第2章 随机变量及其分布 (NXPowerLite)
第二章随机变量及其分布
（二） 、二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量的定义 2. 二维随机变量的分布函数 3. 二维离散型随机变量及其分布律 4. 二维连续型随机变量的分布密度 5. 边缘分布 6. 随机变量的独立性 7. 随机变量简单函数的分布 1). 一维随机变量函数的分布 2). 二维随机变量函数的分布
（三） 、应记忆的公式 (1) 分布函数的表达式： (2)计算公式: 离散型
⎛2⎞ = Φ⎜ ⎟ − Φ (0Байду номын сангаас ⎝σ ⎠
所以
⎛2⎞ Φ⎜ ⎟ = 0.3 + 0.5 = 0.8 ⎝σ ⎠
2
X −2 0−2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛2⎞ 于是 P( X < 0) = P⎛ < ⎜ ⎟ = Φ⎜ − ⎟ = 1 − Φ⎜ ⎟ = 0.2 σ ⎠ ⎝ σ ⎝ σ⎠ ⎝σ ⎠
3 、一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）
（3） P ( X > 1) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 − FX (1)
= 1 − F (1,+∞) = e −1 = 0.3679
6
（4） P { X , Y ) ∈ D} = （
1 1
∫∫ f ( x, y)dxdy
D
= ∫ [e − x [ ∫ e − ydy ]]dy = 1 − 2e −1 = 0.2642
F ( x) = P( X ≤ x)
F ( x ) = ∑ P ( X = xi )
xi ≤ x
+∞
连续型
F ( x) =
−∞
∫
p ( x)dx
1
(3) 若 X~ N ( µ , σ 2 ) ，
则 Y = X − µ ～N(0,1)
随机变量及其分布知识点
随机变量及其分布知识点
随机变量是随机试验中的数值结果，通常用大写字母表示，例如X、Y等。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的，具体取决于它可以取到的值。
离散随机变量只能取到一些特定的值，这些值之间有间隔。
例如，掷硬币时正面朝上的次数就是一个离散随机变量，它只能取到0或1两个值。
连续随机变量可以取到区间内的任何值。
例如，一个人的身高就是一个连续随机变量，它可以取到1.50米、1.55米、1.60米等任何一个值。
随机变量的分布是它可能取到每个值的概率分布情况。
对于离散随机变量，它的分布可以通过概率质量函数来描述；对于连续随机变量，它的分布可以通过概率密度函数来描述。
常见的离散分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。
在实际应用中，我们经常需要计算随机变量的期望、方差和协方差等统计量。
通过这些统计量，我们可以更全面地了解随机变量的性质，更准确地进行数据分析和模型建立。
总之，随机变量及其分布是概率论和数理统计中非常重要的知识点，对于理论研究和实际应用都有着重要的意义。
- 1 -。
第二章随机变量及其分布.doc
第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量及其分布在随机试验中，若把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X ，使其对试验的每个结果ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则X 的取值随着试验的重复而不同，X 是一个变量，且在每次试验中X 究竟取什么值事先无法预知，也就是说X 是一个随机取值的变量。
因此，很自然地称X 为随机变量.2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 设Ω是某随机试验的样本空间，若对Ω中每个基本事件ω都有唯一的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为随机变量。
随机变量是定义在样本空间Ω上的单值实值函数，通常以 ,,,Z Y X 等来表示随机变量。
随机变量的取值用小写字母 z y x ,,等来表示。
一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量；可能取值充满数轴上的一个区间),(b a ，则称其为连续随机变量，其中a 可以是∞-，b 可以是∞+。
引入随机变量以后，就可以用随机变量X 来描述随机事件。
例如，在“掷硬币”这个试验中，可定义⎩⎨⎧=当反面出现时，当正面出现时，,0,1X则)1(=X 和)0(=X 就分别表示了事件{出现正面}和{出现反面}，且有，出现正面2/1}{)1(===P X P 2/1}{)0(===出现反面P X P 。
若试验的结果本身就是用数量描述的，则可定义Ω∈===t t X X ωω,)(。
例如，在“掷骰子”这个试验中，用)(i X =表示{出现i 点}，且6,,2,1,6/1}{)( ====i i P i X P 点出现。
在“测试灯泡寿命”这个试验中，)(t X =表示{灯泡的寿命为t (小时)}，而)(t X P ≤就是事件{灯泡寿命不超过t (小时)}的概率。
2.1.2 随机变量的分布函数许多随机变量的取值是不能一个一个地列举出来的且它们取某个值的概率可能是零。
例如，在测试灯泡的寿命时，可认为寿命X 的取值充满了区间),0[+∞，事件)(0x X =表示灯泡的寿命正好是0x ，在实际中，测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x 0。
概率论第二章资料
均为随机事件.
