外文翻译---反馈控制消除机械振动

(Feedback control for canceling mechanical vibrations)
反馈控制消除机械振动
摘要
线性二次高斯（LQG ）控制被用于主动取消振动。

通过加速度的测量来控制振动电机的虚拟量。

终端控制器是一个经过修改的LQG 设计，它被用于设计和制定一种增强型的振动电机。

这篇文章介绍了机械振动电机的建模和参数辨识，控制器性能规格的发展，LQG 控制器的设计和实验测试所产生的控制系统。

振动电机的建模是以理论推导和实验数据的收集为基础的。

控制器的规范性发展主要是在使用两种不同传递函数返回率的频域范畴。

控制器的设计采用的是连续时间的LQG 算法。

该控制器是作为一个带有运算放大器的模拟电路来使用。

在实验测试中，一些闭环系统的稳定性问题被发现，并就这些问题提出了一种解释。

一、引言
本文介绍了一种反馈控制系统的设计，该系统可用于消除一个物体表面的机械振动。

振动的消除是通过振动电机对物体表面施加一个交替的作用力来实现的。

这种方法被渴望用于减少各种物体的震动，这些物体可以是家用电器和汽车乃至飞机和高速列车[1]，[2]，[3]。

降低机械振动使用户的舒适和安全得到了改善，而且通过减少磨损使产品的可靠性和耐用性都得到了提高。

作为这一设计项目的一部分，需要进行四项任务。

首先，确定商用振动电机的属性和数学模型是必要的，这种电机在过去经常被用于消除振动。

第二项任务就是制定一套系统的性能规格，以用于控制器的设计。

第三项任务是利用反馈控制技术设计一个控制器，从运动传感器接收到输入信号后，该控制器将对电机输出一个控制信号来抵消振动。

H 和线性二次高斯（LQG ）技术都被进行了研究。

终端控制器是一个经过修改的LQG 设计，它被用于设计一种增强型的振动电机。

第四个任务是模拟电路控制器的执行和测试闭环系统。

前三个任务在本文中进行介绍。

随着对一些实验结果的解释，介绍了控制器执行和完全系统测试的结果。

二、建模和辨识
振动消除系统的主要组成部分是一个振动电机。

这个电机将被附在任何一个需要消除表面振动的物体表面。

在电机的外壳安装一个加速计来检测物体的振动。

电机外壳的加速度可以被感应，而电机通过被控制产生自身振动这样一种方式来消除那些来自外部的干扰。

消除振动通过消力电机完成。

那也就是说，通过制造一个控制信号，以保持电机加速度为零（或接近为零），这样干扰振动就被抵消了。

振动电机（图1），由一个物块1m （代表外部电机外壳）和内部悬挂的2m 构成的模型来表示。

处于暂停模式的弹簧和阻尼器连接着这两个物块。

电机驱动
力是电磁力，它在两个物块之间产生作用，根据驱动（控制）电流c I 的方向使物块分离或将物块拉到一起。

电机驱动力就是控制力c F 。

图一 振动控制系统示意图
电动机对作用于（不依赖频率反馈的）1m 上的交流干扰力作出响应。

在非常低的频率下，悬挂将使1m 和2m 处于一个相对平衡中。

他们的质量被用于平衡电机往返的加速。

系统的有效质量就是21m m 。

而在非常高的频率下，1m 的速度和位移接近于0，并且没有力通过悬挂传递给块2m 。

实际上，干扰力仅仅只作用于1m ,所以有效质量是1m 。

超过了某个频率范围，在低频与高频方式之间就必须有一个过渡。

显然，通过悬挂物的路径具有频率依赖性。

在高频下，这个路径消失，因为位移和速度趋近于0。

而当频率降低时，这条路径会变得越来越重要。

