第七章z变换、离散时间系统的z域分析讲解
第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
第七章离散系统的Z变换分析方法
第七章离散系统的Z变换分析⽅法第七章线性离散系统与Z 变换第⼀节概述离散系统（采样数字系统），与连续系统的根本区别在于所处理的信号是离散型的。
在离散控制系统中，认为系统变量仅是在离散的时刻上才发⽣变化，⽽在两个相邻时刻之间是不发⽣变化的。
离散信号的时间函数如图7－1所⽰。
图7－1 离散的时间函数在离散控制系统中最常⽤的计算机控制系统，其原理图7－2如所⽰。
图7－2 计算机控制系统原理图◆线性连续系统的动态特性可以由微分⽅程描述，分析线性定常连续系统采⽤拉⽒变换；◆线性离散系统的动态特性可以⽤线性差分⽅程描述，分析线性定常离散系统采⽤Z 变换法。
Z 变换是分析单输⼊单输出、线性定常离散系统的有⼒⼯具。
第⼆节 Z 变换Z 变换是由拉⽒变换引出的，可以把Z 变换看成拉⽒变换的⼀种变形。
⼀、采样函数的拉⽒变换设连续时间函数()x t 可以进⾏拉普拉斯变换，其拉⽒变换为()X s 。
连续时间函数 ()x t 经采样周期为 0T 的采样器采样后，变成离散信号*()x t+-++-+-+=)()()2()2()()()()0()(000000*nT t nT x T t T x T t T x t x t x δδδδ＝()()n x nT t nT δ∞=-∑ （7－1）对上式进⾏拉普拉斯变换，⼜snT e nT t L 0]([0-=-δ可得0**0000000()[()][()()]()[()]()n nT sn n X s L x t L x nT t nT x nT L t nT x nT e δδ∞=∞∞-====-=-=∑∑∑ （7－2）⼆、采样函数的Z 变换在式（7－2）中，由于s 在指数⾥，给运算带来许多困难。
为此引进新的变量0T s z e =，则式7－2变形为∑∞=-=00)()(n nz nT x z X （7－3）称()X z 为离散时间函数 *()x t 的Z 变换，记为 *[()]()Z x t X z =或者[()]()Z x n T X z =。
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的数学工具。
它在离散时间系统的分析和设计中起着重要的作用。
本文将介绍Z变换的定义、性质，以及如何利用Z变换分析离散时间系统。
1.Z变换的定义：Z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数。
假设有一个离散时间信号x[n]，经过Z变换得到的函数为X(z)。
其定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑(x[n]*z^(-n))其中，z是复变量，n为离散时间点。
2.Z变换的性质：Z变换具有许多重要的性质，其中一些性质与连续时间傅里叶变换类似，另一些则是离散时间系统的特有性质。
（1）线性性质：如果x1[n]和x2[n]是离散时间信号，a和b是常数，则有：Z{a*x1[n]+b*x2[n]}=a*X1(z)+b*X2(z)（2）平移性质：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x[n-m]的Z变换是z^(-m)*X(z)。
这意味着在离散时间域上的平移，在Z变换域上相当于乘以z的负幂次。
（3）初值定理和终值定理：如果x[n]的Z变换是X(z)，则有：x[0] = lim(z->∞) X(z)x[-1] = lim(z->0) X(z)（4）共轭对称性：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x*[n]（x[n]的共轭）的Z变换是X*(z)（X(z)的共轭）。
（5）频率抽样定理：如果x(t)是带限信号，那么它的频谱可以通过对x[n]进行离散化来获得，即X(jω)=X(e^(jωT))，其中T是采样间隔。
3.离散时间系统的分析：利用Z变换，可以对离散时间系统进行分析和设计。
通常，我们可以将离散时间系统看作是一个线性差分方程，通过对该差分方程进行Z变换，可以得到系统的传输函数H(z)。
离散时间系统的输入输出关系可以表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，Y(z)为输出信号，X(z)为输入信号，H(z)为系统的传输函数。
通过分析传输函数H(z)，我们可以确定系统的稳定性、频率响应、相位特性等。
离散系统的Z域分析
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
第七章 离散时间系统的 z域分析
第七章离散时间系统的 z域分析(1)??? Z变换 (2)??? Z变换的收敛域 (3)??? Z变换的性质 (4)??? 利用z变换求解差分方程 (5)??? 离散系统的系统函数 (6) 离散系统的频率响应特性本章教学要求 (1) 掌握Z变换与Z反变换.(2) 掌握离散系统的Z域分析方法. (3) 掌握离散系统函数. (4) 熟悉Z变换的主要性质. (5) 解离散系统函数零、极点的概念. (6)了解离散系统稳定性和频率响应特性的概念. 抽样信号抽样信号单边拉氏变换 7.5 z变换的基本性质 Z变换可由其定义推出许多性质，其中不少可与拉氏变换对应，据此可求解复杂序列的z 变换。
