第四节 行列式的计算
考研数学行列式计算方法大放送
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行列式的计算方法有很多种，主要包括代数法、行列代数法以及矩阵分析法等，其中代数法是最常用的计算方法。
一、代数法
根据行列式的定义，任何行列式都可以用其子式的乘积来表示，即行列式的值等于其子式的乘积。
计算方法：
1.等式两边同时乘以行列式除子式的值。
2.将乘出来的结果写成等值式。
3.继续乘积，直到结果显示出来。
例1：求A=
123
456
789
的行列式的值。
A=1*(5*9-6*8)-2*(4*9-6*7)+3*(4*8-5*7)
=1*45-2*36+3*32=0
例2：求B=
3786
2043
1683
2451
的行列式的值。
B=3*(0*(8*1-3*5)-7*(4*1-3*2)+8*(4*5-1*2))-6*(2*(8*1-3*5)-
4*(4*1-3*2)+3*(4*5-1*2))
=3*(-48-112+80)-6*(-24-48+60)=468
二、行列代数法
行列代数法也叫列代数的高斯消去法，是可以直接求出行列式的值的一种计算方法。
计算方法：
1.将原行列式以及左边的数字用矩阵表示出来，以便计算。
2.将矩阵的第一行与其它行进行比较后，得到一个新的矩阵（称为变换矩阵），将该变换矩阵乘以原矩阵，得到一个新的矩阵。
3.将新矩阵的第二行与其它行进行比较后，得到一个变换矩阵，将该变换矩阵再乘以原矩阵，得到一个新的矩阵。
第四节 n阶行列式的性质
乘积，并且它们的行标在D1 中是标准排列的，所以
(1) ( p1 p j pi pn ) a1p1 a jp j aipi anpn (3)
是 D1中的一项。因为排列 p1 p j pi pn和排列 p1 pi p j pn的奇偶性相反，所以（1）式和
（3）式差一个负号，所以D 中任意一项的相反数
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
证明 由行列式定义知
a11 a12 a1n kai1 kai2 kain an1 an2 ann
(1) a1p1 (kaipi ) anpn k (1) a1p1 aipi anpn
a11 a12
第i行 ai1 ai2 D
第 j行
a j1 a j2
an1 an2
a1n 交换其第 i 行和第 j行，有
a11 a12 a1n
ain ,
第i行
a j1 a j2 a jn
a jn
D1
,
第 j行
ai1 ai2 ain
ann
an1 an2 annFra bibliotek由行列式定义可知，D中任一项可以写成
a11 a12 ka13 a21 a22 ka23
a31 a23 ka33
推论2：若行列式中有两行(列)元素成比例，则D
= 0。例如
1 5 2
4 9 0 0
2 10 4
注意：做题时不容易发现。
推论3：若行列式 D 某行(列)元素全为零，则D
= 0。例如
2 13
0 0 0 0
1 2 4
性质4 若行列式的第i 行（列）各元素都
线性代数第1章第4节行列式按行展开
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij
0
0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j
a n , j 1
i j
ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。
行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。
本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。
方法一：定义法行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。
根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。
方法二：对角线法则对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。
对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。
此方法适用于小规模方阵的计算。
方法三：按行展开法按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
按行展开法在计算大规模方阵的行列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。
方法四：按列展开法按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。
选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
方法五：性质法行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。
这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。
利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。
行列式计算规则
行列式计算规则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵和向量的运算中起着重要的作用。
行列式的计算规则是线性代数中的基础知识，掌握了行列式的计算规则可以帮助我们更好地理解矩阵和向量的运算，从而更好地解决实际问题。
1. 行列式的定义行列式是一个数学对象，它是一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所对应的一个标量值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算规则适用于任意n阶方阵。
2. 行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按照代数余子式的定义进行计算。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中a11, a12, ..., a1n是A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
3. 代数余子式的计算代数余子式是行列式计算中的重要概念，它是一个n阶方阵中去掉某行某列后得到的n-1阶方阵的行列式。
代数余子式的计算规则如下：- 对于n阶方阵A的第i行第j列元素aij，它的代数余子式记作Aij，计算公式为：Aij = (-1)^(i+j) * Mij其中Mij是去掉第i行第j列后得到的n-1阶方阵的行列式。
4. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，这些性质在行列式的计算中起着重要的作用。
其中最重要的性质包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号。
