沪教版初二上册《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习(基础)
初中数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--巩固练习题及答案(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．253．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ． 1k >-且0k ≠C ．1k <D ． 1k <且0k ≠4．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.B.C.D.二、填空题7．若ax 2+bx+c=0是关于x 的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是____ ____． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．关于x 的一元二次方程1201x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值范围；（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】B ；【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根，则△=b 2－4ac>0，即4+4k>0.解得1k >-且0k ≠. 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
上海八年级上一元二次方程专题复习
八年级秋季班期末复习讲义二八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为x ，则18x +16x －x 2＝23×18×15，即x 2－34x +180＝0， 解这个方程，得x ＝344362，即x ≈6.6. （2）设扇形半径为r ，则3.14r 2＝23×18×15，即r 2≈57.32，所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9 如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm /s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动.（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.图2QPC BA 图4 图3解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S 1＝n 2+(12－n )[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12.①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S 2＝12×12－34＝110. 所以S 1∶S 2＝34∶110＝17∶55. ②若S 1＝S 2，则有－n 2+25n －12＝12×122，即n 2－25n +84＝0， 解这个方程，得n 1＝4，n 2＝21（舍去）. 所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 解（1）设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20－x ）cm .则根据题意，得24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2204x -⎛⎫⎪⎝⎭＝17，解得x 1＝16，x 2＝4，当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16， 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm .（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm ，则另一段为（20－y ）cm .则由题意得24y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2204y -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12，整理，得y 2－20y +104＝0，移项并配方，得(y －10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.若b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，若b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，本题中的b 2－4ac ＝－16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E•在下底边BC 上，点F 在腰AB 上.（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积； （2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；图6（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28. 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K . 则可得，FG ＝125x×4， 所以S △BEF ＝12BE ·FG ＝－25x 2+245x （7≤x ≤10）. （2）存在.由（1）得－25x 2+245x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5（不合题意，舍去）， 所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE +BF )∶(AF +AD +DC )＝1∶2.则有－25x 2+165x ＝283， 整理，得3x 2－24x +70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0，所以不存在这样的实数x .即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分. 说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 … n （奇数） 黑色小正方形个数…正方形边长2 4 6 8 … n （偶数）FE DC B A 图7K G 图8。
沪教版(上海)八年级数学第一学期 17.1 一元二次方程的概念 同步练习含答案
数学八年级上 第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念（1）一、选择题1、下列方程中是一元二次方程的有 （ ）① 9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥24x-x-1=0 A ①②③ B ①③⑤ C ①②⑤ D ⑥①⑤2．下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A. 02=++c bx ax B. 0)1()1(222=--+x a x aC. x x ax -=+221D. 0312=-+=a x x 3．若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 无法确定4．一元二次方程的一般形式是 ( ) A x 2+bx+c=0 B a x 2+c=0 (a ≠0 )C a x 2+bx+c=0D a x 2+bx+c=0 (a ≠0)5．方程3 x 2+27=0的解是 ( ) A 无实数根 B x= -3 C x=±3 D 以上都不对6．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是 ( )A 6B 5C -5D 07．将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是 ( ) A (x- 2)2=1 B (x- 4)2=1 C (x- 2)2=5 D (x- 1)2=48. 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 值为 （ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、21 9．已知一个一元二次方程的两个根分别为2，-4，那么这个方程是 ( ) A 0822=--x x B 0822=-+x x C 0822=+-x x D 0822=++x x10．关于x 的一元二次方程a x a x x 5)1(3)4)(4(=+++-的一次项系数是 ( ) A a 3 B a 8- C a 8 D 168-a二、填空题11. 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项12. 若一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.13．一元二次方程223)5)(21(2-=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
初中数学一元二次方程全章复习与巩固(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程⎯⎯⎯→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42−叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42−=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根. （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根. （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x −=+21，a cx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况. (2)根据参系数的性质确定根的范围. (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数.(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数. (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题. 二是把握问题中的等量关系. 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等). 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量). 列 (根据题目中的等量关系，列出方程).解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰). 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）. 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x −+=D ．