即 {a < X b} ={；a < X() b }
31 October 2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第5页
注 意 点 (2)
(3) 注意以下一些表达式：
{X = k}= {X k}{X < k}； {a < X b} = {X b}{X a}； { X > b} = {X b}.
F
(
x)
x
p(t
)dt
则称 X 为连续随机变量，
称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.
31 October 2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第16页
密度函数的基本性质
(1) p(x) 0; (非负性)
(2)
p(
x)dx
1.
(正则性)
满足(1) (2)的函数都可以看成某个 连续随机变量的概率密度函数.
第二章 随机变量及其分布
第1页
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
31 October 2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
注意点(2)
第18页
(4) P{a<X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)F(a).
(5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) = F(x)
随机变量的数字特征(NXPowerLite)
目录
• 引言 • 数学期望 • 方差 • 协方差与相关系数 •矩 • 数字特征的综合应用
01
引言
定义与概念
随机变量
随机变量是用来描述随机现象的变量 ，其取值具有随机性。
数字特征
数字特征是用来描述随机变量的一些 数值性质，如均值、方差、中位数等 。
数字特征的重要性
性质
数学期望具有线性性质，即对于两个 随机变量X和Y，有E(X+Y)=EX+EY。
计算方法
离散型随机变量的数学期望
E(X)=∑x*p(x)，其中x为随机变量X的所有可能取值，p(x)为相应的概率。
连续型随机变量的数学期望
E(X)=∫x*f(x)dx，其中f(x)为随机变量X的概率密度函数。
数学期
相关系数是衡量两个随机变量线性关系的强度和方向的指标， 表示为ρ(X,Y)。
性质
相关系数具有对称性，即ρ(X,Y)=ρ(Y,X)；相关系数介于-1和1 之间，|ρ(X,Y)|越接近1，线性关系越强。
协方差与相关系数的计算方法
协方差计算公式
Cov(X,Y)=1/n Σ[(xi-EX)(yi-EY)]，其中n为样本量，xi、yi分别为第i个样本的观测值，EX、EY分别为X、Y的期望 值。
预测
通过计算数学期望，可以对随机变量的未来取值进行 预测。
决策
在风险决策中，数学期望可以用来计算期望收益或期 望损失，帮助决策者做出最优选择。
统计推断
在参数估计和假设检验中，数学期望可以用来估计未 知参数或检验统计假设。
03
方差
定义与性质
01 方差是衡量随机变量取值分散程度的量，表示随 机变量偏离其期望值的程度。
第二章 随机变量及其分布z
利用分布函数求事件的概率
P ( a X b ) F (b) F (a ) ; . . a - a P( X a ) 1 F (a ) ; ( ) P ( X a ) lim Pa ( 0) ; a ) lima F a(aF (0) ) ] F0 F (a ) ( F a x F 0 [ ) ( lim a 0 P ({ )F } X a ) a X ) P P ( a X b ) F (ba X ( abb0) ; {(X a }) P ( a X b ) F (b )0F a )) F (a ) b )( a 0) P b X F (a 0X F 不必死记硬背！ a ) ( b P ); P( X a ) F (X b ;) F (( X )a ) F (b (a )F (b a ) F (a 0)] P a F ( a) P a 0 F ) [F ( 0) 0) P( X a ) P( X a ) P( X a ) ; 1 F (a ) F (a ) F (a 0) 利用分布函数可求随机变量在任意区间上取值的概率 1 F (a 0)
x1 , x2 ,, xn ,
pk PX xk (k 1,2,)
上式称为离散型随机变量X的概率分布(分布律或分布列). 分布律的表示: 数列: 表格:
pk PX xk (k 1,2,);
X
x1
p1
x2
p2
pk
xn pn
图形:在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相 应概率值的线段。
◆ 普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可
言,而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定
随机变量及其分布PPT教学课件
f(x)baff12((xx))
x0 x0
为概率密度， 则
(A)2a+3b=4 (B) 3a+2b=4 (C) a+b=1 (D) a+b=2
2020/12/10
8
2(02103,02403)设X1 和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则 (A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度. (B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.