- 行列式中某一行（列）乘以一个数k，等于k乘以该行列式。
- 行列式中某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变。
5. 行列式的计算规则根据以上的定义、计算方法和性质，我们可以总结出行列式的计算规则：- 对于一个n阶方阵A的行列式|A|，可以通过代数余子式的定义来计算，即根据公式：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中a11, a12, ..., a1n是A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，它研究了向量空间、线性变换和矩阵等概念。
行列式是线性代数中的一个重要内容，它在矩阵、线性方程组、特征值等方面都有着重要的应用。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
首先，我们来介绍行列式的定义和性质。
行列式是一个数，它是一个关于矩阵的函数，用来描述矩阵的某些性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = a11a22...ann a12a21...an1。
其中a11, a12,..., ann为矩阵A的元素。
行列式有许多重要的性质，比如行列式与转置矩阵的关系、行列式的性质与矩阵运算的关系等，这些性质都是行列式计算的重要依据。
接下来，我们将介绍行列式的计算方法。
对于2阶和3阶矩阵，我们可以直接使用定义进行计算。
而对于更高阶的矩阵，我们可以使用行列式的性质进行简化计算。
比如，我们可以利用行列式的性质将矩阵化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而简化计算过程。
此外，我们还可以利用拉普拉斯展开等方法来计算行列式，这些方法在实际计算中都有着重要的应用。
除了传统的计算方法外，我们还可以利用计算机来进行行列式的计算。
在现代科技的支持下，利用计算机进行行列式的计算已经成为一种便捷和高效的方法。
我们可以使用MATLAB、Python等编程语言来编写程序，实现矩阵的输入和行列式的计算，这不仅可以提高计算的速度，还可以减少计算过程中的错误。
最后，我们需要注意行列式计算中的一些常见问题。
比如，在计算过程中需要注意精度误差的问题，特别是在使用计算机进行计算时更需要注意。
此外，在实际问题中，我们还需要注意行列式的性质和计算方法与具体问题的结合，从而更好地解决实际问题。
总而言之，行列式是线性代数中的重要内容，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。
通过本文的总结，希望读者能够更好地掌握行列式的计算方法，从而在实际问题中更好地应用线性代数的知识。
第四节 行列式的计算
a x a a a
a a x a a
a a a x a
a a a a x
例1.4.4
计算n阶行列式D =
.
山东财政学院统计与数理学院
方法5 递推法.
x 0 0 0 an 1 x 0 0 an 1 0 1 x 0 0 0 0 0 0 0 1 x + a1
例1.4.5 计算n阶行列式Dn =
.
x
an 2 a2
析：某一行（列）至多有两个非零元素，可 以试试按此行（列）展开
山东财政学院统计与数理学院
x 0 Dn = x 0 an 1
1 x 0 an 2
0 1 0 an 3
1 0 x 1 + (1) n +1 an x 1 0 0 a2 x + a1 0 0
x1 Dn = x12 x1n 1
x2 2 x2 n x2 1
xn 2 xn = ∏ ( xi x j ), (n ≥ 2). n ≥i > j ≥1 n xn 1
1 x2
=
证明： 用数学归纳法 证明： 1 (1) 当n=2时, D2 = 时 x1
2≥ i > j ≥1
∏
( xi x j )
0 0 0 an 1
a2 a3 0 1
.
an 1
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方法6 加边法.
例1.4.6 计算n阶行列式 1 + a1 1 1 Dn = 1 1 1 1 + a2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， i ≠ 0, i = 1, 2, n). (a
解二：从最后一列开始，每列都乘x加到前一 列，最后按第一列展开。
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行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来判断线性方程组的解的情况，也可以应用在向量空间、线性变换等诸多领域。
行列式的计算方法主要有初等变换法、代数余子式法和特征值法等。
初等变换法是最常用的计算行列式的方法之一。
它的基本思想是通过对行列式进行一系列的初等行变换，将其化为一个简单的行列式进行求解。
初等行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、将某一行的常数倍加到另一行等操作。
对于一个2×2的行列式A，其计算公式为：| A | = a11* a22 - a12 * a21而对于一个n×n的行列式A，可以通过将其化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而简化计算。
代数余子式法是另一种计算行列式的方法。
它的基本思想是将行列式的展开式转化为代数余子式相加的形式。
代数余子式是指除去行列式中的某一行和某一列后，剩下的元素按原来的顺序构成的一个新的行列式。
通过将行列式展开为代数余子式的和，可以将计算行列式的问题转化为计算若干个较小规模的行列式的问题。
代数余子式的计算比较繁琐，需要使用递归的方法，但对于规模较大的行列式，代数余子式法是比较有效的方法。
特征值法是通过求解方程组的特征值和特征向量来计算行列式。
特征值是一个方阵A 的线性变换在某个特征方向上的伸缩因子，特征向量是对应于特征值的一个非零向量。
特征值和特征向量可以通过求解方程组A-λI=0来获得，其中I为单位矩阵。
而行列式的计算公式为行列式的特征值等于其主对角线上元素的乘积。
通过求解特征值和特征向量，可以将行列式的计算问题转化为求解方程组的问题。
除了以上常用的计算方法外，还有一些其他的特殊情况下的行列式计算方法。
对于三角矩阵来说，其行列式等于主对角线上元素的乘积。
对于对称矩阵来说，可以通过对角化将其化为对角矩阵，从而简化计算。
行列式的计算方法有很多种，初等变换法、代数余子式法和特征值法是比较常见的几种方法。
根据不同的问题和矩阵的性质，选择合适的计算方法可以简化问题，并提高计算的效率。
行列式的计算方法
az bx ax by ay bz
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
xyz D利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.