223250x xy y −−=【答案】C【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误.B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程，故本选项错误.C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确.D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2 （2）二次项系数不为0 （3）是整式方程（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x −−++−=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0 (2) (x+a)2=(3) 2x 2-4x-1=0 (4) (1-)x 2=(1+)x【答案与解析】 (1)原方程可化为0.5x 2=∴x 2=用直接开平方法，得方程的根为 ∴x 1=，x 2=-(2)原方程可化为x 2+2ax+a 2=4x 2+2ax+∴x 2=a 2用直接开平方法，得原方程的根为 ∴ x 1=a ，x 2=-a ．(3) a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0 (2)2(t-1)2+t＝1【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x= (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0∴11t=，21 2t=类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2020•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0 ∴a ≥1 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t −++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=,122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+−222(2)2t t =−+=−，即2(1)s t t =−<−．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =−−的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +−+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =−−=−+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=−+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2020春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300解得：x1=10，x2=15当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25故x1=10（不合题意舍去）50﹣2x=50﹣30=20答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0解得，x1＝2，x2＝3∴当x＝2时，2x＝4当x＝3时，2x＝6答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】 一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2020•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ． B ． C ．且 D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ．10．（2020秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ． 11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a −++−=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=−，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2020•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5， ∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a −≠，所以1a =−.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系， 然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++−=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++−−−⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x −−=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+−=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y=－10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
沪教版初二上册特殊的一元二次方程的解法—巩固练习(基础)
沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 若是关于x的一元二次方程，则( )A．p≠1 B．p≠0且p≠1 C．p≠0 D．p≠0且p≠12．（2016·重庆模拟）关于的方程的解与的解相同，则的值为( )A．2 B．3 C．1 D．43. （2015•科左中旗校级一模）下面关于x的方程中：①a x2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1③x2++5=0；④x2﹣2+5x3﹣6=0；⑤3x2=3（x﹣2）2；⑥12x﹣10=0是一元二次方程的个数是（）A． 1 B．2 C．3 D．44．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝75．若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?( )A．5 B．6 C． D．6．已知方程有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )A．ab B． C．a+b D．a-b二、填空题7.（2016秋·曲阜市校级月考）方程化为一元二次方程得一般形式是，它的一次项系数是．8．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m ；（2）关于x的方程是一元一次方程，则m .9．下列关于x的方程中是一元二次方程的是____ ____(只填序号)．(1)x2+1＝0； (2)； (3)；(4)； (5) ； (6)(x-2)(x-3)＝5.10．下列哪些数是方程的根?答案： .0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．12．方程的解为___ _____．三、解答题13．方程．(1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项；(2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值．14.（2015•泗洪县校级模拟）用恰当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+25=7（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．15．教材或资料会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．(1)下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)________．①；②；③；④；⑤.(2)方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?【答案与解析】一、选择题1．【答案】C；【解析】方程是一元二次方程的条件是a≠0，b、c可以是任意实数．2.【答案】B；【解析】∵方程，所以，由题意可知，将代入方程得.3.【答案】A；【解析】解：①ax2+bx+c=0当a=0是一元一次方程，故本小题错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程，故本小题正确；③x2++5=0是分式方程，故本小题错误；④x2﹣2+5x3﹣6=0是一元三次方程，故本小题错误；⑤3x2=3（x﹣2）2是一元一次方程，故本小题错误；⑥12x﹣10=0是一元一次方程，故本小题错误．故选A．4.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴，5.【答案】B；【解析】由得，∴，，又是正数且是此方程的根，∴．同理，∴．6.【答案】D；【解析】将代入方程得．∴，又a≠0．方程两边同除以a得a-b+1＝0，∴ a-b＝-1，即a-b的值恒为常数．二、填空题7．【答案】，4．【解析】解：去分母得，去括号得，移项及合并得，∴一次项系数为4.8．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为关于x的方程是一元二次方程，所以（2）因为关于x的方程是一元一次方程，所以.9．【答案】(1)，(6).【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看它是否符合定义的三个必备条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．当然对有些方程必须先整理后再看．(1)是；(2)含有分式；(3)含有两个未知数；(4)未知数最高次数为3；(5)方程整理得-10x-4＝0，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1＝0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程．10．【答案】2，4．【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2-6x+8＝0，发现当x＝2和x＝4时，方程x2-6x+8＝0左右两边相等，所以x＝2，x＝4是方程x2-6x+8＝0的根．11．【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．12．【答案】，；【解析】，∴，．三、解答题13.【答案与解析】(1)由题意∴ m=4．方程为，二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是11．(2)由题意得或解得m＝3或m＝2．14.【答案与解析】解：（1）x2﹣10x+25=7，（x﹣5）2=7，x﹣5=±，x1=5+，x2=5﹣．（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．方程变形得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，分解因式得：（x﹣1）（3x+2）=0，可得x﹣1=0，3x+2=0，解得：x1=1，x2=﹣．15.【答案与解析】(1)观察可知方程①、②、③、④、⑤的各项系数分别是原方程各项系数乘以1，-1，2，-2，得到的，其中①、②、④、⑤是一般形式，③不是一般形式．(2)二次项系数、一次项系数与常数项之比为，即，若设二次项系数为，则一次项系数为，常数项为．。
