB 上的一点，△上的一点，△ACD ACD 和△和△BCE BCE 是等边三角形，是等边三角形，AE AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O 。

求证：求证：（1）∠）∠AOB AOB AOB＝＝120120°；°；（（2）CM CM＝＝CN CN；；（（3）MN MN∥∥AB AB。

分析：要证明∠要证明∠AOB AOB AOB＝＝120120°，充分利用等边三角形的每个内角是°，充分利用等边三角形的每个内角是6060°的性质，由于∠°的性质，由于∠°的性质，由于∠AOB AOB 是△是△AOD AOD 的一个外角，则∠的一个外角，则∠AOB AOB AOB＝∠＝∠＝∠11＋∠＋∠ADM ADM ADM＋∠＋∠＋∠22，只须证∠，只须证∠11＋∠＋∠22＝6060°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠°即可，考虑到∠11＋∠3＝6060°，故着手证明∠°，故着手证明∠°，故着手证明∠22＝∠＝∠33。

数学易错题中考专题复习：《等腰三角形》易错题导学案

《等腰三角形》易错题训练考点1等腰三角形1．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（） A ．4，10B ．7，7C ．4，10或7，7D ．无法确定【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10， ∵4+4＝8＜10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7， ∵0＜7＜7+4＝11，∴以4，7，7为边能构成三角形 ∴其它两边长分别为7，7．故选：B ．2．若等边三角形ABC 的边长为a ，且三角形内一点P 到各边的距离分别是h a ，h b ，h c ，则h a +h b +h c ＝．【分析】本题考查的是等边三角形的性质．分别连接P A 、PB 、PC 将△ABC 分成3个小三角形，再根据等边△ABC 的面积等于三个小三角形的面积之和，就可以得出答案．【解答】解：设△ABC 的为h ，根据等边三角形的性质h ＝32a ，分别链结P A ，PB ，PC ，将△ABC 分割成△APB 、△APC 、△BPC S △ABC ＝S △APB +S △APC +S △BPC ＝a •（h a +hb +hc ）•12＝12ah那么，h a +h b +h c =32a3．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M ，N ，且MN ∥BC ．若AB ＝7，AC ＝6，那么△AMN 的周长是．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO ＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．（1）下面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．①在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF．②∴DE＝DF．③（2）请你再用另法证明此题．【分析】（1）根据等边对等角的性质和全等三角形的判定方法判断解答；（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质证明．【解答】（1）解：证明过程正确．推理依据：①等边对等角．②AAS．③全等三角形的对应边相等；（2）证明：连接AD，∵AB＝AC，D是底边BC的中点，∴AD平分∠BAC（三线合一），又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．精选例题，错中淘金易错一等腰三角形的分情况讨论思想典例1等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20 B．22 C．20或22 D．不确定[易错分析] 腰长没有说是6还是8，需要分类讨论，有的学生易漏一种情况。

等腰三角形习题精选及答案(二)

等腰三角形习题精选（二）1．在△ABC中，D是AB的中点，CD＝AD＝BD，则∠ACB＝______。

2．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是50°，则顶角是______。

3．等腰三角形两腰上的高相交而成的锐角是80°，则各内角度数分别为________。

4．如图15-5-1，在△ABC中AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC于D。

若∠EAD＝20°，则∠ABD＝______。

5．如图15-5-2，在△ABC中，∠ABC＝35°，∠ACB＝61°，延长BC到E，使CE＝CA，延长CB到D使DB＝AB，则∠DAE＝______。

6．如图15-5-3，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D。

AD与BC的关系是________。

7．在△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，且∠BDC＝75°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°8．已知△ABC的周长为32cm且AB＝AC，AD⊥BC于D。

又△ACD的周长为24cm，则AD 的长为（）A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm9．等腰三角形三个内角度数的比是1：1：2，则此等腰三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形[学科综合]10．已知等腰三角形的顶角是底角的14，求等腰三角形各角的度数。

11．如图15-5-4，在△ABC中，∠ABC＝100°，AM＝AN，CN＝CP，求∠MNP的度数。

[创新思维]（一）新型题12．如图15-5-5，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F交AB于E。

试说明：BF＝12 FC。

（二）课本习题变式题13．（课本P70练习第2题变式题）如图15-5-6，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为C，且DE＝6cm。

八年级数学上册全等三角形易错题(Word版含答案)

八年级数学上册全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.2．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°；同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．3．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =，等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．4．如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.5．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.【详解】以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：∵等边三角形BDG ，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG ，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD ，即∠BDF=∠GDE∴△BDF ≌△GDE （SAS ）∴BF=GE当GE ⊥AC 时，GE 有最小值，如图所示GE′，作DH ⊥GE′∴BF=GE= CD+12DG=2+1=3 故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.7．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..8．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC ，∴∠DBC=∠DCB ，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.9．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR 周长的最小值【详解】解：作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，∴△PQR 周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，∴此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，∵由对称性可知OP=OP′，OP =OP″，PP′⊥OB ，PP″⊥OA ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，∴△P′OP″为等边三角形，∴P′P″=OP′=OP=10，故答案是：10.【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．10．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD. 【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD 构建全等三角形是证明此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．12．已知点M(2,2)，且2，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（）A ．2B ．(0,4)C ．(4,0)D ．2)【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且2,且点P 在坐标轴上当22OM OP ==时P点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==时：P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．13．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD ≌△ACD ；②2DE=2DF=AD ；③△ADE ≌△ADF ；④4BE=4CF=AB ．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ，从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∴BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，在△ABD 与△ACD 中90AD AD ADB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD ，故①正确；在△ADE 与△ADF 中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ADE≌△ADF，故③正确；∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=2CF=BD，∵AB=2BD，∴4BE=4CF=AB，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.14．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.15．如图，在等边三角形ABC 中，在AC 边上取两点M 、N ，使∠MBN ＝30°．若AM ＝m ，MN ＝x ，CN ＝n ，则以x ，m ，n 为边长的三角形的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x ，m ，n 的值而定【答案】C 【解析】【分析】将△ABM 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBH ．连接HN ．想办法证明∠HCN =120°HN =MN =x 即可解决问题．【详解】将△ABM 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBH ．连接HN ．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°．∵∠MON =30°，∴∠CBH +∠CBN =∠ABM +∠CBN =30°，∴∠NBM =∠NBH ．∵BM =BH ，BN =BN ，∴△NBM ≌△NBH ，∴MN =NH =x ．∵∠BCH =∠A =60°，CH =AM =n ，∴∠NCH =120°，∴x ，m ，n 为边长的三角形△NCH 是钝角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．如图，ABC ∆中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（）A．7B．6C．3D．2【答案】C【解析】【分析】连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．【详解】如图,连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，∵AB的垂直平分线DG交ACB∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．∴BF=AE．又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，∴CE=CF，设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；故选C.【点睛】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．17．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．18．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P、Q分别是线段BC、射线BA上一点，则CQ+PQ的最小值为（）A ．6B ．7.5C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.【详解】解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.∵AB=AC=6,∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，易得BC=3在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，∴HC=33BCH=60°，∴163CC =在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，∴19PC =∴CQ+PQ 的最小值为9，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.19．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC 是特异三角形，∠A=30°，∠B 为钝角，则符合条件的∠B 有（）个． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，∵0P=PD=5=0D，∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B．。

