高考数学二轮复习专题六直线圆圆锥曲线6.1直线与圆课件理
圆锥曲线专题题型小结ppt课件
2、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1
3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两
个根 x1, x2 ，
则
x1
x2
b a
, x1x2
c a
。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
★ 变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线 x2 y2 1
4
相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线 AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方 程，若不存在，请说明理由。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设
E(xE ,
yE ), F (xF ,
yF ) ,则
xE
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yE
k xE
3 2
k
以 - k代k得：xF
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yF
-k xF
3 2
k
KEF
yF xF
yE xE
k(xF xE ) 2k xF xE
1 2
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2
直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题：
例 1:已知直线 l : y kx 1与椭圆 C : x2 y2 1 4m
始终有交点，求 m 的取值范围
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
高中数学第2轮总复习专题6第4课时直线与圆锥曲线的位置关系课件文.ppt
所
以
x y
21 2t ， 1 2t 2
所
以
y
x2 4
，
即x2 4y.因为t 0,1，所以x 2 1 2t 2, 2．
所以所求动点M 的轨迹方程为x2 4y( x 2, 2)．
备选例题: 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点
到点F 1, 0的距离减去它到y轴距离的差都是1. 1求曲线C的方程； 2是否存在正数m，对于过点M m,0且与曲线C
B
(
x
，
2
y2
)，
l的
方
程
为
x
ty
m.
由
x ty
y2
4x
m，
得
y2
4ty
4m
0，
16t2
16m
0， 于
是
y1 y1
y2
y2
4t 4m
.
又FA (x1 1，y1)，FB (x2 1，y2 )，由FA FB 0，
得x1x2
x1
x2 1
y1 y2
0.又x
y2 ， 4
所以 y12 y22 16
xE yE
2t .
2t 1
所 以 kDE
yE xE
yD xD
2t 1 2t 1 2t 2t 2
1 2t.
所 以 t 0,1， 所 以 kDE 1,1．
2因为DM t DE，
所以( x 2t 2，y 2t 1)
t 2t 2t 2,2t 1 2t 1
t 2, 4t 2 2t, 4t 2 2t ．
1.(2011四川卷)在抛物线yx2 ax5(a0)上取横
坐标为x1 4，x2 2的两点，过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案
高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系
3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
2024届高三数学二轮复习策略课件
1.离心率的计算 2.圆锥曲线与三角形内心、重心相关的 问题
3.圆锥曲线与内接三角形 4.圆锥曲线中常用的二级结论
专
1.函数的图像与性质 2.利用导数研究函数的性质
题 函数与导数 3.导数与恒成立问题
六
4.导数与不等关系 5.导数与函数的零点
1.抽象函数的性质 2.切线与公切线 3.以指数、对数为载体的情景题 3.导数中的构造问题 4.端点效应问题
【分析】当x 时0 ， xf (x) ，f (x即) 0 [xf (x)] 0
构造函数 g(x) xf (x)
A 【例 1】（2020 新课标Ⅱ理11）若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0
二轮复习六大专题：
大专题
专 三角函数、 题 解三角形 一 和平面向量
专 题 数列 二
专 题 立体几何 三
子专题
微专题
1.三角恒等变换 2.三角函数的图像与性质 3.解三角形
1.平面向量数量积的求解策略 2.三角函数中与 相关的问题探究 3.三角形中的特殊线段 4.三角中的数学建模与情景题
1.数列的通项求法
【案例3】 微专题：同构式
【引例】（2015 年理12 改编）设函数 f (x) 是奇函数 f (x)(x R)的导
函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，xf '(x) f (x) 0 ，则使得 xf (x) 0
成立的 x 的取值范围是（
）
A．,1 0,1
B．1,0 0,1
C．,1 1,0 D．0,1 1,
3.确定备考策略
(1)对数列的概念及表示方法的理解和应用； (2)等差数列、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前项和公式中基本量的运算或者利用它们之 间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解 数列的问题； (3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题； (4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前项和； (5)数列与不等式、函数等的交汇问题； (6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考、探究与发现的学习材料，有意识地培养学生的阅读能力 和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活有关的数列的应用问题； (7)关注结构不良试题、举例问题等创新题型。
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
专题课件：直线与方程、圆与方程
高频考点
类型一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】 已知直线 2xsinα＋2y－5＝0，则该直线 的倾斜角的变化范围是___________是认为直线斜率 k ＝tanβ 在[0，π)上是单调函数．当已知直线斜率 k 的取值 范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函 数的单调性．正切函数 k＝tanβ 在[0，π)上并不是单调的 函数，因此当 k 的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有 时却是断开的，如本题就是．
考情分析
函数知识的综合应用，故对圆的两类方程及直线与圆的 位置关系的考查将是今后一段时间平面解析几何的命题 方向．
要点串讲
1. 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 的 大 小 反 映 了 直 线 的 倾 斜 程 度．任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于 90°的直线 才有斜率；根据定义可知直线的倾斜角 α 的取值范围是[0°， 180°)．已知倾斜角 α，则斜率 k＝不tan存α在α≠α9＝0°90° ；直线 的斜率也可以用一直线上的两点坐标来表示，即 k＝yx22－－yx11 (x1≠x2)．