沪教版八年级上 第十七章 《一元二次方程》全章复习 讲义
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后||，只含有一个未知数(一元)||，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程||，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解||，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时||，首先观察其是否是整式方程||，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0||，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目||，要充分考虑定义的三个特点||，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时||，根据方程特点||，灵活选择解题方法||，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法||，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中||，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式||，通常用“∆”来表示||，即ac b 42-=∆. （1）当△>0时||，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时||，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时||，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，||， 那么a b x x -=+21||，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0||， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根||，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程||，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根||，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目||，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数||，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系||，列出方程)；解 (解方程||，注意分式方程需检验||，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案||，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程）||，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程||，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2||，即|m|＝1||，解得m ＝±1||，又∵m －1≠0||，∴m ≠1||，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立||，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程||，求m 的值．【答案】 根据题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得 所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时||，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=||，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0||，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0||，即(7x-16)(-3x+4)＝0||，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0||，∴ 1167x =||，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-||，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0||，即(x-3)(4x-18)＝0||，∴ x-3＝0或4x-18＝0||，(3)2(21)4(21)40x x ++++=||，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=||， 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---||，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)||，与左边中的(x-3)2有公共的因式||，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点||，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项||，得3x+15+(2x 2+10x)＝0||，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0||，即(x+5)(3+2x)＝0||，∴ x+5＝0或3+2x ＝0||，(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)||，移项||，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0||，∴ (x-3)(2x-2)＝0||，∴ x-3＝0或2x-2＝0||，类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=||，即5a =时||，有410x --=||，14x =-||，有实数根； ②当50a -≠时||，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥||，解得1a ≥且5a ≠．综上所述||，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别||，前者既可以是一元一次方程||，也可以是一元二次方程||，所以必须分类讨论||，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时||，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时||，方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时||，方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时||，方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式||，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解. 类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=||，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和等于56||，若存在||，求出m 的值；若不存在||，请说明理由．【答案与解析】存在．设方程两根为x 1、x 2||，根据题意||，得122(2)x x m +=-||，212x x m =||，221256x x +=||， 而222121212()2x x x x x x +=+-||，于是有[]222(2)256m m --=||，整理得28200m m --=||，解这个方程得110m =||，22m =-||， 当10m =时||，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<||，当2m =-时||，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>||， 所以符合条件的m 的值为-2．【总结升华】由两个实数根的平方和等于56||，列出关系式||，再由根与系数关系求出m 的值||，通过判别式去验证m 值是否符合题意||，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k||，使方程的两实数根互为相反数?如果存在||，求出k 的值；如果不存在||， 请说明理由．【答案】(1)根据题意||，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>||， 所以1312k <．由k-1≠0||，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时||，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数||，则122301k x x k -+=-=-||，解得32k =． 当32k =时||，判别式△＝-5＜0||，方程没有实数根． 所以不存在实数k||，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地相向而行||，甲先行1小时后||，乙才出发||，又经过4小时两人在途中的C 地相遇||，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟||，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟||，已知乙比甲每小时多行驶4千米||，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x 千米/时||，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意||，得54(4)2040460x x x x ++=-+ 解之||，得x 1=16||，x 2=－2.经检验：x 1=16||，x 2=－2都是原方程的根||，但x 2=－2不合题意||，舍去.∴当x=16时||，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米||，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式||，解分式方程应用题要双检验||，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程||。