《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试(含答案解析)(3)

《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试（含答案解析）(3)
一、选择题
1．等腰三角形中，有一个内角是 50°，另外两个内角（）．
A. 一定是 50°和 80°
B. 一定都是 65°
C. 可能是 50°和 80°，也可能都是 65°
2．下面每组三个角，不可能在同一个三角形内的是（）。
A. 124° 27° 39°
20．36；等腰【解析】【解答】解：∠ C=180°-72°-72°=36°两个角度数相等这是一个等腰三角形故答案为：36；等腰【分析】用三角形内角和 180°减去两个已知角的度数即可求出∠ C 的度数三角形两个
解析： 36；等腰【解析】【解答】解：∠C=180°-72°-72°=36°，两个角度数相等，这是一个等腰三角形。故答案为：36；等腰。【分析】用三角形内角和 180°减去两个已知角的度数即可求出∠C 的度数。三角形两个角度数相等，相当于的两条边就相等，两条边相等的三角形是等腰三角形。
12．B
解析： B 【解析】【解答】一个三角形两个内角的和小于第三个角，这个三角形一定是钝角三角形。故答案为：B。【分析】三角形的内角和是 180°，一个三角形两个内角的和小于第三个角，这个三角形一定是钝角三角形。
二、填空题
13．钝角；425【解析】【解答】一个三角形的最大内角是 95 度它是钝角三角形若它又是一个等腰三角形且顶角就是最大的内角则它的底角是（ 180°-95°） ÷2=425 度故答案为：钝角；425【分析】95 度的角
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析： C 【解析】【解答】50 度的角是顶角：另外两个内角都是：（180-50）÷2=65（度）； 50 度的角是底角：另外一个底角是 50 度，顶角是 180-50-50=80（度）。故答案为：C。【分析】50 度的角可能是顶角，也可能是底角，按两种情况分析解答。

《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试(含答案解析)

《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试（含答案解析）一、选择题1．下面三组小棒，不能围成三角形的是（）。

A. B. C.2．一个三角形中的最大的一个内角是70°，那么最小的一个内角不可能是（）。

A. 50°B. 43°C. 30°D. 41°3．下面各组线段能围成三角形的是（）。

A. 3厘米、4厘米、7厘米B. 4厘米、3厘米、6厘米C. 6厘米、6厘米、12厘米4．一个等腰三角形的顶角是一个底角的3倍。

这个三角形的顶角和一个底角分别是（）度和（）度。

（）A. 102° 35°B. 108° 36°C. 105° 35°5．用3个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（）度。

A. 540B. 180C. 3606．下图中，线段BC=6厘米，那么线段BA的长度（）A. 大于6厘米B. 等于6厘米C. 小于6厘米D. 无法确定7．根据下列描述，一定是锐角三角形的是（）。

A. 有一个内角是85°的三角形B. 有两个内角都是锐角的三角形C. 其中最大的内角小于90°D. 等腰三角形8．用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长8cm、10cm，那么第三根小棒最短是（）cm．A. 2B. 3C. 9D. 179．下面三组小棒中，能围城三角形的一组是（）。

A. B. C.10．下列三根小棒不能围成三角形的是（）A. 6厘米、8厘米、9厘米B. 8厘米、8厘米、8厘米C. 4厘米、5厘米、9厘米11．一个三角形被遮住了两个角，露出的角是锐角，这个三角形是（）三角形．A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定12．莉莉用三根小棒摆成一个三角形，两根小棒的长度分别是4厘米和7厘米，第三根小棒的长度不可能是（）。

A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米二、填空题13．一个三角形的两条边分别是6厘米和5厘米，第三条边比________厘米长，比________厘米短。

