平面镶嵌
理解平面镶嵌学习平面镶嵌的基本原理
理解平面镶嵌学习平面镶嵌的基本原理平面镶嵌是一种数学领域的研究对象，其基本原理是对平面进行分割，然后将各个分割后的部分重新组合，形成具有特定规律的图案。
这一概念有着广泛的应用，可以用于解决许多实际问题，例如地图制作、拼贴艺术、纺织品设计等。
平面镶嵌的基本原理可以通过以下步骤进行解释。
一、选择合适的基本元素在进行平面镶嵌之前，首先需要选择合适的基本元素。
常见的基本元素包括正方形、三角形、六边形等，根据具体情况选择合适的形状。
这些基本元素将作为平面分割的基础。
二、进行分割操作将选定的基本元素按照特定的方式进行分割，可以是将正方形对角线切割成两个三角形，或者将六边形边界划分成三个相等的小三角形等。
分割的目的是为了后续的组合操作做准备。
三、组合分割后的部分根据分割操作得到的图形部分，按照一定的规则进行组合。
这里的规则可以是将相同形状的图形连接在一起，或者将不同形状的图形拼接成一个整体。
通过组合，可以形成各种复杂的图案。
四、填充颜色或模式在完成组合后，可以对各个分割出的部分进行填充颜色或模式。
这样可以为整个平面镶嵌图案增添视觉效果，使其更加丰富多彩。
五、重复操作可以通过重复以上步骤，将已经组合好的图形再次进行分割和组合，形成更加复杂的图案。
通过不断的重复，平面镶嵌的图案可以越来越丰富多样。
通过理解平面镶嵌的基本原理，我们可以更好地掌握这一概念，并在实际应用中灵活运用。
平面镶嵌不仅仅是一种艺术形式，更是一种思维方式。
在解决实际问题时，我们可以借鉴平面镶嵌的原理，进行创造性的思考和设计，从而得到更好的解决方案。
总而言之，平面镶嵌是对平面进行分割和组合的过程，通过选择基本元素、分割操作、组合部分、填充颜色或模式等步骤，可以形成各种复杂的图案。
理解平面镶嵌的基本原理对于我们掌握这一概念，并在实际应用中灵活运用具有重要意义。
《平面图形的镶嵌》教学课件
镶嵌的条件
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
学生心得体会分享
学生A
通过学习，我深刻理解了 平面图形镶嵌的原理和方 法，感受到了数学的美妙 和实用性。
学生B
在动手实践中，我发现了 很多有趣的镶嵌组合，对 平面图形的认识也更加深 入了。
学生C
节奏与韵律感营造方法
通过调整图形元素的间距、大小、形态和色彩等视觉属性，形成有规律 的排列组合和变化，营造出富有节奏感和韵律感的视觉效果。
03
节奏与韵律感在设计中的应用
如网页设计、UI设计、插画设计等，利用节奏和韵律感来增强视觉吸引
力和提升用户体验。
色彩搭配和视觉效果优化
色彩搭配原则
在平面图形镶嵌中，色彩搭配应遵循色彩的和谐与对比原则，通过合理的色彩组合来营造 出符合主题和氛围的视觉效果。
引导学生对自己的作品进行客观 评价，发现自己的优点和不足，
为今后的创作提供改进方向。
展示与交流
鼓励学生之间相互评价作品，发现 他人的优点并学习借鉴，同时提出 建设性的意见和建议，促进共同进
步。
互相评价
教师对学生的作品进行点评，肯定 学生的成绩和进步，指出存在的问 题并提出改进意见，引导学生不断 提高创作水平。
《平面图形的镶嵌》教学课件
contents
目录
• 平面图形镶嵌基本概念 • 常见平面图形镶嵌方法 • 美学原理在平面图形镶嵌中应用 • 创意设计实践：个性化平面图形镶嵌 • 评价标准及欣赏能力提升途径 • 课堂总结与拓展延伸
01 平面图形镶嵌基本概念
镶嵌定义及性质
镶嵌定义
用形状、大小完全相同的一种或 几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片 ，这就是平面图形的镶嵌。
平面镶嵌数学活动课
四边形
包括正方形、长方形、平 行四边形等，易于密铺， 常用于地板、墙面等装饰 。
五边形及以上
随着边数的增加，形状更 加多样化，但密铺难度增 加。
多边形在平面镶嵌中排列组合规律
单一多边形镶嵌
