2.8幂函数与反比例函数

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幂函数反函数反比例

〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．反函数反函数的基本知识点一．定义：设式子)(x f y =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ϕ=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==ϕ，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。

（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域，()图象在点图象上）在（点几何语言：)(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b fb a f --='⇔==⇔=（3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．二．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2）由)(x f y =的解析式求出)(y x ϕ=（3）将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。

6.幂函数、二次函数与反比例函数

5.(08’江西理,12）已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1， g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( B ) A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(-∞,0)
f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在[n，m]的值域
f (x)在y轴右侧的图象是上升的曲线.
x 1 例3.作函数f ( x ) 的大致图象,并指出单调区间, x 1 求出x [1,1) (1, 2]时f ( x )的值域.
( x 1) 2 2 解 : f ( x) 1 x 1 x 1
由图象知 f ( x )的单调减区间是(,1)和(1, ).
2
a 6或
3
变式训练:
9 函数 f ( x ) 3 x 3 x 4m , x [ m ,1 m], 4 该函数的最大值是25.求m的值.
2 2
5 13 m bx+c满足条件 f(x-3)=f(5-x) ,且方程f(x)=x有相等实根.
2
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|. [1, 1 ]
2
3.(2010’广东文,20)已知函数f (x)对任意实数 x 均有 f (x)=kf (x+2)，其中常数k为负数，且f (x)在区间 [0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).
3 (1)求f (-1), f (2.5)的值； k , 4k (2)写出f (x)在[-3,3]上的表达式，并讨论函数f (x)在
反比例函数. 2. 图象:
k0 k0
x
例.已知
f ( x) (m m) x
2
m2 2 m1

高中数学备课教案幂函数与反比例函数的基本性质与像

高中数学备课教案幂函数与反比例函数的基本性质与像敬爱的数学教师：以下是我为您准备的关于幂函数与反比例函数的基本性质与像的备课教案，请您审阅：一、幂函数的基本性质与像（1）定义：幂函数是指函数y = f(x) = ax^n，其中a和n是实数常数，且n≠0。

当n>0时，幂函数是指数函数的延伸；当-n<1时，则称其为幂函数。

（2）幂函数与图像：幂函数的图像特点如下：a）当n为正偶数时，函数的图像呈现出类似开口向上的U形。

例如，当n=2时，函数图像为抛物线；当n=4时，函数图像为双曲线。

b）当n为正奇数时，函数的图像呈现出类似S形。

例如，当n=3时，函数图像为倒开口向上的抛物线。

c）当n为负数时，函数的图像在定义域上根据a的正负而有所不同。

（3）幂函数的性质：a）定义域：当n>0时，幂函数的定义域是全体实数；当n<0时，幂函数的定义域是正实数。

b）值域：幂函数的值域与定义域有关，根据n的奇偶性和a的正负性决定。

二、反比例函数的基本性质与像（1）定义：反比例函数是指函数y = f(x) = k/x，其中k为常数，且k≠0。

（2）反比例函数与图像：反比例函数的图像特点如下：a）图像经过原点（0,0）。

b）当x不等于0时，函数的图像为开口向右下或开口向左上的双曲线。

c）当k>0时，函数的图像开口朝右上和左下；当k<0时，函数的图像开口朝右下和左上。

（3）反比例函数的性质：a）定义域：反比例函数的定义域是除了x=0的全体实数。

b）值域：反比例函数的值域是除了y=0的全体实数。

三、幂函数与反比例函数的比较（1）定义：幂函数和反比例函数都属于函数的一种，是数学中常见的特殊函数形式。

（2）图像比较：a）幂函数和反比例函数在图像表现上有明显的差异，幂函数的图像一般是U形或S形，而反比例函数的图像则是双曲线。

b）幂函数的图像在直线y轴左侧和右侧都存在；而反比例函数的图像在y轴左侧和右侧不存在。

高中数学函数知识点知识点总结(反比例函数、对数函数、幂函数……)

高中数学函数知识点知识点总结（反比例函数、对数函数、幕函数）姓名：___________扌旨导: __________日期：___________一次函数”(-)函数・1、确定函数定义域的方法："(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；J(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；"(3 )关系式含有二欠根式时,被开放方数大于等于零；"(4)关系式中含有指数为孝的式子时,底数不等于零；"(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义・J(二)—次函数Q1, 一次函数的定义“—般地,形如尸仗"(上,是常数，且斤工O )的函数，叫做一次函数，其中X是自变量。