它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
1 0 Dn 0
x1 x12 1
x2 x1
x2 x1 x2 x22 1
xn x1 xn x2 xn
0
xn x1
xn x2
xn2 1
给加边后的行列式的第1行乘 xi 加到第i行上(i=1,2,…,n)得
1 x1 x2
xn 1 x12 x22 xn2 x1 x2
xn
x1 1 0
0
0
10
0
Dn x2 0 1
②
把 ② 代入① 中得
Dn an xan1 x2 Dn2
依次下去，得
Dn an xan1 x2 Dn2 xn2 D2 ③
而
x D2 a2
1 a1 x
a2
a1x
x2
④
将 ④代入 ③中得
Dn an an1x a1xn1 xn
方法5 升阶法（加边法）
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这 种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。
n1
y
x
y
0
0
0 00 x
0 0x y
降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为
Dn xn (1)n1 yn
x 1 0
0 x 1
00
x
（2） Dn
0
0
0
2-4行列式计算解析
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1
x1 Dn x12
x1n1
x2 x22 x2n1
证 用数学归纳法
1 “归纳法”之例
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
例 1 求解行列式 1 3 3 3 “降阶法”之例 3 2 3 3
D 3 3 3 3 333 9
解 注意到行列式的第 3行、第 3列元素全为 3，所 以可以用第3列的(1)倍加到其余各列上去，再行观察，
1 3 3 3 2 0 3 0 3 2 3 3 0 1 3 0 D 3 3 3 3 0 0 3 0 333 9 0 0 3 6
( xi x j ).
ni j1
例 5 计算下列 n 阶行列式 “分块矩阵法”之例
a
1
a A
1
a
解 将第 n 行依次换到第2行，再将第n列依次
换到第 2列，即得 a1
1a
A
a
a
利用分块矩阵行列式的性质
Akk
O AB
O Bp p
即得
a1
a
1a
a1 a
A
a
1a
a n 1b b b a
1 b b b
1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a
1b b b
第1行的 (-1) 倍分别加到 其余各行！
ab
a (n 1)b
0 a b
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的基本概念，在数学、工程、物理、经济学等众多领域中都有广泛的应用。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中的几种方法。
1.按行（列）展开法按照行或列来展开行列式是一种基本的计算方法。
假设行列式为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$按第1行展开，得到：按照任意一行或一列展开，都可以得到同样的结果。
展开的过程中，每个元素前面加上正负号的符号与其对应的行数和列数有关。
这种方法适用于$3\times 3$的行列式，对于更高维的行列式，效率会大大降低。
2.三角行列式求法如果一个$n\times n$的行列式中有某一行或某一列的元素都是0，那么通过消元可以化简为一个更小的$n-1$阶行列式，然后递归地运用同样的方法求解，最终可以化简为一阶行列式。
这种方法叫做三角行列式求法。
例如，对于$3\times 3$的行列式：将第1列乘以$a_{23}$，再将第2列乘以$a_{11}$，用第2行减去第1行，用第3行加上第1行，得到：继续化简：3.性质计算法行列式有一些性质，可以通过这些性质来计算行列式。
其中最基本的性质是行列式的行列互换性质：将行列式的一行或一列互换，行列式的值反号。
例如：$$\begin{vmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}4 &5 &6 \\1 &2 &3 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=0$$如果行列式某一行可以表示为其他行的线性组合，那么行列式的值为0。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
行列式是线性代数中的重要概念，它可以用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等问题。
行列式的计算方法有多种，下面将简要介绍一些常用的方法。
1. 拉普拉斯展开法：
拉普拉斯展开法是求解任意n阶行列式的一种常用方法。
对于一个n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列，将行列式按照该行或该列进行展开，可得到n个(n-1)阶的代数余子式。
然后按照代数余子式的符号规律，对每个(n-1)阶代数余子式进行乘积运算，再将这些乘积相加，即可得到n阶行列式的值。
2. 三角矩阵法：
三角矩阵法适用于计算上三角或下三角矩阵的行列式。
对于上三角矩阵，行列式的值等于主对角线上的元素之积，即d=a11*a22*a33*...*ann。
对于下三角矩阵，行列式的值等于主对角线上的元素之积的相反数。
4. 初等变换法：
初等变换法是求解行列式的一种简便方法，它通过一系列行变换或列变换将矩阵转化为特殊形式，从而可以直接读出行列式的值。
行变换或列变换不改变行列式的值，因此最后的特殊形式矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。
5. 克拉默法则：
克拉默法则是线性代数中的一种定理，可以用来求解线性方程组的解。
对于n个未知数n个方程的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于0，则方程组有唯一解。
解的表达式可以表示为未知数对应的行列式与系数矩阵的行列式之比。
6. 特征值法：
特征值法适用于计算方阵的行列式。
对于n阶方阵A，如果它的特征值为
λ1,λ2,...,λn，则它的行列式等于特征值的乘积，即|A|=λ1*λ2*...*λn。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。
它是一种用于表示线性变换、矩阵和线性方程组性质的数值指标。