专题01 三角形的证明易错题之选择题(40题)八年级数学下册同步易错题精讲精练(北师大版)解析版

专题01 三角形的证明易错题之选择题（40题）Part1 与等腰三角形有关的易错题1．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．△EBC＝△BAC D．△EBC＝△ABE【答案】C【详解】解：△AB=AC，△△ABC=△ACB．△以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，△BE=BC，△△ACB=△BEC，△△BEC=△ABC=△ACB，△△BAC=△EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．2．（2020·广西河池市·八年级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】B【详解】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·山东德州市·八年级期末）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA△PD，有下列四个结论：①△PBC＝15°，②AD△BC，③PC△AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据周角的定义先求出△BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，△PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ，BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；△△DAB+△ABC=45°+60°+60°+15°=180°，△AD//BC ，②正确；△△ABC+△BCP=60°+15°+15°=90°，△PC△AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.4．（2020·杭州市八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是（）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】D【分析】根据OC=CD=DE ，可得△O=△ODC ，△DCE=△DEC ，根据三角形的外角性质可知△DCE=△O+△ODC=2△ODC 据三角形的外角性质即可求出△ODC 数，进而求出△CDE 的度数．【详解】△OC CD DE ==，△O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，△2DCE DEC x ∠=∠=，△180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，△75BDE ∠=︒，△180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.故答案为D.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．5．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则△B 的大小为( )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°【答案】B【分析】根据AB ＝AC 可得△B ＝△C ，CD ＝DA 可得△ADB ＝2△C ＝2△B ，BA ＝BD ，可得△BDA ＝△BAD ＝2△B ，在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出△B ．【详解】解：△AB ＝AC ，△△B ＝△C ，△CD ＝DA ，△△C ＝△DAC ，△BA ＝BD ，△△BDA ＝△BAD ＝2△C ＝2△B ，设△B ＝α，则△BDA ＝△BAD ＝2α，又△△B ＋△BAD ＋△BDA ＝180°，△α＋2α＋2α＝180°，△α＝36°，即△B ＝36°，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．6．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出△ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴△ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.7．（2020·安徽合肥市·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分△ABC，△A=36°，则△1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【答案】C【分析】根据△A=36°，AB=AC求出△ABC的度数，根据角平分线的定义求出△ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解：△△A=36°，AB=AC，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC，△△ABD=36°，△△1=△A+△ABD=72°，故选C．8．（2020·湖北黄石市·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，AD△BC，垂足为D，点E在线段AD上，△EBC=45°，则△ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出△ECB=45°，即可得出结论．【详解】△等边三角形ABC中，AD△BC，△BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，△点E在AD上，△BE=CE，△△EBC=△ECB，△△EBC=45°，△△ECB=45°，△△ABC是等边三角形，△△ACB=60°，△△ACE=△ACB-△ECB=15°，故选A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出△ECB是解本题的关键．9．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】D【详解】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．10．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，△DAE=△BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②△ABD+△ECB=45°；③BD△CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A【解析】分析：只要证明△DAB△△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；详解：△△DAE=△BAC=90°，△△DAB=△EAC△AD=AE ，AB=AC ，△△DAB△△EAC ，△BD=CE ，△ABD=△ECA ，故①正确，△△ABD+△ECB=△ECA+△ECB=△ACB=45°，故②正确，△△ECB+△EBC=△ABD+△ECB+△ABC=45°+45°=90°，△△CEB=90°，即CE△BD ，故③正确，△BE 2=BC 2-EC 2=2AB 2-（CD 2-DE 2）=2AB 2-CD 2+2AD 2=2（AD 2+AB 2）-CD 2．故④正确，故选A ．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．Part2 与直角三角形有关的易错题11．（2020·吉林长春市·八年级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )A B ． C ．6,7,8D ．2,3,4 【答案】B【详解】试题解析：A ．2+2≠2，故该选项错误；B ．12+2=2,故该选项正确；C ．62+72≠82，故该选项错误；D ．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.12．（2020·浙江八年级期末）下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =． A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．【详解】解：①A B C ∠+∠=∠，△2180A B C C ∠+∠+∠=∠=︒，△△C =90°，即△ABC 为直角三角形；②A B C ∠-∠=∠，△A B C =+∠∠∠，△2180A B C A ∠+∠+∠=∠=︒，△△A =90°，即△ABC 为直角三角形；③::2:5:3A B C ∠∠∠=， △5180253B ∠=︒⨯++=90︒，即△ABC 为直角三角形； ④23A B C ∠=∠=∠，△可以假设△A =6k ，△B =3k ，△C =2k ，△6k +3k +2k =180°，△k =18011⎛⎫︒ ⎪⎝⎭， △△A =108011⎛⎫︒⎪⎝⎭＞90°，即△ABC 是钝角三角形； ⑤1123A B C ∠=∠=∠，设△A =x ，△B =2x ，△C =3x ，则x +2x +3x =180°，解得x =30°，故△C =3x =90°，即△ABC 是直角三角形；⑥::3:4:5AB AC BC =，设AB =3x ，AC =4x ，BC =5x ，则（3x ）2+（4x ）2=（5x ）2，即△ABC 是直角三角形，故选：A ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．13．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）下列命题中，其逆命题成立的是有（）．①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．A．①③④B．①②③C．②④D．① ④【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立；④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．逆命题成立的有①④个；故选：D．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理．14．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A B C D【答案】A【解析】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：BC，1310AC AB=22222(5)+=，即222AB AC BC+=△△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则1122ABCS AB AC h BC=⋅=⋅，△AB AChBC⋅===.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.15．（2020·山东枣庄市·八年级期末）下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则△A＝90°；③在△ABC中，若△A：△B：△C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据勾股定理可得①中第三条边长为5根据勾股定理逆定理可得②中应该是△C=90°，根据三角形内角和定理计算出△C=90°，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确．【详解】①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为5，说法错误，第三条边长为5②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若2BC+2AC=2AB，则△A=90°，说法错误，应该是△C=90°．③△ABC中，若△A：△B：△C=1：5：6，此时△C=90°，则这个三角形是一个直角三角形，说法正确．④若三角形的三边比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，说法正确．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB△BC，这块草坪的面积是（）A．24米2B．36米2C．48米2D．72米2【答案】B【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以△ACD=90°．这块草坪的面积=S Rt△ABC+S Rt△ACD=12AB•BC+12AC•DC=12（3×4+5×12）=36米2．故选B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．17．（2020·广东深圳市八年级期末）已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（）A．2.4B．4.8C．9.6D．10【答案】B【分析】先根据勾股定理的逆定理判定它是直角三角形，再利用直角三角形的面积作为相等关系求斜边上的高．【详解】解：△62+82=102，△这个三角形是直角三角形，△边长为10的边上的高为6×8÷10=4.8．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．18．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且△B=36°，△C=76°，则△DAE的度数为()A．40°B．20°C．18°D．38°【答案】B【解析】△△ABC中已知△B=36°，△C=76，△△BAC=68°．△△BAD=△DAC=34，△△ADC=△B+△BAD=70°，△△DAE=20°．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.19．