当“°时，一次函数尸肚,又叫做正比例函数.亠(1)-次函数的解析式的形式是V= kx+ b I要判断一Φ函数是否是一次函数.就是判断是否能化成以上形式.Q(2)当“° , “°时，尸心仍是一次函数,(3)当"O , & =O时，它不是一次函数2⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数22、正比例函数及性质＜」一般地，形如y=kx(k是常数f kH0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数屮WW注：正比例函数TS形式y=⅛ (k不为零)Q) k不为零②X指数为1③b取零门k<0时，直线y=kx经过二四象限r从左向右下降，即随X増大y反而减小，(1)解析式:y=kx ( k是常数f k≠0)÷j⑵必过点：（0. 01 （I f k）^⑶走向：k>0时.图像经过一、三象限；k<0时.图像经过二、四象限S⑷增减性:k>0 , y随X的增大而增大；k<0 . y随X増大而减小相⑸倾斜度:Ikl越大r I匠y轴；Ikl越小『越接近对叶3.一次函数及性质Q→S½ ,形如y=kx + b（k,b是常数r k≠O）f SP^yDi≡×的一次函数•当 b=0时r y=kx* WvV VVWΛΛ* * VAA.亠b即y=kx f所以说IE比例函数是一种特殊的一次函数屮注：一次函数Tg形式y=l密妁（k不为零）①k不为零②X指数为1③b取任意实数=一次函数y=k×÷b的图象是经过（0.b）和（--f 0）两点的一条直线f我们称它为VW√V√VKZ⅝A 3直线y=kx+b它可以看作由直线y=k×平移Ibl个单位长度得到.（当b>0时，向上平移;当V√√VvVV⅛A WW√■b<0时■向下平移）卩(1) 解析式：y=kχ÷b(k. b 是窜数 r k≠ OWWhA %^Z ⅛ΛA(2) 必曲:(0,b)和(+ .0) “(3 )走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0f 图象经过第二、四象限'•b>0 r 图象经过第一、二象限；b<0 ,图象坯过第三、四象限<k>0 C O 宜线经过第一・二三象限 b>0 λ >0 C O 貢线经过第一.三.四象限÷,b<0fJt < 0L Co 直线经过第一・二四象限 b > 0 ⅛ <0LCO 直线经过第二三、四象限， b<0(4 )増减性:k>0 . y 隧X 的増大而増大；k<0 , y 随X 増大而减小屮<J(6 )图像的平移:当b>0时.将直线y=kx ^[≡象向上平移b 个单位；卩当b <0时.将直线y=kκ的图象向下平移b 个单位•根据几何知识：经过两点能画出一条直线r 并且只能画出一条直线f 即两点确定一条直线I 所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可•一般情况下：是先选取(5 )倾斜度:IICl 越大,图剝近于y 轴；|町越小，图象越接近于X 轴*（b \它与两坐标轴的交点√0,b）f k丿•即横坐标或纵坐标为0的点屮5、正比例函数与一次函数之间的关系Q一次函数y⅛x÷b的图象是一条直线■它可以看作是由直线y=⅛∖平移Ibl个单位长度而得到（当b>0时’向上平移；当b<0时.向下平移N6、正比例函数和一次函数及性质36、直线y =k x x + b l( Λl≠ O )与 F= k2x +b2 ( k2≠ Q )的位置关系 A(1)两直线平行o Jt I= &且知≠ bf(2)两直线相交OhHh2(3 )两直线重合u> Jt l=处且久=b2v(4)两直线垂直o火禹=一13人用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：，(1)根据已知条件写岀含有待定系数的函数关系式；，(2 )将X. y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；Q(3)解方程得出未知系数的值；“(4)将求岀的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式J8、一^-次方程与一次函数的关系。

反比例函数与幂函数

7.(2010 年厦门模拟)定义：若存在常数 k，使得对定义域 D 内的任意两个 x1 , x 2 ( x1 x 2 ) ，均有 | f ( x1 ) f ( x 2 ) | k | x1 x 2 | 成立，则称函数 f(x)在定义域 D 上满足利普希茨条件．若函数 f ( x ) 值为________
4 .( 12 浦东模拟 ) 若 { 1, 3 ,
5.(12广一模)已知幂函数 y m 5 m 7 x
则实数 m 的值为
3
．
6 .已知 ( a 1)