使用同一种多边形进行镶嵌，要求多 边形内角能被360°整除。
多种多边形组合镶嵌
不同种类的多边形通过共享顶点或边 进行组合，形成复杂的镶嵌图案。
平面镶嵌性质与定理
性质
在每个公共顶点处，各角的和是360°。
定理
只有正三角形、正方形和正六边形能够单一地进行平面镶嵌，其他多边形需要 与其他多边形组合才能进行平面镶嵌。
常见误区及易错点解析
误区一
认为所有多边形都可以单一地进 行平面镶嵌。实际上，只有正三 角形、正方形和正六边形能够单
一地进行平面镶嵌。
美观。
选择合适的变换方式
02
根据图案的特点，选择合适的变换方式（如平移、旋转等），
可以更快地实现图案的镶嵌。
分解复杂图案
03
将复杂的图案分解成若干个简单的部分，分别进行设计，然后
再组合在一起，可以降低设计难度。
案例分析：经典图案变换实现方法
案例分析一
正方形镶嵌。通过平移正方形，可以形成简单的正方形镶嵌图案。进一步地，可以通过旋 转正方形，形成更复杂的镶嵌图案。
品的层次感和立体感。
优秀作品欣赏与评价标准
优秀作品欣赏
欣赏国内外优秀的平面镶嵌作品，分 析其美学元素和创作技巧，提高审美 水平和创作能力。
评价标准
从构图、色彩、材质、空间感等方面 对平面镶嵌作品进行评价，注重作品 的创意性、美观性和实用性。
动手实践：创作符合美学原则镶嵌作品
人教版八年级数学上册数学活动——平面镶嵌(用多边形覆盖平面)课件
能镶嵌.
在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边 形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以进行平面 镶嵌？
用 n 表示正多边形的边数.
（2）用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
任意用一些形状、大小相同的三角形能否进行
平面镶嵌？四边形呢？
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时通过探索平面图形的镶嵌，让学生 知道任意形状的三角形、四边形或正六边形可 以镶嵌设计，提高了学生对三角形以及多边形 内角和与外角和等知识的综合运用能力与实际 操作中的动手能力.
镶（嵌2）.用两种正多边形进行镶嵌的条件是：
ax _+__b_y__=_3_6_0_，__其__中__a，__b_表__示__正__多__边__形__的__个__数__，___ x°__，__y_°__表__示__正__多__边__形__每__个__内__角__的__度__数________．
课后作业
角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则 n 的值是（
）
A.3A
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6 个正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
解：如图所示：
综合应用 5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，
数学：平面镶嵌知识简介
数学：平面镶嵌知识简介各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢用若干类全等形无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．以下对平面镶嵌问题从三个方面略作介绍．一、用一种任意多边形镶嵌1．全等的任意三角形能镶嵌平面把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图1．用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2．2．