正弦函数、余弦函数图像的性质
正弦函数和余弦函数的图像与性质
图象的最低点:
(3π ，1) ． 2
五点 作图法
正弦函数、余弦函数的图象
y
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1)
1-
与x轴的交点 2
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-
-1
o
6
3
2
2 3
5
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
图象的最低点
(
3 2
,1)
-1 -
-
-
单击： 返回
观察 y ＝ sin x ，x[ 0，2 ] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
与 x 轴的交点: (0，0)，(π，0)，(2 π，0)；
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
π 2
2kπ,
k
Z
上, 是增函数；
在闭区间
π2π22，k3π2π, 32π
2ykπ, k Z
上，是减函数.
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
6.1_正弦函数和余弦函数的图像与性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.5．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R .一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝ωπ2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T ＝2π，(2)T ＝22π＝π，(3)T ＝2π÷21＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin(－18π)－sin(－10π)； (2)cos(－523π)－cos(－417π)．例3 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.例4.f (x )＝sin x 图象的对称轴是 .例5.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?【当堂训练】1.函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( )A.奇函数而不是偶函数B.偶函数而不是奇函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数2.函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π3.设条件甲为“y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23π”，则甲是乙的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为 ．5.函数y ＝sin2x tan x 的值域为 .6.函数y ＝x －sin x ，x ∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B. 2π－1 C.π D. 2243-π7.求函数y ＝2sin 22x ＋4sin2x cos2x ＋3cos 22x 的最小正周期.8.求函数f （x ）＝sin 6x ＋cos 6x 的最小正周期，并求f （x ）的最大值和最小值.9.已知f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin 1+-，问x 在［0，π］上取什么值时，f （x ）取到最大值和最小值.10.给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数； ②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π； ④y ＝sin2x －cos2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是 .11.求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋6π)； ②y ＝3sin(3π－2π)12.求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.13.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4π C.x ＝8π D.x ＝45π【家庭作业】1.在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( ) A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2.若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值. .]4,3[sin 2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例ωππωω-=x x f4.求下列函数的定义域、值域：（1）； （2） ； （3） ．5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：（1） ， ； （2） ， ； （3）（4） ．6．要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）； （2） ．37.函数，的简图是（）8.函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 9.函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．10.如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C．D．或11.与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，12.函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．13.求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．参考答案：例1解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现.∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π.即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现.∴y ＝sin2x 的周期是π.(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数.从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关.例2解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． 且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数. ∴sin(－10π)＜sin(－18π) 即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π ∵0＜4π＜53π＜π 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos53π＜cos 4π 即cos 53π－cos 4π＜0 ∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0 例3解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜y y --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 例4解：由图象可知：对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z ) 例5解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π (k ∈Z ) ∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π 即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求. (2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π) 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π 得k π－12π≤x ≤k π＋125π (k ∈Z )为所求. 或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数， ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减. 设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π 解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z ) ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减. 【当堂训练】 1.A 2.A 3.B 4.2π 5.［0，2) 6.C 7. 2π 8.Ｔ＝2π 函数最大值为1 函数最小值为41. 9.x ＝4π时，f (x )取到最小值31； x ＝43π时，f (x )取到最大值3. 10．分析:①y ＝sin x 是周期函数,自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝4π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin 3π＞sin(6π＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π 由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④11. 