1 3
(3 2 a )

1 3
，求 a 的取值范围
y＝xα
3. 五种幂函数的性质比较
y x
y
y x
y
2
y x
y
3
y x
y
1 2
y x
y
1
图象
O
x
o
o
x
x
o
x
o
x
定义域值域
R R
R
[0,+∞)
R R
[0, +∞) [0, +∞)
{x| x ≠ 0}
{ y| y≠ 0}
奇偶性奇函数
偶函数
奇函数非奇非偶
增函数增函数
奇函数
x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数 k 的最小
1 2
3.单调性：在________________上是增函数；
( k ,0 )和 ( 0 , k ) 在 ________________上是减函数； ( , k ) 和 ( k , )
1．下列命题中正确的是( D ) A．当n＝0时,函数y＝xn的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0, 0)、 (1, 1)两点 C．幂函数的图象可能出现在第四象限 D．图象不经过点(－1, 1)的幂函数一定不是偶函数

幂函数与反比例函数的性质教学方法总结

幂函数与反比例函数的性质教学方法总结在数学教学中，幂函数和反比例函数是常见的两类函数。

幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数，而x是自变量；反比例函数则是指形如f(x) = a/x的函数，其中a是常数，x是自变量。

本文将就幂函数和反比例函数的性质以及相应的教学方法进行总结和探讨。

一、幂函数的性质：1. 定义域和值域：对于幂函数f(x) = ax^b，当b是整数时，函数的定义域为全体实数，值域则依赖于a的正负性质；当b是分数时，函数的定义域为使得x^b存在的实数集，值域也与a的正负性质相关。

2. 增减性和奇偶性：对于不等于0的幂函数，当b为正数时，函数在整个定义域上递增；当b为负数时，函数在整个定义域上递减。

而幂函数一般是奇函数或偶函数，具体取决于幂指数。

教学方法：1. 引导学生观察：通过给出具体的幂函数图像，引导学生观察函数在不同幂指数下的变化规律，进而推导出幂函数的增减性和奇偶性。

2. 给出具体例子：通过实际问题引出幂函数的应用，例如面积与边长的关系等，使学生能够将幂函数的性质应用到实际问题中。

二、反比例函数的性质：1. 定义域和值域：反比例函数f(x) = a/x的定义域为除去x=0的全体实数集，值域也依赖于a的正负性质。

2. 增减性和奇偶性：反比例函数在定义域内是单调递减的，并且是奇函数。

教学方法：1. 观察并比较：给出反比例函数图像，并与线性函数的图像进行比较，引导学生观察反比例函数的特点和与线性函数的区别。

2. 实际问题的应用：通过实际问题引入反比例函数的应用，如速度与时间、工人数量与完成工作所需时间等，使学生能够理解反比例函数的实际意义和应用方法。

综上所述，对于幂函数和反比例函数的教学，我们可以通过观察函数图像、给出具体例子以及引入实际问题的应用等方法来帮助学生理解和掌握这两类函数的性质。

同时，针对不同的年级和学生水平，可以适度地调整教学内容和深度，以确保教学效果的最大化。

11.幂函数与反比例函数(教师版)