( -1, 1 ) 内的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度
成正2比020/，12/10求X的分布函数F (x) = P ( X x )。
5
5(13111) 设随机变量X的概率密度为 f(x)91x2 0x3 0 其它
令随机变量
2 X 1 YX 1 X 2
1 X 2
(1)求Y的分布函数 (2)求概率P(X≤Y)
(B) 2f2(x)F1(x) (D) f1(x)F2(x)+ F1(x)f2(x)
2020/12/10
10
4（89508）.某仪器装有3只独立工作的同型号电子 元件，其寿命X（小时）都服从同一指数分布，分 布密度为
f(x)6100e6x00, 0,
x0 x0
试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电 子元件损坏的概率。
13
9（91507）.设电源电压在不超过200伏，在200----240伏 和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别 为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布
N（220，625），
试求：（1）该电子元件损坏的概率。
《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布共26页word资料
第二章随机变量及其分布........................................................................................................ - 1 - 第一节随机变量及其分布函数...................................................................................... - 2 - 一随机变量概念........................................................................................................ - 2 -二随机变量的分布函数............................................................................................ - 3 -基础训练2.1 ................................................................................................................ - 6 - 第二节离散型随机变量及其概率分布............................................................................ - 6 - 一离散型随机变量及其概率分布............................................................................ - 6 -二常见的几种离散型随机变量及其分布................................................................ - 9 -基础训练2.2 .............................................................................................................. - 13 - 第三节连续型随机变量及其概率分布.......................................................................... - 13 - 一连续型随机变量及其分布的概念与性质.......................................................... - 14 -二常见的几种连续型随机变量及其分布.............................................................. - 17 -基础训练2.3............................................................................................................. - 22 - 第四节随机变量函数的分布.......................................................................................... - 22 - 一离散型随机变量函数的分布.............................................................................. - 22 -二连续型随机变量的函数分布.............................................................................. - 23 -基础训练2.4............................................................................................................. - 26 - 综合训练二........................................................................................................................ - 26 - 内容小结及题型分析二.................................................................................................... - 26 - 拓展提高二........................................................................................................................ - 26 - 阅读材料二........................................................................................................................ - 26 - 数学实验二........................................................................................................................ - 26 -第二章随机变量及其分布【本章导读】本章主要讲述随机变量与分布函数，一维离散型随机变量、连续型随机变量的概率分布，常见分布及函数的分布.【本章用到的先修知识】级数的运算，变限积分，分段函数的积分，无穷积分.【本章要点】随机变量的概念，分布函数，分布律，概率密度，常见随机变量的分布，函数的分布.在上一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果.这种表示的方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限. 在本章中，我们将介绍概率论中另一个重要的概念：随机变量. 随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究. 这样，不仅可更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用高等数学的方法来讨论随机试验.第一节 随机变量及其分布函数一 随机变量概念在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，读者可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系. 例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时间段正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等. 对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。
第2章随机变量及其分布【概率统计精品讲义】
按不放回抽样方式,
随机抽取n件样品(0≤n≤M)
求取出的n样品C中Mk CCNn恰NnkM有k件次品A的概率？
P(X k) P( A)
(设随机变量X表示取出的次品数k ) 此X的概率分布称为超几何分布H(n, M, N).