（1）线性:若例:求序列an u(n)-bn u(n-1)的z变换解: 则 a,b为任息常数. （2）移序性 1）对于双边z 变换证明: 若则称为位移因子，只影响z=0和z=?处收敛情况。
2）对于单边z 变换若f(n)是双边序列,其单边变换为则序列左移后,它的单边z变换为序列右移后的单边z变换为若f(n)为因果序列,则例:已知系统的差分方程为 y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n) 边界条件y(-1)=0,用z变换方法求响应y(n). 解:对差分方程两端分别取z变换（3）z域微分性(序列线性加权) 若则例:已知解: 求（4）z域尺度变换(序列指数加权) 若则则（5）初值定理若f(n)为因果序列,已知则（6）终值定理若f(n)为因果序列,已知则（7）时域卷积定理若则证明: 例:求下列两单边指数序列的卷积解: h(n) e(n) r(n) r(n)=e(n)*h(n) (在时域中求响应r(n)需进行卷积运算) R(z)=E(z)H(z) r(n)=Z-1[R(z)] (在z域中求响应r(n)不需进行卷积运算) （8）z域卷积定理(序列相乘) 若则 C1为F(z/v)与F(v)收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线. 7.6 z变换与拉氏变换的关系（一）从 S 平面到 Z 平面的映射 T为序列的时间间隔,重复频率掌据S 平面到 Z 平面的映射关系,容易利用类似s域的方法研究离散时间系统函数z平面特性与系统时域频响及稳定性的关系. 任意 S平面的虚轴 z平面中的单位圆任意 S左半平面 z平面中的单位圆内任意 S右半平面 z平面中的单位圆外任意 S平面的实轴 z平面中的正实轴参见教材下册表8-6(p75) * * 信号与系统Signals and Systems 本章主要内容 7.1 引言 z变换是一种数学工具,它把离散系统的数学模型---差分方程转化为简单的代数方程,使其求解过程得以简化. z变换在离散系统中的地位与作用,类似于连续系统中的拉普拉斯变换. 7.2 z变换的定义一、由拉氏变换引出Z变换令 , 其中 z 为一个复变量则广义上讲采样周期T=1 单边Z变换序列{x(n)}的单边z变换定义: 序列{x(n)}的双边z变换定义: 对于因果序列(x(n)=0,n 0),双边z变换与单边z 变换等同. 二、典型序列的Z变换 (1)单位样值序列 (2)单位阶跃序列 (3)单位斜变序列 (4)指数序列 (5)正弦余弦序列正弦序列的 Z 变换: 余弦序列的 Z 变换: 7.3 z变换的收敛域 1）比值判别法 2) 根值判别法收敛域：当x(n) 为有界时，令上述级数收敛的 z 的所有可取的值的集合称为收敛域正项级数收敛性的判别收敛可能收敛可能发散发散例：收敛可能收敛可能发散发散几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列收敛域:(a)n1 0,n2 0时为0 |z| ?;(b)n1 0,n2?0时为|z| ?; (c)n1?0,n2 0时为|z| 0.（2）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域 n1 ?0(n1=0为因果序列),收敛域包括z= ?,n1 0,收敛域不包括z= ?, （3）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列右边序列圆内收敛右边序列, 圆外收敛有环状收敛域没有收敛域例：右边序列例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点例：有限长序列收敛域为除了 0 和的整个平面 8个零点 7阶极点一阶极点例：双边序列 7.4 逆z变换（1）留数法（2）幂级数展开法（略）（3）部分分式法（1）留数法假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：由复变函数中的柯西定理只有右边的即一项，于是逆变换用留数求围线积分一阶极点： S 阶极点：例解必然是因果序列，右边序列（2）部分分式法Am 是在 Pm 处的留数只有一阶极点例双边序列左边序列右边序列简单的可用公式或查下册第60页的表8-2，8-3，8-4： *。
信号与系统chapter 7离散时间信号与系统的Z域分析
由此可见，位移特性Z域表达式中包含了系统的起始条 件，把时域差分方程转换为Z域代数方程，因此，可以方便 求出Z域的零输入响应和两状态响应。
式（7.3）又称为左移序性质，与拉普拉斯变换的时域 微分特性相当。式（7.4）又称右移序性质，与拉普拉斯变 换的时域积分特性相当。
进一步，对于因果序列 x ( n ) , x ( 1 ) 0 ,x ( 2 ) 0 , ,则
Z [nx(n)u(n)]zdd zn∞ 0znx(n)zdd zX(z)
求下列序列的Z变换。
(1) n 2 u ( n )