k幂函数与反比例函数（教师版）【知识梳理】1. 反比例函数形如(0)ky k x=≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数;(4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减;当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增;(5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1.3. 幂函数的图像(1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ):(2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设nk m=(m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数⇔图像出现在第二象限; 为奇函数⇔图像出现在第三象限.【基础训练】1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN =2. 幂函数()f x的图像经过点, 则(8)f =3.函数12(0)y x x x=+<单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数,则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤;不与坐标轴相交, 则0k ≤;不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像.(1)32y x =; (2)43y x =; (3)53y x =; (4)23y x -=.【例题解析】例1. 在22919()(279)mm f x m m x -+=--中, 当m 为何值时,(1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0,得22 3 or 6919139127902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=⎪⎪⇔⇒=⎨⎨-≤≤--<⎪⎪⎩⎩; (2)由题意, 图像在第一, 三象限, 则22790m m -->, 得22 4 or 5919159(,1)(,)27902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=-⎪⎪⇔⇒=⎨⎨∈-∞-⋃+∞-->⎪⎪⎩⎩.(,-∞[0例2. 已知幂函数21(732)35(1)(Z)t t y t t xt +-=-+∈是偶函数, 且在区间[0,)+∞上是增函数, 求整数t 的值, 并作出相应的幂函数的大致图像. 解: 由题意3110 or 1t t t t -+=⇔==±,当0t =时, 则75y x =, 是奇函数, 不合题意;当1t =时, 则85y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(1); 当1t =-时, 则25y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(2).例3. 已知函数221m m y x--=在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大负整数值.解: 原函数等价于22(0)m m y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.[评注]事实上, 如果注意到22(1)2m m m m +-=+-, 当m 是整数时, (1)m m +一定是偶数,那么(1)2m m +-一定是偶数, 因此这个函数一定是偶函数.例4. 已知1133(2)(12)a a --+>-, 求实数a 的取值范围.[分析]本题是典型的利用函数的单调性求解不等式的题型, 在这里首先需要弄清要使用哪一个函数的单调性; 其次要知道这个函数的单调区间有哪些. 解法一: 由函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞分别单调递减, 因此可知:情形一: 1021223a a a <+<-⇔-<<-;情形二: 121202a a a +<-<⇔>且13a <-, 无解; 情形三: 112022a a a -<<+⇔>;综上所述, a 的取值范围是123a -<<-或者12a >.解法二: 原不等式等价于113311212⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭a a ;由13=y x 在R 上单调递增, 则有11112>+-a a, 解不等式得11(2,)(,)32∈--⋃+∞a .[评注]解法二相比解法一来说要略为简介, 省去了讨论的过程, 本质是因为其选择了一个仅有一个单调区间的函数, 因此不必讨论; 而解法一选择的函数是分段单调的, 因此不仅要讨论每一段上的情形, 还要讨论自变量取在不同段上时的情形. 一般而言, 我们尽可能选择在整个定义域上只有一种单调性的函数来求解不等式.例5. 设函数2245()44x x f x x x ++=++, 作出()y f x =的大致图像, 讨论()y f x =的性质, 并比较()f π-与(f . 解:2224411()144(2)x x f x x x x +++==++++,它的函数图像是有2y x -=向左两个单位, 向上一个单位平移所得, 其大致图像如图所示,定义在{|2,R}≠∈x x x 上的非奇非偶函数, 值域为(1,)+∞, 在(,2)-∞-上单调递增, (2,)-+∞单调递减, 其图像关于直线2=x 成对称轴图形. 由π-到2-的距离约为1.414,而到2-的距离约为1.292;因此有()f f π-<.【巩固练习】1. 若幂函数()=y f x的图像过点, 则函数的解析式为_____________;2. 设3111{2,,,,,1,2,3}5232α∈----, 已知幂函数α=y x 是奇函数, 且在区间(0,)+∞上是减函数, 则满足条件的α的值是____________;3. 函数12-=+x y x 的图像的对称中心是__________;4. 试写出一个函数, 使之满足: (1)它是两个幂函数组的和函数; (2)自然定义域为(0,)+∞; (3)最小值为2; 则解析式为5. 幂函数223(Z )--+=∈m m y x m , 且为偶函数, 则m 的值为______; 解: 与坐标轴无交点, 则2230[1,3]--≤⇔∈-m m m ,结合m 是正整数, 得{1,2,3}∈m ,2()-=f x x 31,53--(2,1)- 1 or 3()f x =当1=m 时, 4-=y x , 偶函数; 当2=m 时, 3-=y x , 奇函数; 当3=m 时, 0=y x , 偶函数; 综上所述, m 的值为1或3. 6. 若幂函数2223(1)mm y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数, 则m 的值为____; 7. 设()y f x =与()=y g x 是两个不同的幂函数, 集合M {|()()}==x f x g x , 则集合M 中的元素个数是……………………………………………………………………………….( B ) A. 0或1或2 B. 1或2或3 C. 1或2或3或4 D. 0或1或2或3 解: 幂函数的图像都过点(1,1), 因此不可能无交点;当两个幂函数都是指数小于0的非奇非偶函数时, 它们图像的交点个数为1, 例如: 幂函数32y x -=和52y x -=;当两个幂函数都是指数大于0的非奇非偶函数时, 它们图像还交于(0,0), 例如: 幂函数32y x =和52y x =;当两个幂函数都是指数大于0的奇(或偶)函数时, 它们图像还交于(0,0)和(1,1)--(或(1,1)-), 例如: 幂函数3y x =和y x =;另一方面, 由于幂函数的图像至多过两个象限, 在每个象限中的交点至多一个1, 再加上当指数大于0时过(0,0), 因此交点个数之多为3个. 因此可能的交点个数为1或2或3.8. 已知幂函数q py x =(p ,q 互质)的图像如图所示, 则………………………….………….( B )A. p ,q 均为奇数B. p 是奇数, q 是偶数, 且01q p<< C. p 是偶数, q 是奇数 D. p 是奇数, q 是偶数, 且1qp>9. 若1133(1)(32)x x --+<-, 求实数x 的取值范围.解: 即113311132x x ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 由13y x =单调递增, 有11132x x <+-, 解不等式得23(,1)(,)32-∞-⋃.10. 讨论函数2222()21x x f x x x -+=-+的性质, 并比较(1)f -与()f π的大小.解: 类似例4可知:定义域: (,1)(1,)-∞⋃+∞; 值域: (1,)+∞;奇偶性: 非奇非偶; 图像: 关于直线1x =成轴对称; 单调性: (,1)-∞上单调递减, (1,)+∞上单调递增;(1)(3)()f f f π-=>.1需利用函数递增速度的快慢来说明.211. 已知函数1133()5x xf x --=, 1133()5x x g x -+=,(1) 证明: ()f x 是奇函数, 并求()f x 的单调区间;(2) 分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值, 由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的, 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式, 并加以证明. 证明: (1)函数的定义域为R, 关于原点对称;任取R x ∈, 则11113333()()()()55x x x x f x f x ---+-+-==-=-;综上所述, 函数为奇函数;解: (2)(4)5(2)(2)0f f g -=, (9)5(3)(3)0f f g -=;猜得2()5()()0f x f x g x -=.证明: 222331()()5f x x x -=-,11112233333315()()5()555x x x x f x g x x x ---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2()5()()0f x f x g x -=.。

幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质

幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质幂函数与反比例函数的像和性质一、幂函数的像和性质幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数常数，且x为定义域内大于0的实数。

幂函数的像和性质主要包括指数的正负和取值范围、幂函数的图像特征及对称性。

1. 指数的正负和取值范围当指数a大于0时，幂函数的定义域为正实数集(0, +∞)，这是因为幂函数要求x大于0，否则会得到非实数结果。

当指数a小于0时，幂函数的定义域为非零实数集R*，这是因为幂函数求倒数时，要求x不能等于0，否则会得到无穷大的结果。

根据指数的正负和取值范围的不同，幂函数的图像会有所区别。

2. 幂函数的图像特点当指数a大于1时，幂函数的图像呈现上开弯曲的形状，随着x的增大，函数值也越来越大，增长速度逐渐加快。

当指数a介于0和1之间时，幂函数的图像呈现上开但趋于平缓的形状，随着x的增大，函数值增长速度逐渐减慢。

当指数a等于1时，幂函数的图像为一条直线，斜率为1，函数值与x成正比。

当指数a小于0时，幂函数的图像呈现下开的形状，随着x的增大，函数值趋于0但不等于0。

3. 幂函数的对称性当指数为偶数时，幂函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)，图像关于y轴对称，左右两侧形状相同。

当指数为奇数时，幂函数具有原点对称性，即f(x)=-f(-x)，图像关于原点对称，左右两侧形状颠倒。

二、反比例函数的像和性质反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数常数。

反比例函数的像和性质主要包括定义域、图像特征及其与幂函数的关系。

1. 反比例函数的定义域反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数集，因为反比例函数的分母不能为零。

2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像为一个以原点为对称中心的一条曲线，其左右两侧的形状相似但关于y轴对称。

随着x的增大，函数值逐渐逼近0但不会等于0；随着x的减小，函数值也逐渐逼近0但不会等于0。

3. 反比例函数与幂函数的关系反比例函数是一种特殊的幂函数，可以看作是幂函数的特例。

幂函数与反比例函数的性质与计算

幂函数与反比例函数的性质与计算幂函数和反比例函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学与实际问题的解决中起着重要的作用。

