第1章(1.1)通信信号和系统的特性与分析方法

第1章 通信信号和系统的特性与分析方法1.1 信号的正交表示引言：1. 研究噪声中数字信号的最佳接收——利用信号正交性分析{(i x t()y t M 元 y 或 y （书写形式），联合PDF ()i p x y根据最佳接收准则，导出最佳接收机结构的数学处理中，须将()i p x y 分解为N 个独立的一维概率密度函数（PDF ，Probability Density Function ）的乘积，即1()()Ni k i k p x p y x ==∏y亦即，须将()y t →N 个独立的随机变量. 方法：用适当的正交函数集表示接收信号，从而将接收信号分解成相互正交又相互独立的N 个分量。

2． 正交调制、多址技术和信道复用也是建立在信号正交性基础上。

如：QAM ，QPSK —— 正交调制OFDM ，TDMA ，CDMA —— 利用正交性实现信道的复用和多址。

Quadrature 正交（主要指相位正交） Orthogonal 正交（广义） 数学基础：N 维信号向量空间下面，分三小节进行讨论信号的正交表示： 1.1.1 N 维空间（数学基础） 1.1.2 白噪声中信号正交表示 1.1.3 非白噪声中信号正交表示1.1.1 N 维空间一、 N 维向量空间1、实数域N 维向量空间n R−−−−→定义内积欧氏空间 内积定义：x,y 为实向量 1,)N k k k x y x y ==∑x y (,)=(,k k x y 为基底上的投影分量以内积可以表示三个向量性质： ● 正交性：x y (,)=0● 向量长度x （范数）：221,Nk k x x x x ==∑()= （表示信号的能量）● 两向量的距离：(,)d x y x y =-==（两向量差的长度），欧氏距离（Euclidean distance ） 若在n R 中，以标准正交基{}k φ(1,2,,)k N = 0,(,)1,j k j kj kφφ≠⎧=⎨=⎩ 为基底向量则，该空间的任一实向量可以表示为正交形式 1Nk k k x x φ==∑式中，(,)k k x x φ=,(1,2,,)k N =2、复数域N 维向量空间n C−−−−→定义内积酉空间 内积定义：x,y 为复向量 1,)N k k k x y x y *==∑x y (,)=(,k k x y （复数）为基底上的投影分量 以内积可以表示三个向量性质： ● 正交性：0=x y (,)● 向量长度（范数）：221(,)Nk k x x x x ===∑ （表示信号的能量）● 两向量的距离：(,)d x y x y =-==酉空间也可用标准正交基{}k φ作为为基底向量则酉空间的任一复向量也可以表示为正交形式，其形式同实数域。

二、 N 维信号空间设：复信号(),()x t y t ←−−→类比 复向量 x,y 信号空间 ←−−→类比 酉空间 定义内积： 21((),())()()t t x t y t x t y t d t*=⎰ 若以标准正交基{()}i t ϕ，1,2,,i N = 为信号空间基底， 则 211()(), ()()Nt i i i i t i x t x t x x t t d t ϕϕ*===∑⎰ 211()(), y ()()Nt i i i i t i y t y t y t t dt ϕϕ*===∑⎰式中，211,((),())()()0,t i j i jij t i j t t t t dt i j ϕϕϕϕδ*=⎧⎫===⎨⎬≠⎩⎭⎰ Kronecker delta 函数则，内积可以表示为211((),())()()Nt k k t k x t y t x t y t dt x y **===∑⎰其中，k x ,k y 为(),()x t y t 在标准正交基上的投影分量。

以内积可以表示信号的如下性质： ● 信号的正交性： 21((),())()()0t t x t y t x t y t d t*==⎰ ● 信号向量的长度：212221()((),())()Nt k x t k x t x t x t x t dt x E =====∑⎰ （能量）● 两信号向量的距离（误差向量）：212222221ˆˆ((),())(,)ˆ ()()()ˆ =()() ˆ t t Nk k k d x t xt d x x x t xt e t x t x t dt x x===-=-=-⎰∑ 均方误差1.1.2 白噪声中的信号正交表示 引言：1、分析方法：先分解信号，再分解噪声2、信号正交表示方法：○1波形抽样正交法○2施密特正交法 一、波形抽样正交法1、对信号波形抽样－根据抽样定理对频谱受限(0)B f ，的时间函数()x t ，在有限时间(0,)T 内，按抽样定理进行抽样时，()x t 可以用有限项正交函数和的近似式表示：1()()Nk k k x t x t ψ==∑式中，()Sa[2()]k B t f t k t ψπ=-∆ 为正交基，s i n S a ()xxx= 满足正交条件：01,2()()0TB k l k l f t t dt k l ψψ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎰ 12 =2BB t t f TN N Tf t∆∆=∆为抽样间隔，＝为样点数，信号能量（向量长度）：22011()2NTk k Bx t dt x f ==∑⎰式中，{}k x 为正交基{()}k t ψ上投影分量。