沪教版八年级 一元二次方程单元复习,带答案
主 题 一元二次方程单元复习教学内容1. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用；2. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题；3. 巩固复习一元二次方程单元，查缺补漏。
（以提问的形式回顾）1. 一元二次方程的一般形式：2. 一元二次方程的四种解法：3. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程 ；②当0∆=时，方程 ；③当0∆<时，方程 .（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆即：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若答案：10%储蓄问题常用量是：时间，本金、利率、利息、本息和。
利息=本金×利率。
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ D ）；A ．02=++c bx axB ．2112=+x xC ．1222-=+x x xD ．)1(2)1(32+=+x x 2．方程()()24330x x x -+-=的根为（ D ）；A ．3x =B ．125x =C ．12123,5x x =-=D ．12123,5x x == 3．解下面方程：（1）()225x -=（2）2320x x --=（3）260x x +-=，较适当的方法分别为（ D ）A ．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法B ．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法C ．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法D ．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法4．已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( A )A ．m ＞－1B ．m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜05．已知x =1是一元二次方程x 2-2mx +1=0的一个解，则m 的值是 16．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 -6或17．关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ． m ≤18．已知x = 1是关于x 的一元二次方程2x 2 + kx – 1 = 0的一个根，则实数k 的值是 -19．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ． 410．写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： 3x 2=1（答案不唯一）11. 用适当的方法解下列方程：（1）24)23(2=+x （2）x x 4132=- 直接开平方法 公式法解：3226x += 解：23410x x --=进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克应涨价x 元,现每千克盈利10+x 元, 每天可售出500-20x 千克，根据题意：(500-20x )( 10+x )=6000解题得：x =10或x =5在保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，x =10舍去。
沪教版(上海)八年级数学第一学期 17.1 一元二次方程的概念 同步练习含答案
数学八年级上 第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念（1）一、选择题1、下列方程中是一元二次方程的有 （ ）① 9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥24x -x-1=0 A ①②③ B ①③⑤ C ①②⑤ D ⑥①⑤2．下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A. 02=++c bx ax B. 0)1()1(222=--+x a x aC. x x ax -=+221D. 0312=-+=a x x 3．若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 无法确定 4．一元二次方程的一般形式是( )A x 2+bx+c=0 B a x 2+c=0 (a ≠0 )C a x 2+bx+c=0D a x 2+bx+c=0 (a ≠0)5．方程 3 x2+27=0的解是( )A 无实数根B x= -3C x=±3D 以上都不对6．方程 6 x2- 5=0的一次项系数是( )A 6B 5C -5D 0 7．将方程x2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )A (x- 2)2=1B (x- 4)2=1C (x- 2)2=5D (x- 1)2=48. 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、21 9．已知一个一元二次方程的两个根分别为2，-4，那么这个方程是 ( )A 0822=--x x B 0822=-+x x C 0822=+-x x D0822=++x x10．关于x 的一元二次方程a x a x x 5)1(3)4)(4(=+++-的一次项系数是 ( )A a 3B a 8-C a 8D 168-a二、填空题11. 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项12. 若一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.13．一元二次方程223)5)(21(2-=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
沪教版初二上册一般的一元二次方程的解法—巩固练习(基础)
沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.用配方法解方程时，原方程变形为（）A．B．C．D．2．下列各式是完全平方式的是（）A．B．C．D．3．（2015春•长清区期末）用配方法解下列方程时，配方正确的是（）A．方程x2﹣6x﹣5=0，可化为（x﹣3）2=4B．方程y2﹣2y﹣2015=0，可化为（y﹣1）2=2015C．方程a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25D．方程2x2﹣6x﹣7=0，可化为4．（2016春·顺义区期末）对于代数式，通过配方能说明它的值一定是（）A．非正数B．非负数C．正数D．负数5．把方程x2+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=26．用公式法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+ D．2-二、填空题7．（1）x2+4x+ =（x+ ）2；（2）x2-6x+ =（x- ）2；（3）x2+8x+ =（x+ ）2. 8．若，那么m＝________．9．若是一个完全平方式，则m的值是________．10．（2016春·乳山市期中）代数式的最小值是，则的值为 .11．（2015春•北京校级期中）当x=时，代数式﹣2x2+6x+4有最大值，最大值=．12．已知a2+b2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13. 用配方法解方程（1）（2）14．（2014秋•万州区校级期中）按照指定的方法解下列方程：（1）4x2﹣4x﹣1=0（配方法）（2）5x2+2x﹣1=0（公式法）15. 若，求x，y的值．16．已知a，b，c是△ABC的三边，且．(1)求a，b，c的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】移项得，配方得，即.2．【答案】C；【解析】．3.【答案】D；【解析】解：A、由原方程得到：方程x2﹣6x+32=5+32，可化为（x﹣3）2=14，故本选项错误；B、由原方程得到：方程y2﹣2y+12=2015+12，可化为（y﹣1）2=2016，故本选项错误；C、由原方程得到：方程a2+8a+42=﹣9+42，可化为（a+4）2=7，故本选项错误；D、由原方程得到：方程x2﹣3x+（）2=+（）2，可化为，故本选项正确；故选：D．4.【答案】D；【解析】，∵，∴.5.【答案】C；【解析】方程x2+3=4x化为x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B；【解析】方程x2+4x=10两边都加上22得x2+4x+22=10+22，x=-2±.二、填空题7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】，∴．9．【答案】±3；【解析】．∴.10．【答案】4；【解析】∵，根据题意可得，解得.11．【答案】，；【解析】解：﹣2x2+6x+4=﹣2（x﹣）2+，∵﹣2（x﹣1）2≤0，∴当x=时，y最大，最大值为．故答案为：，．12．【答案】4.【解析】∵a2+b2-10a-6b+34=0∴a2-10a+25+b2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x2-4x-1=0x2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=x1=x2=(2)14. 【答案与解析】解：（1）4x2﹣4x﹣1=0方程变形得：x2﹣x=，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=，x2=．（2）5x2+2x﹣1=0∵a=5，b=2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（2）2﹣4×5×（﹣1）=4+20=24＞0，∴x==则x1=，x2=．15.【答案与解析】∵，∴，即．又∵，，∴，．∴，．16.【答案与解析】（1）由，得又，，，∴，，，∴，，．（2）∵即，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．。
沪教版八年级上第十七章《一元二次方程》全章复习与巩固练习