本文将介绍幂函数和反比例函数的性质以及计算方法。

一、幂函数的性质与计算幂函数是指形如y = ax^n (a≠0, n为常数)的函数。

以下是幂函数的一些性质和计算方法：1. 幂函数的图像特点幂函数的形状取决于常数n的正负和大小关系：- 当n>0时，函数图像随着x的增大而上升，随着x的减小而下降，曲线经过点(0,0)；- 当n<0时，函数图像在定义域内与x轴分离，且随着x的增大而逐渐靠近y轴，在x轴的左侧有一个垂直渐近线；- 当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；- 当n为奇数时，函数图像具有一段特定的起伏。

2. 幂函数的计算方法对于幂函数的计算，主要包括以下几个方面：- 求函数的定义域和值域：对于幂函数y=ax^n，当a>0时，定义域是实数集R，值域取决于n的正负性；- 求函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数，即f(x) = f(-x)；- 求函数的单调性：当n>0时，函数严格单调递增；当n<0时，函数严格单调递减。

二、反比例函数的性质与计算反比例函数是指形如y = k/x (k≠0)的函数。

以下是反比例函数的一些性质和计算方法：1. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像是一个双曲线，其特点主要有：- 函数图像与坐标轴有两个渐近线；- 当x趋近于0时，y的值趋向于无穷大；- 当x趋近于无穷大时，y的值趋向于0。

2. 反比例函数的计算方法对于反比例函数的计算，主要包括以下几个方面：- 求函数的定义域和值域：反比例函数y=k/x中，定义域是x≠0，值域也是实数集R；- 求函数的对称轴：反比例函数关于y轴对称；- 求函数的单调性：反比例函数在定义域内是严格单调递减的。

三、幂函数与反比例函数的比较与应用幂函数和反比例函数在数学和实际问题中常常需要进行比较和应用。

第八节反比例函数与幂函数

∵(－1.2)－
＝1.2－
，(－1.25)－
＝1.25－
.
，
又1.2－＞1.25－
，∴(－1.2)－
＞(－1.25)－
(2)由函数y＝x－
的图象及单调性，得
∴a的取值范围是(－∞，－1)∪
高考总复习•数学（理科）
点评：比较幂函数形式的两个数的大小，一般的思路是：
(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性； (3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数(比如1)作为桥梁来比较大小．
.故选D.
(2)依题意可设点A(a， a), 代入反比例函数的解析式，得
a＝
，所以a＝±1，
×22＝，
所以正三角形OAB的边长为2，则面积为S＝
故选A.
答案：(1)D (2)A
高考总复习•数学（理科）点评：对于反比例函数y＝ (k≠0)，容易出错的是单调
区间的写法，正确的写法是：k＞0时，单调递减区间是(－
∞，0)，(0，＋∞)；k＜0时，单调递增区间是(－∞，0)，(0，
＋∞)．
k (2)关注反比例函数的图象平移， y＝＋b(k≠0)的图象是 x－a k 由函数 y＝ (k≠0)的图象平移得到的． x
高考总复习•数学（理科）变式探究
(1)一次函数y＝kx和反比例函数y＝
图象可能是( )
在同一坐标系中的
高考总复习•数学（理科）
变式探究
1．(1)给出下列函数：①y＝ ④y＝ A．1个；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2； ) D．4个
，其中是幂函数的有( B．2个 C．3个
(2)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，

反比例函数的概念与性质

电容器的电容：反比例函数描述了电容器的电容与电压之间的关系，即当电压增加时，电容减小。
反比例函数在经济学中的应用
描述供求关系：反比例函数可以用来描述经济学中的供求关系，帮助分析市场上的供需变化。
解释边际效用递减规律：反比例函数可以解释经济学中的边际效用递减规律，即随着消费量的增加，单位消费所带来的效用逐渐减少。
反比例函数与二次函数的联系与区别
反比例函数与二次函数都是非线性函数，具有不同的函数图像和性质。
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能位于x轴上方或下方。
反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导数在x=0处存在。
反比例函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增，而二次函数在x<0时单调递减，在x>0时单调递增。
反比例函数与幂函数的联系与区别
反比例函数与幂函数在形式上的联系：两者都是形如y=k/x（k为常数）的函数，具有反比例关系的函数形式。
反比例函数与幂函数在性质上的区别：反比例函数的图像分布在第一、三象限，而幂函数的图像根据幂次的不同分布在各象限；反比例函数的图像是关于原点对称的，而幂函数的图像则关于：双曲线，位于两轴之间
图像位置：取决于比例常数k，k>0 时位于一三象限， k<0时位于二四象限
图像变化趋势：随着x的增大或减小，y值逐渐减小或增大
图像与坐标轴的交点：原点 O(0,0)和点(k,0)
反比例函数的解析式
定义：形如 y = k/x (k为常数且k≠0) 的函数称为反比例函数解析式：y = k/x (k为常数且k≠0) 图像：双曲线，位于x轴和y轴的两侧性质：当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限