在一个闭环回路中，控制器将1m 的加速度转换为一个驱动电流，这个驱动电流会在电机内部产生一个对抗控制力。

如果控制器在这个频率下有效，那么1m 的加速度将会保持接近于零。

假设系统当前处于控制器有效地频率下。

作用于电机的干扰力几乎不会产生加速度。

因此，在这个频率下有效质量是非常大的。

在某个使控制器无效的频率下，干扰将会产生1m 的加速度，而且有效质量将会接近电机开环质量。

所以，闭环系统具有“虚质量”，这是一个频率的函数，他能实现的价值远远高于开环质量。

这个虚拟的质量也有一个与之相关的相位角，所以加速度并不是完全与干扰力在同一个相位。

虚质量以g K 为单位，它代表从干扰输入信号w 到输出信号y 的传递函数的幅度大小。

A.参数辨识
进行试验以确定两个物块、弹簧和阻尼值、电机强度的作用。

首先，电机放置在一个厚的而且高度兼容的海绵中，使它从工作台上孤立出来，近似成为一个自由的部署空间。

通过观察源频率改变时的负载电压，发现阻抗最大值出现在频率为HZ 60时。

谐振频率是：
.,/1202
121m m m m m s r m k w r r r +===π （1） 下一步，电机放置在实验室的长凳上，使1m 有效地连接到台式物体上，在这种情况下1m 的质量非常大。

由于1m 质量很大，r m 的质量接近于2m 。

有了这个设置，阻抗最大值的出现转移到51HZ ，所以：
s r m k w /1022
2π== （2） 整个电机的质量为Kg m m 331.121=+。

假定悬挂的质量可以忽略不计，根据上述关系可以得到以下值：Kg m 937.01=, Kg m 394.02=,m n k /1005.44⨯=。

通过1m 的加速度的书面计算，来确定电机强度S 和粘性阻尼系数d 。

)
()()()()()()(212122122221m m k s m m d s m m s F s m s F k ds s m S A c d m +++++++= （3） )(S F d 是干扰力，)(S F c 是控制力。

假定干扰力有一个零值，那么下面的大小关系会在高频时保持。

)(,212111
m m d Sm I A m S I A r w c m c m r r +===>>ωωωω （4）
在这里：c c I S F ⨯=。

频率响应程度经过了实验测定。

公式（4）中S 和d 的数值为：
)//(31.8,/97.3s m N d A N S ==。

B.状态空间模型
通过上一节对测量方式的描述，对状态空间模型将作如下定义：1m 的位置为1χ，1m 的速度为2χ，2m 的位置为3χ，2m 的速度为4χ，1m 的加速度为y 。

给该模型输入控制信号和振动干扰。

状态空间模型有一个从干扰输入到系统输出的直接的馈通任期。

在这个含有四个变量模型中，矩阵A 的秩为2，表明了这种形式的退化和一个更简单形式的存在。

某些重新界定状态变量的的双变量模型的实验结果如如图2所示，由11m =χ相对于2m 的位置，12m =χ相对于2m 的速度，1m y =的加速度。

[][][]2
12
111111/1,/,//]/10[,/0,//10m m m m m m F m s D m d m k C m G m S B m d m k A r r r r +===--==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= （5）
图2 厂模型结构
在远高于1KHZ 的频率下，电机有几个重要的结构共振，它的金属外壳就像一个响起的钟。

