向量法求二面角的另一通法

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求二面角的六种方法

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。

本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。

它利用向量的夹角来表示二面角。

首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。

通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。

二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。

它利用坐标系中的点来表示二面角。

我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。

三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。

它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。

通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。

四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。

五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。

它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。

六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。

它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。

例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。

通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。

不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。

总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。

每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。

二面角法向量求法

空间角的大小与两条直线的方向有关，与直线的长度无关。
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的方向有关，与半平面的大小无关。
在求解二面角的大小时，通常需要先找到两个半平面的法向量，然后计算两个法向量之间的夹角即可得到二面角的大小。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之间，当两个半平面重合时，二面角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量已知，则该向量即为平面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共线的向量a和b，则平面的法向量n可以通过计算向量a和b的向量积得到，即n=a×b。

求二面角的六种方法

求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。

求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。

对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。

二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。

具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。

平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。

2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。

2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。

具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。

3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。

3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。

3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。

四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。

具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。

空间向量应用-二面角

04
二面角的应用
在几何学中的应用
向量投影
在求解向量的投影时，可以利用二面角的概念，通过计算向量在某一平面上的投影长度，来得到该向量与该平面的夹角。
向量夹角
二面角的概念可以用于计算两个向量的夹角，通过比较两个向量的夹角与二面角的夹角，可以判断两个向量的方向关系。
在物理学中的应用
力的合成与分解
建筑设计
在建筑设计中，利用二面角的概念可以确定建筑物的位置、方向和高度等信息，以保证建筑物的安全和稳定性。
05
空间向量与二面角的关系
向量与二面角的关联
向量是既有大小又有方向的量，其大小和方向可以用来表示二面角的大小和方向。
二面角的大小和方向可以通过两个向量的夹角来描述，这个夹角就是二面角的平面角。
二面角的向量定义
总结词
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来定义的，它是一个标量值，其大小等于两个向量的叉积的绝对值再除以两向量的模的乘积。
详细描述
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来描述的。设两非零向量a和b分别属于两个半平面，那么二面角θ的大小可以用公式 ∣a×b∣/∣a∣∣b∣表示，其中a×b表示向量a和b 的叉积，∣a∣和∣b∣分别表示向量a和b的模。这个标量值的大小就等于二面角θ的大小。
二面角的性质
总结词
二面角具有一些重要的性质，如二面角的取值范围是[0,π]，二面角的大小与观察方向有关，以及二面角的补角等于其平面角的补角等。
详细描述
首先，二面角的取值范围是[0,π]，这是由其几何定义直接得出的。其次，二面角的大小与观察方向有关，即观察方向的不同可能导致二面角的大小发生变化。最后，二面角的补角等于其平面角的补角，这是由向量的性质得出的。

高中数学求二面角技巧

高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。

二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。

以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。

假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。

设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。

2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。

设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。

3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。

设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。

以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。

“棱法向量法”求二面角——有棱二面角的“另类”向量解

是建立恰当的空间直角坐标系．基本原则是尽可能让更多的点落在坐标轴或坐标平面上，这是基础优
化．其次，还应认识到，坐标法并不是程序化的表达，
其中也憾含无限的选择机智．选用向量的有向线段端点应关注以下先后顺序，即：原点－坐标轴上点一坐标平面上点＿÷无特征点．在解决容易题时，由于其运算量较小，不需充分体现优化，因而这一细节往往被忽视．在处理综合问题时，若忽略此细节，不仅运算繁琐，而且会使得问题向复杂方向转化．更多
＝２．作ＤＭ上ＡｌＣ，ＥⅣ上ＡｌＣ，垂足分别为Ｍ、Ⅳ，则
上半月：４８—４９．
参考文献
［１］史嘉．综合向量法求二面角［Ｊ］，数学通讯，２０１３（１—２）
理性对待“简单＂的巧解
——读两则争议的期刊文章引发的思考
江苏省仪征中学（２１１９００）花奎李锋
高考结束，闲来无事．翻出书柜内里已落了灰
尘的《数学通报》、《中学数学》等数学杂志，静心潜
ＩＢ乙ｌ
２
由条件ＤＣ。上ＢＤ可知，向量Ｃ，Ｄ即为棱肋在半平
面Ｃ，曰Ｄ内的法向量．作Ａ，Ｍ上ＢＤ交ＢＤ的延长线
于点Ｍ，则向量Ａ，Ｍ即为棱ＢＤ在半平面Ａ，ＢＤ内的
法向量，所以ｐ＝＜Ｃ。Ｄ，Ａ。肘＞．因为ＡＣ＝ＢＣ＝
ＢＣ，所以（ＤＢ＋弘ＢＣ）・ＢＣ＝０，即Ｄ曰・占Ｃ＋
万方数据
・４２・
中学数学研究
２０１４年第１０期
一Ａｃ）．易求ＰＢｌ＝ＰＤｌ＋ＤｌＢｌ＝（１一Ａ，２—２Ａ，Ａｃ），ＰＣＩ＝ＰＤｌ＋ＤｌＣｌ＝（一Ａ，２—２Ａ，Ａｃ）．由ＰＢｌ
中这样一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在
真正的数学研究中起着本质作用．”空间向量应用