2．直线方程的 5 种形式分别为：(1)点斜式：y－y0 ＝k(x－x0)；(2)斜截式：y＝kx＋b；(3)截距式：xa＋yb＝1； (4)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11；(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A， B 不全为 0)．
其中，只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线 方程的不同形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限 性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设 方程一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方 程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．
5．若点 P(a，b)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称 点为 Q(x0，y0)，则 l 是线段 PQ 的垂直平分线．即
高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.
高考数学文(二轮复习)课件讲《圆锥曲线中的综合问题》
2．有关弦长问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关 系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义 的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k |x2－x1|或|P1P2|＝
2
1 1＋k2 |y2－
4．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问 题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
3．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法)； ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系； ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化； ④化简整理方程——简化； ⑤证明所得方程为所求的轨方程的常用方法： ①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； ②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定 系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联 系； ④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动 直线交点的轨迹．
高考真题要回访，做好真题底气足 1．(2014· 四川高考)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在 → → 该抛物线上且位于x轴的两侧， OA · OB ＝2(其中O为坐标原点)， 则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( A．2 B．3 17 2 C. 8 ) D. 10
答案：B
解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， → → ∵OA· OB＝2，
高考圆锥曲线第二轮复习建议 PPT课件
例1(2008全国Ⅰ卷文、理)双曲线的中心为原点o ，焦点在x轴
上，两条渐近线分别为 l1，l2 ，经过右焦点F垂直于l1 的
直线分别交 l1，l2于A、B两点．已知
uuur OA
uuur 、AB
、OuuBur 成等差
数列，且uBuFur与
uuur FA
同向．
y
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
l2
（Ⅱ）设直线AB被双曲线所截得的 线段长为4，求双曲线的方程．
（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何 性质；
（4）了解圆锥曲线的初步应用。
4
2.1 考查的知识类型
2007 卷别
题号
理科 载体曲线
考查内容
题号
文科 载体曲线
考查内容
07
全国Ⅰ
倒2
椭圆
最值
同理科
年 全 国
全国Ⅱ
倒3圆北京源自倒4圆、双曲线向量 轨迹
同理科 同理科
及
天津
倒1
椭圆
轨迹
倒1
圆、椭圆
12
例2（2008安徽文）设椭圆C 的准线方程为x=4。
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)，其相应于焦点F(2,0)
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点 F1(2,0) 倾斜角为θ的直线交椭圆于两点，
求证：AB 4 2
2 COS 2
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂 直的直线分别交椭圆C于A、B和D、
椭圆
对称性
椭圆
轨迹弦长、最值
抛物线
存在性
同理科
向量、存在性
倒1
存在性
倒2
向量
最新高考数学二轮复习-专题六-第1讲-直线与圆-学案讲义
第1讲直线与圆[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1(1)(多选)已知直线l 的倾斜角等于30°，且l 经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A ．直线l 的方程为y ＝33x ＋1B ．l 的一个方向向量为n 33，1C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0平行D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l 的斜率为tan 30°＝33，且过点(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝33x ＋1，方向向量为n ＝(1，k )1，33，A 正确，B 错误；直线3x －3y ＋2＝0的斜率为33，且不过点(0,1)，故两直线平行，C 正确；直线3x ＋y ＋2＝0的斜率为－3，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于() A．