(k 0,1,2,, n)
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5
二项分布
1.(0–1)分布
k e e k ee 1
k0 k!
k0 k!
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9
泊松分布的应用
泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域
有着广泛的应用.
例如：
1) 某服务设施在一定时间内到达的人数；
2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；
3) 汽车站台一天的侯客人数；
4)某医院在一天内的急诊病人数;
即
CMk
C nk N M
C
n N
Cnk pk qnk ,
其中 p M , q 1 M .
N
N
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11
泊松分布与二项分布的关系
泊松定理：
设 X ~ B(n, p), 若当n→∞时，
np （ 0 常数）, 则有
lim
n
Cnk
p
k
q
nk
k e , k
k!
0,1,2,
注： 当n充分大, p很小 (p<0.1),
……
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22
二维随机变量的联合分布函数 1）定义
设(X ,Y )是二维随机变量,对任意实数x,y ,则称
Fx， y PX x， Y y 是二维随机变量X， Y 的联合分布函数.
2）几何意义
y
Fx, y表示平面上的随机点X,Y
概率统计第二章
0, 样本点 {1,2 }，且 X 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中， 0 1 两点分布有着广泛的应用．例如某 产品合格与不合格； 某课程的考试及格与不及格； 某事件 A 发 生与不发生等许多现象都能够刻划成 0 1 两点分布，本章例 1 1.1 中，随机变量 X ~ B (1, ) ． 2
由定义 1.1 知随机变量 X 为样本点 的函数．
例如在抛一枚硬币的随机试验中，令
“出现反面”, 0, X “出现正面”, 1,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等 均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系 表示随机事件．
，
8
分布函数 F ( x) 的基本性质.
性质 1.1 设 F ( x) 为任一分布函数，总有 0 F ( x) 1 ．
性质 1.2 设 F ( x) 为任一分布函数，则有
x
lim F ( x) 0 ， lim F ( x) 1 ，
x
简记为 F () 0 ， F () 1 ．
20
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1． 0 1 两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
P
0 1－ p
1
p
就称 X 服从 0 1 两点分布 ，记为 X ~ B(1, p) ．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
第二章 随机变量及其分布
2013年7月11日星期四
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§2.1 随机变量
随机试验的结果因试验内容的不同而各异．很大一部 分问题可以用数量来描述试验的各种可能结果，如，产品 抽样中的次品数，掷骰子出现的点数，某电话交换台在一 段时间内接到的呼叫次数，测量中出现的误差等等．而有 些随机现象，表面上看其试验结果与数量没有直接关系， 如掷硬币的结果“正面、反面”和抽查产品的结果“合格、 不合格”等，但这些试验结果也常常能联系数量加以描 述．比如掷一枚硬币，可能的结果为“正面”、“反面”， 则可以这样处理，当出现“正面”时对应数1，而出现反面 时对应数0． 更一般地，对于事件A，则一定可以通过下面的示 性函数使它与数量联系起来:
由于随机变量的取值由试验结果确定，而试验的各个可能 结果的发生有一定的概率，从而随机变量的取值也有一定的 概率．比如例 1-1 中， P{ X 3} p ( A) 1 / 8 ．一般地，对 任意实数集 L ， P{ X L} P{e | X (e) L} ．
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c (e 1) 1 ． 所以，
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§2.2 离散型随机变量及其分布
[例 2-2] 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号 1 灯，每盏信号灯以 2 的概率允许或禁止汽车通过．以 X 表 示汽车首次停下来时，它已通过的信号灯的盏数(设各信号 灯的工作是相互独立的)，求 X 的分布律．
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§2.1 随机变量
1 , 当A发生 A 0 , 当A不发生 再看一个具体的例子．
[例 1-1] 投掷一枚硬币 3 次，观察出现正面的情况． H 表示 正面， T 表示反面，则样本空间为 S {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT } ，
中南大学概率论课件简tl第2章随机变量及其分布
不发生; (3) 在每次试验中, A发生的概率均一样, 即
P(A)=p; (4) 各次试验是相互独立的.
