2010-2011西城区初二第二学期试卷数学(A卷)
北京西城初二年级下学期期末考试数学试题 含答案
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八 年 级 数 学试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 函数11y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ）.A. x ≠1-B. x ≠1C. x ＞1-D. x ≥1- 2. 一次函数+3y x =的图象不经过．．．的象限是（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点为O ，点E 为BC 边的中点，30OCB ∠=︒，如果OE =2，那么对角线BD 的长为（ ）.A. 4C. 8D. 105. 如果关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，那么以下结论正确的是（ ）．A. 1k =-B. 1k =C. k ＞1-D. k ＞16. 下列命题中，不正确．．．的是（ ）. A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直且平分C. 菱形的对角线互相垂直且平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分7. 北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：(单位：℃)则这10个区县该日最高气温的中位数是（ ）.A. 32 C. 308. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°<α<180°）至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 边上，则α等于（ ）.A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°9. 教育部发布的统计数据显示，近年来越来越多的出国留学人员学成后选择回国发展，留学回国与出国留学人数“逆差”逐渐缩小.2014年各类留学回国人员总数为万人，而2016年各类留学回国人员总数为万人．如果设2014年到2016年各类留学回国人员总数的年平均增长率为x，那么根据题意可列出关于x的方程为（）.A. 36.48(1)=43.25xx++ B. 36.48(12)=43.25C. 2x36.48(1)=43.25-36.48(1)=43.25+ D. 2x路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）.二、填空题（本题共26分，其中第18题5分，其余每小题3分）11. 如果关于x的方程2320-++=有一个根为0，那么m的值等于 .x x m12. 如果平行四边形的一条边长为4cm，这条边上的高为3cm，那么这个平行四边形的面积等于2cm.13. 在平面直角坐标系xOy中，直线24=-+与x轴的交点坐标为，y x与y轴的交点坐标为，与坐标轴所围成的三角形的面积等于 .14.如图，在Y ABCD中，CH⊥AD于点H，CH与BD的交点为E.如果1=70ADC∠∠，那么=∠°．ABC∠︒，=3215.如图，函数2=-的图象交于点P，那y kx=+与函数1y x b么点P的坐标为_______，关于x的不等式12->+的解集kx x b是．16. 写出一个一次函数的解析式，满足以下两个条件：①y随x的增大而增大；②它的图象经过坐标为(0,2)-的点. 你写出的解析式为 .17. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形AEFG的边长为1cm.正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_______cm.18. 利用勾股定理可以在数轴上画出表示图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）=，使其中a，b都为正整数.你取的正整数a=____，b= ；以第一步中你所取的正整数a，b为两条直第二步：∠︒，则斜边OFOEF=90请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）M，并描述第三步：第三步．．．的画图步骤：.三、解答题（本题共44分，第19、20、22题各5分，第21、23、24题各7分，第25题8分）19. 解方程：2610--=.x x20．如图，在四边形ABCD中，AD21.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短.横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出注.问户斜几何.注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.解决下列问题：（1）示意图中，线段CE的长为尺，线段DF的长为尺；（2）求户斜多长.22. 2016年9月开始，初二年级的同学们陆续到北京农业职业技术学院进行了为期一周的学农教育活动.丰富的课程开阔了同学们的视野，其中“酸奶的制作”课程深受同学们喜爱.学农1班和学农2班的同学们经历“煮奶—降温—发酵—后熟”四步，制作了“凝固型”酸奶.现每班随机抽取10杯酸奶做样本（每杯100克），记录制作时所添加蔗糖克数如表1、表2所示.表 1 学农1班所抽取酸奶添加蔗糖克数统计表（单位:克）表 2 学农2班所抽取酸奶添加蔗糖克数统计表（单位:克）据研究发现，若蔗糖含量在5%~8%，即100克酸奶中，含糖5~8克的酸奶口感最佳.两班所抽取酸奶的相关统计数据如表3所示.表3 两班所抽取酸奶的统计数据表根据以上材料回答问题：（1）表3中，x=：（2）根据以上信息，你认为哪个学农班的同学制作的酸奶整体．．口感较优？请说明理由.23. （1）阅读以下内容并回答问题：小雯用这个方法进行了尝试，点(1,2)A -向上平移3个单位后的对应点A '的坐标为 ，过点A '的直线的解析式为 .（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：将直线2y x =-向右平移1个单位，平移后直线的解析式为 ，另外直接将直线2y x =-向 （填“上”或“下”）平移 个单位也能得到这条直线.（3）请你继续利用这个方法解决问题：对于平面直角坐标系xOy 内的图形M ，将图形M 上所有点都向上平移3个单位，再向右平移1个单位，我们把这个过程称为图形M 的一次．．“斜平移”. 求将直线2y x =-进行两次．．“斜平移”后得到的直线的解析式.（3）解：24.（1）画图－连线－写依据：先分别完成以下画图．．（不要求尺规作图），再与判断四边形DEMN形状的相应结论连线．．，并写出判定依据（只将最后一步判定特殊平行．．．．．．．．．．四边形的依据．．．．．．填在横线上）.①如图1，在矩形ABEN中，D为对角线的交点，过点N画直线NP∥DE，过点E画直线EQ∥DN，NP与EQ的交点为点M，得到四边形DEMN；②如图2，在菱形ABFG中，顺次连接四边AB，BF，FG，GA的中点D，E，M，N，得到四边形DEMN.（2）请从图1、图2的结论中选择一个进行证明.证明：25. 如图所示，在平面直角坐标系x O y中，B，C两点的坐标分别为(4,0)B，(4,4)C，CD⊥y轴于点D，直线l 经过点D.（1）直接写出点D的坐标；（2）作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF.①依题意补全图形；②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想；③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路：思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出45∠=︒，从而证明结论.CFB思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN为矩形，从而证明结论.……请你参考上面的思路完成证明过程.（一种方法即可）解：（1）点D的坐标为.（2）①补全图形.②直线BF与直线l的位置关系是.③证明：北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八 年 级 数 学 附 加 题试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(2,2)A 在直线y x =上，过点1A 作11A B ∥y 轴，交直线12y x =于点1B ，以1A 为直角顶点，11A B 为直角边，在11A B 的右侧作等腰直角三角形111A B C ；再过点1C 作22A B ∥y轴，分别交直线y x =和12y x =于2A ，2B 两点，以2A 为直角顶点，22A B 为直角边，在22A B 的右侧作等腰直角三角形222A B C ，…，按此规律进行下去，点1C 的横坐标为 ，点2C 的横坐标为 ，点 n C 的横坐标为 ．（用含n 的式子表示，n 为正整数）二、操作题（本题6分）2．如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的66⨯正方形网格中，点A ，B ，P 都在格点上．请画出以AB 为边的格点四边形（四个顶点都在格点的四边形），要求同时满足以下条件： 条件1：点P 到四边形的两个顶点的距离相等； 条件2：点P 在四边形的内部或其边上； 条件3：四边形至少一组对边平行．（1）在图①中画出符合条件的一个Y ABCD ， 使点P 在所画四边形的内部； （2）在图②中画出符合条件的一个四边形ABCD ，使点P 在所画四边形的边上；（3）在图③中画出符合条件的一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．三、解答题（本题8分）3.如图，在平面直角坐标系xOy中，动点A(a,0)在x轴的正半轴上，定点B(m, n)在第一象限内（m＜2≤a）.在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF，连接FD，点M为线段FD的中点.作BB1⊥x轴于点B1，作FF1⊥x轴于点F1.（1）填空：由△≌△，及B(m, n)可得点F的坐标为，同理可得点D的坐标为；（说明：点F，点D的坐标用含m，n，a的式子表示）（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：①当点A在x轴的正半轴上指定范围内运动时，点M总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量x的取值范围）；②当点A在x轴的正半轴上运动且满足2≤a≤8时，求点M所经过的路径的长.解：①②北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号12345678910答案A D B C A B A C C D二、填空题（本题共26分，其中第18题5分，其余每小题3分）11. 2-. 12. 12. 13. (2,0)，(0,4)，4.（各1分）14. 60. 15.(1,2)-（2分），x＜1（1分）.16. 答案不唯一，如2=-等.（只满足一个条件的y x得2分）17. 2.18. 第一步：a= 4 ，b= 2 （或a= 2 ，b= 4 ）；…………2分第二步：如图1. ……………………………………… 3分第三步：如图1，在数轴上画出点M. ………………………………………………………4分第三步的画图步骤：以原点O为圆心，OF长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点M. ………………………………………………………………………………………… 5分说明：其他正确图形相应给分，如2OE =，4EF =.三、解答题（本题共44分，第19、20、22题各5分，第21、23、24题各7分，第25题8分）19. （本题5分） 解：1a =，6b =-，1c =-. …………………………………………………………………… 1分224(6)41(1)40b ac ∆=-=--⨯⨯-=＞0. …………………………………………………2分 方程有两个不相等的实数根x = ……………………………………………………………………… 3分(6)6322--±±===所以原方程的根为13x =+，23x =-………………………………………… 5分20．（本题5分）解：（1）如图2．∵ △ABC 中，AB=10，BC=6，AC =8，∴222AC BC AB. ……………………… 1分+=∴△ABC是直角三角形，=90∠︒.……2分ACB（2）∵AD==90∠∠︒…………………………………………………………… 3分CAD ACB∵在Rt△ACD中，=90∠︒，AC=AD=8，CAD∴CD=…………………………………………………………… 4分=………… 5分21．（本题7分）解：（1）4，2．…………………………………………………………………………………2分（2）设户斜x尺．…………………………………… 3分则图3中BD=x，BC BE CE x=-=-，（x＞4）4=-=-．（x＞2）2CD CF DF x又在Rt△BCD中，=90∠︒，BCD由勾股定理得222BC CD BD．+=所以222(4)+(2)=x x x--．………………… 4分整理，得212200x x-+=．因式分解，得(10)(2)=0x x--．解得110x=，22x=．……………………………………………………………… 5分因为x＞ 4 且x＞2，所以2x=舍去，10x=．…………………………………… 6分答：户斜为10尺．…………………………………………………………………… 7分22．（本题5分）解：（1）6．…………………………………………………………………………………………1分（2）学农2班的同学制作的酸奶整体口感较优．………………………………………… 2分理由如下：所抽取的样本中，两个学农班酸奶口感最佳的杯数一样，每杯酸奶中所添加蔗糖克数的平均值基本相同，学农2班的方差较小，更为稳定．……………………5分23．（本题7分）解：（1）(1,1)，y x=-+．…………………………………………………………………… 2分23（2）22=-+，上，2．（各1y x 分）…………………………………………………………5分（3）直线2=-上的点(1,2)A-进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为y x(2,1)，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为(3,4)．设经过两次“斜平移”后得到的直线的解析式为2=-+．y x b 将(3,4)点的坐标代入，得234-⨯+=．b解得10b=．所以两次“斜平移”后得到的直线的解析式为210=-+.y x……………………… 7分说明：其他正确解法相应给分.24．（本题7分）解：（1）见图4，图5，连线、依据略. ……………………………5分（两个画图各1分，连线1分，两个依据各1分，所写依据的答案不唯一）（2）①如图4.∵ NP ∥DE ，EQ ∥DN ，NP 与EQ 的交点为点M ，∴ 四边形DEMN 为平行四边形.∵ D 为矩形ABEN 对角线的交点，∴ AE=BN ，12DE AE =，12DN BN =.∴ DE= DN .∴ 平行四边形DEMN 是菱形.……………………………………………………… 7分②如图6，连接AF ，BG ，记交点为H .∵ D ，N 两点分别为AB ，GA 边的中点，∴ DN ∥BG ，12DN BG =.同理，EM ∥BG ，12EM BG =，DE ∥AF ，12DE AF =.∴ DN ∥EM ，DN =EM .∴ 四边形DEMN 为平行四边形.∵ 四边形ABFG 是菱形，∴ AF ⊥BG .∴90∠=︒.AHB∴118090∠=︒-∠=︒.AHB∴2180190∠=︒-∠=︒.∴平行四边形DEMN是矩形. ………………………………………………………7分25．（本题8分）解：（1）(0,4).……………………………………………………………………………………1分（2）①补全图形见图7.……………………………………………………………………… 2分②BF⊥直线l.…………………………………………………………………………… 3分③法1：证明：如图8，作CM⊥CF，交直线l于点M．∵(4,0)D，C，(0,4)B，(4,4)∴==4BCD∠=︒．==，90OB BC DC OD∵CE⊥直线l，CM⊥CF，45∠=︒，ECF可得△CEF，△CEM 为等腰直角三角形，=45∠∠=︒，CMD CFECF=CM．①∵=90∠︒-∠，DCM DCFBCF DCF∠︒-∠，=90∴=∠∠．②BCF DCM又∵CB=CD，③∴△CBF≌△CDM．…………………………………………………………6分∴∠∠=︒．……………………………………………………7分CFB CMD=45∴=90∠∠+∠=︒．BFE CFB CFE∴BF⊥直线l．………………………………………………………………8分法2：证明：如图9，作BN⊥CE，交直线CE于点N．∵(4,0)D，C，(0,4)B，(4,4)∴==4BCD∠=︒．==，90OB BC CD OD∵CE⊥直线l，BN⊥CE，∴90BNC CED∠=∠=︒．①∴1390∠+∠=︒．∠+∠=︒，2390∴12∠=∠．②又∵CB=DC，③∴△BCN≌△CDE．………………6分∴BN= CE．又∵45∠=︒，ECF可得△CEF为等腰直角三角形，EF = CE．∴BN= EF．又∵180BNE NED∠+∠=︒，∴BN∥FE．∴四边形BFEN为平行四边形．又∵90CEF∠=︒，∴平行四边形BFEN为矩形．…………………………………………………7分∴=90BFE∠︒．∴BF⊥直线l．……………………………………………………………… 8分北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准一、填空题（本题6分）1.解：3，92，322n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.（各2分）二、操作题（本题6分）2. 解：（1）答案不唯一，如：或其他.（2）答案不唯一，如：或其他.（3）说明：每图2分，答案不唯一时，其他正确答案相应给分.三、解答题（本题8分）3.解：（1）如图 1.由△OFF≌1△1BOB ，及B (m, n )可得点F 的坐标为(,)n m -，同理可得点D 的坐标为(,)a n a m +-. （全等1分，两个坐标各1分）…………………3分（2）①设点M 的坐标为(,)M x y .∵ 点M 为线段FD 的中点，(,)F n m -，(,)D a n a m +-，可得点M 的坐标为(,)22a a . …………………………………………………… 5分 ∴ ,2.2a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去a ，得y x =.所以，当点A 在x 轴的正半轴上指定范围内运动时，相应的点M 在运动时总落在直线y x =上，即点M 总落在函数y x =的图象上. ………………………6分②如图2，当点A 在x 轴的正半轴上运动且满足2≤a ≤8时，点A 运动的路径为线段12A A ，其中1(2,0)A ，2(8,0)A ，相应地，点M 所经过的路径为直线y x =上的一条线段12M M ，其中1(1,1)M ，2(4,4)M .……………………………… 7分 而12M M =∴ 点M 所经过的路径的长为……………………………………………8分。
北京市西城区2011年1月高一数学期末试卷
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2011.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 若角α是第四象限的角，则（ ）A. sin 0α>B. cos 0α>C. tan 0α>D. cot 0α> 2. 若向量a = (1, 1)，b = (2, 1-)，则2-a b 等于 ( )A. (0,3)B. (0,2)C. (1,2)-D. (1,3)- 3. 已知1cos 3a =，则cos(3π)a +的值等于（ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 34. 设x ∈R ，向量a =(1, x -1)，b =(-2，x )，若a ^b ，则实数x 等于（ ） A.-2或1 B. -2或-1 C. 2或1 D. 2或-15. 函数()2cos sin f x x x =是（ ）A. 最小正周期为2π的偶函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数6. 如图，D 是ABC V 的边AB 的中点，则向量CD uu u r等于（ ）A. 12BC BA +uu u r uu rB. 12BC BA -uu u r uu rC. 12BC BA -+uu u r uu rD. 12BC BA --uu u r uu rAD CB7. 对于向量,,a b c 和实数λ，下列说法中正确的是（ ） A. 若0a b?，则0a =或 0b = B. 若0l =a ，则0l =或0a =C. 若22a b =，则a b =或 a b =- D. 若a ba c ? ，则bc =8. 为了得到函数πcos(2)3y x =+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ） A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π6个长度单位 C. 向左平移π3个长度单位 D. 向右平移π3个长度单位9. 设向量a , b 的长度分别为2和3，且π,3=〈〉a b ，则|a +b |等于 ( ) A. 13B. C. 19 D.10. 设向量2222(cos ,sin ),(cos ,sin )x x x x ==-a b ，函数()f x =⋅a b ，则函数()f x 的图象 ( )A. 关于点(π,0)中心对称B. 关于点π(,0)2中心对称C. 关于点π(,0)4中心对称 D. 关于点(0,0)中心对称二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin390的值等于_________.12. 若向量(12)=-，a 与向量(,4)x b =平行，则实数x =______________. 13. 不等式cos 0x >的解集为___________________ .14. 若向量,a b 满足||||1==a b ，a 与b 的夹角为120，则()⋅+a a b =__________. 15. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πsin()4θ+=___________ . 16. 函数π()sin(π)6f x x =+, x ∈R 的部分图象如右图所示. 设P 是图象上的最高点，M , N 是图象与x 轴的交点，则tan MPN ∠=______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设函数sin ()tan xf x x=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）已知π(0,)2α∈，且2()3f α=，求π()3f α+的值.18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2) ，B (-1，-1)， C (2，3). (Ⅰ)求BAC ∠的的大小；(Ⅱ)求以线段AB ， AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长.19.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x ωωω=（0ω>）图象的两相邻对称轴间的距离为2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅲ）若对任意12π,02x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12|()()|f x f x m -<，求实数m 的取值范围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 2lg 2lg 25+的值等于 .2. 已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .3. 定义域为(0,)+∞的函数f (x )对于任意正实数x 1, x 2满足f (x 12x ) = f (x 1)+f (x 2). 则f (x )的解析式可以是______________.(写出一个符合条件的函数即可)4. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，若()f x 在[0,)+∞是增函数，且(2)0f =，则不等式(1)0f x +>的解集为____________________.5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表. 