高中数学【配套课件】二.2.8幂函数

练出高分
基础知识
题型分类
思想方法
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2
答案
④⑤
1 2
解析
3
4 5
二、四
{x∈R|x≠0}
3 2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
1 2 1 m
幂函数定义的应用
已知 y＝(m2＋2m－＋(2n－3)是幂函数，
思维启迪解析探究提高
难点正本疑点清源
x∈[0，＋∞) x∈(0，＋∞) 单时，增；时，减；调增 x∈(－∞，0] 增增 x∈(－∞，0) 时，减性时，减
公共点
(1,1)
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
基础知识题型分类
－1
难点正本疑点清源
1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．
3
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本疑点清源
3．五种幂函数的比较 (1)图象比较：
1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．
思维启迪解析探究提高
【例 2】点( 2，2)在幂函数 f(x) 1 的图象上，－2，4在幂函数点 g(x)的图象上，问当 x 为何值时，有 f(x)>g(x)，f(x)＝g(x)， f(x)<g(x)?

初中数学反比例函数是否可以是幂函数

初中数学反比例函数是否可以是幂函数
在初中数学中，反比例函数和幂函数是两种不同的函数类型，它们的定义和性质有所不同。

因此，反比例函数一般情况下不是幂函数。

反比例函数可以表示为y = k/x，其中k 是常数。

它的特点是x 和y 呈现出一种反比的关系，即当x 增大时，y 会减小；当x 减小时，y 会增大。

反比例函数的图像通常是一条双曲线，有两个渐近线。

幂函数则可以表示为y = ax^b，其中a 和b 是常数。

幂函数的特点是x 和y 呈现出一种幂的关系，即当x 增大时，y 的变化趋势由指数 b 决定。

幂函数的图像形状可以是直线、曲线或者是开口向上或向下的抛物线。

根据反比例函数和幂函数的定义和性质，我们可以看出它们的数学性质是不同的。

反比例函数没有幂函数的形式，而幂函数也不具备反比例函数的特点。

当然，也存在一种特殊情况，即当 b = -1 时，幂函数y = ax^(-1) 可以化简为反比例函数y = a/x。

在这种情况下，反比例函数可以被看作是幂函数的一种特殊情况。

总结起来，反比例函数一般情况下不是幂函数。

它们在定义和性质上有所不同。

在教学中，我们可以通过具体的例子和图像来说明反比例函数和幂函数的区别，帮助学生理解它们的特点和性质。

高中数学《反函数、幂函数》知识点

高中数学《反函数、幂函数》知识点
高中数学《反函数、幂函数》知识点
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以下是店铺收集整理的高中数学《反函数、幂函数》知识点，希望对大家有所帮助。