2 B.47C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，＝－1，＝－2，所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m－1m－1×－3－(－2)2－(－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝32，此时直线方程为y＝32x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程x＋y－5＝0，x－3y＋7＝0，解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝π2时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是25，则m＋n ＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以21＝n－2≠－6m，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为25，所以|2m－(－6)|22＋(－4)2＝25，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0－D2，－为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，(－2)＝－1，×a 2＋b2＋5＝0，＝－4，＝－2，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即＋(y－1)2＝1＋m 24，圆心为－m2，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，－y＝0，－1＝0，＝1，＝1，即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－m2＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝2，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2＝(22)2＝8≥2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，所以(|OA |＋|OB |)2＝|OA |2＋|OB |2＋2|OA |·|OB |＝8＋2|OA |·|OB |≤16，即|OA |＋|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，即|OA |＋|OB |的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x 2＋y 2＝1外切，并与直线y ＝33x 及y 轴都相切的圆的方程____________．答案(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1或(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为与圆x 2＋y 2＝1外切，所以a 2＋b 2＝1＋r ，又因为与直线y ＝33x 及y 轴都相切，所以r ＝|a |＝|3a －3b |(3)2＋(－3)2＝|a －3b |2，所以2|a |＝|a －3b |，即|2a |＝|a －3b |，所以2a ＝3b －a 或2a ＝a －3b ，所以b ＝3a 或a ＝－3b ，当b ＝3a 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得3a 2＝2|a |＋1，＝1，＝3或＝－1，＝－3，r ＝1，所以求得圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1，当a ＝－3b 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得13a 2＝2|a |＋1，＝3＋23，＝－3－2＝－3－23，＝3＋2，r ＝3＋23，所以求得圆的方程为(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123.(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，⊙O 1关于直线ax ＋2y ＋1＝0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a 等于()A ．－32或56B ．－56或32C ．－32或－56 D.56或32答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF 所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E ，F 又接近于对称轴时，EF 长度最小，此时圆心O 1到对称轴的距离为4，所以|2a ＋6＋1|a 2＋4＝4，即(2a ＋7)2＝16(a 2＋4)，解得a ＝32或a ＝56.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，联立方程＋By ＋C ＝0，－a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0.则下列说法正确的是()A ．直线l 过定点(－2,2)B ．直线l 与圆C 相离C ．圆心C 到直线l 距离的最大值是22D ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A ，因为l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )，即y ＝k (x ＋2)＋2，令x ＋2＝0，即x ＝－2，得y ＝2，所以直线l 过定点(－2,2)，故A 正确；对于B ，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0的内部，所以直线l 与圆C 相交，故B 错误；对于C ，如图，因为圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝9，圆心C (0,1)，当圆心C 与定点(－2,2)的连线垂直于直线l 时，圆心C 到直线l 的距离取得最大值，此时其值为(－2)2＋(2－1)2＝5，故C 错误；对于D ，由弦长公式|AB |＝2r 2－d 2可知，当圆心C 到直线l 的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为2×9－5＝4，故D 正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a ≥22”是“圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －a )2＋(y ＋a )2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即a2＋(－a)2≥1，解得a≤－22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为3C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ| |O1Q|＝|OA||O1B|＝12⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝14，相交弦长为＝152，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝3，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l ：x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是____________．答案22＋3解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，则圆C 的圆心为C (1,2)，半径r ＝3，圆心C 到直线l (弦AB )的距离d ＝|1－2＋5|2＝22，则|AB |＝2r 2－d 2＝29－8＝2，则M 到弦AB 的距离的最大值为d ＋r ＝22＋3，则△MAB 面积的最大值是12×|AB |×(22＋3)＝22＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5,5)作圆E 的切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中真命题是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与⊙E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与⊙E 交于G ，H 两点，则当△EHG 面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5,5)，所以|PE |＝(5－2)2＋(5－1)2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以点P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F 的方程为＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；如图，设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S △EHG ＝12|EH |·|EG |sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．