沪教版八年级上第十七章《一元二次方程》全章复习与巩固练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的一元二次方程2(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 2．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---的值为（ ）A ．12-B ．12-± C ．﹣1 D ．1 3．若方程式(3x-c)2-60=0的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为何？( ) A ．1 B ．8 C ．16 D ．614．已知关于x 的方程(m-2)x 2+2mx+m+3=0有实根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠2 B ．m≤6且m≠2 C ．m<6 D ．m≤6 5．如果是α、β是方程2x 2+3x=4的两个根，则α2+β2的值为（ ）A ．1B ．17C ．6.25D ．0.256．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=7．方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．38．若关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋4k 2－3＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且满足x 1＋x 2＝x 1·x 2，则k 的值是()．A ．－1或34B ．－1C ．34 D ．不存在二、填空题9．关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.10．已知关于x 的方程x 2+2(a+1)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)＝0有实根，则a 、b 的值分别为______________．11．已知α，β是一元二次方程2430x x --=的两实数根，则代数式()()33αβ--=________．12．当m=_________时，关于x 的方程27(3)5mm x x ---=是一元二次方程；当m=_________时，此方程是一元一次方程.13．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.14．已知()()2222135x y x y +++-=，则22x y +的值等于________． 15．已知x 2-3x+2=0，那么代数式32(1)11x x x --+-的值为________.16．当x=_________.三、解答题17．设m 为整数，且4＜m ＜40，方程x 2−2(2m −3)x +4m 2−14m +8=0有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根.18．设(a ，b)是一次函数y ＝(k-2)x+m 与反比例函数n y x =的图象的交点，且a 、b 是关于x 的一元二次方程22(3)(3)0kx k x k +-+-=的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．（1）求k 的值；（2）求一次函数与反比例函数的解析式．19．满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(1) 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2) 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.参考答案1．A【解析】分析：先把x=0代入方程求出a 的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去． 解答：解：把x=0代入方程得：|a|-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a=-1．故选A ．2．D【分析】 先化简22221a a a---，由a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，得a 2+a ﹣1=0，则a 2+a=1， 再整体代入即可．【详解】原式=2(1)(1)(1)a a a a a -++-=1(1)a a +， ∵a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，∴a 2+a ﹣1=0，即a 2+a=1，∴原式=1(1)a a +=1． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想. 3．B【解析】【分析】利用平方根的定义求出x ，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c 的最小值即可．【详解】（3x ﹣c ）2﹣60＝0，（3x ﹣c ）2＝60，3x ﹣c ＝3x ＝cx =又两根均为正数，<即78<< ，所以整数c 的最小值为8．故选B ．【点睛】 本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法． 4．D【解析】试题解析：关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有两个实数根, 20m -=时，原式变形为：50.=不成立()()()220{24230,m m m m -≠∴∆=--⨯+≥ 解得：6m ≤且 2.m ≠故选B.5．C【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系求出α+β与αβ的值，把要求的式子变形代入求值即可．【详解】由题意得：α+β= -32, αβ=-2, ∴222()2 6.25αβαβαβ+=+-=.故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．6．B【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程．【详解】依题意，设金色纸边的宽为xcm ，则：()()8025025400x x ++=，整理得出：2653500x x +-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．C【解析】试题解析：方程210x ax ++= 和20x x a --=有一个公共根.221.x ax x x a ∴++=--1.ax x a ∴+=--()()110.a x a ∴+++=()()110.a x ∴++=解得： 1.x =-把1x =-代入210x ax ++=.即：110.a -+=2.a =故选C.8．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及x 1+x 2=x 1x 2，得出关于k 的方程，解方程并用根的判别式检验得出k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系，得x 1+x 2=-k ，因为x 1x 2=4k 2-3，又x 1+x 2=x 1x 2，所以-k=4k 2-3，即4k 2+k-3=0，解得k=34或-1，因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，解得：，故k=-1舍去，∴k=34．故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．9．x=-4,x=-1【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，解得x=-4或x=-1．故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．故答案为：x1=-4，x2=-1．【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．10．a＝1，b=-1 2【解析】【分析】根据方程为一元二次方程，有实根则△≥0，即4(1+a)² -4（3a²+4ab+4b²+2）≥0，然后去括号，配方得到(a+2b)² +(a-1)²≤0，利用非负数的性质得到(a+2b)² =0；(a-1)² =0，即可求出a、b的值．【详解】判别式△＝[2(a+1)]2-4(3a 2+4ab+4b 2+2)＝4(a 2+2a+1)-(12a 2+16ab+16b 2+8)＝-8a 2-16ab-16b 2+8a-4＝-4(2a 2+4ab+4b 2-2a+1)＝-4[(a 2+4ab+4b 2)+(a 2-2a+1)]．＝-4[(a+2b)2+(a-1)2]．因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0，(a+2b)2+(a-1)2≤0，又∵ (a+2b)2≥0，(a-1)2≥0，∴ a-1＝0且a+2b ＝0，∴ a ＝1，b=-12．故答案为：a ＝1，b=-12. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11．-6【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据（α-3）（β-3）=αβ-3（α+β）+9代入数值计算即可．【详解】∵α,β是方程x 2−4x −3=0的两个实数根，∴α+β=4，αβ=−3，又∵(α−3)(β−3)=αβ−3(α+β)+9，∴(α−3)(β−3)=−3−3×4+9=−6.故填空答案：−6.【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键.12．-3 ±或3或【解析】【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的一般形式解答即可.【详解】由一元二次方程的特点得m²-7=2 ,即m=±3,m=3舍去,即m=-3时,原方程是一元二次方程;由一元一次方程的特点得m²-7=1,即m=±或m-3=0,即m=3时,原方程是一元一次方程.由一元一次方程的特点得m²-7=0,即时,原方程是一元一次方程.故答案为：(1). -3(2). ±3或【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的一般形式,解题的关键是掌握一元一次方程和一元二次方程的一般形式并灵活运用.13．2110333x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； 2或6. 【分析】把一元二次方程3x 2-2x-3=0提出3，然后再配方即可；多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则2a-3是2a 的平方，然后解方程即可值a 的值． 【详解】 根据题意，一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3（x 2-23x-1）=0， 括号里面配方得，3（x-13）2-109×3=0，即3（x-13）2=103； ∵多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，∴2a-3=（2a ）2， ∴解得a=2或6．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，是基础题．14．4【解析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2=k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．【详解】设x2+y2 =k∴（k+1）（k-3）=5∴k 2-2k-3=5，即k 2 -2k-8=0∴k=4，或k=-2又∵x 2 +y 2的值一定是非负数∴x 2+y 2的值是4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程, 解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是整体代换求解.15．-2【解析】【分析】首先由x2-3x+2=0,得出x²-3x=2,进一步化简分式,整体代入求解即可.