在实际应用中，我们常常需要计算行列式的值。
下面将总结一些常用的行列式计算方法。
一、定义法行列式的定义法是最基本的计算方法。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过如下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^perm] * a[1][p[1]] * a[2][p[2]] * ... *a[n][p[n]]其中，Σ表示求和，perm表示排列p[1]、p[2]、..、p[n]的所有可能情况。
公式中的(-1)^perm是一个符号因子，当一些排列具有奇数个逆序时，符号为负；当一些排列具有偶数个逆序时，符号为正。
这种方法简单直观，但对于大型的n阶矩阵计算复杂度较高。
因此，我们需要探索一些优化方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法也是一种常用的行列式计算方法。
它基于行列式的定义法，并通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^(i+1)] * a[i][j] * det(A[i][j])其中，A[i][j]表示A删去第i行和第j列后的子矩阵。
公式中的Σ表示求和，从j=1到j=n进行累加。
拉普拉斯展开法的优点是可以通过递归地计算子矩阵的行列式来减少计算量，但其复杂度仍然为O(n!)，对于大型矩阵仍然不够高效。
三、行变换法行变换法是一种常用的行列式计算方法，通过矩阵的初等行变换将矩阵转化为易于计算的上（下）三角形式，从而求得行列式的值。
对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下步骤进行计算：1.对A进行初等行变换，将其转化为上（下）三角形形式。
2.计算上（下）三角形矩阵对角线上的元素的乘积，即可得到行列式的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它是一个方阵所具有的一个标量值。
计算行列式的过程中，可以使用几种不同的方法。
一种常见的计算行列式的方法是拉普拉斯展开法。
该方法通过选择一个行或列，将原始矩阵划分为较小的子矩阵，并依次计算这些子矩阵的行列式，然后将它们乘以适当的符号和系数进行求和。
该方法可以分为横向展开和纵向展开两种方式。
对于一个3阶矩阵，横向展开可以选择第一行进行展开，计算公式为：detA = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13)其中det(A11)、det(A12)和det(A13)分别表示A11、A12和A13的行列式，也是较小子矩阵的行列式。
另一种常见的计算行列式的方法是行变换。
行变换可以通过对矩阵进行一系列的操作来简化计算。
常见的行变换包括交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行的倍数加到另一行上。
通过行变换可以将矩阵转换为上三角矩阵，从而简化计算行列式的过程。
对于一个n阶矩阵，行变换的过程可以表示为：其中s表示进行了多少次行交换。
还可以使用行列式的性质和定义来计算行列式。
行列式的定义是一个递归的过程，对于一个2阶矩阵，它的行列式公式为：对于一个n阶矩阵，可以使用行列式的性质，如行列式的相加性和相差性、行列式的倍数以及行列式的性质和定义来计算行列式。
这种方法适用于较小的矩阵，对于较大的矩阵可能计算量较大。
还存在其他一些特殊的方法来计算特定类型的矩阵的行列式，如对称矩阵的特征值法、三对角矩阵的递推法等，这些方法在特定情况下可以更加高效地计算行列式。
计算行列式的方法有拉普拉斯展开法、行变换、行列式的性质和定义，以及特定类型矩阵的特殊方法，根据实际需求选择合适的计算方法可以更加高效地计算行列式。
行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开分布图示★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行（列）展开法则计算行列式★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4内容要点一、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ 或 ⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ其中，⎩⎨⎧≠==ji ji ij ,0,1δ二、行列式的计算直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.例题选讲例1 设有5阶行列式: 1513131200011231452013101-----=D .(1),111=a 其余子式,151331200112145211----=M 其代数余子式.)1()1(11112111111M M M A =-=-=+(2),134=a 其余子式113132001520110134---=M , 其代数余子式.)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+例2求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例3 (E01) 试按第三列展开计算行列式.5021011321014321---=D解 将D 按第三列展开，则有,4343333323231313A a A a A a A a D +++= 其中,313=a ,123=a ,133-=a ,043=a13A 31)1(+-=521013201--,19= 33A 33)1(+-=521201421-,18= 23A 32)1(+-=521013421-- ,63-= 43A 34)1(+-=013201421-,10-=所以 )63(1193-⨯+⨯=D )10(018)1(-⨯+⨯-+.24-=例4 (E02) 计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----527211417)1()1(23---⨯-=+21232r r r r -+ 10921126-.241861926)1(122-=--=--⨯=+例5 (E03) 计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++66027013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例6 (E04) 求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x x x x x x n x x n xn n .