求解二面角的六种常规方法

求解二面角的六种常规方法作者：李淑芸来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助.1.定义法是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法.【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a,BD=2a,求二面角A—BD—C的大小.图1解:取BD的中点为O,分别连接AO、CO,∵AB=AD,BC=CD.∴AO⊥BD,CO⊥BD.∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.∵AB=AD=a,BD=2a,∴AO=22a.∵BC=CD=a,BD=2a,∴OC=22a.在△AOC中,OC=22a,OA=22a,AC=a,OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,即二面角A—BD—C为直二面角.2三垂线法是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法.【例2】如图2,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C,线段CDα,CD=100,∠BCD=30°,点D 到平面β的距离为253,求二面角α-AB-β的度数.图2解:过D作DE⊥β于E,DF⊥AB于F,连接EF.∵DF⊥AB,EF是DF在β内的射影,∴AB⊥EF(三垂线定理).∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.在Rt△DEF中,DF=12CD=50,DE=253,∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.3.垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角,则截面与二面角的两个面必有两条交线,这两条交线构成的角即为二面角的平面角,继而再求出其平面角的一种方法.【例3】如图3,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E-BD-C的大小.图3解:∵BS=BC,SE=EC,∴SC⊥BE,又∵SC⊥DE,∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA,∴BD⊥面SAC.∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=a,则SB=BC=2a.∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC.∴BC⊥SB.∴SC=2a,∠SCD=30°.∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.4.面积射影法所谓面积射影法,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系,利用cosθ=S射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,K∈BB1,M∈CC1,且BK=14BB1,CM=34CC1,求平面AKM与ABCD所成角的大小.图4解:连结AC,则由题意可知,△ABC是△AKM在平面AC上的射影.设平面AKM与ABCD所成角为θ,则cosθ=S射S=S△ABCS△AKM.令正方体的棱长为4,∴S△ABC=12AB•A C=12×4×4=8.在△AKM中,AK=12+42=17,AM=42+42+32=41,KM=42+22=20.由海伦公式可知S△AKM=221,∴cosθ=421,θ=arccos421.5.法向量法法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系,求出二面角的一种方法.【例5】如图5,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=ɑ,求平面PAB 和平面PCD所成的二面角的大小.图5解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示),则P(0,0,a),D(0,a,0),C(a,a,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n•PD=0,n•CD=0.即(x,y,z)•(0,a,-a)=0,(x,y,z)•(-a,0,0)=0.∴y=-z,x=0.即n=(0,1,-1).又AD成为平面PAB的法向量,而cos〈AD,n〉=(0,a,0)•(0,1,-1)a•2=22,∴AD与n所成的角为45°.因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.6.垂线法是指先利用待定系数法确定垂足,再利用公式求出二面角的大小.【例6】如图6,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC,已知PD=2,CD=2,AE=12,求(1)异面直线PD与EC的距离;(2)二面角E-PC-D的大小.图6解:(1)略.(2)以D为原点,DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.作DG⊥PC,可设G(0,y,z).由DG•PC=0得(0,y,z)•(0,2,-2)=0,即z=2y.故可取DG=(0,1,2).作EF⊥PC于F,设F(0,m,n),则EF=(-32,m-12,n).由EF•PC=0,得(-32,m-12,n)•(0,2,-2)=0,即2m-1-2n=0.又由F在PC上得n=-22m+2,故m=1,n=22,EF=(-32,12,22).因EF⊥PC,DG⊥PC,故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22,∴θ=π4.故二面角E-PC-D的大小为π4.(责任编辑金铃)。