已知各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系可以表示为[]10x ay += ([x ]表示不大于x 的最大整数，a ∈N )，那么其中a =__________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）设函数1()11f x x =--. (Ⅰ) 求函数()f x 的定义域和值域； (Ⅱ) 证明函数()f x 在(1,)+∞上为减函数.7. （本小题满分10分）已知函数()||()()f x x x a a =⋅+∈R 是奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设0b >，若函数()f x 在区间[,]b b -上最大值与最小值的差为b ，求b 的值.8.（本小题满分10分）一般地，我们把函数1110()()n n n n h x a x a x a x a n --=++++∈N 称为多项式函数，其中系数01,,,n a a a ∈R .设 (),()f x g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式[()][()]f g x g f x =恒成立. (Ⅰ) 若2()3,()(0)f x x g x kx b k =+=+ .○1 求()g x 的表达式； ○2 解不等式()()5f x g x ->.（Ⅱ）若方程()()f x g x =无实数解，证明方程[()][()]f f x g g x =也无实数解.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2011.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. B2. A3. A4. D5. D6. C7. B8. A9. D 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12 12. 2- 13. ππ{|2π2π+,}22x k x k k -<<∈Z14. 12 15. 1016. 43三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（Ⅰ）解：要使函数()f x 有意义，只要使tan 0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为{|x x ∈R 且π,2k x k ≠∈Z}. ----------------4分 （Ⅱ）解：由sin tan cos xx x=，得()cos f x x =， -----------------5分 所以 2()cos 3f αα==，因为 π(0,)2α∈，所以sin α==7分 所以ππππ()cos()cos cos sin sin 3333f αααα+=+=- ---------------10分2132=⨯=. ----------------12分 18.（Ⅰ）解：由题意，得(1,3),(2,1)AB AC =--=， -----------------2分 所以cos ||||AB ACBAC AB AC ⋅∠=⋅ --------------------------4分==. --------------------------5分 所以135BAC ∠=. -------------------------6分 （Ⅱ）解：设以线段AB ， AC 为邻边的平行四边形的另一个顶点为D ， 则两条对角线分别为,BC AD .根据向量加减法的几何意义，得 (1,2),(3,4)AD AB AC BC AC AB =+=-=-=，------------------------9分 所以22||1(2)5,||5AD BC =+-==，即以线段AB , AC 5.-------12分19.（Ⅰ）解：1cos 2()222x f x x ωω-=+ --------------------------2分112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ------------4分 由题意，得函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． ------------------------5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 所以当ππ3π2π+22π262k x k -+≤≤时，()f x 单调递减， -----------------------7分 故()f x 的单调递减区间是π5ππ+π36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，其中k ∈Z . -------------------8分 （Ⅲ）由π02x ≤≤，得ππ5π2666x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 所以π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即302()f x ≤≤， 且当π3x =时，()f x 取最大值32；当0x =时，()f x 取最小值0. ----------10分 所以对任意12π,02x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1233|()()||0|22f x f x -≤-≤， 且当1π3x =，20x =时，12|()()|f x f x -取到最大值32， 因为对任意12π,02x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12|()()|f x f x m -<成立， 所以32m >. --------------------------12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 22. 3log 23. 答案不唯一，如()lg f x x =，2()log f x x =等4. {|1,3}x x x ><-或5. 3 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（Ⅰ）解：要使函数()f x 有意义，只要使10x -≠，所以函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且. ------------------------2分 由反比例函数1y x =的图象和性质，知11x ∈-R 且101x ≠-， 所以函数1()11f x x =--的值域为{|y y ∈R ，且1}y ≠- . ------------------4分 （Ⅱ）证明：设12x x ，是(1)+∞，上的两个任意实数，且12x x <，则120x x x ∆=-<， 1212121111()()(1)(1)1111y f x f x x x x x ∆=-=---=----- 2112(1)(1)x x x x -=--. ------------------------7分因为121x x <<， 所以 210x x ->，1210,10x x ->->， 从而0y ∆>，所以函数()f x 在(1)+∞，上为减函数. -----------------------10分 7.（Ⅰ）解：因为函数()f x 的定义域为R ， 且为奇函数，所以(1)(1)f f -=- ，即 1(1)a a -=-+， 解得 0a = .验证可得0a =时，()f x 是奇函数. --------------------------4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得 22,0,()||,0.x x f x x x x x ⎧≥⎪=⋅=⎨-<⎪⎩ -------------------------5分则当0x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在[0,]b 上为增函数；当0x <时，()0f x <，且()f x 在[,0)b -上为增函数.所以当x b =时，()f x 取到最大值2b ；当x b =-时，()f x 取到最小值2b -.----------------------8分由题意，得22()b b b --=，解得12b =或0b =（舍）， 故当12b =时，函数()f x 在区间[,]b b -上最大值与最小值的差为b .-----------10分 8.（Ⅰ）解：因为[()][()]f g x g f x =，所以22()3(3)kx b k x b ++=++， ---------------------------1分即2222233k x kbx b kx k b +++=++， 因为上式对所有的实数x 都成立，且0k ≠，所以22,20,33.k k kb b k b ⎧=⎪=⎨⎪+=+⎩解得1,0k b ==.所以 ()g x x =. ----------------------------3分 不等式()()5f x g x ->，即为235x x +->，解得 2x > 或 1x <-.答：○1 ()g x 的表达式为()g x x =； ○2 不等式()()5f x g x ->的解集为{|2x x >或1}x <-. --------------------------5分（Ⅱ）证明：设函数()()()F x f x g x =-，因为方程()()f x g x =无实数解，所以函数()F x 的图象或者恒在x 轴上方，或者恒在x 轴下方，即()F x 恒大于零或者恒小于零， -------------------------7分 不妨假设()0F x > ，即()()0f x g x ->，因为[()][()]f g x g f x =，所以 [()][()]{[()][()]}{[()][()]}f f x g g x f f x g f x g f x g g x -=-+-，{[()][()]}{[()][()]}f f x g f x f g x g g x =-+- [()][()]0F f x F g x =+>.故方程[()][()]f f x g g x =也无实数解. ----------------------10分。
北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案
北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷） 2012.1一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)2(422--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA=3:1， 则∠A 为（ ）．A．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．如下图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（b a >），将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）．E D C BANM aA ．2222)(b ab a b a +-=-B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．))((22b a b a b a -+=- D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y 上，且到坐标轴距离为A ．4个 B ．3个 C ．2个 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，∙7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．17．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB =a ，CD =b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，拼搭第3个图案需18根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需__________根小木棒．ABCA D CBC DAB第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：E A B CD……24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点A ，B 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°，点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM =DA ，求证：ME =DC ． CMBDAE27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC =60°．问题1：如图1，若∠ACB =90°，AC =m AB ，BD =nDC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD >DC ． （1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE =DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数． 证明：（1） 图1ABCA BCEF北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）； 15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------------2分（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a ---------------------------------------------------------------------4分 =2)4(-x a ． ---------------------------------------------------------------------------6分20．解：23259-+-=23253-+- ----------------------------------------------------------------------1分 =23253-+- -----------------------------------------------------------------------2分 =266-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x=21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分 =2(1)2x x ++⋅=222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分 解得 7-=x ． ---------------------------------------------------------------------------4分 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． -------------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），E A B C D 图1则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷- =75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：如图6．∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ， ∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分 ∴BD =EM ． B BB∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； ----------------------------------------------------------------------------------1分（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上，则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------------2分解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． --------------------------------------------------------------------3分 ∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为： 8(6040)(155)--÷-=（升）． ------------------------------------------4分15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． -----------------------------------------------------6分 答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） -------------------------------------------------------2分 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG =AC ，连接GD ．（如图7） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中， AG =AC ，∠1 =∠2， AD =AD ，∴△AGD ≌△ACD ．∴DG =DC ． -------------------------------------------------------------------------3分 ∵△BGD 中，BD －DG <BG ， ∴BD －DC <BG ．∵BG = AB －AG = AB －AC ，∴BD －DC <AB －AC ． ------------------------------------------------------------4分（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD =CD ，∠4 =∠3=60°． ∴∠5 =180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°． ∴∠5 =∠3．图7 7654321GF EDC B ADB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD．--------------------------------------------------------------5分∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°．---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。
初二第二学期西城数学期末题A及答案
北京市西城区2009—2010学年第二学期期末测试八年级数学试卷（A 卷） 2010.7（时间100分钟，满分100分）一、精心选一选（本题共29分，第1～9题每题3分，第10题2分）10=，则x y +的值为（ ）．A ．7-B ．5-C ．3D ．72．△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若 △DEF 的周长为6，则△ABC 的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．243．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成．．．直角三角形的是（ ）．A ．3，4，6B ．5，12，14C ．1，1D ．1，24．下列关于反比例函数2y x=-的说法中，错误．．的是（ ）． A ．1x =-时的函数值大于x =1时的函数值B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．y 随x 的增大而增大5．用配方法解方程2220x x --=，以下变形正确．．的是（ ）． A ．2(1)2x -= B ．2(1)3x -= C ．2(2)3x -= D ．2(1)3x +=6．如图，ABCD 中，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，若CE =2， 则CD =（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．57．对角线互相垂直平分的四边形一定是（ ）．A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8．以下关于一元二次方程的根的说法中，正确．．的是（ ）． A ．方程220x x +-=有一根为1-B ．方程20x x +=有一根为1C ．方程2340x x +-=有两个不相等的实数根D ．方程240x +=有两个实数根，并且这两根互为相反数9．观察反比例函数6y x=的图象，当1＜y ≤2时，x 的取值范围是（ ）． A ．3≤x ＜6 B ． 3＜x ≤6 C ．13≤x ＜16 D ．13＜x ≤1610．如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1O B B C的两个顶点，以它的对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形 232OB B C ，再以正方形232OB B C 的对角线3OB 为一边作正方形343OB B C ，…，依 次进行下去，则点6B 的坐标是（ ）． A ．(8,0)- B ．(0,8)-C ．(-D ．(-二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．函数y 中，x 的取值范围是 ．12．上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观．京沪线铁路全程为1463km ，某次列车的全程运行时间t （单位：h ）与此次列车的平均速度v （单位：km/h ）的 函数关系式是 ．（不要求写出自变量v 的取值范围）13．如图，菱形ABCD 中，若BD=24，AC=10，则AB 的 长等于 ．14．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=30°，∠BCD=60°，AD= 2，AC 平分∠BCD ，（1）CD= ； （2）若DE ∥AB 交BC 于点E ，则∠CDE = °．15．右图为某车间36位工人日加工零件数（单位:个）的条形统计图，则这些工人日加工零件数．．．的中位数 是 ．16．反比例函数3y x=（x ＞0）与函数y x =（x ≥0）的 图象如图所示，它们的交点为A ，（1）点A 的坐标为；（2）若反比例函数3y x=的图象上的另 一点B 的横坐标为1，BC ⊥x 轴于点C ，则△OBC 的面积等于 ．17．如图，ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折到同一平 面内，若点B 的落点记为B '，则BEB '∠= °， DB '的长为 ．18．△ABC 中，AB=AC=5，BD 是AC 边上的高，若BD=3，则BC= ．三、认真算一算（本题共28分，第19、20题每题8分，第21、22题每题6分） 19．计算：（1； （2．解： 解：20．解方程：（1）3(21)2(21)x x x +=+； （2）22310x x --=． 解： 解：21．为了惠农强农，同时拉动国内消费需求，某市从2008年12月1日起开展了“家 电下乡”工作．该市某家电公司的一个营销点记录了自2008年12月份至2009年 5月份所销售的甲、乙两种不同品牌的冰箱的数量，以下是根据销售数据制作的 两种品牌销售量折线图和统计表的一部分：根据以上信息解答下列问题： （1）补全以上统计图和统计表；（2）请就今后营销点应选择进哪种品牌的冰箱提出一条建议，并说出你的依据． 解：（2）22． 已知：如图，ABCD ，E 为BA 延长线上一点，EA=ED ，F 为DE 延长线上一点，EF =DC .求证：（1）∠BEF =∠FDC ，BE=FD ； （2）△BEF ≌△FDC ． 证明：（1） （2）四、解答题（本题共9分，第23题5分，第24题4分）23．已知：a、b为实数，关于x的方程2(1)30a+．x a x b--++=的一个实根为1（1）用含a的代数式表示b；（2）求代数式421+-的值．a b解：（1）（2）24．已知：如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB=6 cm，CD=15 cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上(如图2)；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C=90°(如图3).（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长.解：（1）（2）五、解答题（本题共18分，第25题6分，第26题5分，第27题7分）25．