2、对白噪声波形抽样()x t {}k r()Wn t （白噪声）白噪声波形()W n t －时间、频率无限的平稳高斯过程，2(0,)σ()W n t 抽样－在任意两个不同时刻的样值都是不相关的，同时也是独立的高斯随机变量，其均值为0，方差为2σ，即 R n (τ)= δ(τ)2(0,) k n N σ 且独立0 τ在（0，T ）内抽样N 次，得到一组相互独立的高斯变量12,,,)N n n n （则，接收信号()()()W r t x t n t =+的抽样值：k k k r x n =+是相互统计独立的高斯变量，即2(,) k k r N x σ 且独立二、 施密特正交法（Gram-Schmidt ）引言()s t()()()W r t x t n t =+1、 信号波形正交化发送信号()s t 为M 元：{()}, 1,2,,k s t k M =设其中N 个波形（N M ≤）是线性无关的，作为信号空间基底向量（注：非正交基向量）。

Schmidt 正交化法：在一个N 维欧氏空间中，从一个给定的基底出发，求出标准正交函数集的过程。

具体包括两个过程：{()}{()}{()}k kk s t t t ψϕ−−−−→−−−−→正交化过程单位化非标准正交基标准正交基过程（归一化），其中()()()k k k t t t ψϕψ＝ 由{()}k t ϕ可将{()}k s t 正交化：第k 个信号：11()()()kkk kj j j j j s t s t t ϕψ====∑∑()(), 1,2,...., 1,2,....,Tkj k j s s t t dt k Mj kϕ===⎰M 元信号{()}k s t 施密特正交化过程： ○1求1()t ϕ及1()s t 正交展开11111()()()s t s t t ϕψ==111111()()()()s t t t s t ψϕψ←=←＝11s ===111(,0,,0)s =s○2求2()t ϕ及2()s t 正交展开 22221122212112()()()()()()j j j s t s t s t s t s t t ϕϕϕϕψ===+=+∑22211()()()t s t s t ψϕ=-2121210((),())()()Ts s t t s t t dt ϕϕ==⎰22222()()()t t s t ψϕψ=＝22s ==22122(,,0,,0)s s =s若2()0t ψ=，则221(,0,,0)s =s○3求3()t ϕ及3()s t 正交展开 33331132233313113223()()()()()()()()j j j s t s t s t s t s t s t s t t ϕϕϕϕϕϕψ===++=++∑33311322()()()()t s t s t s t ψϕϕ=--3131310((),())()()Ts s t t s t t dt ϕϕ==⎰3232320((),())()()Ts s t t s t t dt ϕϕ==⎰33333()()()t t s t ψϕψ=＝33s ==3313233(,,,0,,0)s s s =s○4上述过程一直进行到第M 个波形()Ms t 。

在求正交基过程中，有的正交基向量可能为零。

因此，N M ≤。

即 {()}, 1,2,....,j t j N ϕ=1()(), NM Mj j j s t s t N M ϕ==≤∑2、 白噪声的正交化过程－以信号波形正交化为基础0N ()(,)001()()()()()()=()() =()()k W k q t t f Nj j j r t s t n t s t n t n t q t n t q t n t ϕ∞→∞==+=++++∑维空间维空间其中，0()()Tj kj j j q s n r t t dt ϕ=+=⎰1()(), ((),())Nk kj j kj k j j s t s t s s t t ϕϕ===∑1()(), ((),())Nj j j W j j j n t n t n n t t ϕϕ===∑可以通过相关的方法消除正交于N 维空间的0()n t 分量。

（插图）在N 维空间中，()n t 的N 个分量{()}j n t 相互正交，即((),())0i j n t n t =， 且均值()0j E n =，方差为2σ（见*证明）；又{}j n 为高斯变量，所以{}j n 相互统计独立。

即，2~(0,)j n N σ 且独立所以， 2~(,)j k q N s σ 统计独立高斯变量由下一节分析可知，白噪声以任意正交基展开，它们的分量{}j n 都是相互独立的高斯变量，即，2~(0,)j n N σ。

*证明：{}j n 方差为2σ，即证明：2,[]0,i j i jE n n i jσ⎧==⎨≠⎩因为，0((),())()()Ti W i W i n n t t n t t dt ϕϕ==⎰((),())()()Tj W jW jn n t t n t t d t ϕϕ==⎰ 所以，20222()[][()()]()() =()()() =, =0,TTi j W W i j TTi j ijt E n n E n t n t dtd t t dtd i ji jσδττϕϕττσδτϕϕττσδσ-=-⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰1.1.3 非白噪声中的信号正交表示引言：1、 上面，白噪声中信号正交表示（抽样法，施密特正交法）： 白噪声－N 个样值（或分量）相互统计独立～2(0,)N σ接收信号－N 个样值（或分量）相互统计独立～2(,), 0N m m σ≠ 2、 非白噪声中的信号正交表示（低通型）●零交点：1()2Bf ±● 用施密特正交法，一般也不能得到相互统计独立随机变量。