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法红岩求二面角大小问题是高考重点考察内容，法向量法是求二面角大小的一种主要方法。

我们知道：二面角大小与其两个平面的法向量夹角相等或互补。

但到底是相等还是互补，教学中很多师生采用直观判断；参考资料涉及此问题也回避不谈，文【1】（数学通讯2013教师版2）给出了一种很好的判定方法，本文给出另一种更为简单的判定方法。

一．判定方法引理：设点A 、B 分别是平面α内、外的点,→n 是平面α的法向量,当→→∙n AB >0 则→n 的方向向上。

(如图) 当→→∙n AB <0 则→n 的方向向下。

(如图)定理：一个起点、终点在不同平面上的向量，分别与这两个平面法向量的数量积，若数量积的符号相同，则这两个平面二面角的大小等于其法向量夹角的大小；若数量积的符号相反，则这两个平面二面角的大小与其法向量夹角的大小互补。

结论可记为“相同相等，相反互补”，或“同等异补”。

已知：设A 、B 分别是βα,上的点,且两点都不在平面βα,交线上（若两点中有在平面βα,交线上，则(→→∙n AB )(→→∙m AB )≠0）, →n 、→m 分别是βα,的法向量,θ为平面βα,的平面角。

证明：若(→→∙n AB )(→→∙m AB )＞0, 则θ=mn mn∙arccos ；若(→→∙n AB )(→→∙m AB )＜0, 则θ=π-mn mn ∙arccos 。

证明：⑴当→→∙n AB >0,→→∙m AB >0,根据引理，得→n 、→m 的方向如图。

βα,的平面角等于→n 、→m 的夹角，∴θ=mn mn ∙arccos⑵当→→∙n AB <0,→→∙m AB <0, 根据引理得→n 、→m 的方向如图。

βα,的平面角等于→n 、→m 的夹角，∴θ=mn mn ∙arccos⑶当→→∙n AB >0,→→∙m AB <0, 根据引理得→n 、→m 的方向如图。

求二面角的方法

求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。

它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。

在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。

方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。

首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。

具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。

2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。

3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。

例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。

首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。

底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。

然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。

将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。

方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。

它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。

具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。

2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。

3. 根据正弦定理计算出二面角。

例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。

首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。

可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。

法向量求二面角公式

法向量求二面角公式在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。

此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。

而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。

“法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示：α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|))其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。

要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。

N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1)N2 = (x2, y2, z2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。

第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。

以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。

这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。

当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。

另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。

本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。

然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。

求二面角的6种方法【自己总结全面】

a O课题3：二面角求法总结一、知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角； 7、（2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（5）无交线的二面角处理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及练习1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

向量法求二面角

3.
用向量法求二面角
思考：能否用法向量求二面角的大小？
A n
B O
n2
n1

n1, n2
用向量法求二面角
n2 n1

同
进
同
出
n2 n1
取补角

n2来自n2n1 一
进
一
出
取
n1
等角

法2：图形的特征来判定相等、互补
用向量法求二面角
例1 如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 2
求面SCD与面SBA所成二面角 z
的余弦值. 方法一：几何法
S n1
n2
方法二：向量法
B
C
易知面SBA的法向量n1

AD

1 (0, , 0)
A
x
2
面SCD的法向量可取n2 (1, 2,1)
Dy
用向量法求二面角
变式练习如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
二面角及其度量
用向量法求二面角
一、教材分析
二面角及其度量是高中数学选修2--1第3章空间向量在立体几何中的应用中的部分内容。空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法。本节课是在学生掌握了用空间向量求线面角的基础上进行的延伸和拓展。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。
二、教学目标
知识目标 :
掌握空间向量求二面角的方法；.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力；培养空间想象能力