已知：双曲线1C ：1ty x=（t 为常数，t ≠0）经过点(2,2)M -，它关于y 轴对 称的双曲线为2C ，直线1l ：y kx b =+（k 、b 为常数，k ≠0）与双曲线2C 的交点 分别为(1,)A m ，(,1)B n -.（1）求双曲线2C 的解析式；（2）求A 、B 两点的坐标及直线1l 的解析式；（3）若将直线1l 平移后得到的直线2l 与双曲线2C 的交点分别记为C 、D （A 和 D ，B 和C 分别在双曲线2C 的同一支上），四边形ABCD 恰好为矩形，请直 接写出直线CD 的解析式.解：（1）（2）（3）答：直线CD 的解析式为 .26．已知：如图，矩形ABCD中，BC延长线上一点E满足BE=BD，F是DE的中点，猜想∠AFC的度数并证明你的结论.答：∠AFC= °.证明：27．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上.（1）当BF= 时，四边形FEHG为正方形；（2）若BF=x，△FCG的面积为y，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并直接写出△FCG面积的最大值和最小值．解：（1）答：当BF= 时，四边形FEHG为正方形.（2）（3）答：△FCG面积的最大值为，最小值为．北京市西城区2009-2010学年第二学期期末测试八年级数学试题答案及评分参考（A 卷） 2010.7一、精心选一选（本题共29分，第1～9题每题3分，第10题2分）二、细心填一填（本题共18分，每小题2分） 11．x ≥4-． 12．1463t v=． 13．13． 14．（1）2 ；（2）90．15．6． 16．（1）；（2）1.5． 17．90 18． 三、认真算一算（本题共28分，第19、20题每题8分，第21、22题每题6分）19．（15)=+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分==- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分（2= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分4=+ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 20．（1）解：解得 320x -= 或210x +=．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分所以原方程的根为 123x =，21.2x =-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分（2）解：2,3,1,a b c ==-=-224(3)42(1)17.b ac -=--⨯⨯-=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分x =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分=所以原方程的根为1x =，2x =- - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分阅卷说明：两个实根各1分．21．解：（1）补全两种品牌冰箱的“销售量折线图”见上页图．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分阅卷说明： “销售量折线图”中甲、乙相应位置各1分,“两种品牌销售量统计表”中每空1分，甲品牌销售量的方差若取近似值不扣分．（2）答案不唯一．建议营销点应选择增加乙种品牌冰箱的进货．理由如下：在两种品牌冰箱销售量的平均数相同的情况下，乙种品牌的冰箱销售量的方差较小，说明它的销售量较为稳定，据此建议以后增加乙种品牌冰箱的进货．建议营销点应选择增加甲种品牌冰箱的进货．理由如下：依据折线图的变化趋势判断，甲种品牌的冰箱销售量呈整体上升趋势，乙种品牌的冰箱销售量不是这样，据此建议以后增加甲种品牌冰箱的进货．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分22．证明：（1）如图1．∵ ABCD ，∴ AB ∥DC ，AB=DC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分∵ E 为BA 延长线上一点，（阅卷说明：不写不扣分）∴ ∠BEF =∠FDC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分∵ EF =DC ，∴ EF = AB .∵ EA=ED ，∴ EA AB ED EF +=+，即BE =FD . - - - - - - 4分（2）在△BEF 与△FDC 中，,,,EF DC BEF FDC BE FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分∴ △BEF ≌△FDC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分四、解答题（本题共9分，第23题5分，第24题4分）23．解：（1）∵ 关于x 的方程2(1)30x a x b --++=的一个实根为1a +，∴ 2(1)(1)(1)30a a a b +--+++=．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分整理，得 25b a =--．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分（2）将25b a =--代入421a b +-，得42142(25)111a b a a +-=+---=-． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分24．解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC= x ，∴ 在图2中，6AC BC AB x =-=-，9AD AC CD x =+=+． - - - - - - 1分（2）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC= x ，6AC AB BC x =+=+，9AD x =+． - - - - - - - 2分∵ 图3中，△ACD 为直角三角形，∠C =90°，由勾股定理得 222AC CD AD += .∴ 222(6)15(9)x x ++=+.整理，得 2212362251881x x x x +++=++.化简，得 6180x =.解得 30x =. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分即 BC=30．∴ AD =39．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分五、解答题（本题共18分，第25题6分，第26题5分，第27题7分）25．解：（1）如图4．∵ 点(2,2)M -关于y 轴的对称点为(2,2)M '，- - - -1分∴ 双曲线2C 的解析式为4y x=．- - - - - - - - - - - - - - 2分 （2）∵ (1,)A m ，(,1)B n -两点在双曲线2C 上， ∴ m=4，n=4-．∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,4)A ，(4,1)B --．- - 4分（阅卷说明：A ，B 两点的坐标各1分．）∵ (1,4)A ，(4,1)B --两点在直线1l ：y kx b =+上，∴ 4,4 1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得 1,3.k b =⎧⎨=⎩ ∴ 直线1l 的解析式为3y x =+．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分（3）答：直线CD 的解析式为3y x =-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分26．答：∠AFC=90°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分证明：连接BF .（如图5）∵ 矩形ABCD ，∴ ∠ADC=∠DCB= 90°，AD=BC .在Rt △CDE 中，F 是DE 的中点，∴ DF=CF=FE .∴ ∠1=∠2.∴ ∠ADC+∠1=∠DCB+∠2，即∠ADF=∠BCF .∴ △ADF ≌△BCF .（SAS ）- - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 ∴ ∠3=∠4. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分∵ BE=BD ，DF=FE ，∴ BF ⊥DE . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分∴ ∠3+∠5=90°.∴ ∠4+∠5=90°，即∠AFC =90°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分27．解：（1）答：当BF = 4 时，四边形FEHG 为正方形；- - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分（2）如图6，连接FH ，作GQ ⊥BC 于Q ，则∠GQF=90°，∠GQF=∠A ．∵ 菱形FEHG ，∴ GF=EH ，EH ∥FG ．∴ ∠1=∠2．∵ 直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴ ∠AHF=∠HFC ．∴ 12AHF HFC ∠-∠=∠-∠，即∠3=∠4在Rt △QGF 与Rt △AEH 中，,43,,GQF A GF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △QGF ≌△AEH ．(AAS)∴ 4GQ EA AB BE ==-=． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分∵ BC=8，BF=x ，∴11(8)416222CF GQ x x =⨯⨯=⨯-⨯=-． ∴ y 与x 的函数关系式为162y x =-．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3分（3）答：△FCG 面积的最大值为16-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --4分△FCG面积的最小值为 3 ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分分阅卷说明：两个图形正确各得1分，根据以下画法判断学生作图的位置是否正确，相关线段的数量关系是否准确．画法说明如下：① 如图7，当点F 运动到使菱形FEHG 的顶点H 与点A 重合时，x 取得最小值，△FCG 的面积取得最大值．画法如下：以E 为圆心，EA 为半径画弧，交BC 边于点F ，平移EA 到FG ，连接AG ，得到四边形FEHG ，可证得四边形FEHG 为菱形．②如图8，当点F运动到使菱形FEHG的顶点G落在梯形ABCD的CD边上时，x取得最大值，△FCG的面积取得最小值．GQ 可知，无论点F在BC边上如何运动，点画法如下：在图6中由4G到BC及AD的距离都不变，分别为4、2．取AE的中点P（AP=2），过点P作BC的平行线，交CD边于G，作EG的垂直平分线，分别交AD、BC于H、F，顺次连接F、E、H、G得到四边形FEHG，可证得四边形FEHG为菱形．。
北京市西城区(南区)2010-2011学年初二下学期期末检测(数学)
北京市西城区（南区）2010—2011学年度第二学期期末质量检测八年级数学一、选择题（请将答案写在下列表格中，本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 平面直角坐标系中，点（3，－2）在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 点P （－2，1）关于y 轴对称的点的坐标为A. （－2，－1）B. （2，1）C. （2，－1）D. （－2，1） 3. 观察下列图案，是．中心对称但不是．．轴对称的图形是4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形5. 如图所示的计算程序中，y 与z 之间的函数关系所对应的图象应为6. 某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩x 与方差s 2如表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛， 则这个人应是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是8. 如图，某小区有一块形状为等腰梯形的空地，为美化小区，居委会计划在空地上建一个四边形的水池，并使水池四个顶点恰好在梯形各边中点上，则水池的形状一定是A. 菱形B. 等腰梯形C. 矩形D. 正方形9. 如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC 的长为A. 3B. 6C. 33D. 3610. 已知三点),(111y x P 、)(222，y x P 、)2,1(3-P 都在反比例函数xk y =的图象上，若01<x ，02>x ，则下列式子正确的是 A. 021<<y yB. 210y y >>C. 021>>y yD. 210y y <<11. 如图，直线y=mx 与双曲线xk y =交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S △ABM =2，则k 的值是A. 2B. m －2C. mD. 412. 如图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数图象（实线部分，收支差额=车票收入－支出费用）。
北京市西城区2010-2011学年度八年级第二学期抽样测试A卷答案2011.6
北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期抽样测试八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准2011.6一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．5-； 12．6310n S⨯=；13．4；14．2≤y ≤6；1516．1-，3-；（每空1分） 17．83；18．（1）如图1所示（答案不唯一）；（2）12+（每问1分）三、认真算一算（本题共16分，第19题8分，第20题8分） 19．（1= ----------------------------------------------------------2分 = -------------------------------------------------------------3分 ---------------------------------------------------------------------------4分（2）解：)13)(13(1)52(5-+-+=512- ---------------------------------------------------------------------------2分=42-------------------------------------------------------------------------------3分 2． -------------------------------------------------------------------------------4分20．（1）解：2470x x --=图11a =，4b =-，7c =-，224(4)41(7)44b ac -=--⨯⨯-=．-----------------------------------------1分x =， ----------------------------------------------2分2x =所以原方程的根为12x =22x = --------------------------4分（2）解：因式分解，得 (1)(23)0x x -+=． ------------------------------------------1分10x -=或230x +=， ---------------------------------------------------------2分 解得 11x =，232x =-． --------------------------------------------------------4分阅卷说明：两个实数根各1分．四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分）21．证明：（1）如图2．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB =CD ． -----------------------------1分即AB ∥DF ． ∵DF =CD ，∴AB =DF ．∴四边形ABDF 是平行四边形． ----------------------------------------------2分 ∵AD ，BF 交于点E ， ∴AE =DE ． -------------------------------------------------------------------------3分解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB =BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ---------------------------------------------------------4分 ∴AC ⊥BD ． -------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠COD =90°． ∵四边形ABDF 是平行四边形， ∴AF ∥BD ．∴∠CAF =∠COD =90°． ---------------------------------------------------------6分22．解：（1）8786838579845x ++++==甲， --------------------------------------------1分E F A D C B O图28785848084845x ++++==乙． --------------------------------------------2分所以甲，乙两位球员罚球的平均命中率都为84%．（2）222222(8784)(8684)(8384)(8584)(7984)85s -+-+-+-+-==甲，------3分222222(8784)(8584)(8484)(8084)(8484) 5.25s -+-+-+-+-==乙．-----4分由x x =甲乙，22s s >甲乙可知，乙球员的罚球命中率比较稳定，建议由乙球员来罚 球更好． ------------------------------------------------------------------------------------5分23．解：设旅游车平均每小时行驶x 千米，则小轿车平均每小时行驶1.2x 千米．12612618241.260x x --=． ------------------------------------------------------------------2分 解得90x =． ------------------------------------------------------------------------------3分经检验，90x =是原方程的解，并且符合题意． ---------------------------------4分 ∴1.2108x =．答：旅游车平均每小时行驶90千米，小轿车平均每小时行驶108千米． ----5分24．证明：（1）延长DM ，CB 交于点E ．（如图3）∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADM =∠BEM ．∵点M 是AB 边的中点， ∴AM =BM ．在△ADM 与△BEM 中，∠ADM =∠BEM ， ∠AMD =∠BME ， AM =BM ，∴△ADM ≌△BEM ． ------------------------------------------------------------1分 ∴AD =BE =2，DM =EM ． ∴CE =CB +BE =8+2=10． ∵CD =10， ∴CE =CD ． ∴CM ⊥DM ． ----------------------------------------------------------------------2分解：（2）分别作MN ⊥DC ，DF ⊥BC ，垂足分别为点N ，F ．（如图4）∵CE =CD ，DM =EM ，E A D MB C图3∴CM 平分∠ECD ．∵∠ABC = 90°，即MB ⊥BC ， ∴MN =MB ． --------------------------------------------------------------------------3分 ∵AD ∥BC ，∠ABC =90°， ∴∠A =90°．∵∠DFB =90°，∴四边形ABFD 为矩形．∴BF = AD =2，AB = DF ． ∴FC = BC －BF =8－2=6． ∵Rt △DFC 中，∠DFC =90°， ∴222DF DC FC =-=22106-=64． ∴ DF=8． ----------------------------------------------------------------------------4分∴MN=MB =12AB =12DF =4．即点M 到CD 边的距离为4． ---------------------------------------------------5分五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分） 25．解：（1）∵点B (4,2)--在反比例函数ky x=的图象上， ∴24k-=-， 8k =． ∴反比例函数的解析式为8y x=． ----------------------------------------------1分 ∵点A （4,m ）在反比例函数8y x=的图象上，∴84m=， 2m =．∵点A (2,4)和点B (4,2)--在一次函数b ax y +=的图象上，∴42,24.a b a b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为2y x =+． ---------------------------------------------2分（2）设一次函数2y x =+的图象与y 轴交于点CFN E C B M DA 图4分别作AD ⊥y 轴，BE ⊥y 轴，垂足分别为 点D ，E ．（如图5）∵一次函数2y x =+，当0x =时，2y =， ∴点C 的坐标为(0,2)． -------------------------3分∴AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+1122OC AD OC BE =⋅+⋅ 11222422=⨯⨯+⨯⨯=6．-----------------------------------------------4分 （3）40x -<<或2x >． ---------------------------------------------------------------6分阅卷说明：第（3）问两个范围各1分． 26．证明：（1）如图6，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°， ∴∠EDC =90°，BA =BC ． ∴∠BCA =45°． ∵点M 为EC 的中点，∴BM =12EC=MC ，DM=12EC =MC ．∴BM =DM ，--------------------------------------------------------------------------1分∠MBC =∠MCB ，∠MDC =∠MCD ． ∴∠BME =2∠BCM ，∠EMD =2∠DCM ． ∴∠BMD =∠BME +∠EMD =2∠BCM +2∠DCM=2(∠BCM +∠DCM )= 2∠BCA =245⨯= 90°．∴△BMD 为等腰直角三角形． ------------------------------------------------2分解：（2）△BMD 为等腰直角三角形．证明：延长DM 交BC 于点N ．（如图7）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°， ∴BA =BC ，DE =DA ，∠EDB =90°． ∴∠EDB =∠DBC ． ∴ED ∥BC ． ∴∠DEC =∠BCE ． ∵点M 为EC 的中点， ∴EM =CM ．MAE CB 图6在△EDM 与△CNM 中，∠DEM =∠NCM ，EM =CM ， ∠EMD =∠CMN ，∴△EDM ≌△CNM ． ------------------------------------------------------3分 ∴ED =CN ，MD =MN ． ∴AD =CN ．∴BA －DA =BC －NC ， 即BD =BN ． ∴BM=12DN= DM ， -------------------------------------------------------4分 BM ⊥DN ，即∠BMD =90°．∴△BMD 为等腰直角三角形． ------------------------------------------5分27．解：（1）∵矩形OABC 中，点A ，C 的坐标分别为(6,0)，(0,2)， ∴点B 的坐标为(6,2)．若直线b x y +-=21经过点C (0,2)，则2=b ； 若直线b x y +-=21经过点A (6,0)，则3=b ；若直线b x y +-=21经过点B (6,2)，则5=b ．①当点E 在线段OA 上时，即32≤<b 时，（如图8） ---------------------1分∵点E 在直线b x y +-=21上，当0=y 时，b x 2=，∴点E 的坐标为)0,2(b ． ∴S =b b 22221=⋅⋅． --------------------------------------------------------------2分②当点E 在线段BA 上时，即53<<b 时， （如图9） ------------------3分∵点D ，E 在直线b x y +-=21上， 当2=y 时，42-=b x ； 当6=x 时，3-=b y ，∴点D 的坐标为)2,42(-b ，点E 的坐标为)3,6(-b ． ∴D BE O AE CO D O ABC S S S S S ∆∆∆---=矩形)]3(2)][42(6[216)3(212)42(2126-----⋅--⋅--⨯=b b b bb b 52+-=． -------------------------------------------------------------------4分综上可得：2223),535).b b S b b b <≤⎧=⎨-+<<⎩ ( (（2）证明：如图10．∵四边形OABC 和四边形O′A′B′C′∴CB ∥OA ， C ′B ′∥O ′A ′， 即DN ∥ME ，DM ∥NE ．∴四边形DMEN 是平行四边形，且∠NDE ∵矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为四边形O′A′B′C′，∴∠DEM =∠DEN ． ∴∠NDE =∠DEN ． ∴ND =NE ．∴四边形DMEN 是菱形． ------------------------------------------------5分 （3）答：问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为 2. 5 ． -------------6分。