（2020·上海市奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①△DCB=△A；②△DCB=△ACE；③△ACD=△BCE；④△BCE=△BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据垂直的定义得到△CDB=90°，根据余角的性质得到△DCB=△A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到△A=△ACE，于是得到△DCB=△ACE，故②正确；同理得到△ACD=△BCE，故③正确；由于BC 不一定等于BE，于是得到△BCE不一定等于△BEC，故④错误．【详解】△CD△AB，△△BDC=90°，△△DCB+B=90°，△△A+△B=90，△△DCB=△A，△①正确；△CE是RtABC斜边AB上的中线，△EA=EC=EB，△△ACE=△A，△△DCB=△A，△△DCB=△ACE，△②正确；△EC=EB，△△B=△BCE，△△A+△B=90，△A+△ACD=90，△△B= △ACD，△△ACD= △BCE，△③正确；△BC与BE不一定相等，△△BCE 与△BEC 不一定相等，△④不正确；△正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．（2020·北京昌平区·八年级期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】根据三角形的外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．【详解】解：由题意得：5=30===∠︒∠∠∠︒，43245，1=4+5=+30=75∴∠∠∠︒︒︒45；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形的外角及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．Part3 与线段的垂直平分线有关的易错题21．（2020·湖南娄底市·八年级期末）如图，已知BD 是ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．【答案】D【分析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及△A=90°可求得△C=△DBC=△ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】△ED 是BC 的垂直平分线，△DB=DC ，△△C=△DBC ，△BD 是△ABC 的角平分线，△△ABD=△DBC ，△△A=90°，△△C+△ABD+△DBC=90°，△△C=△DBC=△ABD=30°，△BD=2AD=6，△CD=6，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.22．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（）A ．8B ．10C ．11D ．13【答案】A【分析】利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB ，然后利用等线段代换得到△BDC 的周长=AC+BC ．【详解】由作法得MN 垂直平分AB ，△DA=DB ，△△BDC 的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故选A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．23．（2020·四川达州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC ＝BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选B．考点：作图—复杂作图24．（2020·甘肃定西市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC 于点D、E，则△BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°【答案】D【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质△B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，△BAE=△B．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△B=△C=（180°﹣100°）÷2=40°，△DE是AB的垂直平分线，△AE=BE，△△BAE=△B=40°，故选D．25．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质定理即可得到结论．【详解】△AC=AD，△点A在线段CD的垂直平分线上，△BC=BD，△点B在线段CD的垂直平分线上，△AB垂直平分CD，△AB△CD，故选A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．26．（2020·辽宁沈阳市期末）如图，△ABC中，BD平分△ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若△A=60°，△ABD=24°，则△ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°【答案】A【解析】试题分析：△BD平分△ABC，△△DBC=△ABD=24°，△△A=60°，△△ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，△BC的中垂线交BC于点E，△BF=CF，△△FCB=24°，△△ACF=72°﹣24°=48°，故选A．考点：线段垂直平分线的性质．27．（2020·山东聊城市·八年级期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选择：D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 28．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝120°，BC ＝6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【分析】连接AM 、AN 过A 作AD BC ⊥于D ，先求出AB 、AC 值，再求出BE 、CF 值，求出BM 、CN 值，代入--＝MN BC BM CN 求出即可．【详解】连接AM 、AN ，过A 作AD BC ⊥于D△在ABC ∆中，AB AC ＝，120∠︒＝A ，6cm BC ＝△30∠∠︒＝＝B C ，3cm ＝＝BD CD△在Rt ABD ∆中，2AB AD =△在Rt ABD ∆中，AB△AD =，AB AC =△AB 的垂直平分线EM△12==BE AB同理CF△30∠∠︒＝＝B C△2BM ME =△在BME ∆中，BM =△2cm BM =同理2cm ＝CN△2cm --=＝MN BC BM CN故选：C ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、含30直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．29．（2020·福建泉州市八年级期末）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：△ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，△B BCD ∠=∠，△DB DC =，△点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.30．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高所在直线的交点【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论．【详解】解：为使游戏公平，凳子应到点A 、B 、C 的距离相等根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的三边中垂线的交点故选C ．【点睛】此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键． Part4 与角平分线有关的易错题31．（2020·石家庄市八年级期末）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．30C ．36D ．42【答案】B【分析】过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图，过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，△BD 平分△ABC ，△BCD=90°，△DE=CD=4，△四边形ABCD 的面积1122ABD BCD SS AB DE BC CD ∆=+=⋅+⋅1164943022=⨯⨯+⨯⨯= 故选B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．32．（2020·河南南阳市·八年级期末）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D【解析】解：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ；以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ；再有公共边OP ，根据“SSS”即得△OCP△△ODP ．故选D ．33．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分△ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】C【详解】试题分析：如图，过点E 作EF△BC 交BC 于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE 的面积等于1152522BC EF ⨯⨯=⨯⨯=,故答案选C ．考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．34．（2020·石家庄市八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是△BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】A【分析】过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分△AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，△两把完全相同的长方形直尺，△CE=CF，△OP平分△AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 35．（2020·湖南株洲市·八年级期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三边的中垂线的交点 C ．△ABC 三条角平分线的交点D ．△ABC 三条高所在直线的交点.【答案】C【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC 三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：△凉亭到草坪三条边的距离相等，△凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．36．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG AB ⊥，则CG 平分ACB ∠，利用A B ∠=∠和三角形内角和计算出ACB ∠，从而得到BCG ∠的度数.【详解】由作法得CG AB ⊥，△AB AC =，△CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，△1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， △1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.37．（2020·广西北海市·八年级期末）如图所示，在△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC ，进而得出答案．【详解】解：△△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，△EC=DE ，△AE+DE=AE+EC=3cm ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE 是解题关键．38．（2020·广东佛山市·八年级期末）如图，OP 平分△MON ，PA△ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ△OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，△OP平分△MON，PA△ON，PQ△OM，△PA=PQ=2，故选B．39．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图,OC是△AOB的平分线,P是OC上一点,PD△OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A．6B．5C．4D．3【答案】A【详解】试题分析：如图，过点P作PE△OB于点E，△OC是△AOB的平分线，PD△OA于D，△PE=PD，△PD=6，△PE=6，即点P 到OB的距离是6．故选A．考点：角平分线的性质40．（2020·江西赣州市·八年级期末）在Rt △ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（）A ．3B ．32 C ．2 D ．6【答案】A【分析】证明△ABD△△AED 即可得出DE 的长．【详解】△DE△AC ，△△AED=△B=90°，△AD 平分△BAC ，△△BAD=△EAD ，又△AD=AD ，△△ABD△△AED ，△DE=BE=3，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．。