文档：空间向量求二面角的方法

空间向量求二面角的方法方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小．例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角．解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角，且BC ⊥平面ADE ，∴BC ⊥AD ，∴0EC DA =．设正四面体棱长为1．∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ 222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424=+⨯⨯⨯++⨯⨯+=．又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA ==， ∴cos ED EA ED EA ED EA =，11433322==⨯．故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos 3．方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为．则两个平面的二面角为．例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S-ND-A 的余弦值．解析：平面ABC 的法向量是，设平面SND 的法向量为BC AB AS λμ=++n ．∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，SA ⊥AB ，∴0AS BD =，0AS BN =，0AS BC =，0AS AB = 又AB ⊥BC ，∴0BC BN =，0AB BD =，0BC NA =．由()()ND BC AB AS BD BN λμ=++-n 280BC BD AB BN λμλμ=-=+=。

例说用向量方法求二面角

例说用向量方法求二面角一、平面法向量的2种算法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便：若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ,0,0)、B (0,b ,0)、C (0,0,c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A = a , y B = b , z C = c （a ,b ,c 均不为0），则平面ABC 的法向量为111(,,)(0)n a b cλλ=≠ ．参数λ 的值可根据实际需要选取．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11(0,,)n b cλ= ；若平面和x ,y 轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1(0,0,)n cλ= ．（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面．例1．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。

设SD = 2CD ，求二面角A －EF －D 的大小；解：不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．平面AEFG 与x 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、G (0,0,1)，与y 轴无交点，则法向量1(1,0,1)n =，在CD 延长线上取点H ，使DH =AE ，则DH ∥ AE ，所以AH ∥ED ，由（1）可知AG ∥EF ，所以平面AHG ∥平面EFD ，平面AHG 与x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、H (0,- 12,0)、G (0,0,1)，则法向量2(1,2,1)n =-，设二面角A -EF -D 的大小为α ，则1212cos 3n n n n α⋅==⋅ ，即二面角A -EF -D的大小为．二、用向量法求解二面角的两种途径（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, π ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, π ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过 π2 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,n n则应分别垂直于该平面角的两边. 易知，当12,n n 同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为θ . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z 轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy 平面的关系，是自下而上穿过xOy 平面呢，还是自上而下穿过xOy平面？若是第一种情形，y图二图一则n 与→ OZ 所夹的角是锐角，只需取法向量的z 坐标为正即可；若是第二种情形，则n 与→OZ 所夹的角是钝角，只需取法向量的z 坐标为负即可．