1C ．－2或1D ．－1或2答案A解析由题意知，直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，∴1×2＝a (a ＋1)，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝－2时，l 1：x －2y －3＝0，l 2：－x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2.当a ＝1时，l 1：x ＋y －3＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 1与l 2重合．综上所述，a ＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l ：x ＋my ＋1－m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.455B.655C.855D．25答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋D＋F＝0，＋2D＋E＋F＝0，＋2D－3E＋F＝0，＝－6，＝2，＝5，则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝5，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝|3－2×(－1)－1|12＋(－2)2＝45所以|MN|＝2r2－d2＝＝655.4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝1m2＋n2＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤m2＋n22＝12，当且仅当m＝n＝22时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．5B ．3C ．2D ．1答案B 解析由圆C 1：(x －4)2＋(y －1)2＝1，可得圆心C 1(4,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1，可得圆心C 2(0,4)，半径r 2＝1，可得圆心距|C 1C 2|＝(4－0)2＋(1－4)2＝5，如图，|PM |≥|PC 1|－r 1，|PN |≥|PC 2|－r 2，所以|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－r 1－r 2＝|PC 1|＋|PC 2|－2≥|C 1C 2|－2＝3，当点M ，N ，C 1，C 2，P 共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，故|PM |＋|PN |的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0与过原点O 的直线l ：y ＝kx (k ≠0)相交于A ，B 两点，点P (m ，0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0，则实数m 的值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝kx 1x 1－m ＋kx 2x 2－m ＝2kx 1x 2－km (x 1＋x 2)(x 1－m )(x 2－m )＝(2m －6)k (x 1－m )(x 2－m )(k 2＋1)＝0.因为k ≠0，所以2m －6＝0，解得m ＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C 解析方法一令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.方法二由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故x －y 的最大值为32＋1.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x －y －22＝0上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，记劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ，则()A ．2<S <3B ．1<S ≤2C ．1<S ≤3D ．0<S <1答案D 解析如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt △OBP 中，sin ∠OPB ＝r |OP |＝1|OP |，且y ＝sin x 所以当|OP |最小时，∠OPB 最大，即∠APB 最大，此时OP 垂直于直线l ，且|OP |＝2212＋(－1)2＝2，|PA |＝|PB |＝3，从而四边形OAPB 的面积为S 四边形OAPB ＝2×12×3×1＝3，设∠AOP ＝θ，则∠AOB ＝2θ，S 扇形OAB ＝12×12×2θ＝θ，从而劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ＝3－θ，又因为sin θ＝32，θθ＝π3，从而0<S ＝3－θ＝3－π3<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)B ．直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线3x ＋3y ＋5＝0的倾斜角为120°D ．过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0答案AD 解析对于A 选项，直线方程可化为y ＝a (x －2)＋4，－2＝0，＝4，＝2，＝4，所以直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)，A 正确；对于B 选项，直线方程可化为y ＝3x －1，故直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为－1，B 错误；对于C 选项，直线3x ＋3y ＋5＝0的斜率为－33，该直线的倾斜角为150°，C 错误；对于D 选项，过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程可设为2x ＋y ＋c ＝0，则2×(－2)＋3＋c ＝0，可得c ＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0，D 正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l 1：y ＝kx ＋1，l 2：y ＝mx ＋2，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝6，下列说法正确的是()A ．若l 1经过圆心C ，则k ＝1B ．直线l 2与圆C 相离C ．若l 1∥l 2，且它们之间的距离为55，则k ＝±2D ．