2011-2012学年北京市西城区初二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试八年级数学试卷 2012．7（时间100分钟，满分100分）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．函数y 中，自变量x 的取值范围是（ C ）．A ． 3<xB ． 3≠xC ． x ≥3D ．3>x2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（D ）．A ．2，4，5B ．6，8，11C ．5，12，12D ． 1，13．若反比例函数ky x=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是（ A ）． A ． 0k < B ． 0k > C ． k ≤0 D ．k ≥04．如图，在□ABCD 中，AE ⊥CD 于点E ，∠B ＝65°， 则∠DAE 等于（B ）．A ．15°B ．25°C ．35°D ．65°5．用配方法解方程2220x x --=，下列变形正确的是（C ）．A ．2(1)2x -=B ．2(2)2x -=C ．2(1)3x -= D ．2(2)3x -=6．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（ B ）．A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BD C ．AB =CD D ．AB ∥CD7．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是（ A ）．A ．240240220x x -=+ B ．240240202x x -=+ C ．240240220x x -=- D ．240240202x x-=- 8．如图，在△ABC 中，AB =6，AC =10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的EABCDAB CDF周长为（D ）．A．8 B．10 C．12 D．169．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则AB的长为（ B ）．A．3 B．4 C．5 D．610．如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数2510k kyx-+=（0x>）的图象上．则k的值为（）．A．2B．6C．2或3D．1-或6二、细心填一填（本题共18分，每小题3分）112(5)0y-=，则2012)(yx+的值为12．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量x的取值范围）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=6，点D是AB的中点，则∠ACD=_________°．14．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=5，点C的坐标为(4，0)，则点A的坐标为___________．15．已知1x=是关于x的方程02=++nmxx的一个根，则222m mn n++的值为___________．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，且∠BOC=90°．若AD+BC=12，则AC的长为___________．AB CDOAB CD第16题图三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分） 17．计算：（1； （2． 解： 解：18．解方程：（1）2310x x -+=； （2）(3)(26)0x x x +-+=． 解： 解：四、解答题（本题共18分，每小题6分）19．某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩（单位：分）分别是： 1班 85 80 75 85 100 2班 80 100 85 80 80 （1）根据所给信息将下面的表格补充完整；（2）根据问题（1）中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由． 答：第13题图20．已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．证明：（1）（2）FAB CDE21．已知：关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++=． （1）求证：无论m 为何值，此方程总有两个实数根；（2）若x 为此方程的一个根，且满足06x <<，求整数m 的值． （1）证明：（2）解：五、解答题（本题共18分，每小题6分）22．已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来． （2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S1S =___________；在余下的2的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．EA B CDCC图423．已知：如图，直线b kx y +=与x 轴交于点A ，且与双曲线my x=交于点B (4,2)和点C (,4n -)．（1）求直线b kx y +=和双曲线my x=的解析式； （2）根据图象写出关于x 的不等式mkx b x+<的解集；（3）点D 在直线b kx y +=上，设点D 的纵坐标为t （0t >）．过点D 作平行于x 轴的直线交双曲线m y x=于点E ．若△ADE 的面积为27，请直接写出．．．．所有满足条件的t 的值． 解：（1）（2）（3）24．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A 在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；（2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是________________．（2）证明：（3）答：在点A，D运动的过程中，d的取值范围是__________________________．北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期抽样测试八年级数学参考答案及评分标准2012.7二、细心填一填（本题共18分，每小题3分） 11．1； 12．2000y x=； 13．60；14．(2，1)； 15．1； 16．． 三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分）17．（1= ----2分= -----------3分-----------------------4分（2=3+ ------5分=32+ --------------7分=5． -------------------8分18．（1）解：1a =，3b =-，1c =．224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=． ----1分2b x a-±=----------2分==．即132x +=，232x -=． ------------4分 （2）解：因式分解，得 (3)(2)0x x +-=． -------6分于是得 30x +=或20x -=． 解得 13x =-，22x =． -----------------8分四、解答题（本题共18分，每小题6分） 19．解：（1）---4分阅卷说明：每空1分．（2）答：2班的初赛成绩较为稳定．因为1班与2班初赛的平均成绩相同，而2班初赛成绩的方差较小，所以2班的初赛成绩较为稳定． -------6分20．证明：（1）如图1． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC 即 AB ∥DF ． -----1分 ∴∠1=∠2．∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE ．在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4， BE =CE ，∴△ABE ≌△FCE ． ----------------3分 （2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ． ∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． -------------4分图14321E D CBAF∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ． ∵AF =AD ， ∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形． -----------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分． 21．证明：（1）2(21)412m m ∆=+-⨯⨯ 2441m m =-+2(21)m =-． ---------1分∵2(21)m -≥0，即∆≥0，∴无论m 为何值，此方程总有两个实数根． ---2分解：（2）因式分解，得 (2)(1)0x m x ++=．于是得 20x m +=或10x +=．解得 12x m =-，21x =-． ----------------4分∵10-<，而06x <<，∴2x m =-，即 026m <-<． ∴30m -<<． -----------------5分 ∵m 为整数，∴1m =-或2-． ---------------6分五、解答题（本题共18分，每小题6分） 22．解：（1）如图2； -------------1分（2）14，18，12n -，112n +． ----------6分 阅卷说明：前三个空每空1分，第四个空2分．23．解：（1）∵双曲线my x=经过点B (4,2)， ∴24m=， 8m =． 图2CBA∴双曲线的解析式为8y x =． -----------1分 ∵点C (,4n -)在双曲线8y x=上，∴84n-=， 2n =-．∵直线b kx y +=经过点B (4,2)，C (2,4--)，则2442.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩， 解得12.k b =⎧⎨=-⎩，∴直线的解析式为2y x =-． ----------2分（2）2x <-或04x <<； ----------------4分阅卷说明：两个答案各1分．（3）3t =1． --------------------6分 阅卷说明：两个答案各1分．．24．解：（1）(0,，45； ------------------------2分阅卷说明：每空1分．证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y（如图3）∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =P A ，∠DP A =90°．∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°． ∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°． ∴∠DP A =∠NPM ．∵∠1=∠DP A －∠NP A ，∠2=∠NPM －∠NP A ， ∴∠1=∠2． ----------3分 在△DPN 和△APM 中，∠PND =∠PMA ， ∠1=∠2， PD =P A ，∴△DPN ≌△APM ．∴PN =PM ． -----4分∴OP 平分∠DOA ． ---------5分（3）2d <≤． -----------6分北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题试卷 2012．7一、填空题（本题6分）25．已知a 是方程2520x x +-=的一个根，则代数式22107a a +-的值为___________；代数式32634a a a +++的值为___________．二、解答题（本题共14分，每小题7分）26．已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线CA 翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ；（2）求点E 的坐标；（3）连接DB ，请直接写出．．．．四边形DCAB 的周长和面积． （1）证明：（2）解：（3）答：四边形DCAB 的周长为_____________，面积为_____________．27．已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ．（1）在图1中证明MN 垂直平分ED ； （2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论． （1）证明：（2）判断：___________________________________________． 证明：MA BC DEFNM FE DC B A图1 图2北京市西城区（北区）2011 - 2012学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题参考答案及评分标准2012.7一、填空题（本题6分）1．3-，6． 阅卷说明：每空3分．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2．∵四边形OABC 是矩形， ∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴EC =EA ． -------------------------------------------2分解：（2）设CE = AE =x ．∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）， ∴OA =4，OC =3．∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°．在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+， ∴222(4)3x x =-+．解得 258x =． -------------------------4分 ∴点E 的坐标为(25,38)． ------------------------5分 阅卷说明：其他正确解法相应给分．（3）625，19225．--------------------------------7分阅卷说明：每空1分．3．（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=12 AF．同理，DM=12AF，EN=12BC，DN=12BC．∴EM=DM，------------------1分EN=DN．---------------------2分∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．------------------3分（2）判断：四边形MEND是正方形．--------------------------4分证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，DF=DC，∴△ADF≌△BDC．-----------------5分∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=12AF=AM，DN=12BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．--------------6分∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．4312AB CDEFM图3AEB CDMF图2∴四边形MEND是正方形．--------------------7分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。
北京市西城区2010—2011学年度第二学期抽样测试七年级数学试卷
数学期末模拟试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分,共30分）1．已知下列方程：①x x 12=-；②12.0=x ；③33-=x x ；④x x 342--；⑤0=x ；⑥6=-y x 其中一元一次方程有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知等腰三角形的一个角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于( )A ．150°B ．120°C ．30°D ．30°或120°3．在平面镜里看到其对面墙上电子钟示数如图所示： 那么实际时间是（ ）.A ．21:05B ．21:50C ．20:15D ．20:514．下边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）A ．69B ．54C ．27D ．405．对方程x x 3221221413223=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-变形第一步较好的方法（ ） A ．去分母B ．去括号C ．移项D ．合并同类项6．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大6那么这样的两位数共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．某城市进行旧城区人行道的路面翻新,准备对地面密铺彩色地砖, 有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形，②正四边形，③正五边形，④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④.9．已知△ABC ，(1)如图l ，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=1902A ︒+∠； (2)如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90A ︒-∠； (3)如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=1902A ︒-∠。
北京市西城区初三2010——2011学年度第一学期期末数学试卷及答案(word版)
北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷九年级数学 2011.1考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12 D ． 224．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++错误！未找到引用源。
B ．2(3)2y x =-- 错误！未找到引用源。
C ．2(6)2y x =--错误！未找到引用源。
D ．2(3)2y x =-+错误！未找到引用源。
5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交 OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于23，则扇形OCED 的面积等于（ ）. A ．23π错误！未找到引用源。
北京市西城区2010-2011学年度八年级第二学期抽样测试A卷2011.6