n(n 1)
(2)
u(n)
解：(1 )Z[n2 u(n)] zd d z 2zz 1 zd d z2 zd d z zz 1
dz
z2 z
z [
]
, z 1
zlnz1 1ln1 zzlnzz1,z1
（2）因为
Z1
u(n 1) , z 1 z 1
根据Z域积分特性，可得
∞1
X(z)
x 1dx∞
1
z dxln ,z1
2
z x1
z x(x1 )
z1
§ 6. 卷积和定理
若 x1(n)u(n) ZX 1(z),z Rx;x2(n)u(n) ZX2(z),z Rx，则 ：
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
7.1引言 7.2 Z 变换 7.3 Z 变换的性质 7.4 反变换 7.5离散时间系统的 Z 域分析 7.6离散时间系统的系统函数与系统特性 7.7离散时间系统的模拟
7.1 引 言
按照与连续时间信号与系统相同的分析方法，本章将
讨论离散时间信号与系统的 z 域分析。
§ 4. Z域微分特性
第7章离散信号与系统的z域分析
o |b |
Re[z]
10
2012年12月24日6时40分
7.1 Z变换
7.1.2 双边Z变换的定义和收敛域
(1) 有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为0<|z|<∞；有限长因果序 列双边Z变换的收敛域为|z|>0；有限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|<∞； 单位序列δ(k)的双边Z变换的收敛域为全Z复平面。
(2) 无限长因果序列双边Z变换的收敛域为|z|>|z0|，z0为复数、虚数或实数， 即收敛域为半径为|z0|的圆外区域。
(3) 无限长反因果序列双边Z变换的收敛域为|z|<|z0|，即收敛域为以|z0|为 半径的圆内区域。 (4) 无限长双边序列双边Z变换的收敛域为|z1|<|z|<|z2|，即收敛域位于以|z1| 为半径和以|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。 (5) 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是一一对 应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一一对应的。
z2 z 1 F ( z ) z 1 z 1 z
7
2012年12月24日6时40分
7.1 Z变换
7.1.2 双边Z变换的定义和收敛域
例7.1-2 已知无限长因果序列f(k)=akε(k)。求f(k)的双边Z变 换和收敛域。 解： f(k)的双边Z变换为
Im[z]
F (z)
7.1 Z变换
7.1.3 常用序列的双边z变换 1、单位序列
f1 (k ) (k m)
F1 ( z )
k
收敛域：z平面
f 2 (k ) ( k m)
Im z
(k m )z k z m
Z域分析
m
注 ：区域D：指收敛域 围线C：在收敛域内以圆点为中心的圆 极点的个数：围线C所包含的极点个数 极点是 x( z ) z n 1 这个函数的极点
说明：1. z i 为 x( z ) z n 1 极点 2.m为极点个数
x( z ) z n1 的极点既分母为零的点，由两部分构成，
4. a n
n 1
a 1 a 1 a
a n1 5. a a 1 a 1 n n1
n
§ 7.2 Z变换定义 典型序列的Z变换
一. Z变换定义 1.由抽样信号引出Z变换
x(t ) x s (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
总结：对于有限长序列，收敛域为除0、∞的整个平面 n1 , n 2 都为负 包括（不包括） 0
2.右边序列
0 n n1 x ( n) 0 n n1
有起点无终点
x( z ) Z [ x(n)]
n n1
x(n) z n无穷级数，由级数判定法来判收敛
Re s[ x( z ) z
n 1
1 d k 1 , zi ] { k 1 [( z z i ) k x( z ) z n 1 ]} z zi (k 1)! dz
3. Zi为收敛域内围线所包围的极点情况
4. 5. 例：
围线的选择 z变换相同，但收敛域不同，逆变换不同
z2 x( z ) ( z 1)( z 0.5)
x( z ) Z [ x(n)] x(n) z n
n 0
x( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
第七章 z变换、离散时间系统的z域分析 PPT课件
1
n
u(n)的z变换，
2
3
并标明收敛域，绘出零极点图。
解：Zx(n)
x(n)zn
1
n
z
＋
n
1
n
z
n
1
n
＋
1
n
n－
n0 2
n0 3
n0 2z n0 3z
当 1 2z
1即 z
1时，
1
n
2 n0 2z
1 1－1/(2z)
z z1
2
当1 3z
1即 z
1时，
1
n
X (z) k A
m
z
m0 z z
m
其中，z 是 X (z)的极点，z 0。
m
z
0
A m
z
z m
X (z) z
zzm
k