全等的任意四边形能镶嵌平面仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4．3．全等的特殊五边形可镶嵌平面圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABcDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠c＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究．4．全等的特殊六边形可镶嵌平面1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABcDEF中，∠A＋∠B＋∠c=360°，a=d．5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面．二、用同一种正多边形镶嵌只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面．三、用多种正多边形镶嵌例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m 个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．这个方程的正整数解是或可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形．如图8、图9．读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题．各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
数学活动平面镶嵌-人教版八年级数学上册教案
数学活动：平面镶嵌教学目标1.掌握平面镶嵌的基本概念和相关术语。
2.理解平面镶嵌的性质和分类方法。
3.能够应用平面镶嵌的知识解决实际问题。
教学重点1.平面镶嵌的定义与性质。
2.如何分类平面镶嵌。
教学难点1.平面镶嵌的制作。
2.平面镶嵌的分类和判断方法。
教学过程导入通过展示一些具有美感的平面镶嵌图形，向学生介绍平面镶嵌的概念，并引导学生猜测平面镶嵌的分类方法和性质。
讲解平面镶嵌的定义与性质平面镶嵌是由若干个不重叠的正多边形组成的平面图形，其中任何一个正多边形的一个外接圆内部都不包含其他正多边形的内部。
平面镶嵌中，每个正多边形都称为一个“片”，而两个相邻的“片”之间则称为一条“边”。
平面镶嵌的性质如下：1.所有正多边形的个数相等。
2.每个交点周围的角的和等于360度。
3.只存在一种不重叠的平面镶嵌图形。
平面镶嵌的分类和判断方法平面镶嵌的分类方法有以下几种：1.简单多边形镶嵌：由一个简单多边形构成的平面镶嵌。
2.复杂多边形镶嵌：由两个或两个以上简单多边形构成的平面镶嵌。
3.单位镶嵌：由同种规则正多边形构成的平面镶嵌。
4.一般镶嵌：由种类不同或大小不同但敞口相等的正多边形构成的平面镶嵌。
平面镶嵌的判断方法如下：1.通过单个片的等边性和平行性判断。
2.通过交点周围的角的和等于360度判断。
3.判断是否存在拐角或凸角。
平面镶嵌的制作和应用让学生们通过量角器、直尺等平面几何工具来自行制作平面镶嵌图形，并让他们在制作的过程中掌握平面镶嵌的基本规律和制作方法。
制作完后，让学生们分别进行鉴定和分类，并让他们了解平面镶嵌的实际应用场景。
拓展练习在巩固和深化平面镶嵌知识的基础上，对学生进行实际应用的拓展练习，让学生尝试运用平面镶嵌的知识解决实际问题。
总结平面镶嵌是数学中非常重要的一部分，它不仅拥有美妙的图形，而且在很多实际应用中也能发挥巨大的价值。
要想掌握平面镶嵌的知识，需要对它的分类、制作、判断等方面有足够的了解和掌握。
平面镶嵌形认识平面镶嵌形的特点与构造方法
平面镶嵌形认识平面镶嵌形的特点与构造方法平面镶嵌形是一种常见的装饰和设计技术，在各个领域都有广泛的应用。