1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。

幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。

2 幂函数的.图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、
3、-1、时幂函数的图像和性质。

3 了解其它幂函数的图像和性质，主要有：
①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。

指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。

指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。

②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。

前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。

注意第四象限绝对不会有图像。

③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。

当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。

4 幂函数奇偶性的一般规律：
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。

⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。

⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域 x>0或x≥0，没有奇偶性。

⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。

⑸指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。

幂函数、反函数与函数的性质.docx

幕函数、反函数与函数的性质教学内容与教学目标：1.教学内容：(1)根式、分数指数幕的概念及运算性质.(2)幕函数的定义、图像和性质.(3)函数的单调性(增函数、减函数、单调区间)的概念.(4)函数的奇偶性(奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数)的概念.(5)反函数的概念、互为反函数的函数图像间的关系.2.教学目标：(1)了解根式的概念，理解分数指数幕的概念，掌握有理指数幕的运算性质，能止确地进行各种指数运算.(2)掌握幕函数的概念、图像和性质，并能运用这些知识解有关问题.(3)理解增函数，减函数的概念，掌握判断某些函数在给定区间上的单调性的方法，会求一些函数的单调区间.⑷理解奇函数、偶函数的概念，掌握判断某些函数的奇偶性的方法，并能利用奇函数、偶函数的图像特点简化描绘函数图像的过程.(5)理解反函数的概念，会求某些简单函数的反函数，理解互为反函数的函数图像之间的关系.(6)在解题和证题过程中，通过运用有关的概念和函数的性质；培养学生的逻辑思维能力和运算能力；通过揭示互为反函数的两个函数Z间的内在联系，培养学生的辩证唯物主义观点；通过正确理解概念、准确进行计算、严格推理过程、认真进行画图，培养学生严谨、踏实的学习态度.教学工具：多媒体课件教学重点和难点：1.分数指数幕与根式这小节的重点是分数指数基的概念和分数指数幕的运算性质.难点是根式的概念和分数指数幕的概念.2.幕函数的图象与性质既是重点又是难点.3.函数的单调性的重点是函数的单调性的有关概念，难点是利用这些概念证明或判断函数的单调性.4. 函数的奇偶性的重点是函数的奇偶性的有关概念及奇函数、偶函数的图象的特点.难点是利用这些概念证明或判断函数的奇偶性.5. 反函数的重点是反函数的概念，难点也是反函数的概念及求法.6. 互为反函数的函数图象间的关系的重点是定理的应用，难点是定理的证明.知识系统及其结构：”幕函数的概念幕函数幕函数的定义域、值域㈠由指数确定幕函数的图象与性质增函数的定义与判定函数的单调性"减函数的定义与判定函数的单调区间「奇函数的定义与判定函数的奇偶性偶函数的定义与判定奇函数、偶函数的图象特征『反函数的概念反函数求反函数的方法互为反函数的图象间的关系基本概念及相关知识点:1、根式、根扌旨数、被开方数：式子"、/方叫根式，这里斤叫做根指数，a 叫做被开方数.2、分数指数幕：m __(1) 正数的正分数指数幕a ：£存 (d>0, m, /?EN*,且Ql)；(2) 正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿-巴 1a n= ----- (。

幂函数与反比例函数的像教学备课

幂函数与反比例函数的像教学备课在教学备课中，幂函数与反比例函数是数学教学中的重要内容。

幂函数是指以自变量为底数，指数为幂次的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a为常数。

反比例函数是指函数的值与其自变量的乘积为常数的函数，可以表示为f(x) = k/x，其中k为常数。

本文将介绍幂函数与反比例函数的定义、特点以及教学备课中的注意事项。

一、幂函数的定义与特点幂函数是一种常见的数学函数形式，它可以表示各种指数关系。

幂函数的定义是f(x) = a^x，其中a为底数，x为幂次。

幂函数的特点主要包括以下几点：1. 幂函数的定义域为实数集，即x可以取任意实数值。

2. 当幂次x为正整数时，幂函数呈现递增的趋势，底数a的大小决定了函数的增长速度和增长趋势。

3. 当幂次x为负整数时，幂函数呈现递减的趋势，底数a的大小同样影响函数的减少速度和减少趋势。

4. 当幂次x为0时，幂函数的值始终为1，即f(x) = a^0 = 1。

二、反比例函数的定义与特点反比例函数是一种特殊的函数形式，它的定义是f(x) = k/x，其中k为常数。

反比例函数的特点包括：1. 反比例函数的定义域为除了x=0之外的所有实数。

2. 当x逐渐增大时（取正值），反比例函数的值逐渐减小，这是因为x的增大导致k/x的值减小。

3. 当x逐渐减小时（取负值），反比例函数的值同样逐渐减小，这是因为x的减小导致k/x的值减小。

4. 反比例函数的图像是一个经过原点的拋物线，两条轴（x轴和y 轴）都是反比例函数的渐近线。

三、教学备课中的注意事项在教学备课中，教师应该注意以下几点：1. 理解函数的定义与特点：教师需要深入理解幂函数与反比例函数的定义与特点，以便能够准确地解释给学生听。

只有掌握了幂函数和反比例函数的特点，才能更好地教学。

2. 设计合适的教学活动：教师可以设计一些有趣的教学活动，比如通过实例演示幂函数和反比例函数的图像变化情况，让学生通过实际观察和计算来理解函数的特点。