北京市西城区（北区）2010–2011学年度第二学期抽样测试八年级数学（A 卷）试卷 2011.6一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．函数5+=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）． A ． x ＞5- B ． x ≥5- C ． x ≤5- D ． x ≠5-2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．构成直角三角形的是（ ）． A ．6，8，10 B ．8，15，17 C ．1，3，2 D ．2，2，32 3．下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）．A ．x y 3-=B ．4+-=x yC ．x y 5-= D ．xy 21= 4．对角线相等且互相平分的四边形一定是（ ）．A ．等腰梯形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形5．已知关于x 的方程0162=-+-m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．A ．10<mB ．10=mC ．10>mD ．10≥m 6．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∠DBC =30°，AD =5，则BC 等于（ ）．A ．5B ．7.5C ．35D ．107．用配方法解方程0142=+-x x ，下列变形正确的是（ ）．A ．4)2(2=-x B ．4)4(2=-x C ．3)2(2=-x D ．3)4(2=-x 8．右图为在某居民小区中随机调查的 10户家庭一年的月均用水量（单位：t ） 的条形统计图，则这10户家庭月均用水 量的众数和中位数分别是（ ）． A ．6.5，6.5 B ．6.5，7C ．7，7D ．7，6.5户数月均用水量/tA BCD二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．若03)2(2=-++y x ，则y x -的值为___________．12．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的6103⨯株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n （单位：株/平方米），总种植面积为S （单位：平方米），则n 与S 的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量S 的取值范围） 13．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOD =120°，BD =8，则AB 的长为___________． 14．点A （2，3）在反比例函数xky =的图象上，当1≤x ≤3时，y 的取值范围是 ___________________．15．菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，顺次连接菱形ABCD 各边的中点所得四边形的面积为____________．16．若关于x 的方程2120x mx +-=的一个根是4，则m =_________，此方程的另一个根是_________．17．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6cm ，BC =10cm ，点E在AB 边上，将△EBC 沿EC 所在直线折叠，使点B 落 在AD 边上的点B′处，则AE 的长为_________cm ．ABCD OE A BB'DC18．正方形网格中，每个小正方形的边长为1．图1所示的矩形是由4个全等的直角梯形拼接而成的（图形的各顶点都在格点上；拼接时图形互不重叠，不留空隙），如果用这4个直角梯形拼接成一个等腰梯形，那么（1）仿照图1，在图2中画出一个拼接成的等腰梯形；（2）这个拼接成的等腰梯形的周长为________．三、认真算一算（本题共16分，第19题8分，第20题8分）19．计算：（1；（2）)13)(13(1)52(5-+-+．解：解：20．解方程：（1）237x x x-=+；（2）2(1)3(1)x x x-=-．解：解：四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分） 21．已知：如图，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 至F ，使DF =CD ，连接BF 交AD 于点E ．（1）求证：AE =ED ；（2）若AB =BC ，求∠CAF 的度数． 证明：（1）解：（2）22．甲，乙两人是NBA 联盟凯尔特人队的两位明星球员，两人在前五个赛季的罚球命中率如下表所示：（1（2）在某场比赛中，因对方球员技术犯规需要凯尔特人队选派一名队员进行罚球，你认为甲，乙两位球员谁来罚球更好？（请通过计算说明理由） 解：（1）（2）E F A D C B O23．为了增强员工的团队意识，某公司决定组织员工开展拓展活动．从公司到拓展活动地点的路程总长为126千米，活动的组织人员乘坐小轿车，其他员工乘坐旅游车同时从公司出发，前往拓展活动的目的地．为了在员工们到达之前做好活动的准备工作，小轿车决定改走高速公路，路程比原路线缩短了18千米，这样比按原路线行驶的旅游车提前24分钟到达目的地．已知小轿车的平均速度是旅游车的平均速度的1.2倍，求这两种车平均每小时分别行驶多少千米．解：24．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=8，DC=10，点M是AB边的中点．（1）求证：CM⊥DM；（2）求点M到CD边的距离．证明：（1）解：（2）AB CDM五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分） 25．已知：如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数ky x=的图象交于 点A (4,m )和点B (2,4--)．（1）求一次函数b ax y +=和反比例函数ky x=的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）根据图象，直接写出．．．．不等式ax 解：（1）（2）（3）26．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，其中∠ABC =∠ADE =90°，点M 为EC 的中点．（1）如图1，当点D ，E 分别在AC ，AB 上时，求证：△BMD 为等腰直角三角形；证明：（2）如图2，将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，使点D 落在AB 上，此时问题（1）中的结论“△BMD 为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明．解：M AD E C B 图2 MA EC B 图127．已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线O－A－B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．解：（1）（2）（3）答：问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．。
北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案
北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷） 2012.1（时间100分钟，满分100分）题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)2(422--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1， 则∠A 为（ ）．A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．如下图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（b a >），将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）．E D C BANM aab bA ．2222)(b ab a b a +-=-B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．))((22b a b a b a -+=- D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y 上，且到坐标轴距离为A ．4个 B ．3个 C ．2个 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，•7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．17．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB =a ，CD =b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，拼搭第3个图案需18根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需__________根小木棒．ABCA D CBC DAB第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：E A B CD……24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点A ，B 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°，点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM =DA ，求证：ME =DC ． CMBDAE27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC =60°．问题1：如图1，若∠ACB =90°，AC =m AB ，BD =nDC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD >DC ． （1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE =DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数． 证明：（1） 图1ABDCA BCDEF北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）； 15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------------2分（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a ---------------------------------------------------------------------4分 =2)4(-x a ． ---------------------------------------------------------------------------6分20．解：23259-+-=23253-+- ----------------------------------------------------------------------1分 =23253-+- -----------------------------------------------------------------------2分 =266-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x xx x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x =21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分=22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++ =222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分 当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分 解得 7-=x ． ---------------------------------------------------------------------------4分 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． -------------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．E A C D 图1∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷-=75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：如图6．∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ， ∠2 =∠4，B BB∵DB = DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； ----------------------------------------------------------------------------------1分（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上， 则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------------2分解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． --------------------------------------------------------------------3分 ∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为： 8(6040)(155)6--÷-=（升）． ------------------------------------------4分 15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． -----------------------------------------------------6分 答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） -------------------------------------------------------2分 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG =AC ，连接GD ．（如图7） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中， AG =AC ，∠1 =∠2， AD =AD ，∴△AGD ≌△ACD ．∴DG =DC ． -------------------------------------------------------------------------3分 ∵△BGD 中，BD －DG <BG ， ∴BD －DC <BG ．∵BG = AB －AG = AB －AC ，∴BD －DC <AB －AC ． ------------------------------------------------------------4分（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD =CD ，∠4 =∠3=60°． 图7 7654321GF EDC B A在△BGD和△ECD中，DB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD．--------------------------------------------------------------5分∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°．---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。
北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷八年级数学A卷及答案
北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A卷）2012.1（时间100分钟，满分100分）题号一二三四五总分得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（）．A．B．C．D．2．计算33-的结果是（）．A．9-B．27-C．271D．271-3．下列说法中，正确的是（）．A．16的算术平方根是4-B．25的平方根是5C．1的立方根是1±D．27-的立方根是3-4．下列各式中，正确的是（）．A．2121+=++ababB．21422-=--aaaC．22)2(422--=-+aaaaD．abab--=--115．下列关于正比例函数5y x=-的说法中，正确的是（）．A．当1x=时，5y=B．它的图象是一条经过原点的直线C．y随x的增大而增大D．它的图象经过第一、三象限6．如右图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A为（）．A．18°B．20°C．22.5°D．30°7．如下图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ba>），将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）．EDCBANMbbaab baaA ．2222)(b ab a b a +-=- B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．))((22b a b a b a -+=- D ．)(2b a a ab a +=+ 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）． A ．0≥x B ．1≥x C ．2≥x D ．2≤x 10．在直线2121+=x y 上，且到坐标轴距离为A ．4个 B ．3个 C ．2个 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，•7.0，π2，38．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．点（1-，2）关于x 轴对称的点的坐标为___________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为______________________．17．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ．若AB =a ，CD =b ，则△ADB 的面 积为______________ ．18．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，拼搭第3个图案需18根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需__________根小木棒．ABCA D CBC DAB第1个 第2个 第3个 第4个 ……三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题各5分） 19．因式分解：（1）2225a b -； （2）2816ax ax a -+． 解： 解：20．计算：23259-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解：22．解分式方程：45251=+-++xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：EA BCD……24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点A ，B 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y =________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整． 图125．已知：直线321+-=x y 与x （1）分别求出A ，B （2）过A 点作直线AP 与y 轴交于点P ，且使OP =2OB ， 求△ABP 的面积．解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分）26．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°．点D为△ABC 内一点，且DB =DC ，∠DCB =30°，点E 为BD 延长线上一点，且AE =AB ． （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且DM =DA ，求证：ME =DC ．CMBDAE27．有一个装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态．初始时，打开容器的进水管，只进水；到5分钟时，打开容器的出水管，此时既进水又出水； 到15分钟时，关闭容器的进水管，只出水； 到t 分钟时，容器内的水全部排空．已知此容器每分钟的进水量与出水量均为常数，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）此容器的进水管每分钟进水______升；（2）求515x ≤≤时，容器内的水量y 与时间x 的函数关系式； （3）此容器的出水管每分钟出水多少升？t 的值为多少？ 解：（2）28．已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ADC =60°．问题1：如图1，若∠ACB =90°，AC =m AB ，BD =nDC ， 则m 的值为_________，n 的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB 为钝角，且AB >AC ，BD >DC ． （1）求证：AC AB DC BD -<-；（2）若点E 在AD 上，且DE =DB ，延长CE 交AB 于点F ，求∠BFC 的度数． 证明：（1）图1ABDC图2A BCDEF北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2； 14．（1-，2-）； 15．36； 16．16-=x y ； 17．ab 21； 18．88．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：2225b a -=)5)(5(b a b a -+． -----------------------------------------------------------------2分（2）解：a ax ax 1682+-=)168(2+-x x a ---------------------------------------------------------------------4分 =2)4(-x a ． ---------------------------------------------------------------------------6分20．解：23259-+-=23253-+- ----------------------------------------------------------------------1分 =23253-+- -----------------------------------------------------------------------2分 =266-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分=22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++ =222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分 当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(5)x +，得 20421+=-+x x ． --------------------------------2分 解得 7-=x ． ---------------------------------------------------------------------------4分 检验：7-=x 时50x +≠，7-=x 是原分式方程的解． ---------------------5分四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． -------------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；∴点B 的坐标为B （0，3）． （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．E A C D 图1∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷-οο=75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =ο3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分证法二：如图6．∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． 在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ，B BB∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分 ∴BD =EM ． ∵DB = DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分 阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1） 8 ； ----------------------------------------------------------------------------------1分（2）设当5≤x ≤15时，函数解析式为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，40），（15，60）在此线段上， 则 4056015.k b k b =+⎧⎨=+⎩，-----------------------------------------------------------------2分解得 230.k b =⎧⎨=⎩，∴230y x =+． --------------------------------------------------------------------3分 ∴当5≤x ≤15时，230y x =+．（3）由（1）知容器的进水管每分钟进水8升，则它的出水管每分钟出水量为： 8(6040)(155)6--÷-=（升）． ------------------------------------------4分 15分钟后排空容器内的水所需时间为：60610÷=（分） -------------5分则 151025t =+=（分）． -----------------------------------------------------6分 答：此容器的出水管每分钟出水6升，t 的值为25．28．解：问题1：21，2 ；（每空1分） -------------------------------------------------------2分 问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG =AC ，连接GD ．（如图7） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 在△AGD 和△ACD 中， AG =AC ，∠1 =∠2， AD =AD ，∴△AGD ≌△ACD ．∴DG =DC ． -------------------------------------------------------------------------3分 ∵△BGD 中，BD －DG <BG ， ∴BD －DC <BG ．∵BG = AB －AG = AB －AC ，∴BD －DC <AB －AC ． ------------------------------------------------------------4分图7 7654321GF EDC B A（2）∵由（1）知△AGD≌△ACD，∴GD=CD，∠4 =∠3=60°．∴∠5 =180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．∴∠5 =∠3．在△BGD和△ECD中，DB =DE，∠5 =∠3，DG=DC，∴△BGD≌△ECD．--------------------------------------------------------------5分∴∠B =∠6．∵△BFC中，∠BFC=180°－∠B－∠7 =180°－∠6－∠7 =∠3，∴∠BFC=60°．---------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。