证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ----.)1(11000000010001000010000)1(211-++-=-----=n n n x xxx x x x x x例7 (E05) 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121∏≥>≥----==j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法. 2D 2111x x =12x x -=,)(12∏≥>≥-=j i jix x∴当2=n 时(1)式成立. 假设(1)式对于1-n 时成立，则)()()(0)()()(0011111213231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---=)())((11312x x x x x x n --- 2232232111---n nn n n x x x x x xn D ∏≥>≥----=211312)()())((j i n jin x x x x x x x x ∏≥>≥-=1).(j i n jix x例8 设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A3413r r r r +-11202250111111---11222511---= 12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M34r r +311501121)1(010313150111251---=----312r r - .0311501501=-----例9 用拉普拉斯定理求行列式 2100321003210032 的值.解 按第一行和第二行展开 2100321003210032=2132)1(21322121+++-⨯2031)1(31023121+++-⨯+2030)1(32033221+++-⨯+ 0121+-=.11-=例10 计算n 2阶行列式.22nn dc d c b a ba D =(其中未写出的元素为0).解 把n D 2中的第n 2行依次与第12-n 行,…,第2行对调(作22-n 次相邻对换),再把第n 2列依次与第12-n 列, …,第2列对调,得.)(0000000)1()1(2)1(21)22(22----==-=n n n n D bc ad D D dcdc b a ba d cb a D以此作递推公式,得.)()()(21)1(22n n n n bc ad D bc ad D bc ad D -=-==-=--课堂练习1. 计算行列式 .3351110243152113------=D2. 讨论当k 为何值时.02002000110011≠kkk3.设n 阶行列式 ,0010301021321n n D n=求第一行各元素的代数余子式之和.11211n A A A +++。
行列式的计算方法
行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念和计算方法之一，可以用于解线性方程组、求特征值和特征向量等问题。
行列式的计算方法有多种，包括按定义展开式法、初等变换法和特殊行列式计算法等。
下面将详细介绍这些方法。
1. 定义展开式法行列式的定义展开式法是一种通过递归计算的方法。
对于一个2×2的行列式A= [a b; c d]，其行列式的计算公式为：|A| = ad - bc。
对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，可以通过以下公式计算行列式：|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)这个方法的缺点是计算步骤繁琐，计算复杂度高，所以对于高阶的行列式往往不适用。
2. 初等变换法初等变换是指对行列式的某两行（列）进行加减乘除等操作，可以改变行列式的值，但保持行列式的性质。
通过进行初等变换，将原始的行列式变换为一个上三角矩阵的行列式，即只有主对角线以下的元素全为0。
这样，行列式就可以简化为：|A| = a11 * a22 * … * ann，其中a11、a22、…、ann分别为上三角矩阵的对角线上的元素。
由于初等变换不改变行列式的值，我们可以根据这个特性进行计算。
例如，对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，首先使用初等变换将矩阵变换为上三角矩阵：对第三行乘以a11，然后第三行减去第一行的a13倍，再将第二行减去第一行的a12倍：[a b c; d e f; g h i] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11]接着对第三行进行初等变换将第三行的元素变为0：[a b c; d e f; 0 h i - g*a11] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11 - h*a22]最终得到的上三角矩阵为：[a b c; d e f; 0 0 i - g*a11 - h*a22]根据行列式的性质，我们可以得出：|A| = a * e * (i - g*a11 - h*a22)= e * (ai - ag*a11 - ah*a22)= e * i - e * (g*a11 + h*a22) + e * ag*a11 + e * ah*a22这样，行列式的计算就变为了替代计算。
计算行列式常用的7种方法
计算行列式常用的7种方法行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有多种方法可供选择，下面将介绍行列式的常用计算方法。
1.代数余子式展开法代数余子式展开法是计算行列式的最常用方法之一、对于n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列展开。
选择一行展开时，可以使用代数余子式，即将每一元素乘以其代数余子式后再求和。
例如，对于3阶行列式\(\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h &i\end{bmatrix}\)选择第一行展开，计算行列式的值为\(aA_{11} - bA_{12} +cA_{13}\)，其中\(A_{ij}\)表示第i行第j列元素的代数余子式。
类似地，可以选择列展开，使用代数余子式计算行列式的值。
2.初等变换法初等变换法是计算行列式的另一种常用方法。
通过一系列的行变换或列变换，将行列式转化为三角形矩阵或对角矩阵。