解：①设ｕ＝2x ＋6π，则y ＝cos ｕ当2k π－π≤ｕ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵ｕ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Ζ) 即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为： ［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z ) ②设ｕ＝3π－2π，则y ＝3sin ｕ 当2k π＋2π≤ｕ≤2k π＋23π时，y ＝3sin ｕ随x 增大在减小， 又∵ｕ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π 即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为 ［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )12. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数. 13. 方法一：运用性质1′,y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z ),令k ＝－1,得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应. 故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A. 【家庭作业】 1.分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ (x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ (x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π ∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π ∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－411π，47π］、［－43π，4π］、［45π，49π］， 对照选择支，可知应选B像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是： x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π (k ∈Z )，对照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.2. 解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的. 当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x =)2cos(1)2sin 112cos 1(12222θ-+=++++x a x a x a aa其中cos θ＝2211sin ,1aaa +=+θ即tan θ＝a1cos sin =θθ 函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z )∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－⇒8π22πθk +=－8π∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求. 3. 解：由题设得)(2222Z k k x k ∈+≤≤-ππωππ.230.42,32.2222,0⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-≤-∴+≤≤-∴>ωπωππωπωπωπωπωπω解得k x k故ω的取值范围为].23,0(4. 解：（1） ，（2）由 （）又∵ ，∴∴定义域为 （），值域为． （3）由 （），又由∴∴定义域为（），值域为 ．指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．5.解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？6.解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．7．B 8．B 9．A 10．C 11．D12．；；13.分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦,余弦正切函数的图像与性质
正弦,余弦正切函数的图像与性质
正弦、余弦和正切是三角函数的代表，其图形及性质有所不同。
在三
角函数中，正弦函数的图像具有周期性，一般用y=sin x来表示，它
的值域在-1到1之间。
它的周期为T=2π，即对于x=kT（k为任意整数）时，sin x的值不变。
此外，正弦函数的图像具有对称的特点，即**它的图像在点(0,0)处关于y轴对称**，并且关于x轴的对称点是
(*π/2，1)、(*3π/2，-1) 都是关于y轴对称的，
余弦函数和正弦函数类似，也有周期性和对称性，相较于正弦函数，
它的周期为T=2π，值域也是-1到1之间。
其对称性和正弦函数类似，即它也关于y轴对称，对称点是（*π/2，0）、(*3π/2，0）。
正切函数的图像在(-π/2,π/2)绘制出一条曲线，与正弦和余弦不一样，它的值域不是-1和1之间，而是一切实数值。
这种特点也是正切
函数的主要特点，即**具有不断增加不断减少的特点**。
正切函数也
具有周期性，周期为2π，但**它没有对称性**，即它的图像不关于y
轴对称。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
正弦、余弦函数的图像与性质
正弦与余弦函数的图像与性质（内部使用）姓名： 日期：¤ 梳理知识★透视规律 ¤一、函数的周期性1、定义： 。
二、正弦与余弦函数的图像1、正弦函数的图像由单位圆中的正弦线的变化，推出sin y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像2、正弦函数的图像由单位圆中的余弦线的变化，推出cos y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像3、五点作图法：（1）概念： 。
（2） 步骤： → → 。
三、正弦与余弦函数的性质函数y sin x =y cos x =图像定义域 值域 周期性 奇偶性（对称性）单调性注：（1） ；（2） 。
¤ 拓展★提高 ¤一、正弦型函数sin y A x M =+()0A M ⋅≠的性质：（1）A 的作用：对最值的影响： ；正负对单调区间的影响： 。
（2）M 的作用：。
¤ 他山之石★可以攻玉 ¤【例1】用“五点法”画出下列函数的图像：（1）[]2sin ,0,2y x x π=-+∈；（2）[]2cos ,0,2y x x π=+∈。
【变式】用“五点法”画函数[]12sin ,0,2y x x π=-∈的图像。
我来记两笔：【例1】解下列不等式：（1）1sin 2x >； （2）3cos 2x ≤-。
【变式1】求函数2sin 1y x =+的定义域。
【变式2】求函数1lg 1cos y x=-的定义域。
题型一 “五点法”作图 题型二 利用正、余线函数图像解简单三角不等式我来记两笔：【例1】求下列函数的值域：（1）y sin sin x x =+； （2）cos 2y cos 1x x -=+。
【变式】求下列函数的值域：（1）y 2sin 2,,366x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）[]2cos sin 2,0,y x x x π=++∈。
我来记两笔：【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）()()sin f x x x π=+； （2）()3cos 12f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质2
由sin
x
y 1 1,得 1
y
2
1
(sin x 1) y 1
sin x 1
cos x 1
解不等式有
y
1 2
故函数的值域为
,
1 2
求值域
例8判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例7 求下列函数的值域 y= sin x 2
解 由y sin x 2 得到
sin x 1
sin x 1
正余弦函数的有界性
( y 1)sin x y 2
(上式中y 1,否则有0 3)
所以sin x y 2
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
(3) y= ( tan 7 )sinx
6
解：
0 tan 7
tan
3 1
6
63
单调减区间为 [2k ,2k ],(k Z )
2
2
单调增区间为 [2k ,2k 3 ],(k Z )
2
2
(4)
y log 1
cos( x
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
正弦函数余弦函数的图象和性质
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
3 2
与x轴的交点 ( 2
5 3
11 6
2
x
-
,0) ( 32 ,0)
图象的最低点 ( ,1)
例1．画出下列函数的简图
1）y=－cosx
解：(1)按五个关键点列表 x cosx -cosx 0 1 -1
2
3 2
B
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
正弦函数以2π为最小正周期 即： sin(x+2)=sinx, kZ y=sinx，xR y=sinx，x[0,2] 利用图象平移
y
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
2 3 4 5 6
o
-1
x
三、余弦函数的图象
2 0
-1
y=sin2x，x∈[0,π] y=sin2x y=sinx
2
0
y=1+cosx的简图 x (２)作函数 y sin 的简图 2 y
2 1
-
y=1+cosx
-
o
-1
-
2
x 2
3 2
2
x
y=cosx
y sin
Y
1 0 -1
y sin x
y=cosx
2
X
（2）
1-
y=|sinx|
2
-1
o
-1
3 2
2
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正弦函数、余弦函数的图象
教学目标：
1.要求学生利用单位圆的正弦线画出正弦函数的图象.