北京市西城区2011年7月高二数学(文科)试题
北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（文科） 2011.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{,}A a b =，则满足{,,}A B a b c =的不同集合B 共有（ ）（A ）1 个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个2．“0a b >>”是“11a b<”的（ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不是充分条件也不是必要条件3．已知函数10xy =的反函数为()y f x =，那么1()100f =（ ） （A ）2 （B ）2-（C ）1（D ）1-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且50S >，那么下列结论中一定正确的是（ ） （A ）30a < （B ）30S < （C ）30a > （D ）30S >5．设c ∈R ，函数2()2f x x x c =-+．关于函数()f x 的下述四个命题中，真命题为（ ） （A ）(0)(2)f f > （B ）(0)(2)f f < （C ）()1f x c ≥- （D ）()1f x c ≤-6．已知数列{}n a 的前n 项和3(2)2n n S a =-，1,2,3,n =，那么n a =（ ）（A ）33n- （B ）23n⋅ （C ）123n -⋅（D ）133n +-7．函数21()log f x x x=-+的零点所在的区间是（ ） （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2 （C ）3(1,)2（D ）3(,2)28．设集合A ⊆R ，如果实数0x 满足：对0r ∀>，总x A ∃∈，使得00||x x r <-<，则称0x 为集合A 的聚点．给定下列四个集合： ① Z ； ② {|0}x x ∈≠R ； ③ {|1n n n ∈+Z ，0}n ≥； ④ 1{|n n∈Z ，0}n ≠． 上述四个集合中，以0为聚点的集合是（ ） （A ）①、③（B ）②、③（C ）①、④（D ）②、④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x -<⎧=⎨->⎩ 那么(1)(1)f f -+=_________.10．若幂函数y x α=的图象经过点1(2,)4，则α=_________.11．已知等差数列{}n a 的公差是2，其前4项和是20-，则2a =_________.12．已知()f x 是周期为2的偶函数．当01x ≤≤时，()f x 的图象是右图中的线段AB ，那么4()3f =_________.13．当[1,1]x ∈-时，函数2()ex x f x =的值域是_________.14．在数列{}n a 中，121a a ==，11(1)(1)n n n a n a n a +-+-=+，2,3,4,n =. 关于数列{}n a 给出下列四个结论：① 数列1{}n n a na +-是常数列； ② 对于任意正整数n ，有1n n a a +≤成立； ③ 数列{}n a 中的任意连续3项都不会成等比数列； ④ 121nk k k a na n =+=+∑． 其中全部正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}Q x a x a =<<+. （Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P Q ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）已知函数32()6f x x ax =-，其中0a ≥.（Ⅰ）当1a =时，求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．17．（本小题满分13分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．12a =，314S =． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分）如图，设计建造一个面积为24840m 的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为(1)λλ>．沿温室的左、右两侧各留8m 宽的空道，上、下两侧各留5m 宽的空道．试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小．19．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x a x =-+不是单调函数，且无最小值． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0x 是函数()f x 的极值点，证明：0()0f x <.20．（本小题满分14分）已知n 次多项式()(12)(14)(18)(12)n n S x x x x x =++++，其中n 是正整数.记()n S x 的展开式中x 的系数是n a ，2x 的系数是n b .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）证明：12142n n n n b b +++-=-；（Ⅲ）是否存在等比数列{}n c 和正数c ，使得1()()n n n b c c c c +=--对任意正整数n 成立？若存在，求出通项n c 和正数c ；若不存在，说明理由.北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（文科）参考答案及评分标准 2011.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. D ；2. A ；3. B ；4. C ；5. C ；6. B ；7. D ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 4-； 10. 2-； 11. 6-； 12.53； 13. [0,e]； 14. ①、②、③、④. 注：14题少解不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð， ………………………… 4分即集合{|02}U P x x =<<ð. ………………………… 6分 （Ⅱ）因为 U P Q ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ ………………………… 10分解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩所以 [2,0]a ∈-. ………………………… 13分 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，32()6f x x x =-，2()312f x x x '=-． ………………………… 2分所以 曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率是(1)9f '=-． ………………………… 3分 因为 (1)5f =-，所以 曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程是59(1)y x +=--，即940x y +-=. ………… 5分（Ⅱ）令2()3123(4)0f x x ax x x a '=-=-=，得10x =，24x a =. ………………………… 7分 ① 当0a =时，2()30f x x '=≥，故()f x 在R 上为增函数. ………………………… 9分 ② 当40a >，即0a >时，列表分析如下：所以函数()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减．………………………… 13分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比是q ，依题意 0q >． ………………………… 1分 由314S =，得 21(1)14a q q ++=，整理得 260q q +-=． ………………………… 3分 解得 2q =，舍去3q =-． ………………………… 5分所以数列}{n a 的通项公式为112n n n a a q -=⋅=． ………………………… 6分 （Ⅱ）由2n n n b n a n =⋅=⋅， ………………………… 7分 得 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，所以 234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅． ………………………… 10分 两式相减，得 231(2222)2n n n T n +=-+++++⋅， ………………………… 12分所以 1(1)22n n T n +=-+． ………………………… 13分18.（本小题满分13分）解：设矩形温室宽为m x ，则长为m x λ，依题意有24840x λ=． ………………………… 2分 记矩形温室的占地面积为S ，则2(16)(10)(1016)160S x x x x λλλ=++=+++． ………………………… 5分 将24840x λ=代入上式，整理得3025500016()S x x =++． ………………………… 8分 根据均值定理，当3025x x =时，即55x =（此时815λ=>）时，S 取得最小值． …………… 11分此时，温室的长为85588m 5x λ=⨯=． ………………………… 12分答：矩形温室的长为88m ，宽为55m 时，温室的占地面积最小． ………………………… 13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 求导数，得222()22a x x a f x x x x-+'=-+=. ………………………… 3分显然，方程2()0220f x x x a '=⇔-+= (0)x >.若()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根. …………… 5分所以 480,0,2a a ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得102a <<. ………………………… 7分（Ⅱ）设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <.所以2122()()22()x x x x x x a f x x x---+'==. ………………………… 9分列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12()()f x f x >.故只需证明1()0f x <. ………………………… 11分 由 120x x <<，且121x x +=，得1102x <<. ………………………… 12分 因为 102a <<，1102x <<， 所以 1111()(2)ln 0f x x x a x =-+<.从而0()0f x <. ………………………… 14分20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由 242n n a =+++， ………………………… 2分得 12(12)2212n n n a +-==--. ………………………… 3分 （Ⅱ）由()(12)(14)(12)n n S x x x x =+++，得 11()(12)()n n n S x x S x ++=+⋅. ………………………… 6分 所以 12122(21)n n n n n n n b b a b +++=+⋅=+-，即 21212(21)42n n n n n n b b ++++-=-=-. ………………………… 8分 （Ⅲ）由1()12S x x =+，得10b =. ………………………… 9分 当2n ≥时， 由 2211122222222()2(21)4[]4(22)(1)14123n n n nnk k nn kk k k b bb +--==--+=-=-=-=----∑∑，得 18(21)(21)3n n n b -=--. 当1n =时，10b =也适合上式，故18(21)(21)3n n n b -=--，*n ∈N . ………………………… 12分因此，存在正数c ==122n n n c c -=⋅=，使得1()()n n n b c c c c +=--对于任意 正整数n 成立. ………………………… 14分。
北京市西城区08—09下学期八年级数学期末考试试卷(A卷)及答案
北京市西城区2008—2009学年第二学期期末测试八年级数学试卷（A 卷） 2009．6（时间100分钟，满分100分）题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．在函数y ＝2-x 中，自变量x 的取值范围是（ ）．A ．x ≠2B ．x ＞2C ．x ≥2D ．x ≤22．当x ＜0时，反比例函数y ＝x31-的图象（ ）． A ．在第二象限内，y 随x 的增大而增大 B ．在第二象限内，y 随x 的增大而减小 C ．在第三象限内，y 随x 的增大而增大 D ．在第三象限内，y 随x 的增大而减小 3．若4-x ＋（y ＋3）2＝0，则xy的值为（ ）． A ．－34 B ．－43 C ．23 D ．－23 4．下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是．．直角三角形的是（ ）． A ．a ＝3，b ＝4，c ＝5， B ．a ＝5，b ＝12，c ＝13 C ．a ＝1，b ＝2，c ＝5D ．a ＝23，b ＝2，c ＝3 5．初二1班的数学老师布置了10道选择题作为课后练习，老师把每位同学答对的题数进行了统计，绘制成条形统计图（如右图），那么该班50名同学答对题数的众数和中位数分别为（ ）． A ．8，8 B ．8，9 C ．9，9 D ．9，86．如图，点A 在反比例函数y ＝x4图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则△AOB 的面积是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（ ）． A ．AB ＝CD B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．AC ＝BD 且AC ⊥BD8．用配方法解方程x 2－6x ＋2＝0时，下列配方正确的是（ ）．A ．（x －3）2＝9B ．（x －3）2＝7C ．（x －9）2＝9D ．（x －9）2＝79．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ．若AD ＝3，则菱形AECF 的面积为（ ）． A ．23B ．43C ．4D ．8第9题图 第10题图10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为M ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，若AC ＝8，BD ＝6，则梯形ABCD 的高DE 等于（ ）．A ．10B ．548C ．524 D ．512 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE ＝2cm ，则BC ＝______cm. 12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝36°，D 为AB 的中点，则∠DCB ＝______°．第11题图 第12题图 第13题图13．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，则菱形ABCD 的周长为____cm ． 14．甲、乙两地相距100km ，如果一辆汽车从甲地到乙地所用时间为x （h ），汽车行驶的平均速度为y （km/h ），那么y 与x 之间的函数关系式为_________________（不要求写出自变量的取值范围）．15．甲和乙一起去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如下图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计甲和乙两人中的新手是__________，他们成绩的方差大小关系是2甲S ____________2乙S （填“＜”、“＞”或“＝”）．16．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，DE ∥AB 交BC 于点E ，若∠B＝60°，AD ＝2，BC ＝4，则△DEC 的面积等于______．17．正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如果把图1中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边长是___________，请你在图2中画出这个正方形． 18．矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝2，过顶点A 作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，若分成的三角形的面积等于矩形面积的41，则所分成的梯形的上底为______． 图1 图2三、认真算一算（本题共18分，第19题8分，第20题10分）19．计算：（1）)35(2012--+； （2）⋅+-+)57)(57()22(2解： 解：20．解下列方程：（1）3x 2－8x ＋2＝0； （2）x （x ＋2）－3（x ＋2）＝0． 解： 解：四、解答题（本题共12分，每小题6分）21．已知：如图，□ABCD 中，E 、F 点分别在BC 、AD 边上，BE ＝DF ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠BCD ＝2∠B ，求∠B 的度数；（3）在（2）的条件下，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，若AB ＝2，AD ＝5，求□ABCD 的面积． 证明：（1）（2）（3）22．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象相交于A （1，2）、B（－2，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中，画出这个一次函数以及反比例函数在第一象限中的图象（可以不列表），并指出x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．解：（1）（2）五、解答题（本题共10分，第23题4分，第24题6分）23．列方程解应用题甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相同，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：24．某班准备从小明、小红两位同学中选出一名班长，为此分别进行了一次演讲答辩和民主测评活动，由五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评分，全班50名同学参加了民主测评，结果分别记录如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）小红同学在演讲答辩中，评委老师给分的极差是____分； （2）补全三张表格中小红、小明同学的各项得分；（3）a 在什么范围时，小明的综合得分高于小红的综合得分，能当选为班长． 解：（3）六、实验与探究（本题5分）25．将两块含30°角、大小与形状完全相同的直角三角板分别记作：Rt △ABC和Rt △DEF ，设短直角边AB ＝CD ＝,3把它们按照图1所示方式摆放在一起．固定△ABC ，将△DEF 沿射线CB 方向平移到△D 1E 1F 1的位置（如图2）． （1）求证：四边形AF 1D 1C 是平行四边形； 证明：（2）实验与探究（备用图供画图实验时使用）①当CE 1的长为________时，四边形AF 1D 1C 为矩形，当CE 1长为________时，四边形AF 1D 1C 为菱形；备用图 备用图图1图2②在运动过程中，若△DEF 沿射线CB 方向平行移动的距离为x ，设四边形AF 1D 1C 的面积为S ，直接写出S 与x 之间的函数关系式（不必写出x 的取值范围）． 答：七、解答题（本题共9分，第26题5分，第27题4分）26．如图，直线y ＝kx ＋2k （k ≠0）与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝（m ＋3）12 m x 在第一象限内的图象交于点B ，已知S △AOB ＝3．（1）求反比例函数的解析式及A 、B 点的坐标；（2）若点D 在直线AB 上，点P 在坐标平面内，以OA 为一边作菱形OADP ，写出符合条件的点P 的坐标，并画出相应的菱形． 解：（1）（2）备用图27．如图，正方形ABCD中，AB＝43，E是AB边上任意一点，连结EC，过点B作BF∥EC交DC延长线于点F，连结EF交BC于点M，过点M作MG⊥EF，交射线CD于点G，连结EG．（1）求证：EF与BC互相平分；（2）若设BE＝x，CG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．证明：（1）（2）北京市西城区2008—2009学年第二学期期末测试八年级数学试题答案及评分参考（A 卷）2009．6一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CABDBCDBAC二、细心填一填（本题共1 6分，每小题2分） 11．4 12．36 13．20 14．y ＝x100（若写成xy ＝100不得分） 15．乙，＜（每空1分） 16．317．5，见图1（每空1分） 18．1或3（每个答案1分） 三、认真算一算（本题共18分，第19题8分，第20题10分） 19．（1）解：12＋20－（5－3）＝23＋25－5＋3 ………………………………… 3分 ＝33＋5． ……………………………………………………4分 （2）解：)57)(57()22(2+-+＝2222+ ………………………………………………………… 3分 ＝1＋2． …………………………………………………………4分20．（1）解：a ＝3，b ＝－8，c ＝2．b 2－4ac ＝（－8）2－4×3×2＝40＞0．…………………………… 1分x ＝a ac b b 242-±-＝3240)8(⨯±--， ………………………… 3分x 1＝3104+，x 2＝3104-. …………………………… 5分图1（2）解：因式分解，得（x －3）（x ＋2）＝0．……………………………… 1分（x －3）＝0或（x ＋2）＝0， ………………………………… 3分 x 1＝3，x 2＝－2．……………………………………………………… 5分四、解答题（本题共12分，每小题6分） 21．