本文将就平面镶嵌形的特点和构造方法展开探讨。
一、平面镶嵌形的特点平面镶嵌形是一种通过将不同形状的图案拼接在一起，形成复杂而有序的整体的装饰方式。
它所具有的特点主要包括以下几个方面：1. 多样性：平面镶嵌形可以采用不同形状、大小、颜色的图案进行组合，创造出丰富多样的视觉效果。
这种多样性使得平面镶嵌形能够适应不同的设计需求，满足个性化的要求。
2. 组合性：平面镶嵌形是由多个小图案组合而成的，这些小图案可以根据需要进行各种组合，形成不同的整体形状。
这种组合性使得平面镶嵌形的设计具有无限的可能性，创造出独特的图案。
3. 对称性：平面镶嵌形的设计常常以对称的方式进行，通过对称的排列和重复，创造出整体的平衡和稳定感。
这种对称性使得平面镶嵌形在视觉上更为和谐，给人以美感和安定感。
二、平面镶嵌形的构造方法平面镶嵌形的构造方法主要包括以下几种：1. 浮雕法：这是一种常见的平面镶嵌形构造方法。
它通过在平面上绘制出不同形状的图案，然后使用切割等手法将它们分割开来。
最后，将分割好的图案组合在一起，形成平面镶嵌形的效果。
2. 铺砖法：这是一种以砖块为基本单元来构造平面镶嵌形的方法。
它通常将砖块按照特定的规律进行铺设，形成不同的图案和纹理。
这种方法适用于一些具有规则几何形状的图案设计，如方形、六边形等。
3. 拼贴法：这是一种将不同形状的材料进行拼接构成平面镶嵌形的方法。
拼贴法可以使用各种材料，如木块、纸片、织物等，通过剪裁、粘贴等手法将它们拼接在一起。
这种方法非常灵活，可以创造出丰富多样的平面镶嵌形。
4. 编织法：这是一种利用编织的方式构造平面镶嵌形的方法。
它可以使用绳子、线等材料进行编织，形成复杂且有趣的图案。
这种方法常用于一些需要柔软和变化的平面镶嵌形设计，如织物、毛线等。
三、结语平面镶嵌形作为一种独特的装饰和设计技术，具有多样性、组合性和对称性的特点。
《平面图形的镶嵌》)
曲线形镶嵌
使用曲线形状进行镶嵌，如波浪线、 弧线等，可以营造出柔和、流动的视 觉效果。
组合图形镶嵌
1 2
几何图形组合镶嵌
将不同种类的几何图形（如三角形、正方形、圆 形等）组合在一起进行镶嵌，可以形成富有创意 的视觉效果。
图案与几何图形组合镶嵌
在几何图形的基础上，加入特定的图案或纹理进 行镶嵌，可以丰富视觉效果，增加层次感。
提升自身技能，拓展应用领域
学习掌握新技术
设计师需要不断学习和掌握新技术，如参数化设计、3D打印等，以提升平面图形镶嵌的 设计水平和制造能力。
拓展应用领域
平面图形镶嵌具有广泛的应用前景，设计师可以积极拓展应用领域，如建筑、艺术、工业 设计等，为不同领域提供更多的创新解决方案。
加强实践与交流
通过参与实际项目、参加专业研讨会等方式，加强实践与交流，不断提升自身的专业素养 和实践能力。
检查镶嵌作品是否完整， 对不满意的地方进行修
饰和完善。
注意事项及常见问题解答
注意事项
使用剪刀和刻刀时要注意安全，避免 划伤；粘贴时要确保图形平整，避免 起皱或翘起。
常见问题解答
如遇到图形大小不合适、颜色搭配不 协调等问题，可重新设计图案或调整 裁剪方式；如粘贴不牢固，可更换胶 水或增加粘贴面积。
06 总结与展望
平面图形镶嵌广泛应用于建筑、装饰、纺织、计算机图形学等领域。
意义
镶嵌不仅是一种美学上的表现形式，更是数学、物理学等学科研究的重要对象， 对于理解平面图形的性质、空间结构以及自然界中的晶体结构等具有重要意义。
02 常见平面图形镶嵌方法
规则图形镶嵌
三角形镶嵌
使用等边三角形或等腰三 角形进行镶嵌，可以形成 美观且稳定的图案。
八年级上册数学-平面镶嵌
平面镶嵌（密铺）
定义:从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖(不留空隙)；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌（又称就是平面图形的密铺）.