八年级数学等腰直角三角形易错题总结(含答案)

八年级数学等腰直角三角形易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE =12BD⋅CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2.正确的结论个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+ CD2，得到⑤正确；再求出AE//CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE.∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，故①正确．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，∴∠BGC=180°−(∠BCG+∠CBG)=180°−90°=90°，∴BD⊥CE，，故④正确．∵在Rt△BCG中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，由勾股定理，得DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2．又∵在Rt△BGE中，由勾股定理，得BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确．②③无法证明．综上所述，正确的结论有3个．故选C．OB，D、E分别是直2.如图，直线y=x+6与两坐标轴分别交于A,B两点，OC=13线AB,y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是()．A. B. 4√10 C. 2√7 D. 2√10【答案】A【解析】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，OB，∵直线y=x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，OC=13∴B(−6,0)，C(−2,0)，∴BO=6，OG=OC=2，BG=8，易得∠ABC=45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF=BC=4，由轴对称的性质，可得DF=DC，EC=EG，当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长=CD+DE+CE=DF+DE+EG=FG，此时△CDE周长最小，∵Rt△BFG中，FG=√BF2+BG2=√42+82=4√5，∴△CDE周长的最小值是4√5．故选A．作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF=DC，EC=EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长=CD+ DE+CE=DF+DE+EG=FG，此时△DEC周长最小，依据勾股定理即可得到FG的长，进而得到△CDE周长的最小值．本题考查轴对称−最短路线问题，解题的关键是利用对称性在找到△CDE周长的最小时点D、点E位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）3.如图，点A的坐标为(4,0)，点B从原点出发，沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连结EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，经过t秒时，点E的坐标是____(用含t的代数式表示)，PB的长是____．【答案】(t,−t−4)，2【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，即可得到E点坐标，求出∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，证△BFP≌△NEP，推出BP=NP，即可得出答案．【解答】解：如图，作EN⊥y轴于N，∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∴∠NBE=∠BAO，在△ABO和△BEN中，∴△ABO≌△BEN(AAS)，∴OB=NE=BF，OA=BN，∴ON=OB+BN=OB+OA=t+4，∴点E的坐标是(t,−t−4)；∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，在△BFP和△NEP中，∵{∠FPB=∠EPN ∠FBP=∠ENP BF=NE，∴△BFP≌△NEP(AAS)，∴BP=NP，又因为点A的坐标为(4,0)，∴OA=BN=4，∴BP=NP=2．故答案是：(t,−t−4)；2．4.在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角尺放在坐标平面内，直角边AC斜靠在两坐标轴上.若点A(0,2)，C(−1,0)，则点B的坐标是________．【答案】(−2,3)或(2,1)或(−3,1)或(1,−1)【解析】【分析】本题考查的是等腰直角三角形，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据等腰直角三角形的定义画出图形即可，注意不要漏解．【解答】解：如图，观察图形可知，满足条件的点B的坐标为(−2,3)或(2,1)或(−3,1)或(1,−1)．故答案为(−2,3)或(2,1)或(−3,1)或(1,−1)．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）5.如图，点O为线段AD上一点，CO⊥AD于点O，OA=OB，OC=OD，点M、N分别是AC、BD的中点，连接OM、ON、MN．(1)求证：AC=BD；(2)试判断的形状，并说明理由；(3)若AC=2，在图2中，点M在DB的延长线上，求△AMD的面积．【答案】(1)证明：∵CO⊥AD，∴∠AOC=∠BOD=90°，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD=90°OC=OD,∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．(2)解：△MON是等腰直角三角形，理由如下：由(1)得：△AOC≌△BOD，则∠A=∠OBD，在Rt△AOC中，∵M是AC的中点，AC，∴OM=12BD，同理可得ON=12因为AC=BD，∴OM=ON，∵∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，∠A=∠OBD，∴∠NOB=∠MOA，又∵∠AOC=90°，∴∠MON=90°，∵∠MON=90°，OM=ON，∴△MON是等腰直角三角形．(3)解：由(1)得：AC=BD，由(2)得：△MON是等腰直角三角形，∵点M，N分别是AC，BD的中点，且AC=2，∴AM=ND=BN=1，∵在Rt△AOC中，点M是AC的中点，AC=BD，∴OM=AM=1，∴ON=1，在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，1+1=MN2，∴MN=√2，∴MD=√2+1，∵△AOC≌△BOD，∴∠C=∠D，又∵∠A+∠C=90°，∴∠A+∠D=90°，∴∠AMD=90°，∴△AMD是直角三角形，∴△AMD面积为：12×1×(√2+1)=√2+12．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积，勾股定理，属于较难题．(1)欲证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD即可；(2)结论：△MON是等腰直角三角形．只要证明OM=ON，∠MON=90°即可；(3)可得∠A+∠D=90°，得出△AMD是直角三角形，由此可得解．6.如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE．(1)求：∠AEB的度数(2)猜想：AE，BE，CM之间的关系，并证明．【答案】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=135°，在△ADC和△BEC中，{CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ADC≌△BEC(SAS)；∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=135°−45°=90°；(2)AE=BE+2CM．证明：∵△ADC≌△BEC，∴BE=AD，∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴DE=2CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】略7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D在BC边上，P，Q是射线AD上两点，且CP=CQ，∠PCQ=90°．(1)求证：△APC≌△BQC．(2)若CP=1，BP=√10．求：①AP的长；②△ABC的面积．【答案】解：(1)∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ，∵CB=CA，CP=CQ，∴△APC≌△BQC(SAS)．