它是理论化了的、与加速度计胶合的电机外壳顶部的鼓共振。

为了对抗这个共振源，两个垂直的金属板被粘接在电机顶端，固定在电机外壳和夹层加速度计的下缘。

这些加强筋板可以消除一个共振，并减少其他一些共振的振幅，但是一些突出的共振依然存在。

可以想象，一个模型可以构建共振，进入“工厂模式”这将大大提高该模式的复杂性。

但不管怎么说比起试图去控制那些频率，这是更可行的。

也就是说，我们能够通过少于那些频率的回率来保证稳定性，而不是去考虑模型中的共振。

三、控制器的设计
A 、性能标准
几个标准被选择来评价控制器的设计。

首先，超过了一些有用的频率范围，闭环干扰的响应应尽可能小。

这就相当于使虚质量在那个变化范围里尽可能的大。

一个绩效指标就是使虚质量至少增大为电机开环质量的10倍。

其次，电机漂移在任何频率下都不应该过高，以避免限制悬挂物的运行。

第三，在任何频率下，控制力都不应该比干扰力大太多。

这就保证了电机不能充分响应的频率时，控制能量不会浪费。

图3显示了从控制输入到输出的频率响应幅度。

根据图形显示，很明显，通过控制极低的频率干扰，该控制器不会浪费能量。

图3 开环控制响应
第四，传感器噪声控制回路不应被过分扩增。

第五，在所有高频的厂共振中，环增益应该少于1/2。

这样还剩下误差的双因子源。

最后，闭环的稳定性应该是健全的，以使物理参数的变化（或建模误差）合理化。

B、控制器的结构
控制器的初始结构由一个观察和反馈增益矩阵组成。

由于有一个直接馈通参数进行调整，这样所得到的一个结果是，从过程干扰w到输入y，观察员的估计状态不会收敛到真实的状态。

相反，它是收敛到一个虚拟的状态，这个虚拟状态是真实状态与过程干扰分别与C和F矩阵相乘后的结合。

这个虚拟状态的真实与预计输出收敛于0。

通过这个机制，可以调节输出。

在最后的控制器设计中，观测和控制增益的计算采用线性二次高斯回路转移与恢复技术（LQGLTR）。

为了提高抗干扰性，开环系统模型通过放置一个额外的控制输入序列动态系统来强化。

增广将在下一节进行更详细的介绍。

卡尔曼滤波和线性稳压收益计算用于增广系统模型。

相对于上述执行标准，矩阵权重可以通过人工调谐来获得性能好的闭环系统。

C、控制器的设计
随着极点配置设计，观测极点最初设定比厂极点快得多。

这种方法在高频共振时没有提供足够的衰减。

通过移动极点位置来改善性能的尝试最好在边缘位置。

有效质量的增加仅发生在超过一个小的频率范围时，并且控制能量对于抗干扰所需的量来说太高了。

在试图改善有效的设计程序的性能时，线性二次高斯技
术用于回路的传递恢复[4] [5]。

卡尔曼滤波器的设计参数R ，W 和V （干扰输入矩阵和噪音的干扰和协方差矩阵的过程中）被初始化到G ，1和1，其中G 是干扰输入矩阵。

因为W 和V 都是标量，这是他们的相关率而不是个体值。

因此，只有W 需要调整。

对于LQR 状态反馈设计，下面这些强调输出和控制能量花费的性能指标被使用。

D
C N
D r R C C Q dt Nu Ru u Q dt ru Du C dt ru y J T T T T T =+==++=++=+=⎰⎰⎰∞∞∞,,)2())(()(2000222
2χχχχ （6）
系统的闭环方式通过调整标量参数W 和r 来操作。