对于三角形矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积；对于对角矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积。
初等变换包括行交换、行缩放和行加减，可以有效地简化行列式的计算过程。
3.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式的一种常用方法，适用于任意阶的行列式。
选择其中的一行或一列展开，将行列式拆解为一系列子行列式的乘积。
每个子行列式的阶数比原行列式小1，可以继续进行递归的计算。
拉普拉斯展开法可以使用代数余子式进行计算，也可以利用构造矩阵的方式计算。
4.三对角矩阵法三对角矩阵法适用于计算特殊形式的行列式，即矩阵中除了对角线和相邻对角线上的元素外，其他元素都为0的情况。
计算三对角矩阵的行列式可以通过逐步化简为二阶或一阶行列式进行计算。
这种方法可以加速计算过程，特别适用于较大阶数的行列式。
5.特殊行列式法对于特殊形式的行列式，例如范德蒙行列式、希尔伯特行列式等，可以利用其特殊性质进行计算。
第四节行列式按一行（列）展开
第四节行列式按一行(列)展开将高阶行列式化为低阶行列式是计算行列式的又一途径，为此先引进余子式和代数余子式的概念．在n 阶行列式中，划去元素aij 所在的行和列，余下的n-1阶行列式(依原来的排法)，称为元素aij 的余子式，记为Mij.余子式前面冠以符号(-1)i+j ，称为元素aij 的代数余子式，记为Aij ＝（－１）i+j Ｍij.例如四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中,元素23a 的余子式和代数余子式分别为11121423313234414244;a a a M a a a a a a =23232323(1)A M M +=-=-引理一个n 阶行列式D ，如果第i 行所有元素除ij a 外全为零，则行列式.ij ij D a A =证先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时11212221200,nn n nna a a a D a a a = 这时第三节例4中当k=1时的特殊情形，按第三节例4的结论有11111111D a M a A ==.再证一般情形，此时1111100.j n ij n nj nna a a a D a a a = 我们将D 作如下的调换：把D 的第i 行依次与第i-1行，第i-2行，…，第1行对调，这样数ij a 就调到了第1行第j 列的位置，调换次数为i-1次；再把第j 列依次与第j-1列，第j-2列，…，第1列对调，数ij a 就调到了第1行第1列的位置，调换次数为j-1，总共经过(i-1)+(j-1)次对调，将数ij a 调到第1行第1列的位置，第1行其他元素为零，所得的行列式记为D １，则，而ij a 在D １中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式Mij ，利用前面的结果，有1ij ijD a M =于是1(1)(1)i j i j ij ij ij ijD D a M a A ++=-=-=定理4.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即Ｄ＝ai １Ai １＋ai2Ai2＋…+ainAin(i=1,2,…，n),或Ｄ＝a １jA １j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj(j=1,2,…，n)．证1112112120000000n i i inn n nn a a a D a a a a a a =++++++++++11121111211112112121212000000,n n n i i in n n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++根据引理有Ｄ＝ai1Ai1＋ai2Ai2＋…+ainAin ＝∑nk=1aikAik(k=1,2,…，n)．类似地，我们可得到列的结论，即Ｄ＝a1jA1j ＋a2jA2j ＋…+anjAnj ＝∑nk=1akjAkj(j=1,2,…，n)．这个定理称为行列式按行(列)展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可将行列式降阶，从而达到简化计算的目的．例1再解第三节中例1．解25120010371412165927112346122110D -----==---1311126300(1)11311321021013(1)(3)10++--=-=--=-⨯--＝－３×（－１）×（－１）×３＝－９．例2计算行列式11211nnn nna b a b D c d c d =解按第1行展开有111121111000000n n n nn n na b a b D a c d c d d ----=11111211110(1)00000n n nn n n na b a b b c d c d c --+--+⨯-2(1)2(1)2(1)(),n n n n n n n n n n n a d D b c D a d b c D ---=-=-,以此作递推公式，得22(1)11112(2)111111222211111111111()()()()()()()()()(),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ni i i i i D a d b c D a d b c a d b c D a b a d b c a d b c a d b c c d a d b c a d b c a d b c a d b c --------------==-=--==---=---=-其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积．例3证明范德蒙(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏（４．１）证用数学归纳法证明．当n=2时，211211()i j n i j D x x x x ≥≥==-∏ (4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n 阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn 降阶，从第n 行开始，后一行减前一行的1x 倍得2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------按第1列展开，并提取每一列的公因子，有232131122223111()()()n n n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n ≥i ＞j ≥2（xi －xj ），故2131121()()()()().n n i j n i j i j n i j D x x x x x x x x x x ≥≥≥≥=----=-∏∏显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x １，x ２，…，xn 互不相等．