(2)①∵CP=CQ，∠PCQ=90°，∴∠QPC=∠CQP=45°，由(1)得：∠BQC=∠APC=135°，∴∠BQP=90°，∵CP=1，∴PQ=√2，∵BP=√10，∴BQ2=BP2−PQ2=8，即BQ=2√2，∴AP=BQ=2√2．②如图，过B作BH⊥CQ，垂足为H，∴∠BQH=45°，∵BQ=2√2，∴HQ=BH=2，∴CH=3，∴BC2=BH2+CH2=4+9=13，∴S△ACB=12BC2=132．【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的综合运用，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．(1)根据∠ACP=∠BCQ，CB=CA，CP=CQ，即可得到△APC≌△BQC(SAS)．(2)①求出PQ=√2，依据勾股定理可得BQ2=BP2−PQ2=8，即BQ=2√2，再根据全等三角形的对应边相等，即可得到AP=BQ=2√2．②过B作BH⊥CQ，垂足为H，依据勾股定理即可得到BC2=BH2+CH2=4+9=13，进而得出等腰Rt△ABC的面积．8.如图，已知：ΔABC中，∠ABC=∠ACB=45∘．(1)如图1，D是△ABC内一点，B、D、E在同一直线上，∠ADE=∠AED=45°，探究CE和BD的关系(数量关系与位置关系)．(2)如图2，D是ΔABC外一点，且AD=5，CD=3，∠ADC=45∘，求BD的长．【答案】解：(1)结论：BD=CE，BD⊥CE，理由：∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，∴∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE, ∴△BAD≌△CAE ，∴BD =CE ，∠ADB =∠AEC =135°，∵∠AED =45°，∴∠BEC =90°，即BD ⊥CE ，(2)如图：以AD 为直角边在AD 的上方作等腰直角三角形ADE ，连接CE ，∵∠ADE =45°，∠DAE =90°，AD =5，∴DE =√2AD =5√2，∵∠ADC =45°，∴∠CDE =∠ADC +∠ADE =90°，∵CD =3，∴CE =√CD 2+DE 2=√32+(5√2)2=√59，∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE, ∴△BAD≌△CAE ，∴BD =CE =√59．【解析】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．(1)先根据全等三角形的判定定理证明△BAD≌△CAE ，再根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)以AD为直角边在AD的上方作等腰直角三角形ADE，连接CE，则∠ADE=45°，∠DAE=90°，AD=5，进而得出DE=√2AD=5√2，由∠ADC=45°，可得∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°，根据勾股定理可得CE的长，然后证明△BAD≌△CAE，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．9.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD=DE.点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．(1)求证：△DCE为等腰三角形；(2)若∠CDE=22.5°，DC=√2，求GH的长；(3)探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，∵BD=DE，∴∠DBC=∠E=12∠ACB，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=12∠ACB=∠E，∴CD=CE，∴△DCE是等腰三角形(2)∵∠CDE=22.5°，CD=CE=√2，∴∠DCH=45°，且DH⊥BC，∴∠HDC=∠DCH=45°∴DH=CH，∵DH2+CH2=DC2=2，∴DH=CH=1，∵∠ABC=∠DCH=45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC中点∴AG⊥BC，AG=GC=BG，∵BD=DE，DH⊥BC∴BH=HE=√2+1∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH=√2+1∴1+2GH=√2+1∴GH=√2 2(3)CE=2GH理由如下：∵AB=CA，点G是BC的中点，∴BG=GC，∵BD=DE，DH⊥BC，∴BH=HE，∵GH=GC−HC=GC−(HE−CE)=12BC−12BE+CE=12CE，∴CE=2GH【解析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)根据题意可得∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，由BD=DE，可得∠DBC=∠E=12∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE=12∠ACB=∠E，可证△DCE为等腰三角形；(2)根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=√2+1，即可求GH的值；(3)CE=2GH，根据等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE，可得GH=GC−HC=GC−(HE−CE)=12BC−12BE+CE=12CE，即CE=2GH．10.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90º，探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC=√2．①若P为AB中点，则线段PB=；②猜想：连结BQ，则BQ与AB的位置关系为；PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论是否仍然成立，请你利用图②给出证明过程．【答案】解：(1)1；AB⊥BQ；PA2+PB2=PQ2；(2)结论仍然成立，理由如下：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D.连接BQ，∵▵ABC和▵PCQ均为等腰直角三角形，∴AC=BC,PC=CQ,∠ACB=∠PCQ=90∘.∴∠ACP=∠BCQ,∴▵APC≌▵BQC(SAS).∴BQ=AP,∠CBQ=∠CAB=45∘,∴∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90∘，即AB⊥BQ，∴▵PBQ为直角三角形．∴PB2+BQ2=PQ2,∴PA2+PB2=PQ2.【解析】略x+ 11.如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2的解析式为y=−12 3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．(1)求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；(2)若直线l2上存在点P(不与B重合)，满足S△COP=S△COB，请求出点P的坐标；(3)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则【答案】解：(1)直线l2的解析式为y=−12点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,3)，联立式y =x ，y =−12x +3并解得：x =2，故点C(2,2)；△COB 的面积=12×OB ×x C =12×3×2=3；(2)设点P(m,−12m +3)，S △COP =S △COB ，则BC =PC ，则(m −2)2+(−12m +3)2=22+12=5，解得：m =4或0(舍去0)，故点P(4,1)；(3)设点M 、N 、Q 的坐标分别为(m,m)、(m,3−12m)、(0,n)，①当∠MQN =90°时，∵∠GNQ +∠GQN =90°，∠GQN +∠HQM =90°，∴∠MQH =∠GNQ ， ∠NGQ =∠QHM =90°，QM =QN ，∴△NGQ≌△QHM(AAS)，∴GN =QH ，GQ =HM ，即：m =3−12m −n ，n −m =m ，解得：m =67，n =127；②当∠QNM =90°时，则MN =QN ，即：3−12m −m =m ，解得：m =65，n =y N =3−12×65=125；③当∠NMQ =90°时，同理可得：n =65；综上，点Q 的坐标为(0,127)或(0,125)或(0,65).【解析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．(1)点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,3)，联立式y=x，y=−12x+3得：点C(2,2)；△COB的面积=12×OB×x C，即可求解；(2)设点P(m,−12m+3)，S△COP=S△COB，则BC=PC，则(m−2)2+(−12m+3)2=22+12=5，即可求解；(3)分∠MQN=90°、∠QNM=90°、∠NMQ=90°三种情况，分别求解即可．。