由于关键的性能指标是对干扰输入的各种反应，因此在卡尔曼滤波响应和LQR 响应中闭环性能无法直接观察到。

尽管如此，r 的影响与LQR/LTR 原理是相一致的。

例如，增大W 会增大卡尔曼滤波器的带宽，从高频噪音的反应就可见一斑。

通过恢复更多的卡尔曼滤波响应，降低r （控制能源成本）也可以增大噪声带宽。

因为只有两个参数需要调整，实验进展非常迅速。

但是所获得的成果几乎可以等于那些使用极点的。

很明显，仅仅通过回馈一个预估的厂状态（在这种情况下的虚拟状态）无法获得预期的结果。

决定通过在如图4所示的控制输入序列添加一个动态系统来增强厂模型。

增强的目的是为了形成开环频率响应，使控制器更有效地覆盖一个特定的频率范围。

除了将r 设定为与输入增广矩阵a B 相等外，LQR 和卡尔曼滤波的性能指标再次被使用。

因为a D 的值为零，所以状态控制输入加权矩阵N 是一个零增广矩阵。

图4 带有增强模型的闭环系统
对许多增强反应进行了探讨。

其中包括1st 和2nd 的低通和高通系统、带通系统、全通系统，并逐步形成反应。

每个增广矩阵的类型、特点，如频率特性，以及LQG 参数都是通过获得有用的闭环响应来操纵的。

扩增略微产生了一些有用的设计，在这些设计中，干扰响应在一个狭窄的频率范围内低于开环水平
10~15dB 。

其中一个加强产生了一个明显的有用的结果，在一个狭窄的频带干扰响应骤降到了-40dB 。

而一个增强收益在宽的频率范围内有良好抗扰性没有被发现。

被用于增广的传递函数是：
[][]s r s
r s s s s s H n n n n n n /24005
.0/805
.01)/2()/(1)/2()/()(22112
222
21121
πωξπωξωξωωξω====++++= （7）
这些动态有一个频率响应幅度40HZ ，在120 HZ 时达到共振高峰60dB,而在高频率时会骤降至-40dB 。