X (z)
Az m
m0 z z
m
k
m0
A m
z m
n
u
(
n)，
（右边Fra bibliotek序列
）
x(n)
Z
X 1
(z)
Z
1
k
m0
A m
z
z z
m
k
m0
A m
z m
n
u(n
1)，（左边序列）
级数的系数就是序列x(n)。
• 右边序列，N(z)、D(z)按z的降幂（或z-1的升幂）排列
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 n0
• 左边序列，N(z)、D(z)按z的升幂（或z-1的降幂）排列
1
X (z) x(n)zn x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3 n
信号与系统分析第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
k
k
z lim k k
f (k) Rr
(7.9)
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
则该级数收敛, Rr称为该级数的收敛半径。可见, 右边序 列的收敛域是z平面内以原点为中心、 Rr为半径的圆的外 部, 如图7.1(a)所示。 如果k1＜0, 结合有限长序列收敛域 的判定, 该收敛域不包括∞处点, 即收敛域为Rr＜|z|＜∞, 而 如果k1≥0, 则收敛域为Rr＜|z|≤∞。 当k1≥0时, 右边序列为 因果序列, 因此因果序列的收敛域为Rr＜|z|≤∞, 因果序列 在z=∞ 处收敛是它的一个重要特性。
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
式中, Ts为抽样时间间隔。
Fs (s) F[ fs (t)]
f (kTs ) (t kTs )est dt
k
交换积分与求和的次序,
Fs (s)
f
(kTs )
(t
kTs )est dt
k
f (kTs )eksTs
k
z esTs
或 s 1 ln z
Z变换为
Z[cos(k) (k)]
e jk Z[
e jk
(k)]
Z[ e jk
(k)]
e jk Z[
(k)]
2
2
2
1 2
(
z
z e
j
z z e j
)
z(z cos ) , z2 2z cos 1
|Z|>1
(7.17)
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
同理可得单边正弦序列的Z
ak(k) z
z a
za
若令a=ejβk, 则可以得到复指数序列的Z
第七章 离散系统的Z变换分析方法
第七章 线性离散系统与Z 变换第一节 概述离散系统（采样数字系统），与连续系统的根本区别在于所处理的信号是离散型的。
在离散控制系统中，认为系统变量仅是在离散的时刻上才发生变化，而在两个相邻时刻之间是不发生变化的。
离散信号的时间函数如图7－1所示。
图7－1 离散的时间函数在离散控制系统中最常用的计算机控制系统，其原理图7－2如所示。
图7－2 计算机控制系统原理图◆ 线性连续系统的动态特性可以由微分方程描述，分析线性定常连续系统采用拉氏变换；◆ 线性离散系统的动态特性可以用线性差分方程描述，分析线性定常离散系统采用Z 变换法。
Z 变换是分析单输入单输出、线性定常离散系统的有力工具。
第二节 Z 变换Z 变换是由拉氏变换引出的，可以把Z 变换看成拉氏变换的一种变形。
一、 采样函数的拉氏变换设连续时间函数()x t 可以进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为()X s 。
连续时间函数 ()x t 经采样周期为 0T 的采样器采样后，变成离散信号*()x t+-++-+-+=)()()2()2()()()()0()(000000*nT t nT x T t T x T t T x t x t x δδδδ＝()()n x nT t nT δ∞=-∑ （7－1）对上式进行拉普拉斯变换，又snT e nT t L 0]([0-=-δ可得0**0000000()[()][()()]()[()]()n nT sn n X s L x t L x nT t nT x nT L t nT x nT e δδ∞=∞∞-====-=-=∑∑∑ （7－2）二、 采样函数的Z 变换在式（7－2）中，由于s 在指数里，给运算带来许多困难。
为此引进新的变量0T s z e =，则式7－2变形为∑∞=-=00)()(n nz nT x z X （7－3）称()X z 为离散时间函数 *()x t 的Z 变换，记为 *[()]()Z x t X z =或者[()]()Z x n T X z =。
z变换和离散时间系统z域分析-基本要求和知识要点
z 变换、离散时间系统的z 域分析一、基 本 要 求通过本章的学习，学生应该理解z 变换的定义、收敛域（ROC ）的概念；掌握z 变换的性质，z 变换及逆z 变换的计算方法，以及离散系统的z 域分析法。
深刻理解系统函数）（z H 及）（z H 与离散系统因果性、稳定性的关系，离散系统的频率响应）（jw e H 。
能绘制系统的幅频响应、相频响应曲线。