【详解】∵x2-3x+2=0,得∴x²-3x=2,∴()32111x xx--+-=2(1)(1)(1)1x x xx⎡⎤---+⎣⎦-=x²-3x=2.故答案为：-2.【点睛】本题考查了分式的化简求值,解题的关键是把分式先化简,进一步利用整体代入的思想求解即可.16．-5【分析】根据两根式的被开方数相同列出方程，从而解出x的值，再根据两根式是最简二次根式舍去与题意不符的x的值即可得出答案．【详解】由题意得：x2+3x=x+15，解得：x=3或-5，∴x只能取-5.即当x=-5故答案为：-5.【点睛】本题考查了同类二次根式及最简二次根式的知识，解题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同及最简二次根式的特点．17．x1=52,x2=38【解析】【分析】=（2m-3）±√2m+1，根据4＜m＜40可知m的值为12根据求根公式可知：x=−b±√b2−4ac2a或24，再把m值代入求解即可．【详解】解方程x2−2(2m−3)x+4m2−14m+8=0，，得x=2(2m−3)±√[−2(2m−3)]2−4×1×(4m2−14m+8)2=(2m−3)±√2m+1,∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，又∵m为整数，且4＜m＜40，∴m=12或24.∴当m=12时，x=24−3±√2×12+1=21±5，∴x1=26,x2=16；当m=24时，x =48−3±√2×24+1=45±7,∴x 1=52,x 2=38.【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax 2+bx+c=0的解为x=−b±√b 2−4ac 2a ．要注意根据实际意义进行值的取舍．18．（1）1；（2）y=-x+4；2y x=-【解析】【分析】 (1)根据a 、b 是关于x 的一元二次方程()()22330kx k x k +-+-=的两个不相等的实数根,由△>0,k≠0,k 是非负整数以及一次函数的一次项系数不得为0,求得k 的值;(2)根据(1)中的k 值,结合根与系数的关系求得a+b,ab 的值,再进一步代入函数解析式进行求解.【详解】(1)因为关于x 的方程()()22330kx k x k +-+-=有两个不相等的实数根， 所以()20,44(430,k k b ac k k ≠⎧⎨=-=-->⎩解得k ＜3且k≠0， 又因为一次函数y ＝(k-2)x+m 存在，且k 为非负整数，所以k ＝1．(2)因为k ＝1，所以原方程可变形为2420x x --=，于是由根与系数的关系知a+b ＝4，ab ＝-2，又当k ＝1时，一次函数y x m =-+过点(a ，b)，所以a+b ＝m ，于是m ＝4，同理可得n ＝-2， 故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为4y x =-+与2y x=-． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,解题的关键是考虑要全面:一次函数中的一次项系数和一元二次方程中的二次项系数都不得为0.19．(1)、10%；(2)、方案一优惠【解析】试题分析：(1)、设出平均每次下调的百分率为x ，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可；(2)、对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价×100×0.98；②方案：下调后的均价×100﹣两年的物业管理费，比较确定出更优惠的方案．试题解析：(1)、设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．(2)、方案一的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）∵396900元＜401400元．考点：一元二次方程的应用．20．（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.（2）从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.【解析】试题分析：（1）设甲单独完成需x天，则乙队单独完成需要的时间是1.5x天，由甲乙两队合作12天完成建立方程求出其解即可；（2）设乙每天工程费为y元，则甲队每天的工程费为（y+150）元，根据两队合作共需要的费用为13800元建立方程求出两个队单独每天的工程费，求出各队单独施工的总费用进行比较就可以得出结论．试题解析：（1）设甲单独完成需x天，则乙队单独完成需要的时间是1.5x天，由题意，得(111.5x x)⋅12=1，解得：x=20，经检验，x=20是原方程的根，∴乙队单独完成需要的时间是30天．答：甲单独完成需20天，则乙队单独完成需要的时间是30天；（2）设乙每天工程费为y元，则甲队每天的工程费为（y+150）元，由题意，得12（y+y+150）=13800，解得：y=500．∴甲队每天的费用为：500+150=650元．乙队的总费用为：500×30=15000（元），甲队的总费用为：（500+150）×20=13000（元）．∵13000元＜15000元，∴应选甲队．考点：分式方程的应用．。
沪教版(上海)八年级第一学期同步第12讲：一元二次方程章节复习-教师版
一元二次方程是初中数学计算的一个重要工具，一元二次方程思想也是初中数学中重要的解题思想，它与初三所学的二次函数有着密切的关系，同时在有求未知数的题目中，经常运用方程思想求解，这就要求同学们一定要把现在的一元二次方程基础夯实，为以后的综合学习奠定良好的基础．1．一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2． 一元二次方程的一般形式一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 3．一元二次方程的解法解法1：直接开平方法：适合类型：()2x a b +=，当0b <时，原方程无实数解． 解法2：因式分解法： （1） 将方程右边化为0；（2） 将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程； （3） 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4） 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 解法3：配方法：（1） 先把二次项系数化为1：方程两边同除以二次项的系数； （2） 移项：把常数项移到方程右边；（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为()2x m n +=的形式； （4） 当0n ≥时，用直接开平方法解变形后的方程．一元二次方程复习内容分析知识精讲解法4：公式法：（1）把方程化为一般形式，进而确定a b c ，，的值．(注意符号) （2）求出24b ac -的值．(先判别方程是否有根)（3）在240b ac -≥的前提下，把a b c ，，的值代入求根公式，求出方程的根． 4、一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式是24b ac ∆=-．当0∆>时， 方程有两个不相等的实数根214b b ac x -+-=，224b b acx ---=；当0∆=时，方程有两个相等实数根122bx x a==-；当0∆<时，方程没有实数根． 5、韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根，由求根公式法得： 214b b ac x -+-=224b b ac x ---=；则1212b cx x x x a a +=-=，．这是一元二次方程根与系数的关系 6、二次三项式的因式分解：（1）形如2ax bx c ++（a b c ，，都不为0）的多项式称为二次三项式；（2）当240b ac ∆=-≥，先用公式法求出方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，， 再写出分解式()()212ax bx c a x x x x ++=--；当240b ac ∆=-<，方程 ()200ax bx c a ++=≠没有实数根，2ax bx c ++在实数范围内不能分解因式． 7、一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． 列一元一次方程解应用题的步骤：① 审题；②设未知数；③找等量关系； ④列方程； ⑤解方程； ⑥写答句．【习题1】 如果关于x 的方程22+160x k -=和23120x k --=有相同的实数根,那么k 的值是（ ）．A ．7B ．7或4-C ．4-D ．4【难度】★ 【答案】B【解析】∵关于x 的方程22+160x k -=和23120x k --=有相同的实数根，∴k k 312162+=-，解得：71=k ，42-=k ． 【总结】本题主要考查一元二次方程的解的概念．【习题2】 若m 是关于x 的一元二次方程20x nx m ++=的根，且0m ≠，则m n +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12 【难度】★ 【答案】A【解析】∵m 是关于x 的一元二次方程20x nx m ++=的根，∴02=++m nm m ，即()01=++n m m ∵0≠m ，∴1-=+n m ．【总结】本题主要考查一元二次方程的解的概念．【习题3】 用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）．A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=【难度】★ 【答案】A【解析】配方时，方程两边是加上一次项系数一半的平方． 【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用．选择题【习题4】 一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）． A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根【难度】★ 【答案】B【解析】一元二次方程2210x x --=的根的判别式为()()081422>=-⨯--=∆，则方程有两个不相等的实数根．【总结】本题主要考查利用根的判别式不解方程判定方程根的情况．【习题5】 若关于x 的一元二次方程 2.20x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <-【难度】★ 【答案】C【解析】∵关于x 的一元二次方程 2.20x x m -+=没有实数根，∴()0422<--=∆m ，解得：1>m ．【总结】本题主要考查利用方程根的情况根据判别式求字母系数的取值范围．【习题6】 若方程20ax bx c ++=(0)a ≠中，,,a b c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是（ ）． A ．10， B ．10-， C ．11-， D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】答案C 中满足这个方程，则1和-1是这个方程的两个根。
沪教版八年级数学上-第十七章-《一元二次方程》全章复习与巩固练习
12 . 用换元法解方程 ，设 ，那么原方程可化为________．
13 . 已知a2－6a＋9与|b－1|互为相反数，则式子 ÷(a＋b)的值为________．
14 . 化简二次根式 的结果是______．
15 . 如果(a-3)x|a-2|-7=12 是关于 x 的一元一次方程，那么 xa= .