对于频率在60HZ 到250HZ 之间的，附加的动态系统将原开环系统幅度提高了10dB 以上。

此循环可以用于强化控制设计过程，以减轻该频率范围内的干扰。

频率wn1和wn2之所以被选中，是因为交流电的缘故很多工业的机械振动发生在60HZ 或
120HZ 处。

添加的高频动态衰减可以防止结构共振，实际模型的低频衰减则可以防止控制器调解低频干扰。

下面的图5为增广后的开环频率响应幅度与原幅度的对比。

图5 增强系统的频率响应
D 、控制器设计分析 当观察前面描述的各种性能的折衷措施时，性能指标W 和r 值是多方面的。

这里对应的结果为：1=W 和1000=r 。

图6所示为总控制器（增强系统系列的
LQG控制器）的开环频率响应。

在120HZ处出现大的峰值是由于过滤器的动力增强。

在这项设计中，控制器已调整为在120HZ处提供最大的响应。

高频幅度的斜率为-60dB/10HZ，所以结构共振不会引起稳定性问题。

图6 LQG控制频率响应
电机加速度输入干扰的闭环频率响应如图7所示。

作为对比，从w到y的开环频率响应幅度也被显示出来。

120HZ处的大衰减在闭环响应中是非常明显的。

在60HZ处开环系统出现它的最大值，控制器提供了一个相对于开环系统约12.7dB的衰减。

闭环系统虚拟质量的最大值出现在120HZ处，为92Kg（相当于019
.02的频率响应幅度）。

相比之下，开环系统5.9Kg的虚质量和极点配N
/
m/
s
置控制器17.7Kg的质量也是毫不逊色。

最大衰减（最大虚拟质量）的频率可以通过改变动态增强频率来设置。

图7 闭环干扰响应
从干扰力到实际厂（由电机强度S缩放）输入信号的闭环频率响应幅度如图8所示。

极点配置控制器的曲线作为对比用虚线表示。

可以看到LOG控制器有一个比极点配置控制器更小的最大振幅。

在LQG控制器所具有的任何频率下，电机施加的最大力只有干扰力的1.39倍，而在极点配置控制器的频率下，确是干扰力的2.32倍。

当频率超过大约1380HZ时，LQG控制器比极点配置控制器具有更小的振幅和更陡的下降率。

这是由于增强系统提供的回路成形，而不是因为规范性的设计。

带有回路成形的终端控制器无疑是更强大的高频共振。

尽管数据在这里没有介绍，但是LQG控制器的分析表明电机漂移在任何频率下不要被过高的期待，同时也表明传感器噪声不应该被过度放大。

奈奎斯特样闭环虚拟质量轨迹如图9所示。

为了能够得到一个大的动态变化范围，虚拟质量的幅度在每个频率以r' = log10(r + l)的关系被压缩，公式中r表示虚拟质量的幅度。

虚拟质量的相没有改变。

开环虚拟质量如图9中虚线所示。

探索控制器的性质时，可以指出，被奈奎斯特轨迹包围的-1点与被虚拟质量轨迹包围的原点相吻合。

这种关系没有数学的推导证明，它还是假设。

被虚拟质量轨迹避免的原点通过闭环系统配置得到了加强。

图8 闭环控制信号
图9 LQG控制器的虚拟质量
四、实验结果
控制系统在降低机械振动上的有效性是通过将电机附加到实验台上来进行
测试的。

干扰的获得是来源于一个电动剃刀在120HZ时的振动。

随着开环回路的开放，当接触到试验台时，电动剃刀会产生一个强烈的，频率为120HZ的加速度正弦信号。

当控制回路关闭时，信号几乎就消失了。

控制器能够感知和调整的电机加速度，使剃须刀的干扰力作用几乎完全消除。

一个远小于240HZ的信号依然可见。

干扰是不完全的正弦，它包含了120HZ的谐波。

显然，干扰的二次谐波依然可见。

而出人意料的是，当闭环系统放置在许多表面时变得不稳定。

乍一看，这似乎违背了那些附加质量提高系统鲁棒性的数据显示。

实际上，这是表面动力与改变厂模型的相互作用的理论化。

由于电机不能被安装到一个完全刚性的表面，所以电机与表面的连接可以看作是弹簧和阻尼器模型。

因此，有效表面质量具有频率依赖性，并且会增加矢量中的电机质量。

尽管如此，表面虚质量有一个复平面轨迹，而不是一个固定的质量，这就导致了虚拟质量轨迹与原始轨迹的重合，表明了闭环系统的不稳定性。

五、结论
在这一项目中，控制器被设计用来提供120HZ时的峰值性能。

尽管峰值可以放置在100~400HZ的任意位置，但是设定的狭窄的频带有效的限制了它的用处。

应该是注意的是，系统可调节的频率范围取决于谐振频率和高频谐振幅度。

该频率上限的实施要满足这样一个要求：在高频共振下，回率要低于1。

如果这些共振被减弱，那么频率上限就会提高。

闭环系统能够强烈的减小k，增大d。

增大k会引起闭环系统的不稳定。

在这项设计中，k在系统不稳定之前会以约1.31的系数增加。

因为改变LQG设计参数来增加鲁棒性被发现会导致一些性能措施的大幅度恶化，因此没有去改变它。

闭环系统在一些表面变得不稳定的趋势是一个重要问题。

建议在实际设计中，安装面的物理模型应该建立和纳入厂模型。

这可能会大大增加厂模型的复杂性，并可能导致截然不同的控制器设计，以及一个完全不同的性能实现范围。

最后，控制器设计在这个工程中的探索依然还不够详尽。

尽管这个控制器可以提供一些有益的性能，但可能还存在其他一些控制器，他们可以在更宽的频率变化范围内提供优良性能，且对表面安装的动态敏感度更低。

六、参考文献
[l] Kang, Y. K., H. C. Park, W. Hwang and K. S . Han,“Optimal Placement of Piezoelectric Sensor and Actuator for Vibration Control of Laminated Composite Beams,” AIAA Journal, V o1.34, No.9, 1996.
[2] Sivrioglu, S., Kenzo Nonami, “ Design of Active Vibration Control Systems Using LMI-Based State Feedback Control “, Proc. of the Fourth Motion and Vibration Control Symposium, pp. 74-77, Yokahama, July 11, 1995.
[3] IEEE Control Systems Magazine, December 1995.
[4] Maciejowski, J., Multivariable Feedback Design, Addison-Wesley Publishers LTD., 1989
[5] Lewis, F.L., Applied Optimal Control and Estimation, Prentice-Hall, 1992。