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ． (1)分在△ABE 和△CDF 中，，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD AB D B DF BE ………………………………………………………………… 2分 ∴△ABE ≌△CDF ． ……………………………………………… 3分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC∴∠BCD ＋∠B ＝180° ………………………………………… 4分 ∵∠BCD ＝2∠B ，∴∠B ＝60°．……………………………………………………… 5分 （3）∵AG ⊥BC ，∴∠AGB ＝90°．在Rt △AGB 中，∠B ＝60°，AB ＝2，∴AG ＝3． 而BC ＝AD ＝5，∴S □ABCD ＝BC ·AG ＝53．……………………………………… 6分22．解：（1）由题意可知，点A （1，2）在反比例函数y ＝xk的图象上， ∴k ＝2．∴反比例函数解析式为 y ＝x2．……………………………………… 2分 ∵点B （－2，m ）在反比例函数y ＝x2的图象上，∴m ＝22-＝－1．∴点B 的坐标为（－2，－1）．……………………………………… 3分 ∵一次函数图象过A （1，2）、B （－2，－1）两点，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1．…………………………………… 4分 （2）图象见图3．…………………………………………………………… 5分x ＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值． ………………… 6分图2图3五、解答题（本题共10分，第24题4分，第25题6分）23．解：设甲每天加工x 个玩具，那么乙每天加工（35－x ）个玩具．…………… 1分由题意得x 90＝x35120.……………………………………………………… 2分 解得 x ＝15．………………………………………………………………… 3分经检验：x ＝15是原方程的根． 35－x ＝20．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．…………………… 4分24．解：（1）7．……………………………………………………………………… 1分（2）演讲答辩得分表（单位：分）民主测评统计表综合得分表………………………………………………………5分阅卷说明：每空1分．（3）当89－a ＞92－5a 时，小明的综合评分高于小红的综合平分，解得a ＞0.75，∴当0.75＜a ≤0.8时，小明当选班长．……6分六、实验与探究（本题5分） 25．解：（1）如图4．∵∠1＝∠2＝30°∴AC ∥F 1D 1． ………1分又AC ＝F 1D 1，∴四边形AF 1D 1C 是平行四边形． (2)分（2）①1，（如图5）， ……………… 3分3，（如图6）． ……………… 4分图5 图6②S ＝3x ＋33．…………………………………………………… 5分七、解答题（本题共9分，第26题5分，第27题4分）26．解：（1）由题意得2m －1＝－1，解得m ＝0．当m ＝0时，（m ＋3）＝3≠0，∴反比例函数解析式为y ＝x 3. …………1分 在y ＝kx ＋2k 中，令y ＝0，得方程kx ＋2k ＝0．∵k ≠0，解得x ＝－2．∴点A 的坐标为（0，－2）． ………………………………… 2分 ∴AO ＝2．设点B 的坐标为（x B ，y B ）（其中x B ＞0，y B ＞0），∴S △AOB ＝21AO ·y B ＝3． ∴y B ＝3． ∵点B 在y ＝x 3的图象上， ∴x B ＝1．∴点B 的坐标为（1，3）． …………………………………… 3分（2）点P 的坐标为P 1（2，2）或P 2（2，－2）（见图7）．……………………………… 5分27．证明：（1）∵正方形ABCD 中，∴AB ∥DC ，即EB ∥CF ．又BF ∥EC ，图4图7∴四边形EBFC 是平行四边形． ……………………… 1分 ∴EF 、BC 互相平分． ……………………………… 2分（2）由（1）可得：BE ＝FC ，BM ＝MC ＝23，M 是EF 的中点，又MG ⊥EF ，∴GE ＝GF ＝BE ＋CG ＝x ＋y .在Rt △EBM 中，EM 2＝EB 2＋BM 2，∴EM 2＝x 2＋12．在Rt △GCM 中，MG 2＝MC 2＋CG 2，∴MG 2＝12＋y 2．在Rt △GME 中，GE 2＝EM 2＋MG 2．∴（x ＋y ）2＝x 2＋12＋＋12＋y 2，整理得 y ＝x12． ∴y 与x 之间的函数关系式为 y ＝x 12．…………………………… 3分 自变量x 的取值范围是 0＜x ≤43．…………………………… 4分说明：学生的其它正确解法参照评分参考相应给分．图8。
北京市西城区-度八年级第二学期抽样测试A卷答案.6.doc
北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期抽样测试八年级数学（A 卷）参考答案及评分标准2011.6一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．5-； 12．6310n S⨯=；13．4；14．2≤y ≤6；1516．1-，3-；（每空1分） 17．83；18．（1）如图1所示（答案不唯一）；（2）12+（每问1分）三、认真算一算（本题共16分，第19题8分，第20题8分） 19．（1= ----------------------------------------------------------2分 = -------------------------------------------------------------3分 ---------------------------------------------------------------------------4分（2）解：)13)(13(1)52(5-+-+---------------------------------------------------------------------------2分=42-------------------------------------------------------------------------------3分 2． -------------------------------------------------------------------------------4分图120．（1）解：2470x x --=1a =，4b =-，7c =-，224(4)41(7)44b ac -=--⨯⨯-=． -----------------------------------------1分x ==42±， ----------------------------------------------2分2x =所以原方程的根为12x =，22x = --------------------------4分（2）解：因式分解，得 (1)(23)0x x -+=． ------------------------------------------1分10x -=或230x +=， ---------------------------------------------------------2分解得 11x =，232x =-． --------------------------------------------------------4分阅卷说明：两个实数根各1分．四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分）21．证明：（1）如图2．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB =CD ． -----------------------------1分即AB ∥DF ． ∵DF =CD ，∴AB =DF ．∴四边形ABDF 是平行四边形． ----------------------------------------------2分 ∵AD ，BF 交于点E ， ∴AE =DE ． -------------------------------------------------------------------------3分解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB =BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ---------------------------------------------------------4分 ∴AC ⊥BD ． -------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠COD =90°． ∵四边形ABDF 是平行四边形， ∴AF ∥BD ．∴∠CAF =∠COD =90°． ---------------------------------------------------------6分E F A D C B O图222．解：（1）8786838579845x ++++==甲， --------------------------------------------1分8785848084845x ++++==乙．--------------------------------------------2分 所以甲，乙两位球员罚球的平均命中率都为84%．（2）222222(8784)(8684)(8384)(8584)(7984)85s -+-+-+-+-==甲，------3分222222(8784)(8584)(8484)(8084)(8484) 5.25s -+-+-+-+-==乙．-----4分由x x =甲乙，22s s >甲乙可知，乙球员的罚球命中率比较稳定，建议由乙球员来罚 球更好． ------------------------------------------------------------------------------------5分23．解：设旅游车平均每小时行驶x 千米，则小轿车平均每小时行驶1.2x 千米．12612618241.260x x --=． ------------------------------------------------------------------2分 解得90x =． ------------------------------------------------------------------------------3分经检验，90x =是原方程的解，并且符合题意． ---------------------------------4分 ∴1.2108x =．答：旅游车平均每小时行驶90千米，小轿车平均每小时行驶108千米． ----5分24．证明：（1）延长DM ，CB 交于点E ．（如图3）∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADM =∠BEM ．∵点M 是AB 边的中点， ∴AM =BM ．在△ADM 与△BEM 中，∠ADM =∠BEM ， ∠AMD =∠BME ， AM =BM ，∴△ADM ≌△BEM ． ------------------------------------------------------------1分 ∴AD =BE =2，DM =EM ． ∴CE =CB +BE =8+2=10． ∵CD =10， ∴CE =CD ． ∴CM ⊥DM ． ----------------------------------------------------------------------2分解：（2）分别作MN ⊥DC ，DF ⊥BC ，垂足分别为点N ，F ．（如图4）E A D MB C图3∵CE =CD ，DM =EM ，∴CM 平分∠ECD ．∵∠ABC = 90°，即MB ⊥BC ， ∴MN =MB ． --------------------------------------------------------------------------3分 ∵AD ∥BC ，∠ABC =90°， ∴∠A =90°．∵∠DFB =90°，∴四边形ABFD 为矩形．∴BF = AD =2，AB = DF ． ∴FC = BC －BF =8－2=6． ∵Rt △DFC 中，∠DFC =90°， ∴222DF DC FC =-=22106-=64． ∴ DF=8． ----------------------------------------------------------------------------4分∴MN=MB =12AB =12DF =4． 即点M 到CD 边的距离为4． ---------------------------------------------------5分五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分） 25．解：（1）∵点B (4,2)--在反比例函数ky x=的图象上， ∴24k-=-， 8k =． ∴反比例函数的解析式为8y x=． ----------------------------------------------1分 ∵点A （4,m ）在反比例函数8y x=的图象上，∴84m=， 2m =．∵点A (2,4)和点B (4,2)--在一次函数b ax y +=的图象上，∴42,24.a b a b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为2y x =+． ---------------------------------------------2分（2）设一次函数2y x =+的图象与y 轴交于点CFN E C B M DA 图4分别作AD ⊥y 轴，BE ⊥y 轴，垂足分别为 点D ，E ．（如图5）∵一次函数2y x =+，当0x =时，2y =， ∴点C 的坐标为(0,2)． -------------------------3分∴AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+1122OC AD OC BE =⋅+⋅ 11222422=⨯⨯+⨯⨯=6．-----------------------------------------------4分 （3）40x -<<或2x >． ---------------------------------------------------------------6分阅卷说明：第（3）问两个范围各1分． 26．证明：（1）如图6，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°， ∴∠EDC =90°，BA =BC ． ∴∠BCA =45°． ∵点M 为EC 的中点，∴BM =12EC=MC ，DM=12EC =MC ．∴BM =DM ，--------------------------------------------------------------------------1分∠MBC =∠MCB ，∠MDC =∠MCD ． ∴∠BME =2∠BCM ，∠EMD =2∠DCM ． ∴∠BMD =∠BME +∠EMD =2∠BCM +2∠DCM=2(∠BCM +∠DCM )= 2∠BCA =245⨯= 90°．∴△BMD 为等腰直角三角形． ------------------------------------------------2分解：（2）△BMD 为等腰直角三角形．证明：延长DM 交BC 于点N ．（如图7）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°， ∴BA =BC ，DE =DA ，∠EDB =90°． ∴∠EDB =∠DBC ． ∴ED ∥BC ． ∴∠DEC =∠BCE ． ∵点M 为EC 的中点， ∴EM =CM ．MAE CB 图6在△EDM 与△CNM 中，∠DEM =∠NCM ，EM =CM ，∠EMD =∠CMN，∴△EDM ≌△CNM ． ------------------------------------------------------3分 ∴ED =CN ，MD =MN ． ∴AD =CN ．∴BA －DA =BC －NC ， 即BD =BN ． ∴BM=12DN= DM ， -------------------------------------------------------4分 BM ⊥DN ，即∠BMD =90°．∴△BMD 为等腰直角三角形． ------------------------------------------5分27．解：（1）∵矩形OABC 中，点A ，C 的坐标分别为(6,0)，(0,2)， ∴点B 的坐标为(6,2)．若直线b x y +-=21经过点C (0,2)，则2=b ； 若直线b x y +-=21经过点A (6,0)，则3=b ；若直线b x y +-=21经过点B (6,2)，则5=b ．①当点E 在线段OA 上时，即32≤<b 时，（如图8） ---------------------1分∵点E 在直线b x y +-=21上，当0=y 时，b x 2=，∴点E 的坐标为)0,2(b ． ∴S =b b 22221=⋅⋅． --------------------------------------------------------------2分②当点E 在线段BA 上时，即53<<b 时， （如图9） ------------------3分∵点D ，E 在直线b x y +-=21上，当2=y 时，42-=b x ； 当6=x 时，3-=b y ，∴点D 的坐标为)2,42(-b ，点E 的坐标为)3,6(-b ． ∴DBE OAE COD OABC S S S S S ∆∆∆---=矩形)]3(2)][42(6[216)3(212)42(2126-----⋅--⋅--⨯=b b b bb b 52+-=． -------------------------------------------------------------------4分 综上可得：2223),535).b b S b b b <≤⎧=⎨-+<<⎩ ( (（2）证明：如图10．∵四边形OABC 和四边形O′A′B′C′∴CB ∥OA ， C ′B ′∥O ′A ′， 即DN ∥ME ，DM ∥NE ．∴四边形DMEN 是平行四边形，且∠NDE ∵矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为四边形O′A′B′C′，∴∠DEM =∠DEN ． ∴∠NDE =∠DEN ． ∴ND =NE ．∴四边形DMEN 是菱形． ------------------------------------------------5分 （3）答：问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为 2. 5 ． -------------6分。
西城区八年级第二学期数学期末试卷
北京市西城区（北区）2012–2013学年度第二学期期末试 八年级数学试卷 2013．7（时间100分钟，满分100分）一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．.. 124x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）． A. 2x ≥ B. 2x > C. 2x ≠ D. 12x ≥2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．构成直角三角形的是（ ）． A ．13 2 B ．1，25．5，12，13 D ． 122 3．下列计算中，正确的是（ ）．A 2(3)3-=-B 22347+=C 114242= D (4)(9)496-⨯-== 4．如图，在□ABCD 中，延长CD 至点E ，延长AD 至点F ，连结EF ，如果︒=∠110B ，那么=∠+∠F E （ ）．A ．︒110B ．︒70C ．︒50D ．︒30 5．下列关于反比例函数2y x=的说法中，正确的是（ ）． A ．它的图象在第二、四象限B ．点(21)-，在它的图象上C ．当0x >时，y 随x 的增大而减小D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大6.下列命题中，真命题是A ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形D ．同一底上两个角相等的四边形是等腰梯形7．如图，每个小正方形的边长为1，ABC V 的三边a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ∥CB ，若CD=4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（ ）A ．22B ．26C ．38D ．30 9．如图，菱形ABCD 的周长为8，若60BAD ∠=︒，E 是AB 的中点，则点E 的坐标为（ ）． A ．（1，1）B ．（3，1）C ． （1，3）D ．（23，2）10．用配方法将关于x 的方程250x x n ++=可以变形为2()9x p +=，那么用配方法也可以将关于x 的方程251x x n -+=-变形为下列形式A. 2(1)10x p -+=B. 2()8x p -= C. 2(1)8x p --= D. 2()10x p -=二、细心填一填（本题共18分，每小题3分）AD C BE Fy B CDA O E xA BCD E11．如果320x y -++=，那么xy 的值为____________．12．近视眼镜的度数y (单位：度)与镜片焦距x (单位：米)成反比例. 如果400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 （不要求写出自变量x 的取值范围）．13．一组数据0,－1,6,1,－1，这组数据的平均数 ，方差是 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在x 轴负半轴上，记作点C ，折痕与y 轴交点交于点D ，则点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ． 15．在菱形ABCD 中，AB=13cm ，BC 边上的高AH=5cm ，那么对角线AC 的长为 cm ．16．在反比例函数y=12x（x ＞0）的图象上，有一系列点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n+1，若A 1的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n+1分别作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝ ，S 1+S 2+S 3+…+S n ＝ ．三、解答题（本题共16分，第17题8分，第18题8分）17．计算：（1）2032(522)+-+； （2）42(21)(73)(73)++-．解： 解： 18．解方程：（1）2(23)25x -=； （2）2520x x -+=．解： 解：四、解答题（本题共25分，第19～21题每小题6分，第22题7分）19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点 A (－2，1)和点B (1，n)．（1）求反比例函数的解析式及一次函数解析式；（2）设一次函数b kx y +=的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求△AOC 的面积； （3）结合图象,直接写出不等式mkx b x+>的解集．20．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 在BD 上，且 BE=DF 连接AE 并延长，交BCC B AODy xA OB y1 221 -1 -2 -2-1C于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若AC 平分∠HAG ，求证：四边形AGCH 是菱形．21．某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表（满分10分）：根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：（2）参照上表中的数据，你推荐哪个班为区级先进班集体？并说明理由；（3）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照按3 : 2 : 1 : 1 : 3的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制了一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为市级先进班集体？22．已知：关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（0m ≠）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值． （1）证明： （2）解：五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分） 23．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD 是△ABC 的中线， 点M 为BC 边上任意一点（不与点D 重合），过点M 作一直线，使其等分△ABC 的面积．五项成绩考评比较分析表（单位：分）HOGF ED C B A 五项成绩素质考评得分（单位：分）五项素质考评平均成绩统计图他的做法是：如图1，连结AM ，过点D 作DN//AM 交AC 于点N ，作直线MN ，直线MN 即为所求直线．请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AE 平分ABCD 的面积，M 为CD 边上一点，过M 作一直线MN ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图2中画出直线MN ，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A 的直线AE ，使其等分四边形ABCD 的面积（要求：在图3中画出直线AE ，并保留作图痕迹）． ．24． 已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF ＝DE ． （1）如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明； （2）如图2，对角线AC 与BD 交于点O ． BD ，AC 分别与AE ，BF 交于点G ，点H ．①求证：OG ＝OH ；②连接OP ，若AP ＝4，OP 2AB 的长．八年级数学附加题试卷一、填空题（本题6分）1．（1）若2210x y +=，3xy = ，那么代数式x y -的值为 ．D图1 MB ANCCEP图1BCOPE图2GH图3图2 CBA D C A（2）若214x xy x ++=，228y xy y ++=，那么代数式x y +的值为 ．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OBCD 的顶点B 在x 轴正半轴上，顶点D 在y 轴正半轴上． （1）如图1，反比例函数6y x =(0x >)的图象与正比例函数23y x =的图象交于点A ． BC 边经过点A ，CD 边与反比例函数图象交于点E ，四边形OACE 的面积为6．①直接写出点A 的坐标；②判断线段CE 与DE 的大小关系，并说明理由； （2）如图2，若反比例函数ky x=(0x >)的图象与CD 交点M ，与BC 交于点N ，CM=nDM （0n >），连接OM ，ON ，MN ，设M 点的横坐标为t （0t >）．求：CMNOMNS S V V （用含n 的式子表示）．3．△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∠CDE =∠AOB=90°，DC= DE=1，OA= OB=a （1a >）． （1）将△CDE 的顶点D 与点O 重合，连接AE ，BC ，取线段BC 的中点M ，连接OM ．①如图1，若CD ，DE 分别与OA ，OB 边重合，则线段OM 与AE 有怎样的数量关系？ 请直接写出你的结果；②如图2，若CD 在△AOB 内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM 与AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE 绕点O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 式子表示）；O (D )E图1(D )图2图2 图1（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合），如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．。