一、用一种正多边形镶嵌
（正三角形，3,3,3,3,3,3,）（正四边形或正方形，4,4,4,4）
（正六边形，6,6,6）
二、用两种正多边形镶嵌
（正六边形和正三角形,3,6,3,6）（正八边形和正方形，4,8,8）
（正方形和正三角形，3,3, 4, 3,4）（正方形和正三角形，3,3,3, 4,4）
（正十二边形和正三角形，3,12,12）
三、用三种正多边形镶嵌
（正十二边形、正方形和正六边形，4,6,12）（正三角形、正方形和正六边形，3,4,6,4）
四、用一般几何图形和不规则图形镶嵌。
人教版八年级数学上册--平面镶嵌
∴无解 ∴不可以
探究新知
3)正五边形 4)正四边形 5)正三角形与 与正十边形 与正八边形 正十二边形
归纳整理
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律： 拼接在同一个点的各个角的 和恰好等于360°（周角）。
问题3:任意相同三角形或四边形的平 面镶嵌
从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形 把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫 做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题
探究新知
问题1: 一种正多边形平面镶嵌的条件
探究1：仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多 边形能单独镶嵌成一个平面图案？
探究新知
正方形
正三角形
探究新知
正六边形
正五边形
探究新知
（1）正三角形、正方形、正六边形为什么能镶嵌？
3
1
2
4
3
1
2
探究3:用几个形状、大小相同的任意三角形能 镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？
探究新知
2
13
3
1
2
3
11
1 23
23
1
3
1
2
3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360 °任意三角形能镶嵌成平 面图案。
探究新知
2 34
1 43
1
2
4
3
1
2
2 34 1
1 43 2
4
3
1
2
因为 ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌 成平面图案。
平面的镶嵌
m 4 m 2 或 n 1 n 2
即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两 个正三角形和两个正六边形.
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方
正十二边形与正三角形 的平面镶嵌
正十边形与正五边 形的平面镶嵌
两种正多边形拼接在同一点
的各个角的和恰好等于360°,这
n
所以,可得方程 K (n 2) 180 360 n 整理,得 K(n-2)=2n, 所以
4 K 2 n2
因为K,n为正整数,故n只能等于3、4、6.
这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只 有三种选择:正三角形,正方形和正六边形.
问题：小明的爸爸在装修过程 中用一些边角余料切割成一些形状、 大小完全相同的任意三角形，他用 这些三角形能进行地板镶嵌吗？那 么任意四边形能不能呢？
正三角形和正方形 的平面镶嵌
正多边形
拼
图
正三角形和 正六边形
2×60°+ ×120 °=360 ° 120 4× 60=360 °+ 1° ×120°=360° m2× 60° + n× °
解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形, 60 °m+120 °n=360
°, 即:m+2n=6，又m、n是正整数,解得:
任意三角形和任意四边形 可以进行平面镶嵌,但若想实现 连续铺设，还应将相等的边重 合在一起。
想一想
如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌, 你又会选择哪两种呢?
解：设每个顶点周围有x个正三角形 和y个正四边形, 则: 60 °x+90 °y=360 ° 即: 2x+3y=12 又x、y是正整数, 解得:x=3,y=2. 即每个顶点处用正三角形的三个 内角,正方形的两个内角进行拼接.
平面镶嵌与立体图形
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
常见的平面镶嵌图形
正三角形、正方形、正六边形等单一图形的镶嵌，以及多种 正多边形的组合镶嵌，如正三角形和正方形、正三角形和正 六边形等。