若法向量与xOy 平面平行，则可以选取其它如yOz 平面、zOx 平面观察．例2 已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB =90︒，P A ⊥底面ABCD ，且P A =AD =DC =12AB =1，M 是PB 的中点. （1）求二面角C -AM -B 的大小；（2）求二面角A -MC -B 的大小.分析：如图建立空间直角坐标系，则对二面角C -AM -B 而言，→AD 是平面AMB 的法向量（向内），易知平面ACM 符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy 平面，所以与→ AZ 所夹的角是锐角. 对二面角A -MC -B 而言，平面ACM 选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM 就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy 平面，与z 轴正向所夹的角是钝角.（1）解：如图三，以AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB 的法向量为1n=(1,0,0), 设平面ACM 的法向量为2n=(x ,y ,z ).由已知C （1, 1, 0), P (0, 0, 1), B (0, 2, 0)，则M (0, 1, 12 ),∴ → AC =(1, 1, 0), → AM =(0, 1, 12).由220,0,10.0.2x y n AC y z n AM +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩取y = -1，则x =1, z =2， ∴ 2n =(1, -1, 2). （满足2n ·→AZ >0）.设二面角C -AM -B 的大小为θ ，则cos θ=1212n n n n ⋅=⋅, ∴ 所求二面角的大小为arccos6. （2）解：选取（1）中平面ACM 的法向量2n=(1, -1, 2)，设平面BCM 的法向量为y图三3n= (x ,y ,z ).→ BC = (1, -1, 0), → BM = (0, -1, 12),由330,0,10.0.2x y n BC y z n BM -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 取z =-2，则y =-1, x =-1，3n = (-1, -1, -2)，则2n ，3n所夹的角大小即为二面角A -MC -B的大小，设为ϕ ，cos ϕ =23233n n n n ⋅=⋅， ∴ 所求二面角的大小为π - arccos 63.（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图四），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．例3 如图五，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=2，E 是BB 1的中点．（1）求二面角E -AC 1-B 的大小；（2）求二面角C 1-AE -B 的大小．分析：在第（1）题中，只需在AC 1上找到两点G 、H ，使得→ GB 、→ HE 均与→ AC 1 垂直，则→ GB 、→HE 的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G 、H 的位置呢？可设1GA AC λ=，1GB GA AB AC AB λ=+=+ ，这样向量→ GB 就用参数λ 表示出来了，再由→ GB ·→AC 1 =0求出λ 的值，则向量→GB 即可确定，同理可定出H 点．第（2）题方法类似．图四图五解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0), A (0,1,0), C (1,0,0), B 1(0,0,2), C 1(1,0,2), E (0,0,1)．→ AC 1 = (1, -1, 2), →AB = (0, -1, 0).（1）设1(,,2)GA AC λλλλ==-，则 (,1,2),GB GA AB λλλ=+=--由→ GB · → AC 1 =0 ⇒ λ +(λ +1)+4λ =0，解得：16λ=-，∴ → GB = (151,,663---).同理可得：→ HE = (11,,022--)，→ HE ·→ AC 1 = 0．→ GB 、→ HE 的夹角等于二面角E -AC 1-B 的平面角． cos <→ GB ,→ HE > =62562GB HE GB HE GB HE GB HE⋅⋅==⋅⋅ , ∴ 二面角E -AC 1-B 的大小为（2）→AE = (0, -1, 1), 在AE 上取点M 、N ，设(0,,)MA AE γγγ==-，则(0,1,)MB MA AB γγ=+=--,由→ MB ·→ AE = 0得：γ +1+γ = 0，解得：γ = 12-， ∴ → MB =11(0,,)22--.同理可求得：→ NC 1 = ( 1, 12, 12), → NC 1 · →AE = 0. ∴ → MB 、→NC 1 的夹角等于二面角C 1-AE -B 的平面角．cos <→ MB , → NC 1> = 11113MB NC MB NC --⋅=-⋅ , xyzGHxyMN图七图六). ∴二面角C1-AE-B的大小为arccos(3。