由定理4.1还可以得到下述推论．推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0,i ≠j ，或a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0,i ≠j ．证作行列式(i ≠j)11121121212ni i ini i in n n nna a a a a a a a a a a a 则除其第j 行与行列式D 的第j 行不相同外，其余各行均与行列式D 的对应行相同．但因该行列式第i 行与第j 行相同，故行列式为零．将其按第j 行展开，便得ai １Aj １+ai ２Aj ２＋…＋ainAjn=0.同理可证a1iA1j+a2iA2j ＋…＋aniAnj=0．将定理4.1与推论综合起来得∑nk=1aikAjk ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j,或∑nk=1akiAkj ＝Ｄ，i ＝j,０，i ≠j.下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理．先推广余子式的概念．定义4.1在一个n 阶行列式D 中，任意取定k 行k 列(k ≤n)，位于这些行与列的交点处的k ２个元素，按原来的顺序构成的k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式；而在D 中划去这k 行k 列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k 阶行列式N ，称为k 阶子式M 的余子式．若k 阶子式M 在D 中所在的行、列指标分别为i １，i ２，…，ik 及j １，j ２，…，jk ，则（－１）(i １＋i ２＋…＋ik ）＋（j １＋j ２＋…＋jk ）Ｎ称为k 阶子式M 的代数余子式．如在五阶行列式111213141521222324255152535455a a a a a a a a a a a a a a a 中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式21245154a a M a a =的余子式121315323335424345a a a N a a a a a a =而代数余子式为2514(1).N N +++-=*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行(或列)，则行列式D 等于由这k 行(列)元素组成的一切k 阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)例4用拉普拉斯定理计算行列式12140121.10130131D -=解若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有246C =个123456121114,,,010*********,,.121121M M M M M M ===-===--其对应的代数余子式为123456130301,,,311113131110,,.010301A A A A A A ==-===-=则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１＝－７．注当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．。
行列式的计算方法(常见)ppt
01
02
03
正确理解行列式的正负 号规则，行列式中元素 的排列顺序会影响符号
。
注意行列式中行和列的 交换对符号的影响，行 和列的交换会导致行列
式的符号发生变化。
正确处理行列式中元素 的正负号，避免因为符 号错误导致计算结果错
误。
理解行列式的几何意义
行列式可以表示一个n维向量的线性变换，理解这一几何意义有助于更好 地理解行列式的计算方法。
征向量。
在求解过程中，行列式用于判断特征值是否存在，以及计算特
03
征值和特征向量的数值。
04
行列式计算的注意事项
避免计算错误
01 仔细核对行列式的元素，确保没有遗漏或错误。 02 使用行列式计算法则时，要确保每一步都符合规
则，避免出现计算错误。
03 多次检查计算过程，确保每一步都正确无误。
注意行列式的符号问题
通过几何意义可以直观地理解行列式的值，以及行列式在几何空间中的作 用。
理解行列式的几何意义有助于更好地理解行列式在解决实际问题中的应用， 例如线性方程组求解、向量空间等。
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在矩阵计算中的应用
行列式在矩阵计算中主要用于计算矩 阵的逆、行列式、转置等。
行列式在矩阵的初等变换中也有应用 ，例如通过行列式值不变的特性，可 以判断矩阵是否可以通过初等行变换 或初等列变换化为单位矩阵。
在特征值和特征向量计算中的应用
01
行列式在特征值和特征向量的计算中起到关键作用。
02
通过行列式与特征多项式的计算，可以求出矩阵的特征值和特
计算方法
根据行列式的性质和已知的行列式值，推导出更高阶行列式的递推 关系式，然后逐步计算出高阶行列式的值。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式的计算方法总结行列式的计算方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值为便于考生综合复习及掌握概念间的.联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。
特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。
对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：一是利用行列式的性质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。
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山东财政学院统计与数理学院
方法2 将行列式化为上（下）三角形行列式来计算.