拓展延伸：从数学角度看待美学设计
01
数学与美学设计的联系
数学中的对称、比例、均衡等概念在美学设计中有着广泛 的应用。例如，平面镶嵌就是利用图形的对称性和周期性 来创造出具有美感的图案。
构造过程中注意事项和技巧分享
选择合适的基本图形
基本图形的选择对镶嵌效果至关重要。一般来说，简单、规则的基本图形更容易进行拼接 和变换，从而形成美观的镶嵌图案。
保持图形的连续性
在构造平面镶嵌时，要确保图形之间的连续性。即图形之间应该能够无缝拼接在一起，避 免出现断裂或重叠的情况。
利用对称性简化构造过程
02 03
美学设计在数学教育中的应用
通过将美学设计融入数学教育，可以激发学生的学习兴趣 ，培养学生的审美能力和创造力。例如，在平面镶嵌的教 学中，可以引导学生欣赏各种美丽的镶嵌图案，并鼓励学 生自己设计和创作镶嵌作品。
数学在美学设计中的局限性
虽然数学在美学设计中有着广泛的应用，但数学并不是美 学设计的全部。美学设计还需要考虑人的感知、情感和文 化背景等因素。因此，在将数学应用于美学设计时，需要 注意其局限性和适用范围。
旋转变换
立体图形绕某一点或某一轴线进行旋 转，其形状和大小不会发生改变，但 方向和位置会发生变化。
缩放变换
立体图形在三个方向上按一定的比例 进行缩放，其形状不会发生改变，但 大小会发生变化。
错切变换
立体图形在某一方向上产生倾斜，其 形状和大小都会发生变化。
识别不同类型立体图形方法
平面镶嵌的原理
平面镶嵌的原理
一、什么是平面镶嵌
平面镶嵌是指将小块图案和塑料或金属材料组合在一起，组成复杂的碎片图案，形成人眼无法细看而整体看上去美观的一面。
平面镶嵌历史悠久，是一种古老的装饰工艺，可以将木材、金属、玻璃、和砖石等材料组装在一起，把原材料中的功能用美学的手法达到一定的视觉效果，镶嵌的技艺具有卓越的应用价值。
二、平面镶嵌的原理
1.对角填充原理
按照平面镶嵌的原理，相对于每一个组成单元的中心点，可以得到另一个中心点，以此组成一个多边形，每一个多边形的内部，都可以放置一个图案，使得组装的图案不会出现空洞，不分行和列，也就是所谓的“对角填充”原理。
2.花砖原理
要实现这种技术，必须要使用到一种所谓的“花砖”原理，即在每一个碎片单元的最外侧，都要使用一个合适的尺寸，这样的尺寸可以使碎片合理的组装起来，置入花砖，把图案从外部组装起来，整体看上去，花砖就像拼图一样，只有所有的花砖才能够完整的形成整体图案。
三、平面镶嵌的应用
1.室内装饰
平面镶嵌广泛应用于室内装饰，比如墙面、地板、屋顶、柜台、
杂物架、墙纸等。
由于平面镶嵌可以组装出来的复杂精美的图案，所以可以给人以极大的视觉冲击，并且有利于环境的装饰。
2.服装
平面镶嵌也可以用于服装的制作。
比如服装的表面可以做成平面镶嵌的图案，色彩搭配十分精致，更能体现服装的尊贵气派。
第六章综合与实践平面图形的镶嵌课件
知2－练
2 阿男的父亲想购买同一种大小一样、形状相同
的地板砖铺设地面．阿男根据所学的知识告知
父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，
购买的地板砖形状不能是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
知2－练
3 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的 规律拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地砖________块； (2)第n个图案中有白色地砖________块．
知2－讲
导引：A、正三角形的一个内角度数为180°÷3＝60°， 是360°的约数，能进行平面镶嵌；B、正六边形 的一个内角度数为180°－360°÷6＝120°，是 360°的约数，能进行平面镶嵌；C、正方形的一 个内角度数为180°－360°÷4＝90°，是360°的 约数，能进行平面镶嵌；D、正五边形的一个内角 度数为180°－360°÷5＝108°，不是360°的约 数，不能进行平面镶嵌．
嵌而成，其中三个分别为正三角形、正方形、正
六边形，则另一个为( )
A．正六边形
B．正五边形
C．正方形
D．正三角形
知3－练
3 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围
有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的
关系式是( )
A．2m＋3n＝12
B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6
D．m＋2n＝6
1. 用相同的正多边形镶嵌的条件： (1)边长要相等； (2)有公共顶点； (3)在公共顶点处各内角的和为360°.
