函数解题思想教案

交集思想在"恒成立或任意"考题中的运用：例题：12+<k t 任意}6,2,1{∈k 使得不等式成立，求t 的取值范围？（如果是大于呢？）（总结画图得出下界、上界说）5那么12+<k t 任意]4,1[-∈k 使得不等式成立，求t 的取值 范围？ （改成开区间呢？圈点落的范围限制。

） 这题呢？1122-≤≤+m m k m m 对于]3,2[∈∀m 都成立， 求k 的取值范围？（改成开区间呢？）并集思想在"存在"考题中的运用：代表有成立的，分化到具体的话，就有可能性，反正总有个成立，即：（转换成“或”） 上面的题如果改成“存在。

成立”，重做一遍当然任意和存在都存在时要学会分化，在讲函数综合题时再细讲：.11D x ∈∀，，使得，等价于什么呢？类似上面，我们分化成各具体例子（依据独立条件点性具体化来分成数状图，分分合合即能体会到思想的妙处），归纳总结：)()(:,,212211x g a f ST D x a x =∈∃=，这个还是有点抽象,直接总结出等价语句：即)(1a f 在g 函数值域之内。

每个f 函数的可取值都在g 函数值域之内，即：f 的值域⊆g 的值域 同样分析下面：，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.（其实就是上面分列句的“或”关系）题：1）设，.①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿（关键点都是求值域）2） 已知函数x x f ln )(=和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .(理解：值域交集非空，g 的值域随着a 变动，怎么把变动中恒定不变的运算关系表达出来，据此转化为a 的不等式。

后步也可采用全集下的补集思想巧解题。

) 看个模拟考试题：A) 已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.上面是函数点点之间的可能等关系，如果是不等关系呢？已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于.（学生自己动手构建出等价的树状概图）如果是：)()(:,,212211x g x f st D x D x ≤∈∃∈∀呢？两个都是存在呢？如果上面是非闭区间呢？或者有个是开、有个是闭呢？我们就要考虑极限点的关系了。

比如：)()(:,,212211x g x f st D x D x ≤∈∃∈∀，中D 2 是开区间，那么每个x1点值不能g 开值域的的右边，所以是小于（这种情况要对开边界点个别考虑）。

题：1）已知，其中.(1)若是函数的极值点，求实数的值;(2)若对任意的都有成立，求实数的取值范围.（第一问简单，但老师要提问极值点的充要条件。

第二问：注意f 的最大值随a 的变化具体运算关系是可变的，即需要分段性考虑，那么这里还考到了怎么找出每种运算关系的分界点？）已知函数.(1)当时，讨论的单调性;(2)设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.（树状图第一步反合的逻辑关系得：即g 的最小指小于等于f 的一点值，再“且”合得：g的最小值在f 开值域左边，不能越过开边界点。

）全集下的补集思想解题：（即正难则反）全集：思考、推理运行的大前提、背景，就好比电影的时代背景。

有时题目并没有说一定有这个背景，而我们自己主动框定了。

比如初中常忘了韦达定理是在有根的前提下。

不考虑差异性就容易出错。

看下题：如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x a x x aM M M a --<∈∉50352 的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa （上面的逻辑都是建立在可运算的前提下。

一个不等式的解是：代进去可运算且不等关系成立，那么非解呢？====不可运算或可运算不等关系但不成立。

） 练习题：1）已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围.2）若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围.3）已知函数()12)2(2422+----=p p x p x x f ,在区间]1,1[-上至少存在一个实数c 使()0>c f ,求实数p 的取值范围.（在考虑对象为自然度量下，逻辑中的“至少存在一个”等价“存在”，但是“至少存在两个”就不一样可）4）m 为什么数时，方程0sin sin 2=+-m x x 无实根.（想转换此题，必须依据其一般解题思想来“反”它。