沪教版八年级上 第十七章 《一元二次方程》全章复习与巩固练习
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则a的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．1或
2 . 在一张正方形桌子的桌面上放上一块台布，台布各边垂下的长度均为5cm，台布的面积比桌面面积的2倍少50cm2，若设正方形桌面的边长为 cm，则可列方程为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
7 . 若方程x2﹣8x+7=0的两个根分别是x1、x2，则x1•x2的值是（ ）
A．8
B．﹣8
C．7
D．﹣7
8 . 方程2x2+3x-1=0的两根之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9 . 设 ， ， 都是实数，且满足 ， ，则代数式 的值为________．
10 . 把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.
16 . 若 ，则 的值为________．
三、解答题
上海教育版数学八上17.2《一元二次方程的解法》同步练习
17.2 一元二次方程的解法一、课本巩固练习1：用适当的方法解方程：（1）()()137122+=--x x （2）()()5412=-+x x （3）()()02333222=+---x x（4）()5322=+-x x （5）03322=++x x2：已知关于x 的一元二次方程22(1)30m x mx m -+--=有一根是1，求m 的值.3：已知三角形的边长1和2，第三边长为20.090.210.10y y -+=的根，求这个三角形的周长.4. 已知x 为实数，且22(2)(21)6x x x x --+=，求x 的值.5. 如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:设12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-Q 123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=. 请你根据以上解法解答下题： 已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：（1）1211x x +的值；（2）212()x x -的值.6、设a 是方程0120062=+-x x 的一个根，求代数式20061200722++-a a a 的值．二、基础过关一、选择题1.方程20y a +=的根是（ ）（A ）a -（B ）无解; （C ）0; （D ）a -或无解.2.方程()()3532-=-x x x 的根为（ ）（A ）25=x ; （B ）3=x ; （C ）25=x ,3=x ; （D ）52=x . 3.方程(1)(3)1x x --=的两个根是（ ）（A ）121,3x x ==; （B ）122,4x x ==;（C ）1222x x ==（D ）1222x x =-=-4．关于x 的一元二次方程013222=+--a x x 的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC D5．若关于x 的一元二次方程()0235122=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0二、用配方法解下列方程。
沪教版初二上册二次根式的运算(基础)巩固练习
沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习二次根式的运算（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.计算的结果是（）.A． B. C. D.2.（2016•广西）下列计算正确的是（）A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D．=13. 化简二次根式的正确结果是（）．A． B． C． D．4.（2015•泰安模拟）下列计算或化简正确的是（）.A. 2+4=6B. =4C.=﹣3D. =35.若，则的值等于（）.A. 4B.C. 2D.6.下列计算正确的是（）.A. B. C. D.二. 填空题7.计算： =____________________________.8．（2016•潍坊）计算：（+）=．9. 化简：（1）. =_________,(2). =___________.10.（2015春•新泰市期末）若=，则x的取值范围为．11. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.12. =________________.三综合题13. （1）÷（2）14.（2014秋•市南区校级期中）某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？（结果精确到1米）15.（1）先化简，再求值：，其中.(2).已知，求的值.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.2．【答案】B.【解析】A、不能化简，所以此选项错误；B、3×=6，所以此选项正确；C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D、==，所以此选项错误.3．【答案】A.【解析】.4．【答案】D.【解析】解：A、2与4不能合并，所以A选项错误；B、原式=2，所以B选项错误；C、原式=|﹣3|=3，所以C选项错误；D、原式==3，所以D选项正确．故选D．5．【答案】C.【解析】先化简再解方程。
沪教版初二上册《代数方程》全章复习与巩固 巩固练习(基础)
沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《代数方程》全章复习巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题：1．下列方程中是无理方程的是（）A. B.C . D.2.设，则方程可变形为（）A. B. C. D.3.（2015•曲靖）方程=﹣1的解是（）A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无实数解4.用换元法解方程。
若设则原方程化成整式方程是（）A. Ｂ. C. D.5.已知关于x的方程有一个根是x=1，那么方程另一个根是（）.A.x= Ｂ.x=0 C.x=2 D.x=36．利用代入法解方程组，消去x可得方程（）A、y2+17y+60=0B、y2-17y+60=0C、2y2+17y+120=0D、2y2-17y+120=07．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（）A、 B、 C、D、二、填空题：8.（2016•静安区一模）方程=x﹣1的根为．9.用换元法解方程时，可设 =y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式为 .10.若关于的分式方程无解，则_________．11.解方程时，可设，那么原方程可变为整式方程 .12.已知点A在坐标轴上，它与点B（-6，8）的距离等于10，那么点A的坐标是______________.13. 若(2x2-3y2-10y+5)2+=0，则x= ，y=14．已知方程组是关于x、y的二元二次方程组，则k= .三、解答题：15.（2016•普陀区二模）解方程组：．16. 已知方程组的一个解是，求m及另一个解.17.解下列无理方程：（1）（2）18. 关于的方程有一个增根x=4，求.19.当a取何值时，方程的解为负数？20.某市从今年1月1日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%．小颖家去年12月份的然气气费是96元．今年小颖家将天然气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．【答案与解析】1．【答案】D【解析】A选项缺少二次根式，属于分式方程；B选项根号下没有未知数；C选项属于整式方程；D 正确.2.【答案】A【解析】原方程变形为，整理得.3.【答案】D【解析】解：去分母，方程两边都乘以（x﹣1）得，﹣1+x=﹣（x﹣1）解这个方程得：x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，所以x=1不是原方程的解，所以原方程无解．故选：D．4. 【答案】B5. 【答案】C【解析】因为方程有一个根是x=1，所以，解得a=2，所以原方程变为，解这个方程得，，所以答案选C.6.【答案】B7.【答案】A【解析】将各选项代入原方程，看是否满足方程的左右两边相等.二、填空题：8.【答案】4.【解析】解：由二次根式性质得：x+5≥0，∴x≥5．将=x﹣1两边平方得：x+5=x2﹣2x+1，整理得：x2﹣3x﹣4=0，分解因式：（x﹣4）（x+1）=0，得：x1=4，x2=﹣1，∵x≥5，∴x=4．故答案为：4．9．【答案】，.10.【答案】2.【解析】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=1+m，方程无解，说明有增根x=3，所以1+m=3，m=2.11. 【答案】.12. 【答案】（0,0），（0,16），（-12,0）【解析】如图，容易知道点B（-6，8）到原点的距离正好是10，所以（0,0）符合题意，然后根据对称性可以找到A（0,16），A（-12,0）.13.【答案】x=2，y=1【解析】根据平方数和二次根式的非负性列方程组，解这个方程组即可.14.【答案】3；【解析】根据二元二次方程组的定义，最高次数应该是2，所以要求k-1=2，所以k=3.三、解答题：15.【答案与解析】解：，由②可得：（x﹣y）（x﹣2y）=0，即x﹣y=0或x﹣2y=0，可得x=y或x=2y，将x=y代入①，得：2y=5，y=，故；将x=2y代入①，得：3y=5，y=，则x=，故；综上，或．16.【答案与解析】∵方程组的一个解是，将代入方程组得，m=4，∴原方程为，采用代入消元解得，∴m=4，另一组解是17. 【答案与解析】（1）解：移项，得两边平方得移项、合并同类项，得解这方程得或检验，把代入原方程，左边≠右边，所以是增根；把代入在方程，左边=右边，∴是原方程解，∴原方程的解是.（2）解：移项，得两边平方，得：移项、合并同类项，得：再两边平方，整理得：解这方程得x=1或x=6，检验，把x=1代入原方程，左边=1≠右边，∴x=1为增根；把x=6代入原方程，左边=－1=右边，∴x=6为原方程解.∴原方程的解为x=6.18. 【答案与解析】解：因为方程有一个增根，所以，整理，得 1=，解得 a=－3.19. 【答案与解析】解：去分母，得解这个方程，得∵方程的解为负数，∴，解得 .，∴. 即.∴∴当且时，方程的解为负数.20. 【答案与解析】解：设该市去年居民用气的价格为x元/ m，则今年的价格为(1+25%)x元/ m．根据题意，得．解这个方程，得x＝2.4．经检验，x＝2.4是所列方程的根．2.4×(1+25%)＝3 (元)．所以，该市今年居民用气的价格为3元/ m．。