知2－讲
1. 平面镶嵌的原则：环绕一点拼在一起的多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角．
2. 平面镶嵌的常用方法： (1)只用一种正多边形； (2)同时用两种正多边形； (3)用非正多边形．
平面镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
正三角形
能 能 不能 能
6 4
正方形
正五边形 正六边形
3
结论1：可以用同一种正多边形密铺 的图形只有正三角形，正四边形， 正六边形. 结论2: 用一种形状、大小完全相同的任意三 角形，任意四边形也能进o 每个内角都能被360
整除。
结论
1
能密铺的图形在一个拼接 点处的特点：
1.各角之和等于360º , 2.相等的边互相重合。
探究活动（三）
1.正五边形能密铺吗？说说理由。 2.正六边形能密铺吗？说说理由。 3.还能找到能密铺的其他图形吗？
做一做
正五边形可以密铺吗？
1 3 2
正六边形可以密铺吗？
正六边形的平面镶嵌
能否 平面 镶嵌
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是 （ D） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形 2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在 它的一个顶点周围的正方形的个数是（ B ） A、 3 B 、4 C、 5 D 、6 3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而 且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有 6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6
如果你是设计师， 让你设计几种地板 图案，你如何设计 呢？
从数学的角度看，用不重叠摆 放的多边形把平面的一部分全 覆盖；通常把这类问题叫做用 多边形的平面镶嵌。
探究
哪些图形可以密铺， 哪些图形不可以密铺？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同的 三角形能否密铺？
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60° 60°
接点处的六个 角和为360°
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有什么特点?
如果你是设计师， 让你设计几种地板 图案，你如何设计 呢？
学一学
多边形覆盖平面（平面图形的镶嵌）:
用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形 进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成 一片，这就是多边形覆盖平面，又称平面镶嵌.
镶嵌的条件： 无空隙、不重叠铺成一片。
结论 1 能镶嵌的图形在一个拼接 点处的特点：
各角之和等于360º
探究活动（三）
1.正五边形能镶嵌吗？说说理由。
2.正六边形能镶嵌吗？说说理由。
Hale Waihona Puke 3.还能找到能镶嵌的其他图形吗？
做一做
正五边形可以镶嵌吗？
1 3 2
正六边形可以镶嵌吗？
正六边形的平面镶嵌
能否 平面 镶嵌
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
2、用正方形一种图形进行平面 镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ B ） A 、3 B、4 C 、5 D、6
3、如果只用一种正多边形作平面 镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形， 则该正多边形的边数为（ A ）
A、3 B 、4 C、5 D 、6
探究活动(四) ----创意空间
正三角形 正方形
能 能 不能 能
6
4
正五边形 正六边形
3
结论1：
可以用同一种正多边形镶嵌的图形 只有正三角形，正四边形，正六边形.
结论2:
用一种形状、大小完全相同的三角 形、四边形也能进行平面镶嵌
正多边形可以镶嵌的条件：
o 每个内角都能被360 整除
1、下列多边形一定不能进行 平面镶嵌的是（ D ） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
探究 哪些图形可以镶嵌？ 哪些图形不可以镶嵌？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同 的三角形能否镶嵌？
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60° 60°
接点处的六个 角和为360°
结论： 形状、大小完全相同的任 意三角形能镶嵌成平面图形。
通过探究我发现：
可以 镶嵌, 1.任意全等的三角形都______ 六 个角，而这___ 六 2.在每个拼接点处有___ 个角的和恰好是这个三角形的内角和 o 两 360 的___倍，也就是它们的和为____，
探究活动（二）
用同一种四边形可以镶嵌吗？
正方形的平面镶嵌
90°
结论： 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形
★通过探究我发现：
可以 镶嵌. 1.任意全等的四边形_____
四 四 个角，而这___ 2.在每个拼接点处有___ 个角的和恰好是这个四边形的四个内 和 也就是它们的和为____. 360º 角之___,
用同一种平面图形如果 不能镶嵌,用两种或者两 种以上平面图形能不能 镶嵌呢?
正三角形和正方形
设在一个顶点周围有m个正三 角形，n个正六边形的角.
m 4 m 2 60m 120n 360 , n 1 n 2
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60 °
60 °
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
用正五边形和什么多边形能镶嵌？