二、知 识 要 点 1、z 变换（1） Z 变换定义(),z X ()[()]()z nn n x n z z x n x n z ξ∞--∞∞-=⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩∑∑双边变换，单边变换若()()()x n x n u n =，则()x n 的单边z 变换()x n =的双边z 变换（2）z 变换的收敛域①一般地，双边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为z 平面上以原点为中心的圆环内部，即12R R x x z <<；②有限长序列()x n 的X ()z ，其收敛域为整数个z 平面，即0z <<∞，也包括0z =或z =∞；③右边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为某圆的外部，即1R x z <<∞，也可能包括z =∞；④左边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为某圆的内部，即20R x z <<，可能包括0z =； （3）典型序列的z 变换[()]1n ξδ=， 0z ≤≤∞[()]1z u n z ξ=-， 1z > 2[()](1)zn u n z ξ=-， 1z >[()]u z a u n z aξ=-， z a >00[()]njw jw z eu n z eξ=-， 01jw z e >=（4）逆z 变换①围线积分法（留数法）1()R e s [X (z )z ]mn z z mx n -==∑式中R e s 表示极点的留数，m z 为1X (z)z n -的极点。
离散时间系统的z域分析
第7章离散时间系统的z 域分析1. z 变换是如何提出的？它的作用是什么？z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法, 统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。
氏变换的推广。
Re z j Im z 而对于取样信号的拉氏变换为x( nT)e snT2. 双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛 域的意义是什么？z 变换定义为：X （z ） x[n]z n ----双边z 变换（1）nX(z) x[n]z n----单边 z 变换(2)n 0z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有 z 的取值的集合。
根据级数收敛理 论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定 z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一一对应关系。
根据序列的不同性质，序列 z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材 Page297-298 表 7-1 oz 变换定义为：X （z ）x[n]z nn----双边z 变换(1)X(z)x[n]z nn 0单边z 变换 (2)X s (s)X s (t)estdt x(nT) (t nT) e stdtx(nT) e st(tnT)dt (3)它在离散时间系 它可以看作为拉re J o其中z 是复变量，z如果 x[n] x(nT),令 ze sT ，可以发现式（1）和式（3）相同3.z变换和拉氏变换之间有什么样的关系？具体分析见问题1中的式（1）和（3）,根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s和分析离散时间系统的z变换的变量z之间的映射关系:sT令z re j, s j ，则有r e T, T，具体见教材Page 300表7-2 。
4.z逆变换的求解方法有几种？在应用部分分式求解z逆变换时，应注意什么问题？z逆变换的求解方法主要有三种：围线积分法（复变函数理论），幕级数展开法和部分分式展开法。
其中幕级数展开法只适用于单纯的左边序列或右边序列，而且不易得到序列的解析式，因而实际中使用不多；而围线积分法（复变函数理论）和部分分式展开法因其方法的逻辑性较强，适用于各种序列，而且便于得到序列的解析式，所以，最为我们所采纳。
7.离散时间信号与系统的z域分析
第七章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求1.熟练掌握信号的Z域分析方法：Z变换的定义、收敛区及基本性质，能够应用长除法和部分分式分解法求Z反变换。
2.掌握序列的傅里叶变换的定义和基本性质，并了解Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系。
3.掌握离散系统响应的Z变换分析方法：深刻理解离散系统的系统函数的概念，掌握离散时间系统的时域和Z域框图与流图描述形式。
7.2 学习重点1.z变换,z反变换定义、基本性质、计算方法。
2.离散时间系统的z域分析。
3.离散时间系统的频率响应特性。