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知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）
A.1
B.﹣1
C.0
D.无法确定
2．（2016•新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
3．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（）
A．2% B．5% C．10% D．20%
4．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）
A.（x-2）2+3
B.（x+2）2-4
C.（x+2）2-5
D.（x+2）2+4
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）．
A．k＜0 B．k≤0 C．k≠1且k≠0 D．k≤1且k≠0
6．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm2，则原来铁片的面积是( )
A.64 cm2
B.100 cm2
C.121 cm2
D.144 cm2
7．若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方
式的关系是( )
A.△=M
B. △＞M
C. △＜M
D. 大小关系不能确定
8．如果关于x的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a的取值范围是( )
A．B．C．且D．且
二、填空题
9．（2016•连云港）已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=．
10．有一间长20m，宽15m的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为和．
11．关于的一元二次方程有一个根为0，则 .
12．阅读材料：设一元二次方程似 (a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：，，根据该材料填空：已知x1，x2是方程的两实数根，则的值为________．
13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.
14．设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2＝0的两个实数根，则的值为________．
15．问题1：设a、b是方程x2＋x－2012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为；
问题2：方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1―1）（x2―1）＝；
问题3：已知一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根为x1、x2且x1x2（x1＋x2）＝3，则m的值
是；
问题4：已知一元二次方程x2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X1,X2，且X1+3X2=3,则m的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .
三、解答题
17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.
18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改
善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．
19．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题
意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B．
2.【答案】A
【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．
3.【答案】D；
【解析】设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得50（1+x）2=72，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
故选D．
4.【答案】C；
【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．
5.【答案】D；
【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．
6．【答案】A；
【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，
得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，
即正方形面积为64 cm2.
7.【答案】A；
【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.
8．【答案】B；
【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.
二、填空题
9.【答案】．
【解析】根据题意得：0+0+2a﹣1=0，解得a=．
10．【答案】15m，10m；
【解析】设留空宽度为xm，则（20﹣2x）（15﹣2x）=20×15×，
整理得：2x2﹣35x+75=0，即（2x﹣5）（x﹣15）=0，
解得x1=15，x2=2.5，
∵20﹣2x＞0，∴x＜10，
∴x=2.5，
∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．
∴地毯的长、宽分别为15m和10m．
11．【答案】-1；
【解析】把x=0代入方程得,因为，所以.
12．【答案】10；
【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，
然后由待求式变形为，再整体代换．
具体过程如下：由阅读材料知 x1+x2＝-6，x1x2＝3．
而．
13．【答案】3和5或-3和-5；
【解析】注意不要丢解.
14．【答案】7；
【解析】∵ x1，x2是一元二次方程的两实数根，
∴ x1+x2＝3，x1x2＝-2
∴
15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=.
【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；
【解析】
设该校捐款的平均年增长率是x，
则，
整理，得，
解得，
答：该校捐款的平均年增长率是50%.
三、解答题
17.【答案与解析】
设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），
由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.
整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.
当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.
当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.
18.【答案与解析】
设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．
答：这两个月的平均增长率是10%．
19.【答案与解析】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
20.【答案与解析】
⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）
⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160
即x－10x+16=0
解得：x=2,x=8
经检验：x=2,x=8都是方程的解，且符合题意.
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.
②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）
∴y= －10x+100x+2000=－10(x－5) +2250
画草图（略）
观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160
∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。