在n重贝努里试验中, 人们感兴趣的是 事件A发生的次数.
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以随机变量X表示n次试验中A发生的次 数, X可能取值为0, 1, 2, 3, …, n. 设每次试验 中A发生的概率为p, A 发生的概率为1-p=q.
数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
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1、有些试验结果本身与数值有关(本身就 是一个数). 例如，掷一颗骰子面上出现的点数; 每天从长沙下火车的人数; 昆虫的产卵数;
七月长沙的最高温度；
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2、在有些试验中, 试验结果看来与数值无 关, 但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果. 也就是说, 把试验结果数值化.
X10 P p 1-p
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若某个随机试验的结果只有两个, 如产 品是否合格, 试验是否成功, 掷硬币是否出现 正面等等, 它们的样本空间为S={e1, e2}, 我们 总能定义一个服从0-1分布的随机变量
1 X 0
当e1发 生 时 当e2发 生 时
即它们都可用0-1分布来描述, 只不过对 不同的问题参数p的值不同而已.
事件{收到不少于1次呼叫} {X 1}
{没有收到呼叫} {X 0}
机动 目录 上页 下页 返回 结束
可见, 随机事件这个概念实际上是包容 在随机变量这个更广的概念内. 也可以说, 随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是一种动态的观点, 就象数学 分析中常量与变量的区别那样.
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其中 在x和x0之间
1 0 1 1 1 2 e x x x 0! 1! 2!
e k! k 0 k e 1 k ! k 0
k
Hale Waihona Puke 17几何分布设某随机变量X 的可能取值是1，3， ，且 2， P( X k ) (1- p)k -1 p , k 1,2,3, 则称随机变量X服从参数为 p 的几何分布。 记为： X ~ G( p) 其中 p 为一次独立试验中事件A发生的概率， 是分布的一个参数。 几何分布反映了直到事件A发生为止，所做的试验 次数恰为 k 次的概率问题，也即反映了直到第 k 次才 发生事件A的概率问题。
Y ~ b(3, p)
3k
1
P(Y k ) C p (1 p)
k 3 k
, k 0,1, 2,3
2
P(Y 2) C p (1 p)
2 3 2
10
例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0<p<1，设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。
例：设某汽车停靠站候车人数 X ~ ( )， 4.5 (1)求至少有两人候车的概率； (2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。 解： e 4.5 4.5k P( X k ) ， 0,1, 2, k k! 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1) 1 e 4.5 (1 4.5) 0.9389
由全概率公式： P(Y k ) P( X n) P(Y k X n)
其中：P( X n)
e
k n
n
nk
n!
k
, n 0,1, 2,
n k k n
Y X n ~ B(n, p)
k n k
P(Y k X n) C p (1 p)
而X B 20,0.01 , 故有：
1 k 0 k P X 2 1 P X k 1 C20
0.01 0.99
k
20 k
0.0169
即有：P A1 A2 A3 A4 1 (1 0.0169)4 0.0659
(1)设A=“任投一次得6点”，X表示4次投掷中得“6点”的次数
则 P( A) 1/ 6
P( X 1) 1 P( X 0)
X～B(4,1/ 6) 0 4 0 1 C4 1/ 6 1 1/ 6 0.5177
(2)设A事件同上，Y表示24次投掷中得双“6点”的次数
n
C p q
, k 0,1,2,n
e P(Y k ) Cnk p k q nk n! nk
n e n! k nk pq n! k !(n k )! nk
e
q
p
k
e
k!
(n k )!
nk
q
nk
样本空间中只 有两个样本点 1 p
0－1分布
p
(p+q=1)
分布记为： X ~ B(1，p)
例： 已知 P( X 0) 9c2 c, P( X 1) 3 8c , c ?
解：由概率的性质： （ c 9
2
c 3 8c =1 ）（ ）
1/ 3 c 2 / 3 c 2 / 3不合要求， c 1/ 3
8
解：按第一种方法： 以X记“第一个人所维护的20台机器中同时发生故障的台数” 以Ai记“第i个人所维护的20台中发生了故障，不能及时维修”
则80台机器中发生故障不能及时维修的概率为：
P A1 P X 2
1 k 0
P A1 A2 A3 A4 1 P( A1 A2 A3 A4 ) 1 [ P A1 ]4 , ?