(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及答案解析(1)

（易错题精选）初中数学三角形基础测试题及答案解析(1)一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10， ∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ，∴AB AC DE DB＝， ∴5355DB＝， ∴DB=35在Rt △ABD 中，2225BD AB -，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（）A．30 B．36 C．45 D．72【答案】B【解析】【分析】由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB，∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x．∵DF=DB，∴∠B=∠F=x，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．4．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（）A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键．5．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8．【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，∵∠BED+∠DEA=180°，∴∠BED=90°．又∵∠B=30°，∴BD=2DE．∴BC=3ED=24．∴DE=8．故答案为8．【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键．6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A．115°B．120°C．145°D．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．7．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D．若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S V V D ．CD=12BD 【答案】C【解析】【分析】 A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选：C ．【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.9．长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．9 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x 的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x ＜7+2，即5＜x ＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x ＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x ＜9，只有6符合不等式，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.10．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．36°D．72°【答案】A【解析】∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，∴∠A=36°.故选A.12．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= 22BD OD13+=故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.13．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab=，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a ﹣b ）2＝25﹣16＝9，∴a ﹣b ＝3（舍负），故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE ＝22EH ＝22EF ，EF ＝22AE ，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∵四边形EFGH 为正方形，∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，∴AF ＝EF ＝22AE ，同理可得：DH ＝DE ＝22EH 又∵EH ＝EF ， ∴DE ＝22EF ＝22×22AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，∴DE ＝2，AE ＝4，∴EH ＝2DE ＝22，∴EFGH 的面积为EH 2＝（22）2＝8，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．15．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确故选：D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.16．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF=600，那么∠DAE 等于（）A ．45°B ．30 °C ．15°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．【详解】解：∵ABCD 是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD 沿AE 折叠，∴△ADE ≌△AFE ，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C ．【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．17．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1，则菱形ABCD 的周长等于（）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB 又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：5故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.18．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，则等腰三角形顶角的度数是（）A ．140oB ．20o 或80oC ．44o 或80oD ．140o 或44o 或80o【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x ，表示出一个角是2x-20°，然后分①x 是顶角，2x-20°是底角，②x 是底角，2x-20°是顶角，③x 与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x ，表示出一个角是2x-20°，①x 是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，∴顶角是44°；②x 是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，∴顶角是2×50°-20°=80°；③x 与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．19．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．【详解】设网格的小正方形的边长是1，由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，ABC ∆的三边分别是：AB=10，AC=5 ，BC=5；由于()()()2225510+=，根据勾股定理的逆定理得：ABC ∆是直角三角形； '''A B C ∆的三边分别是：''A B =10， ''B C =5 ，''AC =13；由于()()()22210513+?，根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ∆不是直角三角形；A B C ''''''∆的三边分别是：A B ''''=18，B C ''''=8 ，A C ''''=26；由于()()()22218826+=，根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''∆是直角三角形；因此有两个直角等三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．20．如图，在ABC ∆中，33B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（）A ．33︒B ．56︒C ．65︒D ．66︒【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，∴∠1-∠2=66°．故选：D．【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

