高三数学上册 16.5《二项式定理》教案(1) 沪教版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学上册 16.5《二项式定理》教案（1） 沪教版
一、教学目标：
使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物
内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。
二、教学重、难点：
重点：二项式定理的推导及证明 难点：二项式定理的证明 三、教学过程： (一)新课引入：
(提问)：若今天是星期一，再过810
天后的那一天是星期几？ 在初中，我们已经学过了 (a+b)2
=a 2
+2ab+b 2
(a+b)3
＝(a+b)2
(a+b)＝a 3
+3a 2
b+3ab 2
+b 3
(提问)：对于(a+b)4
，(a+b)5
如何展开?(利用多项式乘法) (再提问)：(a+b)
100
又怎么办？ (a+b)n
(n ∈N +)呢？
我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n
的二项展开式的规律性 (二)新课：
(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。 规律：(a+b)1
=a+b
(a+b)2
=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a 2
+2ab+b 2
(a+b)3
=(a+b)2
(a+b)=(a 2
+2ab+b 2
)(a+b)=a 3
+3a 2
b+3ab 2
+b
3
(a+b)4
=(a+b)3
(a+b)=(a 3
+3a 2
b+3ab 2
+b 3
)(a+b)=a 4
+4a 3
b+6a 2
b 2
+4ab 3
+b 4
810＝(7+1)10＝010C 710+1
10C 79+…+9
10C 7+10
10C
＝2(733＋c 1732+…+c 32·7+2
根据以上的归纳，可以想到(a+b)n 的展开式的各项是齐次的，它们分别为a n
, a
n-1
b, a
n-2
b 2,…，b n
,展开式中各项系数的规律，可以列表：
(a+b)1
1 1
(a+b)
2
1 2 1
(a+b)3
1 3 3 1 (a+b)
4
1 4 6 4 1
(a+b)5
1 5 10 10 5 1
（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）
如何从组合知识得到(a+b)4
展开式中各项的系数
(a+b)4
=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(1)若每个括号都不取b ，只有一种取法得到a 4
即0
4C 种
(2)若只有一个括号取b ，共有1
4C 种取法得到a 3
b
(3)若只有两个括号取b ，共有2
4C 种取法得到a 2
b 2
(4)若只有三个括号取b ，共有3
4C 种取法得到ab 3
(5)若每个括号都取b ，共有4
4C 种取法得b 4
01C 1
1C 02C 12C 2
2C 03C 13C 23C 3
3C
04C 14C 24C 34C 4
4C 05C 15C 25C 35C 45C 5
5C
…………
∴ (a+b)n
=0n C a n
+1
n C a
n-1
b+…+r
n C a
n-r
b r
+…+n
n C b n
(n ∈N +)
以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。
证明：(1)当n=1时，左边＝(a+b)1
=a+b 右边＝0
1C a 1
+1
1C b 1
=a+b ∴ 等式成立
(2)假设n=k 时，等式成立，即(a+b)k
=0k C a k
+1
k C ·a
k-1
b+…+r
k C a
k-r
b r
+…k
k C ·b k
那么当n=k+1时
(a+b)k+1
=(a+b)k
·(a+b)=(0
k C a k
+1k C ·a
k-1
b+…+r
k C a
k-r
b r
+…+k
k C ·b k
)(a+b)＝
(0
k C ·a
k+1
+1k C a k
b+…+r
k C a
k-r+1
b r
+…+k k C ab k
)+(0
k C a k
b+1
k C a
k-1
b 2
+…+r
k C ·a
k-r
b
r+1
＋…
＋k
k C ·b k+1
)
＝0
k C a
k+1
+(1
k C +0
k C )a k
b+…+(1+r k C +r
k C )a
k-r
b
r+1
+…+(k k C +1
-k k
C )ab k
+k
k C ·b
k+1
由组合数性质得，o
k C =0
1+k C 1
k C +o
k C =11+k C ， (1)
+r k C +r
k C =11++r k C ，k k C +1
-k k
C =k
k C 1+，
k k C =1
1++k k C
∴(a+b)
k+1
=0
1+k C a
k+1
+11+k C a k
b 1
+…+1
1++k k C a
k-r
b
r+1
+…+k k C 1+ab k
+1
1++k k C b
k+1
，即等式成立。
根据（1）（2）可知，等式对于任意n ∈N +都成立。 一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点： 1．项数：共有(n+1)项
2．系数：依次为0
n C ，1
n C ，2
n C ，…r
n C ，…n
n C ，其中r
n C (r ＝0，1，2，…n)称为二