3 1 1 2 5 1 3 4 例如，计算行列式D 2 0 1 1 1 5 3 3
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方法3 行列式左上角到右下角的每一条斜线中的数正好是 “杨辉三角” 中的数. 1 1 1 1
证明： 因为aij a ji , 所以aii 0, i 1, 2,, n.
0 a12 D a13 a1n a12 0 a23 a2 n a13 a23 0 a3n a1n a2 n 转置 a3n 0
0 a12 a13 a1n a12 0 a23 a2 n a13 a1n a23 a2 n 0 a3n DT a3n 0
最后
Dn xn1D1 a2 xn2 an1x an
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解二：从最后一列开始，每列都乘x加到前一 列，最后按第一列展开。 解二：从第一列开始，每列都乘1/x加到下一 列。
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练习： a1 0 计算n阶行列式Dn 0 0 1 a1 a2 0 0 1 0 a2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 an 1 .
0 2 7 3
4 2 0 2
0 2 0 2 ，
求M 41 M 42 M 43 M 44的值.
注：求行列式某一行（列）元素的的代数余子 式的代数和等于计算一个行列式，此行列式是 由原行列式把代数余子式所在的行的元素换为 相应的系数得到的
解： M 41 M 42 M 43 M 44 (1) A41 A42 (1) A43 A44
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x 0 0 0 an
1 x 0 0 an 1
0 1 x 0 an 2
0 0 0 x a2
0 0 0 1 x a1
x 0 Dn x 0 an 1
1 x 0 an 2
0 1 0 an 3
0 0 x a2
1
1 xn x1 xn ( xn x1 )
n 1 x2
n 2 xn ( xn x1 )
按第一列展开，并把每列的公因子(xi -x1 )提出
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1 x2 Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) n 2 x2
§1.4
方法1 按某一行（列)展开
行列式的计算
若某一行（列）有很多零，则按这一行（列）展开；否则， 可以试着通过行列式的性质使某一行D 2 3
1 2 1 2
7 1 4 3 0 1 2 1
注：观察一、二、四列
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3 例1.4.2 设行列式D 3 0 5
n-1阶范德蒙德行列式
1 x3 n 2 x3
1 xn n 2 xn
例1.4.8 （反对称行列式）一个n阶行列式D aij .若它的元素满足 aij a ji , (i, j 1, 2,, n) 证明：当n为奇数时，行列式D 0.
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1 a3
1 an 1
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解 在保持原行列式不变的情况下，将n阶变为n 1阶 1 0 Dn 0 0 0 1 1 a1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an
1 a2
1 an 1
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方法5 递推法.
x 1 0 x 0 0 例1.4.5 计算n阶行列式Dn 0 0 an an 1 0 1 x 0 an 2 0 0 0 0 0 0 . x 1 a2 x a1
析：某一行（列）至多有两个非零元素，可 以试试按此行（列）展开
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练习：计算n阶行列式 1 2 Dn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 n .
2
2 n 1
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例 1.4.7 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 1 1 1 x1 x2 xn 2 2 Dn x12 x2 xn ( xi x j ), (n 2). n i j 1 n 1 n 1 x1n 1 x2 xn
(1)n D
又由于 DT D，即D (1)n D,当n为奇数时，D 0.
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1 例1.4.3 计算行列式D 1 1 (1) 3 4 1 (1) 2 3 0 (1) 1 2 解：D 0 0 2 3 4 1 1 1 1 3 6 10 1 2 3 4 4 . 10 20 1 3 6 10
是否所有此类行列式都等于1？
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证明：用数学归纳法 1 1 (1) 当n=2时, D2 x1 x2
2i j 1
( xi x j )
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(2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，下证n阶也成立.
1 x1 Dn x12 x1n 1 1 x2 2 x2
1 1 1 xn 0 x2 x1 x3 x1 2 xn x2 ( x2 x1 ) x3 ( x3 x1 ) 0 n 1 n 2 n 2 xn 0 x2 ( x2 x1 ) x3 ( x3 x1 )
a3
an
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方法6 加边法.
例1.4.6 计算n阶行列式 1 a1 1 Dn 1 1 1 1 1 a2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an ， (ai 0, i 1, 2, n).
方法4 行列式各行（列）中诸元素的和相等.
x a a a a a x a a a a a x a a 计算n阶行列式D . a a a x a a a a a x
a 0 a b b a 0 a a b a 0
例1.4.4
0 a 练习：计算行列式D＝ b a
0 0 (1) n 1 a n 1 x a1
1 0 x 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 x 1
因而得递推关系 Dn xDn1 an 进而 Dn x( xDn2 an1 ) an x2 Dn2 an1x an