14.5等腰三角形的性质易错题2

一、选择题（共29小题）1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或120°D、60°或30°2、等腰三角形的腰长等于2m，面积等于1m2，则它的顶角等于（）A、150°B、30°C、150°或30°D、60°3、等腰三角形的周长为19cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边边长为（）A、9cmB、5cmC、9cm或5cmD、10cm4、等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A、16cmB、4cmC、20cmD、16cm或4cm5、下列说法中正确的是（）A、等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍B、在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C、等边对等角D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形6、等腰三角形的对称轴有（）A、一条B、二条C、三条D、一条或三条7、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为（）A、6B、8C、10D、6或88、等腰三角形有两条边长为3和5，则它的周长可以是（）A、12B、11C、10D、11或139、若等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为（）A、2B、3C、4D、3或410、一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A、9B、6C、7D、311、一个等腰三角形的周长是16，其中一边长是6，另两边长分别是（）A、6和10B、6和4C、5和5D、5和5或4和612、等腰三角形ABC，其中AB=8cm，周长为20cm，则这个等腰三角形的腰长是（）A、8cmB、4cmC、6cmD、6cm或8cm13、已知等腰三角形的两边长分别为8与16，则其周长为（）A、32B、40C、32或40D、8或1614、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A是（）A、30°B、45°C、60°D、20°15、等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A、4cm或10cmB、4cm或7cmC、4cmD、7cm16、等腰三角形中一个角是40°，则另外两个角的度数分别是（）A、70°，70°B、40°，100°C、40°，40°D、70°，70°或40°，100°17、有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个18、如图，一钢架中，∠A=15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1=P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A、4B、5C、6D、719、在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）A、2B、3C、4D、520、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A、9B、12C、15D、12或1521、在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A、7B、7或11C、11D、7或1022、在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A、70B、55°C、70°或55°D、60°23、等腰三角形的一个内角是68°，则顶角是（）A、68°B、44°C、68°或44°D、68°或112°24、已知等腰三角形中的一条边长为3cm，另一条边长为5cm，则它的周长为（）A、11cmB、12cmC、13cmD、11cm或13cm25、等腰三角形的边长为2和5，则这个等腰三角形的周长为（）A、9B、10C、12D、9或1226、如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）A、7.5°B、10°C、15°D、18°27、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的底角为（）A、55°B、70°C、55°或40°D、70°或55°28、等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是（）A、17B、21C、22D、17或2229、若等腰三角形有两个内角的差为30°，则这个三角形的各内角分别是（）A、50°，50°，80°B、40°，70°，70°C、50°，50°，80°或40°，70°，70°D、无法确定二、填空题（共1小题）30、（2009•广安）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为_________cm．答案与评分标准一、选择题（共29小题）1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或120°D、60°或30°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。

三角形易错题

三角形易错题在数学的学习中，三角形这一章节看似简单，实则隐藏着不少容易出错的地方。

今天，咱们就来好好梳理一下这些三角形的易错题，帮助大家提高解题的准确性。

先来说说三角形的内角和问题。

三角形的内角和是 180°，这是个基本的知识点，但在实际解题中，却很容易出现疏忽。

比如，给出一个三角形的两个内角分别是 50°和 60°，让求第三个内角的度数。

有些同学可能会粗心地直接用 180 减去 50 再减去 60，得出 70°，却没注意计算过程中的错误，导致答案出错。

再看看三角形的外角问题。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

这也是个常考且易错的点。

例如，一个三角形的一个内角是 70°，它相邻的外角是 110°，求另外两个内角的和。

有些同学可能会想当然地认为另外两个内角的和就是 110°，但却忽略了要根据外角性质来进行准确计算。

还有三角形的三边关系。

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这看似简单的规则，在实际运用中却容易让人迷糊。

比如，给出三条线段的长度分别是 3、5、7，判断能否组成三角形。

有的同学可能只计算了 3 ＋ 5 ＞ 7，就认为可以组成三角形，而忽略了还要判断 3 ＋ 7 ＞ 5 和 5 ＋ 7 ＞ 3 以及两边之差的情况。

在等腰三角形的相关题目中，也常常有“陷阱”。

如果一个等腰三角形的两边分别是 3 和 7，求它的周长。

这时候，很多同学会不假思索地认为有两种情况，即腰长为 3 或者腰长为 7。

但实际上，根据三角形三边关系，腰长只能是 7，否则 3、3、7 无法构成三角形。

不少同学因为没有考虑周全而丢分。

在直角三角形中，勾股定理是重点，但也容易出错。

已知直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，求斜边的长度。

有些同学可能会误把 3 ＋ 4 当作斜边长度，而没有正确运用勾股定理 a²＋ b²＝ c²来计算。

四年级数学三角形常考易错题

1、一个等腰三角形，周长是42厘米，其中一条腰长16厘米，底边长多少厘米？解：42-16×2=42-32=10（厘米）答：这个三角形的底边长是10厘米．2、一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长．解：①底边长为6cm，则腰长为：（20-6）÷2=7，所以另两边的长为7cm，7cm，能构成三角形；②腰长为6cm，则底边长为：20-6×2=8，底边长为8cm，另一个腰长为6cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、6cm或7cm、7cm．3、有一个三角形，已知它的两条边分别长8cm，15cm，第三条边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整数厘米）解：15-8＜第三边＜15+8，7＜第三边＜23那么第三边的长度可能是7～23厘米（不包括7厘米和23厘米）所以这个三角形的第三条边最短是8厘米，最长是22厘米；4、一个等腰三角形的顶角是36度，每个底角是多少度？解：（180-36）÷2=144÷2=72（度）．答：每个底角是72度．5、用一根长30厘米的细铁丝围成三角形。

（1）如果围成一个等边三角形铁框，它的一条边长是多少厘米？30÷3＝10（厘米）答：它的一条边长是10厘米。

（2）如果围成一个底边长为8厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰长是多少厘米？（30－8）÷2＝11（厘米）答：它的一条腰长是11厘米。

（3）能围成一个两条边长分别是16厘米和9厘米的三角形铁框吗？30－16－9＝5（厘米）5＋9＝14（厘米）14＜16所以不能。

6、用一根长12 cm的铁丝围成一个三角形。

如果其中一条边的长度是5 cm，那么另外两条边的长度和是多少厘米？另外两条边分别是多少厘米时，才能围成一个三角形？(每条边取整厘米数)12-5=7(cm)另外两条边分别是2 cm、5 cm或3 cm、4 cm时才能围成一个三角形。

7、一根铁丝可以围成一个边长为9厘米的正方形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？解：4×9÷3=12（厘米）答：等边三角形的边长是12厘米．8、李强想做一个等腰三角形形状的风筝．已知两条边长分别是55厘米、27厘米，第三条边长是多少厘米？解：因为27+27＜5527+55＞55所以等腰三角形的腰的长度是55厘米，底边长27厘米，所以它的第三条边长是55厘米，9、已知在一个直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，求这两个锐角分别是多少度？解：90°÷（1+4）=90°÷5=18°18°×4=72°答：这两个锐角分别是 18度和 72度．。