*
*
定义：随试验结果而变的量X为随机变量
常见的两类随机变量
离散型的 连续型的
2
§2
离散型随机变量及其分布
定义：随机变量的取值是有限个或可列无限个，称为离散型 随机变量或称为离散量。 离散量的概率分布(分布律)形如:
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
pi 0, pi 1
i 1
则 P( A) 1/ 36
Y～B(24,1/ 36)
0 24 0 24
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C 1/ 36 35 / 36 0.4991
因此应选（1）
12
例：一口袋中有10个球，其中4红6白，若从中任取三 只，问恰有一只红球的概率 P ( B )多少？
按第二种方法。以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数， 此时, Y B 80, 0.01 , 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
k P Y 4 1 C80 0.01 0.99 3 k k 0 80 k
0.0087
9
例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。 解：这是三重贝努利试验
则 X ~ B(3,0.4)
1 P( B) P( X 1) C3 0.4 0.62 0.432
13
例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验，从中任 取10件，经检验无次品接受这批产品，次品大于2拒收；否 则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品时才接受 这批产品，设产品的次品率为p． 求这批产品能被接受的概率． 解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；
解：不放回取球时，各次取球不独立 4 6 5 6 4 5 6 5 4 1 用分步法：P( B) 10 9 8 10 9 8 10 9 8 2 红白 白 白 红白 白 白红 1 2 C4C6 1 用超几何分布概率公式：P( B) 3 C10 2
放回取球时，各次取球独立，可用二项分布 设A=“任取一球为红球”，P(A)=0.4 X表示所取三只球中红球的只数
18
例：某人进行独立射击，每次命中率为0.25，射击 直到命中目标为止。求直到命中恰好进行了3次的概率; 直到命中所射次数不多于3次的概率。
k 0
n
f
(k )
( x0 )
k!
( x x0 )
k
f
(n)
( )
(n 1)!
( x x0 ) n 1
1 1 1 2 x 3x 2 2 (1 x) 1 x
x
1 1 x x 2 x3 x 4 1 x
推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
P( X 0) P( A1 A 2 A3 ) (1 p)3
1 P( X 1) P( A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 ) C3 p1 (1 p)31
2 P( X 2) P( A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 A1 A 2 A3 ) C3 p 2 (1 p)32
上式的意义为：若p较小但p≠0,只要n充分大，至 少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在 大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。 11
例：某娱乐场提供玩客一项活动，玩客可以任选一种以 下的玩法，如果要你选，你选哪种? (1). 投1只骰子 4次，若能得“6”点就算赢 (2). 投2只骰子24次，若能得双“6”点就算赢
1 2 (1 p)10 1 [C10 p(1 p)9 C10 p2 (1 p)8 ] (1 p)5 0
14
P( A |1 X 2) P(Y 0 |1 X 2) P(Y 0)
泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 e k P( X k ) ， 0,1, 2, , 0 k k! X ~ ( ) 称X服从参数为λ 的泊松分布，记
第二章 随机变量及其分布
关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数
1
§1
*
随机变量
常见的两类试验结果：
示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数… 示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…
*
中心问题：将试验结果数量化
s e x
X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数
P( X 3) P( A1 A 2 A3 ) p3
k 一般 P( X k ) Cn pk (1 p)nk , k 0,1, 2,, n
k 注： ( p q) Cn p k q nk 其中q 1 p 1 n k 0
7
n
例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独 立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备 的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。
2
P( X 2) P( X 2 | X 2) 0.1198 P( X 2)
15
例：某商店每天的顾客数是随机变量 X ~ ( ) ，设每个进店购物 的概率为p，顾客之间是否购物相互独立，求该店每天购物的 顾客数（Y）的概率分布律。 解：引起A=“Y=k”发生的前导事件组是X=0，X=1，X=2等
解：这是n重贝努利试验