若k ＝－1，l 1与圆C 相交于M ，N ，则|MN |＝2答案AC 解析对于A ，因为圆心C (1,2)在直线y ＝kx ＋1上，所以2＝k ＋1，解得k ＝1，A 正确；对于B ，因为直线l 2：y ＝mx ＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C 内，所以l 2与圆C 相交，B 错误；对于C ，因为l 1∥l 2，则m ＝k ，故kx －y ＋1＝0与kx －y ＋2＝0之间的距离d ＝1k 2＋1＝55，所以k ＝±2，C 正确；对于D ，当k ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0，因为圆心C (1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d 2＝21＋1＝2，所以|MN |＝26－(2)2＝4，D 错误．11.如图所示，该曲线W 是由4个圆：(x －1)2＋y 2＝1，(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y ＋1)2＝1，x 2＋(y －1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A ．曲线W 围成的封闭图形的面积为4＋2πB ．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD ︵与DE ︵的公切线方程为x ＋y －1－2＝0D ．曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD 解析曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A 正确；当r ＝2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r ＝2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 错误；设BD ︵与DE ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k <0，t >0)，由直线和圆相切可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y －1－2＝0，故C 正确；同理可得HB ︵，HG ︵的公切线方程为x ＋y ＋1＋2＝0，则两平行线间的距离d ＝|52＋1－1－2|2＝4，因为曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离最小值为HB ︵，HG ︵上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D 正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是[32－4，32＋4]C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝32>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝32＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝32－4，B 正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即|t|2＝2，则t＝±22，故y＝x±22，故C不正确；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝22时，∠MQN ＝90°，故D正确．三、填空题13．(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程__________________．答案x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，圆心到直线的距离为|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，故直线方程为34x－y－32＋4＝0，即3x－4y＋10＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.14．(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4x cosθ－4y sinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________________．答案x2＋y2＝16解析圆C的标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，则圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C 上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D 的方程是x 2＋y 2＝16.15．(2023·烟台模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，则a 2＋(b ＋2)2的最大值为____________．答案9＋42解析方程a 2＋b 2－4a ＋3＝0整理得(a －2)2＋b 2＝1，设点A (a ，b )，即点A 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上一点，又点B (0，－2)在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外，所以|AB |＝a 2＋(b ＋2)2，则|AB |max ＝|BC |＋r ＝(2－0)2＋(0＋2)2＋1＝22＋1，所以a 2＋(b ＋2)2的最大值为(22＋1)2＝9＋4 2.16．(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶讯车在车前O 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB .如图所示，在平面直角坐标系中，O (0,0)，直线OA ，OB 的方程分别是y ＝12x ，y ＝－12x ，现有一个圆形物体的圆心为C ，半径为1m ，圆C 与OA ，OB 分别相切于点M ，N ，则|MN |＝________m.答案455解析如图，连接MC ，NC ，MN ，由题意可设C (a ，0)(a >0)，又圆C 与OA 相切，则d ＝|12a |14＋1＝r ＝1，解得a ＝5，由题意可得MC ⊥OM ，NC ⊥ON ，在Rt △MOC 中，|OM |＝|OC |2－|MC |2＝2，所以S △MOC ＝12|OM |×|MC |＝1，同理S △NOC ＝1，所以S 四边形MONC ＝2，又MN ⊥OC ，所以S 四边形MONC ＝12|MN |×|OC |＝52|MN |＝2，即|MN |＝455.。
高考二轮复习数学课件(新高考新教材)第2讲圆锥曲线的定义方程与性质
答案 A
解析 如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线
的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.
4 3
又由|DF|=2,所以|NF|= 3 ,在等腰三角形
MNF 中,可
4
得|MF|= .
3
设
4
M(x0,y0),根据抛物线的定义,可得|MF|=x0+1=3,解
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形
π
AF1BF 为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
由直线 y=
π
3x 可知∠AOF=3,则|AF|=|OF|=|OA|=2
||
p=3.
P 在 x 轴的
突破点二 圆锥曲线的几何性质
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
x2 y2
x2 y2
[例 2—1]已知双曲线 C1: 2 − 2 =1(a>0,b>0)以椭圆 C2: + =1 的焦点为顶
4
3
a
b
点,左、右顶点为焦点,则双曲线 C1 的渐近线方程为(
A. 3x±y=0
B.x± 3y=0
.