7.3知识结构7.4内容摘要7.4.1 Z变换1.定义∑∞-∞=-=n nz n x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
2. 收敛域 (1) 有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他当0,021>>n n 时，收敛条件为0>z ；当0,021<<n n 时，收敛条件为∞<z ；当0,021><n n 时，收敛条件为∞<<z 0。
(2) 右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩当01>n 时，收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；当01<n 时，收敛域为∞<<z R x 1。
(3) 左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他 当02<n ，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； 当02>n ，收敛域为20x R z <<。
(4) 双边序列双边序列指n 为任意值时,)(n x 皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。
其z 变换：∑∑∑∞=--∞=--∞-∞=-+==1)()()()(n n nnn nzn x zn x zn x z X双边序列的收敛域为一环形区域21x x R z R <<。
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X s ( s) xs (t )e st dt
0
0
st x(nT ) (t nT ) e dt n 0
将积分与求和次序对调，利用冲激函数的取样性 质，得
X s (s) x(nT ) (t nT )e st dt x(nT )e snT
n 0 0 n 0
此时,引入一个新的复变量z,即
ze
sT
则
X ( z ) ZT ( x[n]) x[n]z n
n 0
----x[n]的单边z 变换
思考题
• 1. 如何从抽样信号的拉氏变换引出z变换？
第七章z变换、离散时间系统的z域分析 学习目标
• • • • • 1.深入理解Z变换的定义和收敛域 2.掌握典型序列的Z变换。 3.理解逆Z变换； 4.理解Z变换的性质； 5.理解Z变换与拉普拉斯变换的关系；
• 6.理解差分方程的Z变换求解； • 7.理解离散系统的频域响应 • 8.理解序列的傅立叶变换
知识地图
时域微积分
S域微积分
初、终值定理
第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析
Z变换 的定义
收敛域
Z变换的基 本性质 线性 时域平移 S域平移 尺度变换 共轭
典型序列的 Z变换
逆Z变换 的求解
Z变换与 拉氏变换 的关系
有限长序列 左边序列 右边序列 双边序列
单位冲激序列 幂级数法（长 除法） 单位阶跃序列
本章导航
本章内容包括两大部分：z变换和离散时间 系统的z 域分析。 讲述次序为：z变换的定义->z变换的收敛域 ->逆z变换-> z变换的性质->z变换与拉普拉斯变 换的关系->利用z变换解差分方程->离散时间系 统的函数->离散时间系统的频率响应特性
重点与难点
1.Z变换的收敛域 2.Z变换的性质 3.Z反变换求解 (留数定理法、部分分式法)
二、Z变换的引出
z变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出，也 可以直接对离散信号给予定义。
由取样信号的拉氏变换引出
若连续因果信号 x(t)经均匀冲激取样，则取样 信号xs(t)的表示式为
xs (t ) x(t )T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
上式两边取拉氏变换，得到
第八章、Z变换、离散时间系统的 Z 域分析
Z变换的定义
收敛域
Z变换的基本性 质
典型序列的 Z变 换
逆Z变换的求解
Z 变换与拉氏变 换的关系
有限长序列
线性
单位冲激序列
幂级数法（长除 法）
左边序列
时域平移
单位阶跃序列
部分分式分解法
右边序列
S域平移
单位斜变序列
留数法
双边序列
尺度变换
单位指数序列
共轭
矩形脉冲序列
部分分式分解 法 单位指数序列 留数法 单位脉冲序列
单位斜变序列
时域微积 分 S域微积 分
初、终值 定理
§ 7.1 引言
• 主要内容
•Z变换的发展 •Z变换的引出Fra bibliotek• 重点：z变换的引出
一、Z变换的发展
•Z变换是求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研 究和实践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问 题。 本章主要讨论： •拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏 变换的关系；利用z变换解差分方程； •利用z平面零极点的分布研究系统的特性。