即：2=+-m t t 在[]1,1-无解。

反：本身无解或有解可不在此区间内。

）充要思想在求解题目步骤中非常重要，它保证不漏解、不多解！（这在我们高中数学思想中有详解）解析式的定义及求解中的运用：解析式：就是法则的形式表示。

（求解析式就是叫你把怎么对它原像作用的可直接读性描述出来。

即原像本身不是复杂变换而来的多种作用复合效果，因为写在右边的不是把对我作用对象怎么，而是综合表示对你的怎么样。

右边也要还原成没有变换的形式。

这就是为什么用换元法。

） 题：已知：函数3)2(2+=x xf ，求函数f(x)解析式。

练习：3)(lg 22+=x x f 呢？已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f ,(这类题型 并列型复合函数，可以观察最终结果和那个作用对象相关性，变量之间会有恒定性（之极为1），位置变换关系依然成立。

即互换能满足严格规定性) 这个就不能如此求了：2)2()(+=--x x f x f ，求f(x) 例题：已知函数)(x f 满足2)2()(+=--x x f x f ，求)(x f ,函数图象定义：即表达某种函数运算关系的图像。

定义在函数变换的理解： y=f(x) y=f(x+2) f(x-2)）呢？y=f(x)+2呢？直线部分复制对称：（即分段函数思想） )(x f y =，)(x f y =呢？练习：x e y =，23)(2+-=x x x f ，)(x f y =图像？ 直线整体翻转：1）)(x f y =与)(x f y -=关系？1）)(x f y =与)2(x f y -=关系？xe xf =)(时，画两者图？ 2）)(x f y =与)(2x f y =-关系？xe xf =)(时，画两者图？3） )(x f y =与)2(x f y --=关系？x x f ln )(=时，画两者图？ （也可以把它分解成两次关于直线翻转作用！）4))(x f y =与)2(2x f y --=关系？x x f ln )(=时，画两者图？ 关于收缩：这在三角函数中运用的多些~~~~~5))(x f y =与)2(x f y =关系？xe xf =)(时，画两者图？ 6))(x f y =与)2(x f y =关系？xe xf =)(时，画两者图？函数定义域：即对解析式作用对象规定，包括本身的规定和额外添加的规定。

本身规定有：()()例：函数的定义域是y x x x =--432l g10. 如何求复合函数的定义域？(A)层次形复式 g(f(x))：保证：x 在f 的作用对象范围之内，且得到的f(x)在g 法则的可作用范围之内。

例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

(B)并列形复式 ：比如：已知：f(x),g(x)定义域分别为：【1，3】，【-1，6】，g(2)=0,求函数)()(x g x f y =，)()(x g x f y +=的定义域 （总结：x 不同的形式要在对应的法则作用下有意义） )()2(x g x f y +-=呢？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F (x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。

判断函数奇偶性的方法（即函数图像自对偶性）一、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)==- 二、复合函数奇偶性三、定义域法（因为这是必要性，所以建议学生首选。

）一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.观看选择合适的判断方法： 题：一般函数：f(x)=12+x x含参数函数 ：f(x)=R a a x a x ∈--+,（如果奇偶性是随着a 变换的，就会出现何值时，函数是偶或奇的。

）分段函数：⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0,320,00,32)(22x x x x x x x x f3.抽象函数：f(a)+f(b)=f(a+b)（很多抽象函数都能在我们初等函数中找到模型，不一定就是，但可助于我们树立目标去判断其奇偶性。

） 比如f(a)f(b)=f(a+b)，（定义域为实数）说明非奇非偶性注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。

2f (x )f (0)0= （3）重要题目类型：A)利用奇偶性，构建图，求值：例题： 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 取值范围是________________.训练： 定义在[]1.1-上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)为增函数，若)2()1(m f m f <+成立，求m 的取值范围。

B)利用奇偶性求参数值问题。

x x eaa e x f +=)(是定义在R 上的偶函数，求a 值。

转换成： x x x x ae aee a a e +=+10)1(1)1(=-+-a a e e a a x x 恒成立。

那么关于变量项的系数为0.（这种思想在解析几何上也会有。

你知道为什么恒等于0嘛？把函数划分成类初等函数的合并后，反证性思维即知系数必为0）题：f(x)=)0,(212≠∈--x R x a x是奇函数，求实数a 的值 （012)12(2=----a a xx 恒成立） 利用奇偶性求解析式问题：（和作业的那个不同）.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，求f(x),g(x)18. 你熟悉周期函数的定义吗？()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()() 函数，T 是一个周期。