#北京市西城区2011-2012学学年度第一学期期末试题八学年级数学B卷及答案
北京市西城区2011–2012学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷） 2012.1（时间100分钟，满分100分）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．计算33-的结果是（ ）．A ．9-B ．27-C ．271 D ．271- 3．下列说法中，正确的是（ ）．A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3- 4．下列各式中，正确的是（ ）．A ．2121+=++a b a b B ．21422-=--a a a C ． 22)1(111--=-+a a a a D ．a b a b --=--11 5．下列关于正比例函数5y x =-的说法中，正确的是（ ）．A ．当1x =时，5y =B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限 6．如右图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1， 则∠A 为（）．A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°7．已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（ ）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5 8．下列条件中，不能．．判定两个直角三角形全等的是（ ）． A ．两锐角对应相等 B ．斜边和一条直角边对应相等 C ．两直角边对应相等 D ．一个锐角和斜边对应相等 9．若一次函数y kx b =+不等式0≥+b kx 的解集为（ ）．ED C BAN MA ．0≥xB ．1≥xC ．2≥xD ．2≤x10．研究员对附着在物体表面的三个微生物（分别被标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．第一天， 这三个微生物各自一分为二，变成新的微生物（分 别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按 照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，变成 新的微生物．研究员用如右图所示的图形进行形象 的记录，那么标号为100的微生物会出现在（ ）． A ．第3天 B ．第4天 C ．第5天 D ．第6天二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．在54，11-，∙7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________．12．函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________．13．如右图，△ABC 为等边三角形，DC ∥AB ，AD ⊥CD 于D ．若△ABC 的周长为12 cm ，则CD =________ cm ．14．若将直线)0(≠=k kx y 的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的分析式为______________________．15．如右图，在△ABC 中，AC = BC ，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，则∠C =_________°．16．已知等腰三角形的周长为40，则它的底边长y 关于腰长x 的函数分析式为_____________________，自变量x 的取值范围是___________________． 17．如右图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长 为8cm ，则AB =_________ cm ．18．将如图1所示的长方形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 边上，折痕为AE （如图2）；再继续将纸片沿过点E 的直线折叠，使点A 落在EC 边上，折痕为EF （如图3），则在图3中，∠F AE =_______°，∠AFE =_______°．图1三、耐心算一算（本题共19题35分） 19．因式分解： （1）25)(10)(2++-+n m n m ； （2）22218ax ay -． 解： 解：AB C D D D C ABC DEABCDA D CB20．计算：322536-+-．解：21．先化简，再求值：21)21441(22++÷++++x x x x x x ，其中x =3． 解： 22．解分式方程：2353114=-+--xx x ． 解：四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分） 23．已知：如图，CB =DE ，∠B =∠E ，∠BAE =∠CAD ．求证：∠ACD =∠ADC ．证明：24．已知：如图1，长方形ABCD 中，AB =2，动点P 在长方形的边BC ，CD ，DA 上沿AD C B →→→的方向运动，且点P 与点B ，A 都不重合．图2是此运动过程中，△ABP 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图象的一部分． 请结合以上信息回答下列问题：（1）长方形ABCD 中，边BC 的长为________；（2）若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，x =________，y=________；（3）当106<≤x 时，y 与x 之间的函数关系式是___________________； （4）利用第（3）问求得的结论，在图2中将相应的y 与x 的函数图象补充完整．25321+x 与x （1B （2）过AP 与y 解：（1）（2）五、仔细想一想（本题共1826．已知：如图，在△ABC 中，AB =且DB =DC ，∠DCB =30°．点E （1）求∠ADE 的度数；（2）若点M 在DE 上，且求证：ME=DC ． 解：（1）27到8到16到28EA BC DB已知两容器每分钟的进水量与出水量均为常数，图中折线O-A-B-C 和线段DE 分别表示两容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1) 甲容器的进水管每分钟进水______升，它的出水管每分钟出水______升； (2) 求乙容器内的水量y 与时间x 的函数关系式；(3) 求从初始时刻到最后一次．．．．两容器内的水量相等时所需的时间． 解：（2）28．已知：在△ABC 中，∠CAB =2α，且0α<（1）如图1，若21α=，∠ABC =32°，且AB ，AC 与PB 答：线段AB ，AC 与PB 证明：（2）如图2，若∠ABC =60α-，点P 在△求∠APC 的度数（用含α 解：北京市西城区2011 — 2012八年级数学（B 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．11-，π2；（答对1个给1分） 12．x ≥1-； 13．2；14．16-=x y ； 15．36； 16．402+-=x y ，2010<<x ；（每空1分） 17．8； 18．45，67.5．（每空1分）三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：25)(10)(2++-+n m n m=2)5(-+n m ． -----------------------------------------------------------------------2分（2）解：22218ax ay -=)9(222y x a - ------------------------------------------------------------------------4分 =)3)(3(2y x y x a -+． -------------------------------------------------------------6分20．解：322536-+-=32256-+- ----------------------------------------------------------------------1分分=32256+-- ----------------------------------------------------------------------2分 =269-． --------------------------------------------------------------------------------3分21．解：21)21441(22++÷++++x x x x x x =21])2(1)2(1[2++÷+++x x x x x=21)2(222++÷++x x x x x ----------------------------------------------------------------------2分 =22(1)2(2)1x x x x x ++⋅++=222x x+． ---------------------------------------------------------------------------------4分当3=x 时，原式=22323+⨯=152． --------------------------------------------------5分22．解：方程两边同乘(3)x -，得 625114-=--x x ． ------------------------------2分 解得 5=x ． -----------------------------------------------------------------------------4分 检验：5=x 时30x -≠，5=x 是原分式方程的解． -------------------------5分 四、认真做一做（本题共17分，第23题6分，第24题5分，第25题6分）23．证明：如图1．∵∠BAE =∠CAD ， ∴∠BAE -∠CAE =∠CAD -∠CAE ，即∠BAC =∠EAD ． ----------------------------------1分在△ABC 和△AED 中， ∠BAC =∠EAD ，∠B =∠E ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED ． ------------------------------------------------------------------4分 ∴AC =AD ． -----------------------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACD =∠ADC ． -------------------------------------------------------------------6分24．解：（1）4； -------------------------------------------1分 （2）5，4；（每空1分） ---------------------3分 （3）10+-=x y ； -----------------------------4分 （4）如图2． --------------------------------------5分 25．解：（1）令0=y ，则6=x ；∴点A 的坐标为A （6，0）； 令0=x ，则3=y ；E A C D 图1∴点B 的坐标为B （0，3）． -----------------2分 （2）如图3．∵OB =3，且OP =2OB ， ∴OP =6．∵点P 在y 轴上，∴点P 的坐标为（0，6）或（0，6-）．（两个坐标各1分） ------4分 若点P 的坐标为（0，6），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)36(21⨯-⨯=9； --------------------------------5分 若点P 的坐标为（0，6-），则OA BP S ABP ⋅=∆21=6)63(21⨯+⨯=27． -------------------------------6分∴△ABP 的面积为9或27．五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解：（1）如图4．∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =30°，∴∠ABC =∠ACB =2)30180(÷- =75°．∵DB =DC ，∠DCB =30°， ∴∠DBC =∠DCB =30°． ∴∠1=∠ABC －∠DBC =75°－30°=45°．∵AB =AC ，DB =DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ． ∴AD 平分∠BAC ．∴∠2=21∠BAC =3021⨯=15°． -----------------------------------------------2分 ∴∠ADE =∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． -----------------------------------------3分证明：（2）证法一：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．（如图5）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． -----------------4分∵△ABE 中，AB =AE ，N 为BE 的中点，∴BN =NE ，且AN ⊥BE ． ∴DN =NM ． -----------------------------------5分∴BN －DN =NE －NM ， 即 BD =ME ．∵DB =DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分 证法二：连接AM ．（如图6）∵△ADM 中，DM =DA ，∠ADE =60°， ∴△ADM 为等边三角形． ------------------4∴∠3=60°． ∵AE =AB ， ∴∠E =∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E =60°－45°=15°． ∴∠2=∠4． B B B在△ABD 和△AEM 中，∠1 =∠E ， AB =AE ， ∠2 =∠4，∴△ABD ≌△AEM ． ------------------------------------------------------------5分 ∴BD =EM ． ∵DB = DC ，∴ME = DC ． ---------------------------------------------------------------------6分 阅卷说明：其他正确解法相应给分．27．解：（1）5， 2.5 ；（每空1分） -----------------------------------------------------------2分（2）设线段DE 所在直线为(0)y kx b k =+≠．∵点（5，15），（10，20）在此直线上，则1552010.k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得110.k b =⎧⎨=⎩，∴10y x =+． ----------------------------------------------------------------------3分 ∴当0≤x ≤28时，10y x =+．（3）设线段BC 所在直线为(0)y mx n m =+≠．∵点（16, 20），（28, 50）在此直线上，则20165028.m n m n =+⎧⎨=+⎩， 解得5220.m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴5202y x =-． --------------------------------------------------------------------4分 ∴当16≤x ≤28时，5202y x =-．由（2）知线段DE 所在直线为10y x =+，则10520.2y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2030.x y =⎧⎨=⎩， --------------------------------------------5分 ∴线段DE 与线段BC 的交点坐标为（20, 30）．答：从初始时刻到最后一次两容器内的水量相等时所需的时间为20分钟．----------------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．28．解：（1） AB －AC = PB ； --------------------------------------------------------------------1分 证明：在AB 上截取AD ，使AD =AC ．（如图7）∵AP 平分∠CAB ，∴∠1=∠2．在△ACP 和△ADP 中，AC =AD ， ∠1 =∠2，图712345DP C B AAP =AP ，∴△ACP ≌△ADP ． ∴∠C =∠3．∵△ABC 中，∠CAB =α2=2×21°=42° ，∠ABC =32°， ∴∠C =180°－∠CAB －∠ABC =180°－42°－32° = 106°． ∴∠3 =106°． --------------------------------------------------------------2分 ∴∠4 =180°－∠3=180°－106°=74°， ∠5 =∠3－∠ABC =106°－32°=74°． ∴∠4 =∠5． ∴PB =DB ．∴AB －AC = AB －AD =DB =PB ． ---------------------------------------3分（2）方法一：延长AC 至M ，使AM =AB ，连接PM ，BM ．（如图8）∵AP 平分∠CAB ，∠CAB =α2， ∴∠1=∠2=α221⋅=α． 在△AMP 和△ABP 中，AM =AB ，∠1 =∠2， AP =AP ，∴△AMP ≌△ABP ． ∴PM =PB ，∠3 =∠4． ∵∠ABC =60°－α，∠CBP =30°， ∴∠4=(60°－α)－30° =30°－α． ∴∠3 =∠4 =30°－α． -----------------------------------------------------------4分 ∵△AMB 中，AM =AB ， ∴∠AMB =∠ABM =(180°－∠MAB )÷2 =(180°－α2)÷2 =90°－α． ∴∠5=∠AMB －∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°． ∴△PMB 为等边三角形． ∵∠6=∠ABM －∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°， ∴∠6=∠CBP ． ∴BC 平分∠PBM ． ∴BC 垂直平分PM ． ∴CP =CM ．∴∠7 =∠3 = 30°－α．---------------------------------------------------------------5分 ∴∠ACP =∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α． ∴△ACP 中，∠APC =180°－∠1－∠ACP=180°－α－(60°－2α) =120°＋α． ----------------------------------------------6分方法二：在AB 上截取AM ，使AM =AC ，连接PM ，延长AP 交BC 于N ，连接MN ．（如图9）∵AP 平分∠CAB ，∠CAB =α2， ∴∠1=∠2=α221⋅=α． 在△ACN 和△AMN 中，AC =AM ， ∠1 =∠2，7654321MB CP A 图8图9NM12346578ACPBAN=AN，∴△ACN≌△AMN．∴∠3 =∠4．∵∠ABC=60°－α，∴∠3=∠2＋∠NBA=α＋(60°－α) =60°．∴∠3 =∠4 =60°．∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．∴∠4 =∠5．------------------------------------------------------------------------4分∴NM平分∠PNB．∵∠CBP=30°，∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°．∴∠6=∠NBP．∴NP=NB．∴NM垂直平分PB．∴MP=MB．∴∠7 =∠8．∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8，即∠NPM=∠NBM =60°－α．--------------------------------------------------5分∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α．在△ACP和△AMP中，AC =AM，∠1 =∠2，AP=AP，∴△ACP≌△AMP．∴∠APC=∠APM．∴∠APC=120°＋α．-------------------------------------------------------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。