2.利用诱导公式获得余弦函数的图象.
3.掌握五点画图法会画正余弦函数图象以及相关的三角函数图象. 重点：五点作图法画正余弦函数图象.
难点：对正余弦函数图象的理解以及正确作出正弦函数或余弦函数以及相关函数图象. 一. 课前预习
1.“五点法”作正弦函数图象的五个点是___________________________
2.“五点法”作余弦函数图象的五个点是___________________________
3.作正、余弦函数图象方法有二：一是 ____________；二是利用______________________ 来画的几何法。
4. 作正弦函数图象可分两步:一是画出 的图象,二是把这一图象向_______ 连续平移(每次2π个单位长度)
5.怎样利用正弦曲线作出正弦函数的图象:_________________________________ 二．新课导入
物理中简谐运动的图象叫“正弦曲线”或“余弦曲线” 三．新课讲解 知识点一：（１）利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图象
思考：在做正弦函数图象时抓住哪些关键点：
[0,2]x π∈，在要求精度不太高的情况下我们一般用五点作图
sin y x =，x R ∈
（2）怎样由sin y x =，x R ∈得到cos y x =，x R ∈图象 方法：
我们把以上两个图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考：余弦曲线图象应抓住哪些关键点：
[0,2]x π∈，在要求精度不太高的情况下我们一般用五点作图
（3）.典型例题
例1.画出下列函数的简图
(1) 1sin y x =+ [0,2]x π∈ (2) cos y x =- [0,2]x π
∈ (3) 2sin y x = [0,2]x π∈ (4) 3sin()2
y x π
=+
[2,2]x ππ∈- 知识点二：正、余弦函数的性质 （1）定义域： （2）值域: （3
）对称性:
知识点三：三角函数图象应用
例2. (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2) 3[,]22
x ππ
∈-
解不等式sin x ≥ 4([
,])33x ππ∈- 小结：（1）正弦曲线定义（2）正余弦函数图象五点作图法步骤
（3）图象应用； （4）三角函数性质
课后作业
1.以下对正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是 （ ） A. 在[2,22]()x k k k Z πππ∈+∈上的图象形状相同只是位置不同
B. 介于直线1y =与1y =-之间当x>0时，你估计函数y=2x
和y=2
x 的图象共有几个交点？ C.关于x 轴对称
D.与y 轴仅有一个交点
2.用五点作图作2sin 2y x =的图象，首先应描点的五点的横坐标可以是 （ ）
A. 30,
,,
,222π
πππ B. 30,,,,424
ππππ
C. 0,,2,3,4ππππ
D. 20,,,,6323
ππππ
3.在[0,2]π上，满足1
sin 2
x ≥的x 的取值范围是（ ） A. [0,]6π B. 5[,
]66ππ
C. 2[,]63ππ
D. 5[,]6
π
π
4. cos y x =的图象向左平移
2
π
个单位后，得到()y g x =的图象，则()g x 的解析式（ ） A. sin x - B. sin x C. cos x - D. cos x
5.函数5cos(2)2
y x π
=+
的 （ ） A.最小正周期是2π B.图象关于y 轴对称 C.y 轴对称 D. 直线2
x π
=对称
6. sin 10
x π
=
的根的个数为___________.
7.
y =的定义域是_____________ 8.由sin(
)cos 2
x x π
-=可知，把函数sin y x =的图象经过____________________ (变换)可
得y=cosx 的图象.
9.作出下列函数的简图
（1）y = （2）sin ||y x = [2,2]x ππ∈-
10.将函数sin(2)()4
y x x R π
=+∈的图象向右平移a （a>0）个单位的曲线C 关于直线
x= 4
π
对称,求a 的最小值.
11.若()sin
4
f x x π
=，求(1)(2)f f ++……(2010)f +。