二面角题型归纳及解题方法

αβa O A B 二面角题型归纳及解题方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。

从而给出二面角的通性通法。

第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点（II ）求二面角的余弦值。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠FG∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B -PC -A 的大小。

利用法向量求二面角5则

利用法向量求二面角5则以下是网友分享的关于利用法向量求二面角的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

关于利用法向量求二面角的问题（一）关于利用法向量求二面角的问题我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a b，它的长度（模）为| |=||||，它的方向与和都垂直，并且按,, 的顺序构成右手标架（如下图所示）若是，则所得向量长度与相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.设平面内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则(x2 x1,y2 y1，z2 z1)， (x3 x1,y3 y1,z3 z1)，所以y2 y1y3 y1z2 z1z3 z1z2 z1z3 z1x2 x1x3 x1x2 x1x3 x1y2 y1y3 y1(，，），很明显，向量可以为平面的法向量.此时的方向应该是垂直平面并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小. 说明：行列式abcdad b c，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.如图所示，设平面与平面所成的二面角为，法向量分别为,，显然与所成的角为，且，即此时与所成的角就是平面与平面所成的二面角为，从这里我们可以看出，只要平面与平面的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.如图，我们来求平面与平面所成的二面角，设 (x1,y1,z1)，AC (x2,y2,z2)，x1y1z1x1y1z1，且设z若x1y1x2y2，yz1x1z2x2，xy1z1y2z2x2y2z2x2y2z2则平面的一个法向量 (x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面的法向量方向应该是朝向二面角的里面.设 (x3,y3,z3)， (x4,y4,z4),要使平面的法向量方向朝向二面角的里面，根据右手标架，我们计算应该是，若x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3，并且设cx4y4x3y3b ，x4y4x3y3，ay4z4y3z3，则平面的一个法向量 (a,b,c)根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角.cosxa y b z cx y z a b c22222当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.利用向量求二面角大小的又一方法（二）利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学黄耿跃文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则cosθ=|JJJJGMANBMA||JJJJNBG|.由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG|JJJJMABJJJGABG|2AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG影向量,设GJJJ方向上的投e=JJJJJABGJJJGJJJJG|ABG|为AB方向的单位向量,JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABGGAMGJJJABGJJJ|JJJJABG|e=ABG,|JJJJJABG2∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|GJJJGAN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|2例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明:PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.解(I)略;(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则A(0,0,0),c(32a,12a,0),JDJG=(0,a,0),E(0,2JJJ3a,13a),于是AEG=(0,23a,13a),JJJGAC=(31JJJG2a,2a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:与JJJGND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.由定理2可得JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG|JJJACGACJJJG|2AC121a2=(0,a,a)3333a2(12a,2a,0)=(36a,12a,13a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG |JJJACGACJJJG|2AC12=(0,a,0)2aa2(32a,12a,0)=(34a,34a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJNDG|JJJMEJG||JJJGND|293a2+3a2=248342=2.6a34a∴以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小为30°.例2(2004浙江)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(I)求证AM⊥平面BDF;(II)求二面角ADFB的大小.解(I)略.(II)如图建立空间直角坐标Cxyz,∵A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,∴JJJG2,1).DF=JJJDBGJJJDA=G(0,2,1),(0,2,0),JJJG=(2,2,0),DF=(0,2,1).作AM⊥DF于M,BN⊥DF的延长线于N,JJJG则由定理1得:MA与JJJNBG所成的解θ的大小为二面角ADFB的大小.由定理2可得:JJJGMA=JJJDAGJJJJDMG=JJJDAGJJJDAGJJJG DFJJJG|JJJGDF|2DF=(0,2,0)23(0,2,1)=(0,2,2),JJJNBG=JJJGDBJJJJDNGJJJG 3JJJG3=JJJDBGDBDFJJJG|JJJGDF|2DF=(2,2,0)2(0,2,1)/3=(2,JJJG2JJJ/3,2/3),cosθ=MANBG|JJJGMA||JJJNBG|6=91(6/3)(24/3)=2.∴二面角ADFB的大小为60°.例3(2005福建)如图,直二面角30DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(I)求证:AE⊥平面BCE;(II)求二面角BACE的大小;(III)求点D到平面ACE的距离.解(I)略;(Ⅱ)如图所示,以线段AB的中点原点O,OE所在的直线为x 轴,AB所在的直线为y轴,过O作平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)B(0,1,0)JJJG=JJJ(0,2,2),JJJAEG,AC=(1,1,0),ABG=(0,2,0).作BM⊥AC于M,EN⊥AC理1得,JJJ于NEGN,则由定与JJJGMB所成的角θ的大小为二面角BACE的大小由定理JJJ2得NEG=JJJAEGJJJG=JJJAEGJJJANAEGJJJG|JJJACGACJJJ|2ACG=(1,1,0)2(0,2,2)=11JJJG2),MB=JJJ8(0,2,ABGJJJJGJJJAGMJJJG=JJJABGAB|JJJACJJJGACG|2AC=(0,2,0)4(0,2,2)=(0,1,1)JJJGJJJG8,cosθ=NEMB13|JJJNEG||JJJGMB|=3=3,22∴二面角BACE的大小为arccos33.参考文献[1]郑剑晖,郑毓青.二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定.2005.1.利用空间向量求二面角的判定方法（三）利用空间向量求二面角的判定方法法一：若点A、B分别为二面角α−l−β的两个半平面α与β上的任两点，且A∉l,B∉l，n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（ABn1）（ABn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角相等；（2）当（ABn1）（ABn2）互补；l法二：若点P为二面角α−l−β的棱l上的任一点，Q 为两个二面角α−l−β内的任一点, n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（PQn1）（PQn2）相等；（1）当（PQn1）（PQn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角互补；l利用法向量求二面角的正负（四）利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14 【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。

高考数学专题：向量求二面角(含答案)