答案 (1)ACD
(2)4
解析 (1)由题意知,m>0 且 m2-1>0.由已知可得 2 --1=1,解得 m=2 或 m=1(舍去负值),故椭圆
2
C 的方程为 3
2
+ 2 =1.
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
F(1,0)，
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
基础知识·自主学习
要点梳理
2
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相 交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相 切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没 有公共点．
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基础知识·自主学习
要点梳理
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9
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圆锥曲线中常用的二级结论+课件-2024届高三数学二轮复习
b4 a2
+
4c2
=
16 ，
将 c2 = a2 + b2 代入上式化简可得 b2 = 4a − a2 = − a − 2 2 + 4 ，
∴ 当 a = 2 时， b2 取得最大值，最大值为4，
∴ c2 = 4 + 4 = 8 ， ∴ a = 2 ， c = 2 2 ，
∴
双曲线的离心率
e
=
c a
=
2.
.
3.过抛物线 y2 = 2px p > 0 的焦点 F 且倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 A ， B 两点，
则两焦半径长分别为 p ， p ， 1
1−cos θ 1+cos θ AF
+
1 BF
= 2，
p
AB
=
2p sin2θ
，
S△AOB
=
p2 2sin
θ
.
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
3
一、圆锥曲线的通径
1.椭圆通径:过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为
2b2 a
.
2.双曲线通径:过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为
2b2 a
.
3.抛物线通径:过焦点且与其对称轴垂直的弦，通径长为 2p .
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专项培优（五）圆锥曲线中常用的二级结论
∠NGA = ∠NGB .
3.已知抛物线 y2 = 2px p > 0 ,过抛物线对称轴上任意一点 N a, 0 的一条弦端点
A , B 与对应点 G −a, 0 的连线所成的角被对称轴平分，即 ∠OGA = ∠OGB .
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
高三数学二轮复习直线与圆学案
高三数学二轮复习 ——直线、圆及其交汇问题一、高考定位：本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．二、必备知识1. 两直线平行、垂直的判定(1)①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；③若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直． (2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，通常写成111222A B C A B C =≠（分母不为0） 便于记忆。
l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.圆的方程：(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2；（3）直线被圆所截得的弦长等于三、必备方法1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．3．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．四、典型例题解析：【例1】►待定系数法求圆的方程已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线x＋3y＝0相切于点Q(3，－3)，求圆C方程．[审题] 先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法．解：设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，由题设得13rrba⎧==+⎪=-⎪⎪⎩解得：42abr=⎧⎪=⎨⎪=⎩或6abr=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.【考题演练】（2010山东文数）已知圆C过点（1,0）且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x－yC的标准方程为_____________________.解析：【例题2】►如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程。
直线与圆圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
3. 过两圆交点的圆系方程 过圆与圆 交点 的圆系方程为 ， 此圆系中不含圆 .【注意】当时，得方程 ，即两个圆公 共弦所在的直线方程.
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”,错的打“×”）
（1）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.( )
,
解析 因为，所以直线关于直线 的对称直线为，所以，整理可得 ，解得 .
判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
代数法
将直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，利用根的判别式： 相交； 相切； 相离
几何法
利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系： 相交； 相切； 相离
考点二 圆的弦长、切线问题［多维探究］
1.（2024 · 海淀模拟改编）已知圆，若直线与圆 相切，则 的值为( ) .
D
A.1 B. C. D.
解析 在圆中，圆心，因为直线与圆 相切，所以，故 .故选D.
2.（2024 · 柳州校考）已知圆 及直线，则直线与圆 的位置关系是( ) .
A
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
AD
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 圆的圆心是，半径为 ， 圆的圆心是，半径为 ， 因为 ，所以两圆相离或内含，又 , 所以当两圆相离时，， ,故A正确；当两圆内含时，，，故B,C错误，D正确.故选 .
2.（改编）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前 公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且 的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知,,动点满足，则动点 的轨迹与圆 的位置关系是( ) .