高考数学专题：向量求二面角向量法求二面角大小的两种方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A-PM-C的正弦值．2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O-EF-C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值6、如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝π2，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．7、如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值．8、如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．答案：1、解：(1)如图，连接AC，BD，因为ABCD为菱形，则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知， BM→＝14BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14，0，从而OM→＝OB →＋BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a >0，则AP→＝(－3，0，a )，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，a . 因为MP ⊥AP ，故MP →·AP→＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，32，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，32，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，32. 设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AP →＝0，n 1·MP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，533，2. 由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155， sin 〈n 1，n 2〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－1552＝105，故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105.2、(1)证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC→＝0. 从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.3、．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，D 1(0，0，a )，F (a ，0，0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)因为AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0，0，a )，所以|cos 〈AB 1→，DD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：因为BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a ，0，0)，FB 1→＝(0，a ，a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧FB 1→·BB 1→＝0，FB 1→·BC →＝0，所以FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . 因为BB 1∩BC ＝B ，所以FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，FB 1→为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量，因为CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a ，2a ，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎨⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则n ＝(2，1，1)，所以||cos 〈FB 1→，n 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪FB 1→·n |FB 1→||n |＝33，因为二面角F -CC 1-B 为锐角，所以二面角F -CC 1-B 的余弦值为33.4、解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)如图，过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz . 由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)．所以EC→＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0. 所以可取n ＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.5、解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1，1，0)，E (－1，－1，2)，F (0，0，2)，G (－1，0，0)．(1)证明：依题意，AD→＝(2，0，0)，AF →＝(1，－1，2)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，2，1)．又EG →＝(0，1，－2)，所以EG →·n 1＝0，又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF .(2)易证，OA→＝(－1，1，0)为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF→＝(1，1，0)，CF →＝(－1，1，2)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.不妨设x ＝1，可得n 2＝(1，－1，1)．因此cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以，二面角O -EF -C 的正弦值为33.(3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF→＝(1，－1，2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →||n 2|＝－721.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.6、解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)． (1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD→是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC→＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0. 令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP→＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB→＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝ (－λ，－1，2λ)，又DP→＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时， |cos 〈CQ→，DP →〉|的最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.7、解：(1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D .又A 1D ⊂平面A 1DE ，B 1C ⊄平面A 1DE ，于是B 1C ∥平面A 1DE . 又B 1C ⊂平面B 1CD 1，平面A 1DE ∩平面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C .(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD ，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为(0.5，0.5，1)．设面A 1DE 的法向量为n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝(0.5，0.5，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足方程组⎩⎨⎧0.5r 1＋0.5s 1＝0，s 1－t 1＝0，因为(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设面A 1B 1CD 的法向量为n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)，所以结合图形知二面角E -A 1D -B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63. 8、解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，得PC ⊥DE .由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE .又PC ∩CD ＝C ，所以DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1.又EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.如图，以C 为坐标原点，分别以CA→，CB →，CP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)，ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0. 设平面PAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知，DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED→，即n 2＝(1，－1，0)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36，故二面角A -PD -C 的余弦值为36.。

人教版A版高中数学选修2-1《利用空间向量法求二面角》

一、平面的法向量与二面角的关系
平面的法向量与二面角的关系
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，建系
设AD=1，则
z
…1分
找量：
点的P坐标
设平nn 面APBBPA==B00的即法向x31y量1 为3z1y1 n00可(x取1, yn1

0,即
Байду номын сангаас
3x2 y2 =0，
m B1C1 0, 3x2 z2 0.
取m (1, 3, 3).
｜cos n , m ｜｜n m｜ 1 . nm 7
计算：法向量、夹角
…2分
二面角A A1B1 C1的平面角为锐角，
二面角A

A1B1

C1的余弦值为
2、数学思想：化归与转化的思想数形结合思想方程的思想
七、课堂作业
OB1 OB+BB1 OB+AA1
x
z y
（Ⅱ）设二面角 D -A E-C 为 60°，A P=1，A D = 3 ，求三棱锥 E -A C D 的体积.
解（I）连接BD交AC于点O,连结EO。
ABCD为矩形，O为BD的中点。
又E为PD的中点， EO∥PB。
且EO 面AEC，PB 面AEC，
PB//面AEC，
O …4分
（Ⅱ）设二面角 D -A E-C 为 60°，A P=1，A D = 3 ，求三棱锥 E -A C D 的体积. 解： PA 面ABCD，且ABCD为矩形
1 7
.
④作答：观察图形、定值
…1分
变式练习2
如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点． (1)求证：PA⊥EF. (2)求二面角D-FG-E的余弦值．

解答二面角问题的三种措施

备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。